15.3.2等边三角形讲义-2025-2026学年人教版 八年级数学上册

第十五章 轴对称 第五节 等边三角形 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1等边三角形及其性质 2 知识点2 等边三角形的判定判定 2 题型精讲1等边三角形的性质 5 题型精讲2等边三角形的判定 6 题型精讲3等边三角形的判定和性质 7 题型精讲4大（小）边对大（小）角定理 7 题型精讲5最短路径问题 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解等边三角形的定义及其与等腰三角形的特殊关系；掌握其性质（三边相等、三角均为60°、三线合一、有三条对称轴）与判定方法（三边相等、三角相等、有一个60°角的等腰三角形）；掌握含30°角的直角三角形中“30°角所对直角边是斜边一半”的性质，能规范推理。 2. 过程与方法：通过折叠观察、类比等腰三角形探究，经历“猜想—证明—归纳”过程，深化对轴对称性质的理解，体会特殊与一般的思想，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用性质与判定解决边、角计算及证明问题，构建几何模型，契合中考对特殊三角形综合应用的考查要求，提升知识迁移能力。 【新知学习】 【知识点1】等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形. 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 3. 拓展： a：等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； b：等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 边学边练若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【答案】 解：等边三角形的边长是， ， 的周长是（）， 故答案为：． 【知识点2】等边三角形的判定判定 等边三角形的方法： （1） 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形. （2） 三个角都相等的三角形是等边三角形. （3） 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 边学边练下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．两直线平行，同位角相等． 【答案】D 解：A．逆命题是面积相等的三角形全等，此命题为假命题，故A不符合题意； B．逆命题是两个实数的平方相等时，这两个实数相等，此命题为假命题，故B不符合题意； C．逆命题是锐角三角形是等边三角形，此命题为假命题，故C不符合题意； D．逆命题是同位角相等，两直线平行，此命题为真命题，故D符合题意． 故选：D． 题型精讲 题型精讲1等边三角形的性质 一、题型特征 题目围绕等边三角形 “三边相等、三角均为 60° ” 的核心性质展开，常结合图形（含与等腰三角形结合、含高 / 中线 / 角平分线等特殊线段），考查边长计算、角度求解、特殊线段长度推导（如高、中线），多以选择题、填空题、计算题形式出现，偶尔涉及简单证明（如证明线段相等、角度相等）。 二、解题核心步骤 1. 识图形：先判断题目中的三角形是否为等边三角形（若题目明确标注 “△ABC 为等边三角形”，或给出 “AB=BC=AC”“∠A=∠B=∠C” 等条件）。 1. 用性质推导： 0. 求边长：若已知等边三角形一边长（如 AB=4），则另外两边 BC=AC=4，周长 = 3×4=12。 0. 求角度：无论已知哪个角的相关条件，只要确定是等边三角形，每个内角均为 60°（如∠A=60°，则∠B=∠C=60°；若已知某外角，可先通过邻补角求出内角，再验证是否为 60°）。 0. 求特殊线段：若求等边三角形的高（如边长为 a 的等边三角形），可利用勾股定理推导，高 h=√3/2 a（例：边长为 2 的等边三角形，高 =√3/2×2=√3）；且等边三角形的高、中线、角平分线三线合一，可通过其中一条线段的性质推导另一条（如已知高为√3，可反求边长为 2）。 2. 验结果：结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）或角度和（内角和 180°）验证结果合理性（如边长计算后需确认三边相等，角度计算后需确认三角和为 180°）。 【易错提醒】 1. 忽略 “三线合一” 的特殊性：在等边三角形中，高、中线、角平分线重合，但需注意对应边和对应角（如过 A 点的高，对应底边是 BC，不可混淆到底边 AB 或 AC）。 1. 误将 “等边三角形的高” 与 “边长” 直接等同：如认为边长为 2 的等边三角形，高也为 2，忽略勾股定理的推导，导致特殊线段长度计算错误。 【例题1】正三角形的重心是该三角形的（   ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．以上说法都正确 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形重心的定义，等边三角形的性质，三角形的重心是其三条中线的交点，再根据三线合一定理可得答案． 【详解】解：三角形的重心是其三条中线的交点，而正三角形的一边上的中线，高和角平分线重合，故正三角形的重心是该三角形的三条高线的交点，三条角平分线的交点，三边垂直平分线的交点， 故选：D． 【变式训练1】如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质． 由等边三角形的性质，可得和，根据三角形的内角和定理，可得，由对顶角相等，即可得的度数． 【详解】解：∵是等边三角形，，是的中线， ∴，，是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形的对称轴有三条．其中正确的个数（   ） A．0个 B．2个 C．1个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质．根据等边三角形的的性质，等腰三角形的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①等腰三角形是轴对称图形，正确； ②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线，原说法错误； ③等边三角形的对称轴有三条，正确． 故选：B 【变式训练3】如图，是等边三角形，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用这些性质进行推理． 由等边三角形的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，可求解． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 题型精讲2等边三角形的判定 一、题型特征 题目需根据已知条件（边的关系、角的关系）判断三角形是否为等边三角形，常给出三角形的边长、角度，或结合等腰三角形的性质（如 “有一个角为 60° 的等腰三角形”），以选择题、填空题、证明题形式出现，需熟练掌握三种判定方法的适用场景。 二、解题核心步骤 1. 选判定方法： 2. 方法一（三边相等）：若已知三角形三边长度（如 AB=3，BC=3，AC=3），或可推导三边相等（如 AB=BC，且 AB=AC），则判定为等边三角形。 2. 方法二（三角相等）：若已知三个角的度数（如∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°），或可推导三角相等（如∠A=∠B，且∠A=60°，则∠C=60°，三角均为 60°），则判定为等边三角形。 2. 方法三（等腰 + 60° 角）：若已知三角形为等腰三角形（AB=AC），且有一个内角为 60°（无论顶角还是底角，如∠A=60° 或∠B=60°），则判定为等边三角形。 1. 推条件：结合题目已知信息（如 “AB=AC，∠B=60°”），匹配上述判定方法，逐步推导满足判定的条件。 1. 下结论：明确写出判定结果（如 “∴△ABC 为等边三角形”），并标注所用判定方法（如 “根据‘有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形’”）。 【易错提醒】 1. 漏用 “等腰 + 60° 角” 的判定：已知等腰三角形有一个角为 60°，但未意识到可直接判定为等边三角形，仍需额外推导其他边或角，浪费步骤。 1. 仅依据 “两个角为 60°” 却未确认三角形存在：忽略三角形内角和为 180°，若已知两个角为 60°，第三个角必然为 60°，可直接判定，但需确保已知角的条件合理（如不存在两个角之和超过 180° 的情况）。 【例题1】等边三角形的判定： ① 的三角形是等边三角形．（定义） ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形． 【答案】 三条边都相等 60° 【变式训练1】已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)为等边三角形，理由见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求证，得； （2）由，得，再结合三角形外角性质，得出，由（1）知，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，，． ∴， ∴， 即为等腰三角形； （2）解：为等边三角形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）知， ∴为等边三角形． 【变式训练2】下列命题是真命题的是（   ） A．有一个角等于的三角形是等边三角形 B．三角形的外角和为 C．等腰三角形的两个底角相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】此题综合考查了等边三角形的判定、全等三角形的性质及判定、三角形外角的性质． 要找出真命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举反例排除不正确选项，从而得出正确选项． 【详解】解：A、有一个角是的等腰三角形是等边三角形．故此选项错误； B、三角形的外角和为，故此选项错误； C、等腰三角形的两个底角相等，故此选项正确； D、三个角对应相等的两个三角形相似，但不全等．故此选项错误． 故选：C． 【变式训练3】在中，点，，分别在边，，上，，． (1)如图1，若，．求证：是等边三角形． (2)如图2，若，，，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质； （1）证明得出，，则，根据，，即可得出，即可求解； （2）过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而求得，证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴ ∴，， ∴ ∵，， ∴， 又∵ ∴是等边三角形． （2）解：如图所示，过点作于点，则 ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴． 题型精讲3等边三角形的判定和性质 一、题型特征 题目需同时运用等边三角形的判定和性质，先通过判定证明三角形为等边三角形，再利用其性质（三边相等、三角 60°、三线合一）解决后续问题（如求线段长度、角度、证明线段垂直或相等），常结合复杂图形（含多个三角形、公共边、折叠 / 旋转变换），以中档证明题、计算题形式出现，是等边三角形知识的核心应用题型。 二、解题核心步骤 1. 第一步：判定等边三角形： 4. 找已知条件：从题目中提取边或角的信息（如 “AB=AD，∠BAD=60°”“△ABC 为等腰三角形，∠C=60°”）。 4. 选判定方法：根据条件匹配判定方法（如 “AB=AD，∠BAD=60°”，用 “等腰 + 60° 角” 判定△ABD 为等边三角形），证明目标三角形为等边三角形。 7. 第二步：用性质推导结论： 4. 若求边长：利用 “三边相等”（如△ABD 为等边三角形，AB=5，则 AD=BD=5）。 4. 若求角度：利用 “三角均为 60°”（如△ABD 为等边三角形，∠ADB=60°，再结合邻补角求∠BDC=120°）。 4. 若证明线段关系：利用 “三线合一”（如等边△ABC 中，AD 为中线，则 AD⊥BC，AD 平分∠BAC）。 8. 第三步：梳逻辑：确保判定和性质的应用顺序连贯，每一步推导都有依据（如 “先证△ABD 为等边三角形，再用其性质得 AD=AB，最后结合其他条件证△ADC≌△ABC”）。 【易错提醒】 1. 判定与性质混淆：将 “性质” 当作 “判定” 使用（如已知△ABC 为等边三角形，却用 “三边相等” 证明它是等边三角形，逻辑循环）。 1. 忽略图形中的隐含条件：如未发现公共边（如△ABC 和△ADC 共用 AC）、对顶角相等，导致无法顺利完成判定或性质的应用。 【例题1】在中，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，根据题意得到是等边三角形，即可得出答案，掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为：． 【变式训练1】如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆周角定理和切线的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理和切线的性质是解题的关键．连接，，求出，证明是等边三角形，求出，得到，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，连接，． ∵为的直径，与相切于点C ，， ∴，，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 故选：D． 【变式训练2】如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点， （1）由，可知，再由，可知，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据含30度的直角三角形的性质和等边三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式训练3】如图，在中，，，为边上的高．延长至点使，连接． (1)根据题意，选择适当的工具补全图形（无需保留痕迹）； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质． 证明是等边三角形是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）利用证明，推出，，求得，即可判定是等边三角形； （3）利用30度角的直角三角形的性质求得，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：所作图形如图： ； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 题型精讲4大（小）边对大（小）角定理 一、题型特征 题目需运用 “在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角”（反之 “大角对大边，小角对小边” 也成立）的定理，解决边的长短比较、角的大小比较，或结合三角形内角和、三边关系的综合问题，多以选择题、填空题形式出现，常与 “三角形三边关系”“等腰三角形性质” 结合考查。 二、解题核心步骤 1. 定前提：明确定理适用范围 ——同一个三角形中（若涉及两个不同三角形，需先判断是否全等或相似，不可直接用该定理）。 1. 用定理推导： 6. 边推角（已知边的长短，比角的大小）：如在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，先比较三边大小：AB>AC>BC，根据 “大边对大角”，则对应角∠C>∠B>∠A（AB 对应∠C，AC 对应∠B，BC 对应∠A）。 6. 角推边（已知角的大小，比边的长短）：如在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，∠C=50°，先比较三角大小：∠A>∠B=∠C，根据 “大角对大边”，则对应边 BC>AC=AB（∠A 对应 BC，∠B 对应 AC，∠C 对应 AB）。 1. 结合其他知识验证：若题目涉及三角形内角和（如已知两角，求第三角后再比边）或三边关系（如已知两边，确定第三边范围后再比角），需先完成相关计算，再应用定理。 【易错提醒】 1. 跨三角形应用定理：在两个不同的三角形中（如△ABC 和△DEF），已知 AB>DE，就认为∠C>∠F，忽略 “同一三角形” 的前提，导致结论错误。 1. 对应关系混乱：找错边与角的对应关系（如将边 AB 对应的角误认为∠A，实际 AB 对应的角是∠C，即边的对角），导致比较结果颠倒。 【例题1】在，已知，，那么 ．(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系，根据三角形中大边对大角即可得到结果． 【详解】解：在中，对的是，对的是， ，， ， ． 故答案为： ． 【变式训练1】在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的概念，掌握“在三角形中，大边对大角”知识是解题的关键． 先根据三角形概念得到、、的对角分别为、、，再根据得出结论． 【详解】解：∵在中， ， 又∵、、的对角分别为、、， ∴． 故选：B． 【变式训练2】如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【答案】；在三角形中，大边对大角；；；在三角形中，大角对大边 【分析】本题考查三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质，根据三角形中大边对大角，大角对大边，不等式的性质解答即可． 【详解】证明：在中， ， （在三角形中，大边对大角）， （对顶角相等）， ， ， ， （在三角形中，大角对大边）． 【变式训练3】（1）如图1，在中，已知． 如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明； 如图1，若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：． 【答案】（1）大边对大角；证明见解析；（2）证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、大边对大角定理、等腰三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）证明：作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； 延长至点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，根据大边对大角，小边对小角定理可得，由此即可得证； （2）在右侧作，且，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则可得，再根据等腰三角形的性质可得，则可得，然后根据大角对大边，小角对小边定理可得，由此即可得证． 【详解】证明：（1）如图1，通过定理“在三角形中，大边对大角”可以证明，定理证明如下： 如图，作的角平分线，交于点，在上取一点，使得，连接， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 由题意，画出图形如下： 延长至点，使得，连接， ∵是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． （2）如图，在右侧作，且，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴在中，， ∴． 题型精讲5最短路径问题 一、题型特征 题目需利用 “两点之间，线段最短”“垂线段最短” 或 “轴对称的性质”，解决平面内的最短路径问题（如 “将军饮马” 模型、“造桥选址” 模型），常结合三角形、四边形、轴对称图形（如角、线段垂直平分线），以选择题、填空题或作图题形式出现，需通过图形变换将 “折线” 转化为 “直线” 求解。 二、解题核心步骤（以经典 “将军饮马” 模型为例） 1. 识模型：明确问题类型 —— 如 “将军从 A 点出发，到河边 l 饮马，再到 B 点，求最短路径”，属于 “两点一线” 型最短路径问题，需用轴对称转化。 1. 作对称点：过其中一个点（如 A 点）作直线 l 的对称点 A'（或过 B 点作对称点 B'），根据轴对称性质，直线 l 上任意一点 P 到 A 和 A' 的距离相等（PA=PA'）。 1. 连线段找交点：连接对称点 A' 与另一个点 B，交直线 l 于点 P，此时 PA+PB=PA'+PB，根据 “两点之间，线段最短”，A'B 的长度即为 PA+PB 的最小值，点 P 即为饮马的最短路径点。 1. 算长度（若需）：若已知 A、B 两点坐标或线段长度，可通过勾股定理计算 A'B 的长度，即最短路径的长度。 【易错提醒】 1. 对称点作错位置：将对称点作在直线 l 的同侧（如 A 和 A' 都在 l 的上方），导致无法将折线转化为直线，求不出最短路径。 1. 忽略模型适用条件：如 “造桥选址” 模型（两点之间有一条河，需造垂直于河岸的桥，求最短路径），误将桥的长度忽略，直接连接两点，导致结果错误（需先平移一个点，使平移距离等于桥长，再连接两点）。 【例题1】为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最短路径问题（利用轴对称求线段和最小），解题的关键是掌握“两点之间，线段最短”及轴对称的性质． 根据最短路径问题的求解方法，利用轴对称将其中一点对称到直线另一侧，再连接两点与直线的交点即为所求，据此分析各选项． 【详解】要使读书亭到、两小区的距离之和最小，根据“轴对称＋两点之间线段最短”的原理： 选项D中，作出点关于直线的对称点，则， 此时． 因为、、三点共线，根据“两点之间，线段最短”， 此时最小，即最小． 而其他选项的作图方法均不符合最短路径的求解， 故选：D． 【变式训练1】如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先连接CE，再根据EB=EC，将FE+EB转化为FE+CE，最后根据两点之间线段最短，根据等边三角形的各边上的高相等，求得CF的长，即为FE+EB的最小值． 【详解】连接CE， ∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线 ∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC ∴EB=EC， 当C. F. E三点共线时，EF+EC=EF+BE=CF， ∵等边△ABC中，F是AB边的中点， 是等边三角形边上的高， 和中 ∴AD=CF=8， ∴EF+BE的最小值为8， 故选D 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， (1)画出关于x轴对称的，直接写出，两点的坐标：___________； (2)在y轴上有一点D，使得和最小，请画出点D的位置（保留画图痕迹）． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题、轴对称图形与坐标等知识，熟练掌握相关知识，数形结合是解题的关键． （1）先根据题意，画出图形，再根据图形即可写出，两点的坐标； （2）作点关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点，点即为所求． 【详解】（1）解：如图所示： 由图可知：； 故答案为： （2）解：如图，作点关于y轴的对称点，连接与y轴相交于点，由两点之间线段最短可知和最小，所以点即为所求． 【变式训练3】如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； (3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等； (4)画一个顶点均在格点的三角形，该三角形与全等，且有一个公共角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形的作图方法、最短路径问题（利用轴对称转化线段）、角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）、全等三角形的判定与作图，解题的关键是熟练运用轴对称性质找对称点、依据角平分线性质确定点的位置、结合格点特征构造全等三角形． （1）利用格点找出三个顶点关于直线l对称点，顺次连接即可； （2）当点P在直线l和的交点处时，，为最小值； （3）利用格点找出的角平分线与直线l的交点即可． （4）利用格点找出与全等且有一个公共角的三角形即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：如图，点P即为所求作． 理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3）解：如图，点Q即为所求作． （4）解：如图，即为所求作的三角形． 【拓展培优】 【典例1】【问题初探】（1）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：． ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中,, 是边上的中线，连接交与点F．求证：． 【学以致用】 （3）如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，则的周长为 ． （4）如图，在中，，，，E、D分别是、上的动点，且，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接、，当的值最小时，的面积为 ． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） （4） 【知识点】全等三角形综合问题、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质、相似三角形性质、轴对称的特点，掌握如何添加辅助线是解题的关键． （1）①在上截取，连接，证明，由全等三角形性质得出，进而得出结论； ②过A作交延长线于点G，证明得出，再次证明，得出，进而得出结论； （2）在上截取，连接，证明，由全等三角形性质得出，证明是等边三角形得出，进而得出结论； （3）过点A作于点H，证明得出，证明，得出，则可以得出答案； （4）在上截取，连接，，作点B关于的对称点N，连接，，先证明得到，，当B、F、N三点共线时，最小，最小值为，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：①选择小辉同学的思路，证明如下： 证明：在上截取，连接，与交于点， ，， ， 又，， ， ， ， ， ， ． ②选择小龙同学的思路，证明如下： 证明：过A作交延长线于点G，与交于点， ，， ， 于点E，于点G， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）证明：在上截取，连接，如图： 为等边三角形， ，， 是等腰直角三角形，其中，， ， ， ， ， ， 是边上的中线， 平分， ， ， 是等边三角形， ， ． （3）解：过点A作于点H，如图： ， ， ， 交延长线于点E， ， ， ， 于点， ， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即的周长为． （4）解：在上截取，连接，，作点B关于的对称点N，连接，，如图： ，， ， 点在上移动 点B关于的对称点N ， 当B、F、N三点共线时，最小，最小值为 ， 由对称性可得 答：△BFC的面积为． 【变式训练1】在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在的延长线上时，求证：． (3)如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的判定、等边三角形的性质 【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得，易得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）首先证明，进而可得，然后根据“”可证明，由全等三角形的性质即可证明结论； （3）过点作，则，证明，易得，再证明垂直平分线段，易得，然后由即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如下图，过点作， 则， ∵和均为等边三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴． 【典例2】已知，点为内部的一动点，、分别是、上的动点，若，则的周长的最小值是 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键．分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值，然后证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：分别作点关于的对称点，，连接交于，交于，连接，则，，，，，则的周长的最小值， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴的周长， ∴， ∴的周长的最小值是． 故答案为：． 【典例3】如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)的面积为54 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理． （1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可； （2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，理由如下： 在和中， 是的角平分线． （2）解：过P作于点H， 于点Q，平分 的面积的面积+的面积， 的面积 答：的面积为． 【变式训练1】如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.2 D．5 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形 ．作辅助线，延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，再设，根据角度的关系以及边的关系判定与全等，由此可解 ． 【详解】解： 延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定、判断命题真假 【分析】本题考查命题的真假判断和等边三角形的判定，掌握等边三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：“三边相等的三角形是等边三角形是真命题”，故①正确； “三个内角相等的三角形是等边三角形”是真命题，故②正确； “有一个内角是的三角形是等边三角形”是假命题，故③错误； “有两个内角是的三角形是等边三角形”是真命题，故④正确； 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．到角两边距离相等的点在角的平分线上 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】A 【知识点】角平分线的判定定理、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定、判断命题真假 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及等腰三角形的性质、角平分线的判定、等边三角形的判定，熟知正确的命题是真命题是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，正确，是真命题，符合题意； B、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的性质 【分析】本题考查平行线的性质、等边三角形的性质，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据等边三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 【答案】B 【知识点】作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了尺规作图，含的直角三角形的性质，等腰三角形的判定等知识， 由作图知平分，则可求，利用含的直角三角形的性质得出，利用等角对等边得出，进而得出，然后利用面积公式即可求解． 【详解】解： ∵， ∴， 由作图知：平分， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又的面积为8， ∴的面积是， 故选B． 5．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 6．（2025·山东·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形三边关系的应用、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为a，因为有两个角是，故是等边三角形， ∴； 由于和是等边三角形，设的边长为m， 可得， ∴； 丙路程中，延长与，交于点I（如图）， ∵，两边同加得， ∴，又 ∴，又， 因此，，只有D选项正确． 故选：D． 7．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质、垂线的尺规作图，直角三角形锐角互余，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键．由作图可知，然后根据含30度直角三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，平分，交于点，则的周长是 ． 【答案】15 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，平行线的性质，邻补角的定义，熟练运用以上知识解题是解题的关键． 先求解 再证明为等边三角形即可得到答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长是15． 故答案为：15． 9．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，某客机从A地起飞，飞行到达地，再飞行到达地，已知，则A地与地的距离为 ． 【答案】1000 【知识点】等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了等边三角形，熟练掌握等边三角形的判定和性质，是解题的关键． 根据，，判定是等边三角形，得． 【详解】解：连接， 由题意知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴A地与地的距离为． 故答案为1000． 10．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 【答案】 【知识点】等边三角形的性质、折叠问题 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 11．（2023·江西·中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的判定和性质 【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为, 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键． 12．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    【答案】，（答案不唯一） 【知识点】等边三角形的判定 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据两直线平行，同位角相等得到，然后增加，即可根据三个角是的三角形是等边三角形． 【详解】解：增加，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质． （1）先证明，可得，再进一步证明即可； （2）由等边三角形的性质可得，结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）证明：∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：∵ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质得出，，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明∶∵是等边三角形， ∴，， 又， ∴， ∴． 15．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的判定、等边三角形的判定和性质、利用平移的性质求解 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 16．（2023·湖南娄底·中考真题）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析； (2)①直线是的切线；②见解析． 【知识点】等边三角形的性质、证明四边形是菱形、证明某直线是圆的切线、已知圆内接四边形求角度 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得⟂，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴⟂，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵⟂， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 第五节 等边三角形 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1等边三角形及其性质 2 知识点2 等边三角形的判定判定 2 题型精讲1等边三角形的性质 5 题型精讲2等边三角形的判定 6 题型精讲3等边三角形的判定和性质 7 题型精讲4大（小）边对大（小）角定理 7 题型精讲5最短路径问题 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解等边三角形的定义及其与等腰三角形的特殊关系；掌握其性质（三边相等、三角均为60°、三线合一、有三条对称轴）与判定方法（三边相等、三角相等、有一个60°角的等腰三角形）；掌握含30°角的直角三角形中“30°角所对直角边是斜边一半”的性质，能规范推理。 2. 过程与方法：通过折叠观察、类比等腰三角形探究，经历“猜想—证明—归纳”过程，深化对轴对称性质的理解，体会特殊与一般的思想，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用性质与判定解决边、角计算及证明问题，构建几何模型，契合中考对特殊三角形综合应用的考查要求，提升知识迁移能力。 【新知学习】 【知识点1】等边三角形及其性质 1. 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是 . 2. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 °. 3. 拓展： a：等边三角形是轴对称图形，它有 对称轴； b：等边三角形是特殊的 三角形，它具有等腰三角形的一切性质. 边学边练若等边三角形的边长是，则的周长是 ． 【知识点2】等边三角形的判定判定 等边三角形的方法： （1） 定义法：三边都 的三角形是等边三角形. （2） 三个角都 的三角形是等边三角形. （3） 有一个角是 的等腰三角形是等边三角形. 边学边练下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．全等三角形的面积相等 B．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 C．等边三角形是锐角三角形 D．两直线平行，同位角相等． 题型精讲 题型精讲1等边三角形的性质 一、题型特征 题目围绕等边三角形 “三边相等、三角均为 60° ” 的核心性质展开，常结合图形（含与等腰三角形结合、含高 / 中线 / 角平分线等特殊线段），考查边长计算、角度求解、特殊线段长度推导（如高、中线），多以选择题、填空题、计算题形式出现，偶尔涉及简单证明（如证明线段相等、角度相等）。 二、解题核心步骤 1. 识图形：先判断题目中的三角形是否为等边三角形（若题目明确标注 “△ABC 为等边三角形”，或给出 “AB=BC=AC”“∠A=∠B=∠C” 等条件）。 1. 用性质推导： 0. 求边长：若已知等边三角形一边长（如 AB=4），则另外两边 BC=AC=4，周长 = 3×4=12。 0. 求角度：无论已知哪个角的相关条件，只要确定是等边三角形，每个内角均为 60°（如∠A=60°，则∠B=∠C=60°；若已知某外角，可先通过邻补角求出内角，再验证是否为 60°）。 0. 求特殊线段：若求等边三角形的高（如边长为 a 的等边三角形），可利用勾股定理推导，高 h=√3/2 a（例：边长为 2 的等边三角形，高 =√3/2×2=√3）；且等边三角形的高、中线、角平分线三线合一，可通过其中一条线段的性质推导另一条（如已知高为√3，可反求边长为 2）。 2. 验结果：结合三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）或角度和（内角和 180°）验证结果合理性（如边长计算后需确认三边相等，角度计算后需确认三角和为 180°）。 【易错提醒】 1. 忽略 “三线合一” 的特殊性：在等边三角形中，高、中线、角平分线重合，但需注意对应边和对应角（如过 A 点的高，对应底边是 BC，不可混淆到底边 AB 或 AC）。 1. 误将 “等边三角形的高” 与 “边长” 直接等同：如认为边长为 2 的等边三角形，高也为 2，忽略勾股定理的推导，导致特殊线段长度计算错误。 【例题1】正三角形的重心是该三角形的（   ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．以上说法都正确 【变式训练1】如图，在等边中，，是的中线，，交于点，则的度数为 ． 【变式训练2】下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形的对称轴有三条．其中正确的个数（   ） A．0个 B．2个 C．1个 D．3个 【变式训练3】如图，是等边三角形，，则的度数为 ． 题型精讲2等边三角形的判定 一、题型特征 题目需根据已知条件（边的关系、角的关系）判断三角形是否为等边三角形，常给出三角形的边长、角度，或结合等腰三角形的性质（如 “有一个角为 60° 的等腰三角形”），以选择题、填空题、证明题形式出现，需熟练掌握三种判定方法的适用场景。 二、解题核心步骤 1. 选判定方法： 2. 方法一（三边相等）：若已知三角形三边长度（如 AB=3，BC=3，AC=3），或可推导三边相等（如 AB=BC，且 AB=AC），则判定为等边三角形。 2. 方法二（三角相等）：若已知三个角的度数（如∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°），或可推导三角相等（如∠A=∠B，且∠A=60°，则∠C=60°，三角均为 60°），则判定为等边三角形。 2. 方法三（等腰 + 60° 角）：若已知三角形为等腰三角形（AB=AC），且有一个内角为 60°（无论顶角还是底角，如∠A=60° 或∠B=60°），则判定为等边三角形。 1. 推条件：结合题目已知信息（如 “AB=AC，∠B=60°”），匹配上述判定方法，逐步推导满足判定的条件。 1. 下结论：明确写出判定结果（如 “∴△ABC 为等边三角形”），并标注所用判定方法（如 “根据‘有一个角为 60° 的等腰三角形是等边三角形’”）。 【易错提醒】 1. 漏用 “等腰 + 60° 角” 的判定：已知等腰三角形有一个角为 60°，但未意识到可直接判定为等边三角形，仍需额外推导其他边或角，浪费步骤。 1. 仅依据 “两个角为 60°” 却未确认三角形存在：忽略三角形内角和为 180°，若已知两个角为 60°，第三个角必然为 60°，可直接判定，但需确保已知角的条件合理（如不存在两个角之和超过 180° 的情况）。 【例题1】等边三角形的判定： ① 的三角形是等边三角形．（定义） ②三个角都相等的三角形是等边三角形． ③有一个角是 的等腰三角形是等边三角形． 【变式训练1】已知：如图，，，， (1)求证：为等腰三角形． (2)若，判断的形状并说明理由 【变式训练2】下列命题是真命题的是（   ） A．有一个角等于的三角形是等边三角形 B．三角形的外角和为 C．等腰三角形的两个底角相等 D．三个角对应相等的两个三角形全等 【变式训练3】在中，点，，分别在边，，上，，． (1)如图1，若，．求证：是等边三角形． (2)如图2，若，，，，则______． 题型精讲3等边三角形的判定和性质 一、题型特征 题目需同时运用等边三角形的判定和性质，先通过判定证明三角形为等边三角形，再利用其性质（三边相等、三角 60°、三线合一）解决后续问题（如求线段长度、角度、证明线段垂直或相等），常结合复杂图形（含多个三角形、公共边、折叠 / 旋转变换），以中档证明题、计算题形式出现，是等边三角形知识的核心应用题型。 二、解题核心步骤 1. 第一步：判定等边三角形： 4. 找已知条件：从题目中提取边或角的信息（如 “AB=AD，∠BAD=60°”“△ABC 为等腰三角形，∠C=60°”）。 4. 选判定方法：根据条件匹配判定方法（如 “AB=AD，∠BAD=60°”，用 “等腰 + 60° 角” 判定△ABD 为等边三角形），证明目标三角形为等边三角形。 7. 第二步：用性质推导结论： 4. 若求边长：利用 “三边相等”（如△ABD 为等边三角形，AB=5，则 AD=BD=5）。 4. 若求角度：利用 “三角均为 60°”（如△ABD 为等边三角形，∠ADB=60°，再结合邻补角求∠BDC=120°）。 4. 若证明线段关系：利用 “三线合一”（如等边△ABC 中，AD 为中线，则 AD⊥BC，AD 平分∠BAC）。 8. 第三步：梳逻辑：确保判定和性质的应用顺序连贯，每一步推导都有依据（如 “先证△ABD 为等边三角形，再用其性质得 AD=AB，最后结合其他条件证△ADC≌△ABC”）。 【易错提醒】 1. 判定与性质混淆：将 “性质” 当作 “判定” 使用（如已知△ABC 为等边三角形，却用 “三边相等” 证明它是等边三角形，逻辑循环）。 1. 忽略图形中的隐含条件：如未发现公共边（如△ABC 和△ADC 共用 AC）、对顶角相等，导致无法顺利完成判定或性质的应用。 【例题1】在中，若，则的长为 ． 【变式训练1】如图，为的直径，与相切于点C，交的延长线于点D，若，，则线段的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练2】如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F． (1)证明：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【变式训练3】如图，在中，，，为边上的高．延长至点使，连接． (1)根据题意，选择适当的工具补全图形（无需保留痕迹）； (2)求证：是等边三角形； (3)若，求的长． 题型精讲4大（小）边对大（小）角定理 一、题型特征 题目需运用 “在同一个三角形中，大边对大角，小边对小角”（反之 “大角对大边，小角对小边” 也成立）的定理，解决边的长短比较、角的大小比较，或结合三角形内角和、三边关系的综合问题，多以选择题、填空题形式出现，常与 “三角形三边关系”“等腰三角形性质” 结合考查。 二、解题核心步骤 1. 定前提：明确定理适用范围 ——同一个三角形中（若涉及两个不同三角形，需先判断是否全等或相似，不可直接用该定理）。 1. 用定理推导： 6. 边推角（已知边的长短，比角的大小）：如在△ABC 中，AB=5，BC=3，AC=4，先比较三边大小：AB>AC>BC，根据 “大边对大角”，则对应角∠C>∠B>∠A（AB 对应∠C，AC 对应∠B，BC 对应∠A）。 6. 角推边（已知角的大小，比边的长短）：如在△ABC 中，∠A=80°，∠B=50°，∠C=50°，先比较三角大小：∠A>∠B=∠C，根据 “大角对大边”，则对应边 BC>AC=AB（∠A 对应 BC，∠B 对应 AC，∠C 对应 AB）。 1. 结合其他知识验证：若题目涉及三角形内角和（如已知两角，求第三角后再比边）或三边关系（如已知两边，确定第三边范围后再比角），需先完成相关计算，再应用定理。 【易错提醒】 1. 跨三角形应用定理：在两个不同的三角形中（如△ABC 和△DEF），已知 AB>DE，就认为∠C>∠F，忽略 “同一三角形” 的前提，导致结论错误。 1. 对应关系混乱：找错边与角的对应关系（如将边 AB 对应的角误认为∠A，实际 AB 对应的角是∠C，即边的对角），导致比较结果颠倒。 【例题1】在，已知，，那么 ．(填“”“”或“”) 【变式训练1】在中，如果，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法判断 【变式训练2】如图，已知：与相交于点，求证：． 把以下证明过程补充完整． 证明：在中， ， ______________________（___________） （对顶角相等）， _____________________， ， ______________________， （___________） 【变式训练3】（1）如图1，在中，已知． 如图1，通过定理“在三角形中，___________”可以证明； 如图1，若D是边的中点，连接，求证：． （2）如图2，在中，已知，且D是内的一点，．求证：． 题型精讲5最短路径问题 一、题型特征 题目需利用 “两点之间，线段最短”“垂线段最短” 或 “轴对称的性质”，解决平面内的最短路径问题（如 “将军饮马” 模型、“造桥选址” 模型），常结合三角形、四边形、轴对称图形（如角、线段垂直平分线），以选择题、填空题或作图题形式出现，需通过图形变换将 “折线” 转化为 “直线” 求解。 二、解题核心步骤（以经典 “将军饮马” 模型为例） 1. 识模型：明确问题类型 —— 如 “将军从 A 点出发，到河边 l 饮马，再到 B 点，求最短路径”，属于 “两点一线” 型最短路径问题，需用轴对称转化。 1. 作对称点：过其中一个点（如 A 点）作直线 l 的对称点 A'（或过 B 点作对称点 B'），根据轴对称性质，直线 l 上任意一点 P 到 A 和 A' 的距离相等（PA=PA'）。 1. 连线段找交点：连接对称点 A' 与另一个点 B，交直线 l 于点 P，此时 PA+PB=PA'+PB，根据 “两点之间，线段最短”，A'B 的长度即为 PA+PB 的最小值，点 P 即为饮马的最短路径点。 1. 算长度（若需）：若已知 A、B 两点坐标或线段长度，可通过勾股定理计算 A'B 的长度，即最短路径的长度。 【易错提醒】 1. 对称点作错位置：将对称点作在直线 l 的同侧（如 A 和 A' 都在 l 的上方），导致无法将折线转化为直线，求不出最短路径。 1. 忽略模型适用条件：如 “造桥选址” 模型（两点之间有一条河，需造垂直于河岸的桥，求最短路径），误将桥的长度忽略，直接连接两点，导致结果错误（需先平移一个点，使平移距离等于桥长，再连接两点）。 【例题1】为了促进A，B两小区居民的阅读交流，区政府准备在街道l上设立一个读书亭C，使其分别到A，B两小区的距离之和最小，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】如图，在等边三角形中，边上的高，是高上的一个动点，是边的中点，在点运动的过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练2】在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，， (1)画出关于x轴对称的，直接写出，两点的坐标：___________； (2)在y轴上有一点D，使得和最小，请画出点D的位置（保留画图痕迹）． 【变式训练3】如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上． (1)画，使它与关于直线l对称； (2)在直线l找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； (3)在直线l找一点Q，使点Q到的距离相等； (4)画一个顶点均在格点的三角形，该三角形与全等，且有一个公共角． 【拓展培优】 【典例1】【问题初探】（1）在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在中，．点D在外，连接，，，且．过A作于点E．求证：． ①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． ②如图，小龙同学从于点E这个条件出发给出另一种解题思路：过A作交延长线于点G，将线段，，之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】 （2）张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答． 如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中,, 是边上的中线，连接交与点F．求证：． 【学以致用】 （3）如图，在中，，，点D在边上，过B作交延长线于点E，延长至点F，连接，使，连接交于点G，若，，则的周长为 ． （4）如图，在中，，，，E、D分别是、上的动点，且，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接、，当的值最小时，的面积为 ． 【变式训练1】在等边中，点D是直线上一点（不与B、C重合），以为边作等边（A、D、E按逆时针排列），连接． (1)如图1，当点D在线段上时，求证：； (2)如图2，当点D在的延长线上时，求证：． (3)如图3，当点D在线段的延长线上时，若，且，求的面积． 【典例2】已知，点为内部的一动点，、分别是、上的动点，若，则的周长的最小值是 ． 【典例3】如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【变式训练1】如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.2 D．5 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25七年级下·上海崇明·期末）下列命题中真命题的个数是（　　） ①三边相等的三角形是等边三角形 ②三个内角相等的三角形是等边三角形 ③有一个内角是的三角形是等边三角形 ④有两个内角是的三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．到角两边距离相等的点在角的平分线上 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 3．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线，等边三角形的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点和点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点．若的面积为8，则的面积是（    ） A．8 B．16 C．12 D．24 5．（2025·北京·中考真题）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东·中考真题）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从地到地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·甘肃甘南·中考真题）如图，在中，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 8．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，在中，，，平分，交于点，则的周长是 ． 9．（24-25八年级上·吉林·期末）如图，某客机从A地起飞，飞行到达地，再飞行到达地，已知，则A地与地的距离为 ． 10．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为 11．（2023·江西·中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为 cm．    12．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形中，，点E在线段上，．若使成为等边三角形，可增加的一个条件是 ．    三、解答题 13．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，是等边三角形，延长至点D，延长至点E，使，连结的延长线交于点F． (1)求证：； (2)求的度数 14．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 15．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． (1)求的大小； (2)求证：是等边三角形． 16．（2023·湖南娄底·中考真题）如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $