期末培优专练04：数列的通项公式与求和讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过框架图系统梳理数列通项与求和的11大题型，以表格呈现各题型核心公式、步骤及易错点，用思维导图串联方法逻辑，清晰展现从基础公式法到构造法、放缩法的递进关系与重难点分布。 讲义亮点在于“题型-策略-例题-练习”闭环设计，如错位相减提供“大招公式”简化运算，裂项相消归纳8种形式培养数学思维，小试牛刀分层题满足不同学生需求，助力教师实施精准教学，提升学生问题解决与创新意识。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【期末培优专练04：数列的通项公式与求和】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：公式法】 【解题策略】 核心原理：等差/等比数列直接套用通项公式 核心公式： 等差：（为公差） 等比：（，为公比） 易错辨析：未判定数列类型盲目套用；等比忽略 常考结论：等差若，则；等比若，则 （25-26高二上·新疆·月考）等差数列的前项和为.经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若从数列中依次剔除，剩下的项组成新的数列，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据条件直接计算出等差数列中的基本量，进而可得通项公式； （2）先确定数列中要剔除的项有四项，分别是第项，进而由数列的前项和减去这四项和可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得， 所以，即. （2）因为数列中依次剔除值为的项，由， 再令，，即. 所以方程有四组解，，，，且. 即等差数列前项中有4项是要剔除，分别是第，. 所以 . 故. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．小试牛刀1 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求的数列的通项公式； （2）由（1）先求出，再利用错位相减法即可求出数列的前项和； （3）先根据已知条件整理得，设数列的前项和为，然后分组求和，利用等比数列求和公式以及裂项相消法求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为，，则由， 即，得 ， 解得 或，因为，故舍去， 所以，． （2）由（1）得，，所以， 令数列的前项和为，则， 即①， ②， 两式相减得： ， 所以 . （3）设数列的前项和为 由，，得， 则，即； 故 . （2023·广西南宁·模拟预测）数列满足，（为正常数），且，，.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得奇数项成等差数列，设公差为d，且偶数项成等比数列，公比为，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差d和公比q，即可得到所求通项公式； （2）讨论n为偶数和奇数，由等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和. 【详解】（1）数列满足,， 可得成等差数列，即奇数项成等差数列,设公差为, 且偶数项成等比数列,公比为,且，，, 可得,, 解得, 则,化为 （2）当为偶数时, 数列的前项和 当为奇数时, 当时也适合上式. 综上: 已知正项等比数列中，为的前项和，，．小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接列方程组求解和即可，利用等比数列的通项公式可求得的通项公式； （2）先求数列的通项，再用错位相减法求即可. 【详解】（1）解：设正项等比数列的公比为，则， 则，可得，解得，. （2）解：， ∴，① 又，② 由①②，得， ∴． 【题型2：累加法】 【解题策略】 核心原理：适用于，累加消中间项 核心步骤：（），验证 易错辨析：累加项数错误；未验证 常考结论：时，；时， （2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足：，，.证明：是等差数列，并求的通项公式；经典例题例题 【答案】证明见解析， 【分析】根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； 【详解】因为，所以， 即得：为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2025高二上·全国·专题练习）数列满足．小试牛刀1 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据递推公式，结合等比数列的定义即可证明结论． （2）根据累加法即可求得数列的通项公式． 【详解】（1）∵， ∴， 又，所以，所以， ∴数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴当时， ， 当时，，满足上式， ∴． （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由得到，利用累加法求出，则. 【详解】因为，所以即； 所以 即； 所以，而也符号该式，故 故选：D （25-26高三上·云南昆明·月考）已知在数列中，．当且时，．小试牛刀3 (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据已知递推式得，，又，结合等比数列的定义即可证； （2）由（1）有，应用累加法、等比数列的前n项和求通项公式. 【详解】（1）数列中，， 当时，，即， 所以，且， 所以是以为首项，以为公比的等比数列； （2）由（1）知， 当时，， 故，故， 而满足，所以. 【题型3：累乘法】 【解题策略】 核心原理：适用于（），累乘消中间项 核心步骤：（），验证 易错辨析：累乘项数错误；忽略 常考结论：时，；时， （25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用累乘法求数列通项，注意验证是否满足通项，即可得. 【详解】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以 ，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C （25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 .小试牛刀1 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， ， 可得， 经检验，满足条件，则. 故答案为：. （25-26高三上·河南·月考）已知数列满足，且．小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件列出，使用累乘法即可求数列的通项公式； （2）使用错位相减计算数列的前项和. 【详解】（1）当时，， 又因为，即对也成立，所以． （2）①， ②， ①-②得： ， 所以． （25-26高三上·湖南长沙·月考）记为数列的前n项和，已知小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)证明: 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用，计算得出，最后应用累乘计算求解通项即可； （2）应用裂项相消法计算证明不等式. 【详解】（1）依题意 ① 当时， ② 由①-②， 得 ∴当且时， 又 也符合上式，即 （2） 【题型4：Sn与an的关系】 【解题策略】 核心原理：利用与前项和的内在联系 核心公式：（） 易错辨析：忽略直接用；未验证 常考结论：，为等差；从第二项起为等差 （24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【详解】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. （25-26高三上·山东济宁·期末）记为正项数列的前项和，已知.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系结合题设可得，，，进而得到是首项为3，公差为3的等差数列，进而求解即可； （2）结合（1）及题设可得，进而根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，，解得或（舍去）； 当时，，所以， 则，即， 因为为正项数列，则，即， 所以是首项为3，公差为3的等差数列， 则. （2）因为， 所以，则，即， 所以，① 所以，② 由①②得， ， 所以. （2026·陕西咸阳·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件构造等比数列，进而可求的值. 【详解】因为数列的前项和为，，所以， 即，所以，. 所以数列是以公比为3，首项为4的等比数列，所以，即. 故选：B. （25-26高二上·天津北辰·月考）已知数列的前项和为，且，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】利用与的关系可得答案. 【详解】当时，； 当时，， ；不满足 综上：. 故答案为： 【题型5：构造法】 【解题策略】 核心原理：转化为等差/等比数列 核心类型： ①：设，（） ②：同除，令 ③：设 ④：取倒数，令 ⑤（）：取对数，令 易错辨析：构造常数计算错误；忘记还原为原数列 【多选题】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（   ）经典例题例题 A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 【答案】AC 【分析】根据等差数列的定义即可判断A；根据等差数列的通项公式即可判断B；根据等差数列的前项和公式即可判断C；根据等差数列的单调性即可判断D. 【详解】对于A，由， 可得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故A正确； 对于B，由A知，所以，故B错误； 对于C，由A，B知，，故C正确； 对于D，由A知，， 所以数列是递增数列，故D错误. 故选：AC. （25-26高三上·天津滨海新·月考）在数列中，，则通项公式（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件先判断出是等比数列，然后可求的通项公式. 【详解】因为，所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，所以，所以， 故选：D. （25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 小试牛刀2 【答案】57 【分析】根据给定条件，利用构造法求出数列的通项，进而求出. 【详解】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 【题型6：奇偶分段法】 【解题策略】 核心原理：分奇数项（）、偶数项（）分别求通项 核心步骤：列奇偶项递推式→求、通项→转化为的分段式 易错辨析：序号混淆；未统一为的表达式 常考结论：含的递推式优先用此法 （25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ．经典例题例题 【答案】70 【分析】根据题意求得，得到数列是首项为，公差为4的等差数列，数列是首项为，公差为4的等差数列，求得的通项公式，分为奇数和偶数，结合等差数列求和公式，即可求解． 【详解】由，可得， 两式相减，可得， 又由且，可得， 所以数列是首项为，公差为4的等差数列， 数列是首项为，公差为4的等差数列， 即n为奇数时，，n为偶数时，， ． 故答案为：70 （25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前项和为则 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意易得数列的奇数项和偶数项都是以1为首项，2为公比的等比数列，再利用分组求和法即可得出答案. 【详解】由，， 令，则， 令，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 又因， 所以数列的偶数项也是以1为首项，2为公比的等比数列， 即， 所以. 故答案为：. （2024·北京怀柔·模拟预测）设首项是1的数列的前项和为，且，则 ；若，则正整数的最大值是 ．小试牛刀2 【答案】 8 11 【分析】由递推公式依次计算可求出；分为偶数与奇数，利用递推公式及构造法推导出通项公式，进而利用分组求和法及等比数列求和公式求得为偶数、奇数时的前项和，再结合单调性确定的值即可． 【详解】由，得，，； 当为偶数时，，则，又， 因此，； 当为奇数时，，则，又， 因此，， 数列各项均为正，则数列单调递增， 当为偶数时， ，又， 当时，，当时，； 当为奇数时，， 当时，，所以正整数的最大值是11. 故答案为：8，11 【点睛】关键点点睛：按奇偶分析求出通项，再按奇偶求出前项和是求解问题的关键. （23-24高三上·江苏无锡·月考）已知数列满足．小试牛刀3 (1)设，写出； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据已知的数列递推关系，分别代入计算的前三项. （2）通过分析的递推关系，利用等比数列的定义来证明为等比数列. （3）先求出的通项公式，再根据与的关系求出. 【详解】（1）已知，因为，所以. 当时，，即.   当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即.   当时，. 先求，因为为偶数，. 再求，因为为奇数，，即. （2）由可得. 所以. 则. 又. 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则. . 因为，. 所以. 即. 由等比数列求和公式可得. 所以. 【题型7：倒序相加法求和】 【解题策略】 核心原理：适用于（对称和） 核心公式：（等差求和本源） 易错辨析：未判断对称和盲目使用 常考结论：时， （25-26高三上·甘肃·月考）已知函数.经典例题例题 (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)；7. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质计算即得； （2）由（1）推得，求得，再利用倒序相加法即可求得； （3）利用裂项相消法求出，由判断为递增数列，可得的最小值为，结合解不等式即得的最大值. 【详解】（1）由，得， 所以， 即为定值1. （2）由（1）知，所以， 即， 依题意得，又， 所以， ， 两式相加，得， 所以. （3）因为， 所以， 所以 ， 因为，所以数列为递增数列， 所以的最小值为， 因为恒成立，则，解得， 所以正整数的最大值为7. （25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足 .小试牛刀1 (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. （2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ）小试牛刀2 A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【分析】由表达式及得到 ，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则 . 因为 令，得 ； ； ； ………… 又 . 故 故选：B （24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 .小试牛刀3 【答案】1012 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解. 【详解】由，则，则， ， 因为，由等比数列的性质可知，，，，……， 所以上式. 故答案为： 【题型8：错位相减求和】 【解题策略】 核心原理：适用于（等差×等比，） 核心步骤：→→错位相减→化简 大招公式：，其中， 易错辨析：项数对齐错误；符号失误；忽略 （河北省张家口市2026届高三上学期期末教学质量监测数学试题）已知数列满足，且．经典例题例题 (1)求的值； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据递推式子直接代入求出结果即可. （2）证法一：将递推式子进行变形，根据等比数列的定义即可证明结论； 证法二：根据递推式逐项递推得到，进而可证明结论. （3）根据错位相减法进行计算即可. 【详解】（1）因为， 由，可得； 同理. （2）证法一：因为，所以； 由可得， 故数列是首项为3、公比为2的等比数列，且. 证法二：易得， 故， 以此类推，， 即，则， 数列是首项为3、公比为2的等比数列. （3）由（2）得， 两式相减可得， （25-26高二上·云南昭通·月考）已知等比数列的各项均为正数，满足：，是与的等差中项.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，可求得公比q值，根据条件，代入求解，可得的值，代入通项公式，即可得答案. （2）由（1）可知，根据错位相减求和法，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，显然， 是与的等差中项，，即， ，，解得或（舍）， ，，解得， . （2）由（1）可知，       ， ，       两式相减可得： ，       . （25-26高三上·安徽·月考）已知正项数列满足：．小试牛刀2 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）令，则，然后代入原式对原式进行化简，根据等比数列的定义即可证明. （2）根据（1）的结果先求出，然后根据错位相减法进行求解计算即可. 【详解】（1）令，则，     因为， 所以， 所以， 即．         由得，所以，所以， 又，所以数列是以2为首项、2为公比的等比数列． （2）由（1）知，所以，     则， ，     所以          所以． （25-26高三上·吉林四平·月考）在数列中，.小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）通过对递推式变形，构造出常数列，利用首项求出该常数列的数值，进而推导得的通项. （2）由得的表达式后，采用错位相减法计算得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 所以数列为常数列， 又，所以，所以. （2）由（1）得， ， 两边同乘以，得， 两式相减，得 ， 所以. 【题型9：裂项相消求和】 【解题策略】核心原理：拆通项为差/和，累加消中间项 全面裂项形式： ①差型（核心）： ；（） ； ； ； ②和型（补充）： （） 易错辨析：裂项遗漏系数；符号错误；消项不彻底 （25-26高二上·山东济宁·月考）已知数列中，，.经典例题例题 (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）运用取倒数法，结合等差数列的定义进行运算证明即可； （2）运用裂项相消法进行运算求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 而，则， 即，得到是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）可得，即， 则， 得到 （2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且．小试牛刀1 (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）利用等式变形，可以得到等差数列递推关系，从而问题得证； （2）利用裂项法来求和，即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 由，两边同时除以可得：， 两边再同时乘以可得：， 又，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得：，则， 即， 所以. （2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，若，求数列的前项和．小试牛刀2 【答案】 【分析】易得，分为偶数和为奇数，利用裂项相消法求解. 【详解】， 当为偶数时， ； 当为奇数时，； 综上所述：. （25-26高三上·湖北黄冈·期末）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且.小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求出，问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式； （2）先求出数列的通项公式，利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意得 ，得，故 所以 当时，； 当时，， 当时，上式亦成立. 所以. （2）由（1），得， ， 由于，故，即得， 故，即得 故成立. 【题型10：分组求和】 【解题策略】核心原理：拆为可求和数列和/差，分别求和再合并 常见形式： 等差+等比：；常数+含项： 分段通项：（分奇偶项求和） 核心步骤：→ 易错辨析：拆分错误；分段求和项数混淆 （25-26高二上·江苏扬州·月考）已知数列满足．经典例题例题 (1)求证：为等比数列，并求出的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2)214 【分析】（1）根据等比数列的定义即可求解； （2）根据分组求和即可求解. 【详解】（1）因为，则，且，故是首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以． （2）因为与之间插入个1， 所以在中对应的项数为， 当时，， 当时，， 所以，，且． 因此． （25-26高三上·天津西青·月考）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，.小试牛刀1 (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. 【答案】(1)，； (2)； (3)480. 【分析】（1）根据给定条件，列式分别求出数列与的公差、公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，按奇偶分组求和，再利用裂项相消法及错位相减法求和即得. （3）根据给定条件，分段求出数列的前100项，再求出它们的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由是和的等比中项，得， 即，而，解得，因此； 设等比数列的公比为，由，，得，而，解得， 因此. （2）由（1）知，当为奇数时，，当为偶数时，， 因此， 设； 设，， 两式相减得， 因此，所以. （3）由，，，，，，， 得对应的区间为，则； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个； 对应的区间分别为，则，即有个， 所以. （25-26高三上·福建厦门·期中）已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（）小试牛刀2 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设出公差，借助等差数列基本量计算可得；由题意可得，则可得，作差计算即可得，再验证时是否符合即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）易得中从到共有项，再由时，有2016项，然后借助等差数列求和公式与并项求和法计算即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为，则有，解得， 故； 由，则， 则时，有， 故，即； 当时，，符合上式； 故； （2）， 则； （3）：， 从到共有项， 所以，当时，， ， ， ， . （25-26高三上·天津蓟州·期中）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，．小试牛刀3 (1)求和的通项公式： (2)求数列的前项和： (3)设数列满足其中，求的前项和． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式，求解出等差数列公差与等比数列公比，进而求得结果即可； （2）直接利用错位相减法进行求和即可； （3）首先求出数列的通项公式，然后分为奇数项和偶数项分别根据等差数列和等比数列前项和进行求解即可. 【详解】（1）是等差数列，是各项都为正数的等比数列，设公差为，公比为，由． 可得：， 解得：或（负值舍去） 则，； （2）记数列的前项和为，则 ， 两式相减可得， 化为； （3）， 则数列的前项和 ． 【题型11：先放缩再求和】 【解题策略】 核心原理：放缩为可求和数列，求范围（适用于不等式证明） 全面放缩形式： ①分式型： （）；（） （）； ②指数型： ；；（二项式） ； ③对数型： （）→（）；（）→（） ④其他： ； ； 易错辨析：放缩过度；放缩方向错误；放缩后无法求和 常考结论：证明用（k≥2），求和得 （25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，且．经典例题例题 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得到，应用等比数列的定义判断证明即可； （2）由（1）得到数列的通项公式，利用分组求和、等比数列前n项和公式求和； （3）由（2）得到数列的通项公式，对进行放缩得，应用裂项相消法证明结论. 【详解】（1）由题可得，，所以， 又，则，则， 故数列是首项为2，公比为2的等比数列； （2）由（1）知，所以， 所以. （3）由（2），则， 所以． 令，则， 的前项和为； 令，则， 的前项和为， 所以， 因为，所以，当时等号成立， 而，所以. （25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解； （2）利用错位相减法求解； （3）利用放缩求和证明. 【详解】（1）当时，； 当时，； 又， 所以 （2）因为，，所以. 所以. 所以①， 所以②， 所以①②得 ， 所以 （3）因为，所以， 又当时，，即，所以， 所以， 所以 ，得证. （25-26高三上·山西·月考）设数列的前项之积为，已知.小试牛刀2 (1)求； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析，； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意代入计算即可求解； （2）由题意可得，代入可得，化简即可证明是等比数列，计算可得的通项公式； （3）由（2）可得，利用放缩法可得，根据裂项相消法计算即可得证. 【详解】（1）已知， 当时，， 当时，， 所以； （2）因为数列的前项之积为， 所以，代入可得， 变形可得， 因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 当时，， 当时，不满足上式， 所以； （3）由（2）可知， 因为， 所以， 所以. （2025高三·全国·专题练习）（1）已知，求证：；小试牛刀3 （2）已知，求证：； （3）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）根据，通过放缩即可证明； （2）根据，通过放缩即可证明； （3）根据 放缩即可证明. 【详解】（1）因为， 则， 所以． （2）因为， 则， 所以． （3）因为 ， 所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【期末培优专练04：数列的通项公式与求和】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：公式法】 【解题策略】 核心原理：等差/等比数列直接套用通项公式 核心公式： 等差：（为公差） 等比：（，为公比） 易错辨析：未判定数列类型盲目套用；等比忽略 常考结论：等差若，则；等比若，则 （25-26高二上·新疆·月考）等差数列的前项和为.经典例题例题 (1)求数列的通项公式； (2)若从数列中依次剔除，剩下的项组成新的数列，求数列的前项和. 已知数列是等差数列，设为数列的前项和，数列是等比数列，，若，，，．小试牛刀1 (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． （2023·广西南宁·模拟预测）数列满足，（为正常数），且，，.小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 已知正项等比数列中，为的前项和，，．小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【题型2：累加法】 【解题策略】 核心原理：适用于，累加消中间项 核心步骤：（），验证 易错辨析：累加项数错误；未验证 常考结论：时，；时， （2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足：，，.证明：是等差数列，并求的通项公式；经典例题例题 （2025高二上·全国·专题练习）数列满足．小试牛刀1 (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； （25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知数列满足，，则（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·云南昆明·月考）已知在数列中，．当且时，．小试牛刀3 (1)求证：为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【题型3：累乘法】 【解题策略】 核心原理：适用于（），累乘消中间项 核心步骤：（），验证 易错辨析：累乘项数错误；忽略 常考结论：时，；时， （25-26高二上·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏·期末）已知数列中，，则 .小试牛刀1 （25-26高三上·河南·月考）已知数列满足，且．小试牛刀2 (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． （25-26高三上·湖南长沙·月考）记为数列的前n项和，已知小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)证明: 【题型4：Sn与an的关系】 【解题策略】 核心原理：利用与前项和的内在联系 核心公式：（） 易错辨析：忽略直接用；未验证 常考结论：，为等差；从第二项起为等差 （24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高三上·山东济宁·期末）记为正项数列的前项和，已知.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. （2026·陕西咸阳·一模）已知数列的前项和为，，，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高二上·天津北辰·月考）已知数列的前项和为，且，则 ．小试牛刀3 【题型5：构造法】 【解题策略】 核心原理：转化为等差/等比数列 核心类型： ①：设，（） ②：同除，令 ③：设 ④：取倒数，令 ⑤（）：取对数，令 易错辨析：构造常数计算错误；忘记还原为原数列 【多选题】（25-26高二上·陕西西安·月考）已知数列满足，则（   ）经典例题例题 A．数列是等差数列 B． C．数列的前项和 D．数列是递减数列 （25-26高三上·天津滨海新·月考）在数列中，，则通项公式（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 小试牛刀2 【题型6：奇偶分段法】 【解题策略】 核心原理：分奇数项（）、偶数项（）分别求通项 核心步骤：列奇偶项递推式→求、通项→转化为的分段式 易错辨析：序号混淆；未统一为的表达式 常考结论：含的递推式优先用此法 （25-26高二上·江苏南京·月考）已知数列满足，则数列的前9项和 ．经典例题例题 （25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列的前项和为则 ．小试牛刀1 （2024·北京怀柔·模拟预测）设首项是1的数列的前项和为，且，则 ；若，则正整数的最大值是 ．小试牛刀2 （23-24高三上·江苏无锡·月考）已知数列满足．小试牛刀3 (1)设，写出； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． 【题型7：倒序相加法求和】 【解题策略】 核心原理：适用于（对称和） 核心公式：（等差求和本源） 易错辨析：未判断对称和盲目使用 常考结论：时， （25-26高三上·甘肃·月考）已知函数.经典例题例题 (1)证明：为定值； (2)若数列的通项公式为，求数列的前项和； (3)若数列的通项公式为，记.若（2）中的满足，求及的最大值. （25-26高二上·江苏苏州·月考）已知函数，数列满足 .小试牛刀1 (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． （2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ）小试牛刀2 A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 （24-25高二下·北京丰台·期中）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 .小试牛刀3 【题型8：错位相减求和】 【解题策略】 核心原理：适用于（等差×等比，） 核心步骤：→→错位相减→化简 大招公式：，其中， 易错辨析：项数对齐错误；符号失误；忽略 （河北省张家口市2026届高三上学期期末教学质量监测数学试题）已知数列满足，且．经典例题例题 (1)求的值； (2)证明数列为等比数列； (3)求数列的前项和． （25-26高二上·云南昭通·月考）已知等比数列的各项均为正数，满足：，是与的等差中项.小试牛刀1 (1)求的通项公式； (2)数列满足，求的前项和. （25-26高三上·安徽·月考）已知正项数列满足：．小试牛刀2 (1)求证：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． （25-26高三上·吉林四平·月考）在数列中，.小试牛刀3 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【题型9：裂项相消求和】 【解题策略】核心原理：拆通项为差/和，累加消中间项 全面裂项形式： ①差型（核心）： ；（） ； ； ； ②和型（补充）： （） 易错辨析：裂项遗漏系数；符号错误；消项不彻底 （25-26高二上·山东济宁·月考）已知数列中，，.经典例题例题 (1)证明：是等差数列； (2)求数列的前项和. （2025·河北·模拟预测）已知数列的首项，且．小试牛刀1 (1)证明：数列是等差数列． (2)令，求数列的前项和． （2025高二上·全国·专题练习）已知数列满足，若，求数列的前项和．小试牛刀2 （25-26高三上·湖北黄冈·期末）已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且.小试牛刀3 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：. 【题型10：分组求和】 【解题策略】核心原理：拆为可求和数列和/差，分别求和再合并 常见形式： 等差+等比：；常数+含项： 分段通项：（分奇偶项求和） 核心步骤：→ 易错辨析：拆分错误；分段求和项数混淆 （25-26高二上·江苏扬州·月考）已知数列满足．经典例题例题 (1)求证：为等比数列，并求出的通项公式； (2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值． （25-26高三上·天津西青·月考）已知是公差大于0的等差数列，，是和的等比中项.是公比大于0的等比数列，，.小试牛刀1 (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和. （25-26高三上·福建厦门·期中）已知等差数列的前n项和为，且，；数列满足（）小试牛刀2 (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前n项和； (3)在和，中插入个相同的数，构成一个新数列：，1，，，，，3，3，3，，…，求数列的前2025项和． （25-26高三上·天津蓟州·期中）已知是等差数列，是公比大于0的等比数列，且，．小试牛刀3 (1)求和的通项公式： (2)求数列的前项和： (3)设数列满足其中，求的前项和． 【题型11：先放缩再求和】 【解题策略】 核心原理：放缩为可求和数列，求范围（适用于不等式证明） 全面放缩形式： ①分式型： （）；（） （）； ②指数型： ；；（二项式） ； ③对数型： （）→（）；（）→（） ④其他： ； ； 易错辨析：放缩过度；放缩方向错误；放缩后无法求和 常考结论：证明用（k≥2），求和得 （25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列满足，且．经典例题例题 (1)证明：数列是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)在（2）的条件下，令，记数列的前项和为，证明：． （25-26高三上·天津南开·期中）已知数列的前n项和为，且（）.数列是公比为2的等比数列，且.小试牛刀1 (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和； (3)证明：. （25-26高三上·山西·月考）设数列的前项之积为，已知.小试牛刀2 (1)求； (2)证明是等比数列，并求的通项公式； (3)设，数列的前项和为，证明：. （2025高三·全国·专题练习）（1）已知，求证：；小试牛刀3 （2）已知，求证：； （3）已知，求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $