15.3.1等腰三角形讲义-2025-2026学年人教版八年级数学上册

第十五章 轴对称 第四节 等腰三角形 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1等腰三角形的定义 2 知识点2 等腰三角形的性质 2 知识点3 等腰三角形的判定 3 题型精讲1等边对等角 5 题型精讲2三线合一 6 题型精讲3根据等角对等边证明等腰三角形 7 题型精讲4根据等角对等边证明边相等 7 题型精讲5根据等角对等边求边长 8 题型精讲6含30度角的直角三角形 9 题型精讲7格点图中画等腰三角形 11 题型精讲8找出图中的等腰三角形 12 题型精讲9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 7 题型精讲10等腰三角形的性质和判定 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解等腰三角形、等边三角形的概念；掌握等腰三角形“等边对等角”的性质与“等角对等边”的判定方法，熟记“三线合一”性质；掌握等边三角形的性质与判定，了解含30°角的直角三角形的边的性质，能规范书写推理过程。 2. 过程与方法：通过折叠、测量、推理等活动，经历“猜想—验证—归纳”的探究过程，深化对轴对称性质的应用，体会转化与数形结合思想，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用等腰（等边）三角形的性质与判定解决边、角计算及证明问题，建立几何模型意识，契合中考对几何推理及综合应用的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 ·相等的两条边称为腰，第三边称为底边， ·两腰的夹角称为项角，腰与低边的夹角称为底角 边学边练一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为 ． 【答案】/80度 【详解】解：等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是， 故答案为：． 【知识点2】等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写为“等边对等角”)。 符号表示：若△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)。 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 等腰三角形的其他性质： （1） 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等. （2） 等腰三角形两底角的平分线相等. （3） 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. （4） 当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°. 边学边练如图，，于，，则的长度为 ． 解：∵，，， ∴， 故答案为：2． 【知识点3】等腰三角形的判定 1. 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 数学语言：在△ABC中，：B=C，：AB=AC（等角对等边）. 边学边练已知在中，． (1)的长可以是10吗？并说明理由． (2)若是等腰三角形，求的周长． （1）解：不可以． 理由：因为， 则， 即可得， 所以的长不可能是10． （2）解：由（1）知，满足三角形三边的条件，需， 因为是等腰三角形，， 所以， 所以的周长． 题型精讲 题型精讲1题型精讲1等边对等角 一、题型特征 题目围绕等腰三角形 “等边对等角”（即等腰三角形中，相等的两条边所对的角相等）的核心性质展开，常给出等腰三角形的腰长或底边，结合三角形内角和、邻补角等知识，考查角的度数计算，多以选择题、填空题、计算题形式出现，偶尔涉及简单角度关系证明。 二、解题核心步骤 1. 定等腰：先明确等腰三角形的腰和底（如题目给出 “△ABC 中，AB=AC”，则腰为 AB、AC，底为 BC；若未明确，需结合图形标注或已知条件判断）。 1. 找对应角：根据 “等边对等角”，确定相等边所对的角（如 AB=AC，AB 对∠C，AC 对∠B，则∠B=∠C）。 1. 算角度：结合三角形内角和为 180° 或邻补角为 180° 计算未知角。例：△ABC 中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=∠C=(180°-80°)÷2=50°；若已知∠B=50°，则∠C=50°，∠A=180°-50°×2=80°。 1. 验合理性：若计算出的角存在 “大于等于 180°” 的情况，需排除（如等腰三角形中，若一个角为 100°，则该角必为顶角，底角为 40°，不可为底角，否则两角和超过 180°）。 【易错提醒】 1. 混淆 “边对的角”：误将腰对应的角当成顶角（如 AB=AC，误认为 AB 对∠A），导致对应角判断错误，角度计算偏差。 1. 忽略 “多解情况”：已知等腰三角形一个角的度数（未明确是顶角还是底角）时，未考虑两种可能（如已知角为 50°，可能是顶角或底角），漏算一种结果。 【例题1】如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据题意可得是等腰三角形，根据三线合一可知，据此即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∵， ∴． 故选：B． 【变式训练1】如果等腰三角形的顶角等于，那么它的底角为 ． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于， ∴它的底角， 故答案为：． 【变式训练2】已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 【答案】或 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．分两种情况：若角为顶角或角为底角，即可求解． 【详解】解：若角为顶角，此时它的顶角是； 若角为底角，此时它的顶角是； 综上所述，它的顶角是或． 故答案为：或 【变式训练3】如图，在中，，在上取一点，使得，连接，作的垂直平分线交于点． (1)补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)设，则___________（用含有的代数式表示），则与满足的等量关系是___________． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查了作垂直平分线，等边对等角，等角的余角相等，三角形内角和定理的应用； （1）以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D，连接，再作线段的垂直平分线交于点E； （2）根据等角的余角相等，即可得出；由得，再由三角形内角和得，再由直角性质得，最后可得结果． 【详解】（1）解：如图所示， （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴即， ∴， 即， 故答案为：，． 题型精讲2三线合一 一、题型特征 题目考查等腰三角形 “三线合一”（即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，常结合图形给出其中一条线（如中线、高），要求证明另外两条线的性质（如角平分线、垂直关系），或利用该性质计算线段长度、角度，多以证明题、计算题形式出现，需明确 “三线” 的对应关系。 二、解题核心步骤 1. 定等腰与 “三线” 基础：先确定等腰三角形（如△ABC 中，AB=AC）及已知的 “一线”（如 AD 是 BC 边上的中线，即 BD=CD）。 1. 用 “三线合一” 推导： 1. 若已知 “中线”：AB=AC，AD 是 BC 中线，则 AD⊥BC（底边上的高），AD 平分∠BAC（顶角平分线），即∠BAD=∠CAD。 1. 若已知 “高”：AB=AC，AD⊥BC，则 AD 是 BC 中线（BD=CD），AD 平分∠BAC（∠BAD=∠CAD）。 1. 若已知 “角平分线”：AB=AC，AD 平分∠BAC，则 AD 是 BC 中线（BD=CD），AD⊥BC。 6. 解问题：结合推导结果计算（如已知 AB=5，AD=3，AD 是 BC 高，由 “三线合一” 知 BD=CD，用勾股定理得 BD=√(AB²-AD²)=4，故 BC=8）或证明（如证 AD⊥BC）。 【易错提醒】 1. 混淆 “底边” 与 “腰”：“三线合一” 中的 “线” 均针对 “底边” 和 “顶角”，如 AB=AC 中，仅针对底边 BC 和顶角∠BAC，若误将腰 AB 当作底边，推导其 “三线” 关系，会出现逻辑错误。 1. 误用 “三线合一” 到非等腰三角形：如普通三角形中，某边上的中线不等于高或角平分线，却强行用 “三线合一”，导致结论错误。 【例题1】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质：等腰三角形的“三线合一”，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵点D是的中点， ∴， ∴工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”． 故选：D． 【变式训练1】如图，在中，，为的角平分线，若，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据“三线合一”求解即可． 【详解】解：∵，为的平分线， ∴． 故答案为：5． 【变式训练2】如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 【变式训练3】如图，在中，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查三线合一，等边对等角，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，三线合一，得到垂直平分，得到，垂直平分，得到，即可得出结论； （2）等边对等角，求出的度数，三线合一结合等边对等角求出的度数，再根据角的和差关系，进行求解即可． 【详解】（1）解：相等，理由如下： 连接， ∵，是边上的高， ∴， ∴垂直平分， ∵线段的垂直平分线交于点E， ∴，， ∴； （2）∵，是边上的高， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴． 题型精讲3根据等角对等边证明等腰三角形 一、题型特征 题目需运用 “等角对等边”（即同一个三角形中，相等的两个角所对的边相等）的判定定理，证明某三角形为等腰三角形，常给出三角形的两个角相等（或可推导两角相等），结合角的关系（如角平分线、对顶角、平行线性质），以证明题形式出现，是等腰三角形判定的核心题型。 二、解题核心步骤 1. 找等角：从题目中提取或推导相等的角（如已知 “AD 平分∠BAC，AD∥BC”，则∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠B（平行线内错角），故∠B=∠CAD=∠BAD）。 1. 定对应边：根据 “等角对等边”，确定相等角所对的边（如△ABC 中，∠B=∠C，∠B 对 AC，∠C 对 AB，则 AB=AC）。 1. 写证明：规范书写证明过程，先推导等角，再用定理得等边，最后下结论（如 “∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边），∴△ABC 为等腰三角形”）。 【易错提醒】 1. 跨三角形找等角：在两个不同三角形中找相等的角，再试图用 “等角对等边” 证明某一个三角形为等腰，忽略 “同一三角形” 的前提，逻辑无效。 1. 未完整推导等角：直接给出 “∠B=∠C”，未注明推导依据（如 “由平行线性质得”“由角平分线定义得”），导致证明过程不严谨。 【例题1】如图，小红用尺规作出一个等腰三角形，其判定依据是“等腰三角形的定义”，请你再用两种不同方法尺规作出等腰三角形，并分别写出判定依据（保留作图痕迹，无需写出作法）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，图1中，任作一条线段，作线段的垂直平分线，在线段的垂直平分线上任取一点C（不在线段上），连接，由线段垂直平分线的性质可得，则为等腰三角形；图2中，任作一个，过点B作交射线于C，则，则为等腰三角形． 【详解】解：如图所示，即为所求．依据：线段垂直平分线的性质， 依据：同一个三角形中，等角对等边， 【变式训练1】如图所示，在中，，是延长线上一点，点E在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式训练2】下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为 【答案】3 【分析】本题考查命题真假的判定，全等三角形的判定与性质，轴对称图形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和轴对称图形的判定与性质是解题的关键．根据轴对称的性质判定①；根据全等三角形的定义判定②；根据等腰三角形判定判定③；根据轴对称图形的有定义判定④． 【详解】解：成轴对称的两个三角形全等，故①是真命题； 面积相等的两个三角形不一定全等，故②是假命题； 有两个内角相等的三角形是等腰三角形，故③是真命题； 角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，故④是真命题； ∴真命题有①③④共3个， 故答案为：3． 【变式训练3】如图，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠． (1)图2中，若，则______°； (2)图2中重叠部分的是等腰三角形吗？证明你的结论． 【答案】(1)40 (2)是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和翻折变换（折叠问题），熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过折叠性质可知，再通过平行线性质和平角的计算即可得到答案； （2）通过折叠性质可知，再通过平行得到，进而，从而得证． 【详解】（1）解：如图， ∵将纸片沿线段折叠， ∴， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴． 故答案为：40． （2）重叠部分的是等腰三角形，证明如下： ∵将纸片沿线段折叠， ∴， ∵长方形纸片， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 题型精讲4根据等角对等边证明边相等 一、题型特征 题目需通过 “等角对等边” 定理，直接证明三角形中的两条边相等，常结合角平分线、平行线、全等三角形性质等推导相等的角，再转化为边相等，多以证明题形式出现，是 “角的关系” 转化为 “边的关系” 的关键题型。 二、解题核心步骤 1. 定目标边：明确需证明相等的两条边（如证 “AB=AC”“BD=CD”），并确定它们所在的三角形（如 AB、AC 在△ABC 中，BD、CD 在△BDC 中）。 1. 推等角：推导目标边所在三角形中，两条边所对的角相等（如证 AB=AC，需推∠B=∠C；证 BD=CD，需推∠DBC=∠DCB）。推导依据可结合已知条件（如 “∠1=∠2（角平分线），∠1=∠3（对顶角），故∠2=∠3”）。 1. 证等边：根据 “等角对等边”，得出目标边相等（如 “∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）”）。 【易错提醒】 1. 目标边与等角对应错误：如证 AB=AC，误推导∠A=∠B，再用 “等角对等边”，导致对应关系混乱，无法证明。 1. 忽略 “边在同一三角形”：需证明的两条边若不在同一个三角形中，不可直接用 “等角对等边”，需先通过全等、平移等转化到同一三角形，再应用定理。 【例题1】如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了等角对等边，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键 ； 利用等角对等边得，将的周长转化为，然后计算的周长即可． 【详解】∵， ∴． ∵的周长为， ∴ ． ∵的周长为，， 的周长为． 故答案为：20 ． 【变式训练1】如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 【答案】20 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 【变式训练2】如图，，，图中共有全等三角形 对． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，由等角对等边得出，利用即可证明，从而得出，再利用即可证明，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 综上所述，图中共有对全等三角形， 故答案为：． 【变式训练3】如图，是的高线，，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形的外角的性质，等角对等边，将沿折叠，则点刚好落在边上的点 处，易得，，，根据三角形的外角推出，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：如图，将沿折叠，则点刚好落在边上的点处， 则：，，， ， ． 又 ， ， ， ． 题型精讲5根据等角对等边求边长 一、题型特征 题目需先通过 “等角对等边” 判定三角形为等腰三角形，确定相等的边，再结合三角形三边关系、已知边长，计算未知边的长度，多以选择题、填空题、计算题形式出现，需兼顾 “等角对等边” 的判定与边长合理性验证。 二、解题核心步骤 1. 推等角，定等腰：根据已知条件推导相等的角（如 “△ABC 中，∠A=∠B=50°”），由 “等角对等边” 得相等的边（∠A=∠B，∠A 对 BC，∠B 对 AC，故 BC=AC），确定等腰三角形的腰和底（如腰为 BC、AC，底为 AB）。 1. 用已知边长算未知边： 7. 若已知腰长：如 BC=AC=4，求周长，则需先确定底边长（若未直接给出，需结合其他条件，如 AB=3，则周长 = 4+4+3=11）。 7. 若已知底边长：如 AB=5，求腰长（若未直接给出，需结合角度或其他线段关系，如高 AD=3，由 “三线合一” 得 BD=2.5，勾股定理得 AC=√(AD²+CD²)=√(9+6.25)=√15.25≈3.9）。 15. 验三边关系：计算后需验证 “任意两边之和大于第三边”（如腰为 2，底为 5，2+2<5，不符合，需排除该情况）。 【易错提醒】 1. 未验证三边关系：仅通过 “等角对等边” 确定腰和底，直接计算边长，忽略 “两边之和大于第三边”，导致结果不符合三角形存在条件。 1. 角度与边对应错误：推导等角后，找错对应边（如∠A=∠C，误认为∠A 对 AB，∠C 对 BC），导致腰和底判断错误，边长计算偏差。 【例题1】如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解答本题的关键是掌握等角对等边．根据等腰三角形的判定可得，继而得出的长． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 【变式训练1】如图，中，平分交于点 D，，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定． 根据角平分线得到，再由平行线的性质得到，然后等量代换，再由等角对等边即可求解． 【详解】解：∵平分交于点 D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式训练2】如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，掌握相关知识点是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，再根据等角对等边得到，，最后利用线段的和差即可求解． 【详解】解：∵、的平分线交于O点， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：3． 【变式训练3】如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答的关键是等腰三角形的判定． 先由平行的性质得，再由角平分线的性质得，进而得，即可得． 【详解】解：由题意可知，，， 两直线平行，内错角相等， 平分， ， ， ， 故答案为：． 题型精讲6含30度角的直角三角形 一、题型特征 题目围绕 “含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半” 的特殊性质展开，常给出直角三角形的一个锐角为 30°（或可推导为 30°），结合勾股定理、直角三角形性质，考查斜边或直角边的长度计算，多以选择题、填空题、计算题形式出现，偶尔涉及性质证明。 二、解题核心步骤 1. 定直角与 30° 角：明确直角三角形（如△ABC 中，∠C=90°）及 30° 角的位置（如∠A=30°）。 1. 用性质推导边长： 9. 若已知斜边：30° 角所对的直角边 = 斜边 ÷2（如∠A=30°，对边为 BC，斜边 AB=6，则 BC=6÷2=3）。 9. 若已知 30° 角对的直角边：斜边 = 该直角边 ×2（如 BC=4，∠A=30°，则 AB=4×2=8），再用勾股定理求另一条直角边（AC=√(AB²-BC²)=√(64-16)=√48=4√3）。 18. 验性质适用条件：确认三角形为 “直角三角形 + 含 30° 角”，缺一不可（如非直角三角形中，30° 角对的边不等于任意边的一半）。 【易错提醒】 1. 混淆 “30° 角对的直角边”：误将 30° 角相邻的直角边当作 “对边”，用斜边一半计算（如∠A=30°，误将 AC 当作对边，计算 AC=AB÷2），导致边长错误。 1. 忽略 “直角” 前提：在非直角三角形中，看到 30° 角就套用 “对边 = 斜边一半”，如锐角三角形中∠A=30°，误将 BC=AB÷2，逻辑错误。 【例题1】中，，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 根据已知条件，是角（）的对边，利用该性质可直接求出斜边的长度． 【详解】解：在中，， 为的对边，且根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半， 得：， ∴． 故选B． 【变式训练1】在中，2.5，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半是解题的关键． 根据在直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，则该边所对的锐角为，可得，根据三角形内角和为即可求出的度数． 【详解】解：在中，，已知，则； 是所对的直角边，为斜边，且， ， 三角形内角和为，， ． 故答案为：． 【变式训练2】如图，在中，若，，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质．过点B作于点D，根据直角三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：过点B作于点D， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 【变式训练3】如图，，为角平分线上一点，，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，过点作的延长线于点，由角平分线的性质可得，由平行线的性质得，进而根据直角三角形的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于点，则， ∵为角平分线上一点，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型精讲7格点图中画等腰三角形 一、题型特征 题目给出正方形格点图（如 3×3、4×4 格点），要求在格点上确定三个顶点，画出等腰三角形，常限定 “其中两个顶点固定”“腰长为某个值” 或 “底边在某条线上”，以作图题形式出现，需结合格点边长（通常设为 1）和等腰三角形定义（两边相等）分析。 二、解题核心步骤 1. 定已知条件：明确固定顶点（如 A (1,1)、B (3,1)）、格点边长（设为 1）及其他限定（如 “第三个顶点 C 在格点上”“AB 为腰”）。 1. 分情况画图： 11. 情况一：AB 为腰，以 A 为圆心、AB 长为半径画弧，弧与格点的交点即为 C（如 AB 长为 2，以 A (1,1) 为圆心画弧，格点交点可能为 (1,3)、(3,-1) 等），连接 A、B、C 得等腰△ABC（AB=AC）。 11. 情况二：AB 为腰，以 B 为圆心、AB 长为半径画弧，弧与格点的交点即为 C（如 (5,1)、(3,3) 等），连接得△ABC（AB=BC）。 11. 情况三：AB 为底，作 AB 的垂直平分线，垂直平分线上的格点即为 C（如 AB 中点为 (2,1)，垂直平分线为 x=2，格点 (2,2)、(2,0) 等），连接得△ABC（AC=BC）。 21. 标顶点与验证：在格点图中标出三个顶点，验证两边相等（如 AC=AB=2），确保顶点均在格点上。 【易错提醒】 1. 漏画情况：仅考虑 “AB 为腰” 的一种情况（如仅以 A 为圆心画弧），忽略 “以 B 为圆心” 或 “AB 为底” 的情况，导致作图不完整。 1. 计算边长错误：格点中边长需用勾股定理计算（如斜向格点距离：A (1,1) 到 C (2,3)，边长为√[(2-1)²+(3-1)²]=√5），误将横向 / 纵向格点数当作边长，导致腰长不符合要求。 【例题1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 【变式训练1】图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以为腰的等腰． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以为底的等腰． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格作图、等腰三角形的定义， （1）利用等腰三角形的定义求解即可； （2）利用等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P在点的位置时均满足题意； 以为顶角时，，以为顶角时，； （2）解：如图所示，点P在点的位置时均满足题意． 如图，，，． 【变式训练2】如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论A、B、C分别为顶点时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，以A为顶点时，符合条件的C点有、、、、，以B为顶点时，符合条件的C点有、，当C点为顶点时，没有符合条件的C点，故符合条件的点C共有7个． 故选：D． 【变式训练3】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)4，1，2，3，， (3)10 【分析】题目主要考查作轴对称图形，写出点的坐标，利用网格画等腰三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）结合图形写出点的坐标即可； （3）分三种情况以点为圆心、长为半径画圆，以点为圆心、长为半径画圆，两圆的交点连接可得的垂直平分线，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； （3）如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个 故答案为：10． 题型精讲8找出图中的等腰三角形 一、题型特征 题目给出复杂图形（如含多个三角形、角平分线、平行线、垂直关系的图形），要求找出其中所有的等腰三角形，常结合等腰三角形的定义（两边相等）、性质（等边对等角）和判定（等角对等边），以填空题、解答题形式出现，需逐一分析图形中的三角形。 二、解题核心步骤 1. 拆图形：将复杂图形拆分为单个或多个独立的三角形（如△ABC、△ABD、△BCD 等），避免遗漏。 1. 判等腰：对每个三角形，结合已知条件判断： 13. 用定义：看是否有两条边相等（如已知 AB=AC，AD=AE，则△ABC、△ADE 为等腰三角形）。 13. 用性质 / 判定：看是否有两个角相等（如∠B=∠C，则△ABC 为等腰；∠ADB=∠ABD，则△ABD 为等腰）。 13. 结合特殊关系：如角平分线 + 平行线（AD 平分∠BAC，AD∥BC，得∠B=∠BAD，故△ABD 为等腰）、垂直平分线（点 C 在 AB 垂直平分线上，得 AC=BC，△ABC 为等腰）。 24. 列结果：将所有判定为等腰的三角形逐一列出（如 “等腰三角形有△ABC、△ABD、△ADE”），避免重复或遗漏。 【易错提醒】 1. 遗漏小三角形：仅关注大三角形（如△ABC），忽略图形中的小三角形（如△ABD、△CDE），导致漏找。 1. 未结合图形关系推导：仅看直接给出的边相等，忽略 “角平分线、平行线” 等隐含条件可推导的等角，进而漏判等腰三角形（如未发现 AD∥BC 可推∠B=∠BAD，漏判△ABD 为等腰）。 【例题1】如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【答案】(1)图中有6个三角形，分别是和 (2)直角三角形有和；等腰三角形有 【分析】本题考查三角形的个数，三角形的分类，熟练掌握三角形的基本概念，分类是解题的关键： （1）写出图中三角形，即可得出结果； （2）根据等腰三角形和直角三角形的定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：图中有6个三角形，分别是和； （2）∵， ∴， ∴直角三角形有和， ∵， ∴是等腰三角形． 【变式训练1】如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【答案】(1)5，， (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的认识，等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义，是解题的关键． （1）根据三角形的相关定义进行求解即可； （2）根据等腰三角形定义进行解答即可． 【详解】（1）解：图中三角形有，，，，，共5个， 以点 C为顶点的三角形是，． （2）解：∵， ∴，是等腰三角形． 【变式训练2】如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【答案】是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定得出即可 【详解】解：是等腰三角形， 证明：平分， ， ， ， ， ， 即是等腰三角形 【变式训练3】有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 【答案】见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是依据等腰三角形角的特点，尝试在较大角中分割出与已有角相等的角，从而构造等腰三角形．根据等腰三角形两底角相等的性质，通过在大角中作出合适角度，构造出两个等腰三角形． 【详解】解：①如图， ，， ∴，都是等腰三角形． ②如图， ，， ∴，是等腰三角形． 题型精讲9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 一、题型特征 题目给出平面内两个固定点（如 A、B），要求找出平面内所有满足 “与 A、B 构成等腰三角形” 的点 P（常限定 “P 在某条直线上”“P 在格点上” 或 “P 在坐标轴上”），需分 “PA=AB”“PB=AB”“PA=PB” 三种情况分析，以解答题形式出现，考查分类讨论思想与等腰三角形定义的结合应用。 二、解题核心步骤 1. 定已知条件：明确固定点坐标或位置（如 A (0,0)、B (2,0)）、限定范围（如 “P 在 x 轴上”“P 在平面内”），计算 AB 的长度（如 AB=2，用两点间距离公式：√[(2-0)²+(0-0)²]=2）。 2. 分三类找 P 点： 15. 类 1：PA=AB（以 A 为圆心，AB 长为半径画圆）： 以 A 为圆心、AB 长（2）为半径画圆，圆与限定范围的交点即为 P。例：若 P 在 x 轴上，圆的方程为 x²+y²=4，令 y=0，得 x=±2，其中 x=2 对应点 B（舍去，三点需不共线构成三角形），故 P (-2,0)。 15. 类 2：PB=AB（以 B 为圆心，AB 长为半径画圆）： 以 B 为圆心、AB 长（2）为半径画圆，圆的方程为 (x-2)²+y²=4，与限定范围的交点即为 P。例：若 P 在 x 轴上，令 y=0，得 x=0（对应点 A，舍去）或 x=4，故 P (4,0)。 15. 类 3：PA=PB（作 AB 的垂直平分线）： AB 的中点为 (1,0)，AB 平行于 x 轴，故垂直平分线为 x=1（垂直于 AB 且过中点）。垂直平分线上的所有点均满足 PA=PB，若限定 P 在 x 轴上，垂直平分线 x=1 与 x 轴交点为 (1,0)，但此时 A、B、P 共线（y=0），无法构成三角形，故该情况在 x 轴上无符合条件的 P；若不限定在 x 轴上，x=1 上所有非 (1,0) 的点（如 (1,1)、(1,2)）均为 P。 3.汇总结果：结合限定范围，整理所有符合条件的 P 点（如 P 在 x 轴上时，P (-2,0)、(4,0)）。 【易错提醒】 1. 漏舍共线点：未排除 A、B、P 三点共线的情况（如类 3 中 x=1 与 x 轴交点 (1,0)），导致求出的 “点” 无法构成三角形。 1. 限定范围遗漏：忽略 “P 在某条直线 / 格点上” 的限定，直接求平面内所有 P 点，导致答案超出题目要求；或仅考虑部分范围（如仅 x 轴正半轴），漏算符合条件的点。 1. 分类不完整：仅考虑 “PA=AB”“PB=AB” 两类，漏算 “PA=PB”（垂直平分线）的情况，导致 P 点找不全。 【例题1】如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰直角三角形．以为直角边有四个，以为斜边有两个． 【详解】解：如图，以为直角边有四个，以为斜边有两个，共6个： 故答案为：6． 【变式训练1】如图，小明将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点，对应的数分别为，5，从点，两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰，若点对应的数为，则点在数轴上对应的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2； 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能． 四个同学谁的说法正确？（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题考查数轴，折叠，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 设D对应的数为x，先求出，，，，，，再分类讨论并求解，即可解答． 【详解】解：设D对应的数为x， ∵点A，B对应的数分别为，5，点C对应的数为， ∴，，，， 由题意，得， ∴， 由围成等腰，分类讨论： ①当时，， 解得， 即点D在数轴上对应的数为2； ②当时，， 解得， 即点D在数轴上对应的数为1； ③当时，， 解得， 即点D在数轴上对应的数为， 综上所述，点D对应的数为1、2、，丙的说法正确． 故选：C． 【变式训练2】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，首先算出的长，再以O为圆心，长为半径画圆，交y轴于两点，再作出的垂直平分线，与y轴交点也可以构造出等腰三角形，此时为点，得出只有两点即为P所在位置． 【详解】解：过点A作轴于点C， ∵， ∴，， ∴， 以O为圆心，2为半径画圆，交y轴于两点，， 作的垂直平分线，此时交点正好与点重合， 故使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有2个， 故选：C． 题型精讲10等腰三角形的性质和判定 一、题型特征 题目需同时运用等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边、两边相等定义），形成 “判定→性质→再判定” 或 “性质→判定→再性质” 的逻辑链，常结合复杂图形（含多个等腰三角形、全等三角形、平行线、角平分线），考查边 / 角关系证明、长度计算、角度推导，多以中档或压轴证明题、计算题形式出现，是等腰三角形知识的综合应用核心题型。 二、解题核心步骤 1. 第一步：判断切入方式（性质或判定）： 18. 若已知 “边相等”（如 AB=AC），先用性质推导 “角相等”（∠B=∠C，等边对等角），为后续证明铺垫； 18. 若已知 “角相等”（如∠B=∠C），先用判定推导 “边相等”（AB=AC，等角对等边），建立边的关系。 26. 第二步：结合图形推导中间结论： 18. 含平行线：如 DE∥BC，由平行线性质得∠ADE=∠B、∠AED=∠C，结合第一步 “∠B=∠C”，得∠ADE=∠AED，再用判定得 AD=AE（等角对等边）； 18. 含角平分线：如 BD 平分∠ABC，得∠ABD=∠DBC，结合 “∠B=∠C”，推导∠BDC=∠DBC（三角形内角和），再用判定得 BD=BC（等角对等边）； 18. 含三线合一：如 AB=AC，AD⊥BC，由性质得 BD=CD、∠BAD=∠CAD，为后续全等（如△ABD≌△ACD）或边长计算提供条件。 27. 第三步：解决最终问题： 18. 证明边相等：如由 AB=AC、AD=AE，得 AB-AD=AC-AE，即 BD=CE； 18. 计算边长：如已知 AB=5、AD=3（AD=AE），得 BE=AB-AE=2； 18. 证明角相等：如由 BD=BC，得∠BDC=∠C，结合 “∠B=∠C”，得∠BDC=∠B。 28. 第四步：规范书写逻辑链： 按 “已知→判定 / 性质→中间结论→判定 / 性质→最终结论” 书写，每步标注依据（如 “∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）”）。 【易错提醒】 1. 逻辑颠倒：将判定与性质混淆（如已知 AB=AC，需证∠B=∠C，却写 “∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）”），导致证明无效。 1. 中间步骤缺失：跳过 “平行线→角相等”“角平分线→角相等” 等关键推导（如直接说 “∠ADE=∠AED”，未提 DE∥BC），导致逻辑不连贯。 1. 隐含条件忽略：漏用 “三角形内角和 180°”“对顶角相等” 等隐含条件（如推导∠BDC=∠DBC 时，未用∠BDC=180°-∠DBC-∠C），导致推导中断。 【例题1】如图，等边的顶点A，B分别在x轴和y轴上，轴，点P为x上方的坐标平面内一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点P共有 个． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏掉任何一种情况是本题的关键．分类讨论根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】解：①等边三角形的外心（重心、垂心、内心重合）到三顶点距离相等，即，此时，，均为等腰三角形． ②以 A 为圆心、为半径的圆，与 的垂直平分线的交点有个； 在轴上方， 交点有个； 以 B 为圆心、为半径的圆，与 的垂直平分线的交点有2个； 以 C 为圆心、为半径的圆，与 的垂直平分线的交点有2个； 综上所述：符合条件的点P共有个． 故答案为：． 【变式训练1】在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等．在上述5个定理中，存在逆定理的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据命题，逆命题，定理，逆定理解答即可． 本题考查了命题，逆命题，熟练掌握判定真假命题是解题的关键． 【详解】解：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 如果三角形的一边的平方等于其余两边的平方和，则这个三角形是直角三角形， 正确，有逆定理； ②全等三角形的对应角相等； 其逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，假命题， 无逆定理； ③等腰三角形的两个底角相等； 两个角相等的三角形是等腰三角形，真命题，有逆定理； ④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 和线段的两个端点距离相等的点在这条相等的垂直平分线上，真命题，有逆定理； ⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等； 到角的两边距离相等的点在角的平分线上，真命题，有逆定理． 故选：C． 【变式训练2】如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)是等腰三角形，证明见解析 【分析】本题考查了作角平分线的尺规作图，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）以B为圆心，以任意长为半径画弧交AB、AC于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半为半径画弧，交于一点，过点B和这点作射线交AC于点D，即可作答； （2）先由等边对等角得出，再运用三角形内角和性质得，根据平分，得出，故，得出，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． 【变式训练3】如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形的外角的性质，作关于的对称点，连接，得出，，根据得出，根据三角形的外角的性质得出，即可得出，根据等角对等边得出，进而求得的长． 【详解】解：如图，作关于的对称点，连接， ∴ ∵于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 【拓展培优】 【典例1】如图，在等腰三角形中，，于点D，E为下方一点，且．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，作出线段的垂直平分线． (2)在图②中，作出的中线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）连接交于点，直线即为所求； （2）作直线交于点，连接交于点，连接，延长交于点，连接即可． 【详解】（1）解：如图①，直线即为所求． （2）解：如图②，线段即为所求． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称P为的关联点． (1)在中，的关联点是______； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当______时，；此时，______； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，； (2)30，15； (3)． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、坐标系中的对称 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合的思想解决问题是解答的关键． （1）连接，根据对称性可判断；连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，证明，可判断；连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，根据三角形的三边关系和直角三角形的边的关系可判断； （2）根据关联点的概念分三种情况解答即可． （3）根据关联点的概念分三种情况解答即可． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵A点与B点关于y轴对称，点在y轴上， ， ∴点是的关联点； 连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，如图， 则， ， 在与中， ， ， ， ∴点是的关联点； 连接，过点分别作x轴，y轴的垂线，如图， ， ， ∴点不是的关联点； 综上所述，的关联点是， 故答案为：； （2）解：， ， ， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在y轴线段上，，若，此时P与C重合，不合题意； 若，则点P在线段的垂直平分线上，若，此时P在外，不合题意； 若，， 在和中，， ， ， 设， ， ， ， ， ； 故答案为：30，15； （3）解：由题意知，的关联点P，满足或或， 若，则点P在线段的垂直平分线上，即点P在轴上； 若，则点P在线段的垂直平分线上； 若，则点P在以点A为圆心，长为半径的圆弧上， 设的中点为G，则，如图， 由图可知，当直线l在过点G且平行于x轴的直线与x轴之间时，直线l存在的关联点， ∴直线l为过点且与x轴平行的直线， 若直线l上存在的三个关联点， ∴m的取值范围是． 【典例2】如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是 ．    【答案】 或 【知识点】等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了等腰三角形的存在性，解决此题的关键是根据等腰三角形的性质分情况讨论；因为三角形的三条边中只要两条边相等就是等腰三角形，所以分三种情况讨论，得到答案即可； 【详解】解：点 为边 上一点，当 为等腰三角形时，如图，    ① 当 时， ， ② 当 时， ， ③当时，点P在的延长线上，此种情况舍去； 故答案为： 或 ． 【变式训练1】如图1，在中，，，平分．图形初探：当点D在的垂直平分线上时，连接，求的度数．小星同学认为点D在的平分线上，所以可以过点D作的垂线，分别交于点M，交的延长线于点N，如图2，则．由于点D在的垂直平分线上，则，可证．再利用三角形内角和求的度数，就能求出的度数；小光同学则在上取一点P，使，连接，如图3，可证，可以得到与之间的数量关系，再利用三角形内角和，从而求出的度数．老师认同了小星和小光的方法，并总结出这两名同学都是利用了是的平分线和点D在的垂直平分线上这两个条件构造全等三角形，从而求出的度数． 　　　 (1)请用小星同学或小光同学或自己的方法求的度数； (2)图形探索：如图4，当点D在的平分线上时，连接，过点B作交的延长线于点E，探究与之间的数量关系； (3)图形再研究：在（2）的条件下，如图5，连接，作交的延长线于点F，探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据小星和小光两位同学的思想，进行作答即可； （2）过点 D作于点 F，于点 G，于点 H，根据角平分线的性质定理和判定方法，得到平分，根据三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，推出，即可得出结论； （3）过点 E作于点 G，交的延长线于点 H，易得平分，平分，得到，证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：小星同学的方法： 如图1，过点D作的垂线，分别交于点M，交的延长线于点N． ∴． 又平分， ∴． ∵点 D在的垂直平分线上， ∴． ∴． ∴． ∴，即． ∵， ∴， 即． ∵， ∴． ∴． 小光同学的方法： 如图2，在上取点 P，使，连接． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵点 D在的垂直平分线上， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）如图，过点 D作于点 F，于点 G，于点 H． ∵平分，点 D在的平分线上， ∴，． ∴． 又， ∴平分． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴在中，． （3）如图，过点 E作于点 G，交的延长线于点 H． 由（2），知平分， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴，即平分． 又， ∴． ∵平分，，， ∴． ∴． 又， ∴平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴在中，． ∴． 【变式训练2】如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.2 D．5 【答案】B 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形 ．作辅助线，延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，再设，根据角度的关系以及边的关系判定与全等，由此可解 ． 【详解】解： 延长至点G，使得，连接，延长交的延长线于点H，如图， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：B ． 【变式训练3】如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与，边分别交于点E、点F，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、折叠问题 【分析】先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以哪两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①，②，③，然后分别利用角的关系得出答案即可． 本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的定义，折叠的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵中，，且是等腰三角形， ∴， ∴， 连接， 设，由对称性可知，， ∴， ∵， ∴， 分类如下： ①如图1，当时，， 由，得， 解得：． 此时． ②如图2，当时， 则， 故， 由得：， 解得， 此时． ③时， 则， 故， 由得 此方程无解． ∴不成立． 综上所述，°或． 故选：D． 【典例3】在平面直角坐标系中，，，且m，n满足 点C 在的垂直平分线上，连接． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图1，M 为的中点，与相交于点 P．求证：； (3)如图2，延长交x轴的负半轴于点 D，若，求的面积． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）非负性求出的值，进而得到两点的坐标即可； （2）连接，中垂线的性质，三线合一，推出，等角的余角相等，推出，即可得证； （3）过点C作轴于点 H，连接，证明，得到，根据中垂线的性质，三线合一推出为等腰直角三角形，进而求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴，； （2）连接． ∵点C 在的垂直平分线上， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∴． ∴； （3）过点C作轴于点 H，连接． ∵，， ∴， ∴， ∵点C 在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴平分． ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴的面积为． 【变式训练1】如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论③；根据题意可证，得到，，从而判断结论②；结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点作于点， 由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：B． 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，三线合一，掌握这些性质是解题的关键；根据等腰三角形的性质去判断即可． 【详解】解：在中，，D是中点， 则，，平分，， 而不一定成立， 即选项A、B、C都正确，不符合题意，选项D不正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ，， 又， ， ，， ， ， ， 故选：D． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：中，是的中点， ， 故选：B． 4．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况讨论． 先判断出的角是顶角，再根据等腰三角形的两底角相等解答． 【详解】解：若的角是底角，那么，不符合三角形内角和定理，故此情况舍去； 若的角是顶角，则底角度数为 ， 另外两个角的度数为和． 故选：C ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等边对等角 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 先根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出，再由角平分线求出，然后在中，由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的平分线， ∴， ∴， 故选：C． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的定义和性质．由等边对等角得出，再由三角形外角的定义和性质得出，最后再根据等边对等角即可得出答案． 【详解】解∶∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D 7．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 【答案】B 【知识点】两直线平行内错角相等、角平分线的性质定理、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质和角平分线的定义，掌握等量代换是解决本题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，从而可得，然后根据等量代换可得：的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的周长 ， 故选B． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．根据作图的过程可以判定是的角平分线；利用等角对等边可以证得的等腰三角形，由等腰三角形的“三线合一”的性质可以证明点在的中垂线上；根据点到的距离与相等；利用度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【详解】解：由作法得平分， ①正确； ∵， ∴，而平分， ∴， ∴， ∴②正确； 在 中，∵， ∴，又点到的距离与相等， ∴点到的距离是 1， ∴③正确； ∵， ， ∴， ④错误， 故选：C． 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 【答案】5 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵中，为斜边上的中线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：5． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，，则的度数是 ． 【答案】/65度 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边对等角 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【知识点】三角形三边关系的应用、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系， 连接，根据等腰三角形的性质得，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得即可得出答案. 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三线合一 【分析】连接，交于点，连接，利用垂直平分线的性质得到，再利用两点之间线段最短得到的和的最小值为的长，根据的面积计算出高，从而得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， ∵直线垂直平分， ∴ ， ∵两点之间线段最短， ∴的最小值为线段， ∵等腰中,点为的中点，，， ∴，， ∴， 即：，解得， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵，D为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，且，于点E，于点F．求证：． 【答案】见解析 【知识点】用HL证全等（HL）、角平分线的性质定理、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，解决本题的关键是证明与全等． 根据直角三角形的判断方法证明与全等，由此可得，再由等腰三角形的性质即可证明． 【详解】证明：∵平分，于点E，于点F， ∴， ∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点P，使点P到边的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、三线合一、画轴对称图形 【分析】本题考查作图－轴对称变换、角平分线的性质，熟练掌握轴对称的性质、角平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）延长交直线于点F，取的中点P，则点P即为所求． 【详解】（1）如图， 即为所求； （2）如图，延长交直线于点F，取的中点P， 则为等腰三角形， ∴为的平分线， ∴点P到边的距离相等， ∴点P即为所求． 16．（24-25七年级下·广东河源·期末）是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）证明，可得； （2）证明即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰直角三角形的边和角的特征，以及全等三角形的判定方法（如角角边等）是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 第四节 等腰三角形 01体系构建·思维可视 1 02核心突破·靶向攻坚 2 知识点1等腰三角形的定义 2 知识点2 等腰三角形的性质 2 知识点3 等腰三角形的判定 3 题型精讲1等边对等角 5 题型精讲2三线合一 6 题型精讲3根据等角对等边证明等腰三角形 7 题型精讲4根据等角对等边证明边相等 7 题型精讲5根据等角对等边求边长 8 题型精讲6含30度角的直角三角形 9 题型精讲7格点图中画等腰三角形 11 题型精讲8找出图中的等腰三角形 12 题型精讲9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 7 题型精讲10等腰三角形的性质和判定 8 03拓展培优 12 04课堂检测 19 知识思维导图 课程学习目标 1. 知识与技能：理解等腰三角形、等边三角形的概念；掌握等腰三角形“等边对等角”的性质与“等角对等边”的判定方法，熟记“三线合一”性质；掌握等边三角形的性质与判定，了解含30°角的直角三角形的边的性质，能规范书写推理过程。 2. 过程与方法：通过折叠、测量、推理等活动，经历“猜想—验证—归纳”的探究过程，深化对轴对称性质的应用，体会转化与数形结合思想，发展逻辑推理与几何直观能力。 3. 应用与素养：能运用等腰（等边）三角形的性质与判定解决边、角计算及证明问题，建立几何模型意识，契合中考对几何推理及综合应用的考查要求。 【新知学习】 【知识点1】等腰三角形的定义 定义：有两条边相等的三角形叫做 。 ·相等的两条边称为 ，第三边称为 ， ·两腰的 称为项角，腰与低边的夹角称为 边学边练一个等腰三角形的底角为，则这个三角形的顶角为 ． 【知识点2】等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角 (简写为“等边对等角”)。 符号表示：若△ABC中，AB=AC，则∠B=∠C。 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相 (简称“三线合一”)。 轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为 （或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 等腰三角形的其他性质： （1） 等腰三角形两腰上的中线、高分别 . （2） 等腰三角形两底角的平分线 （3） 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和 一腰上的高. （4） 当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边 ，两个锐角都是45°. 边学边练如图，，于，，则的长度为 ． 【知识点3】等腰三角形的判定 1. 定义法：有两边相等的三角形是 ； 2. 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也 （简写成“等角对等边”）. 数学语言：在△ABC中，：B=C，：AB=AC（等角对等边）. 边学边练已知在中，． (1)的长可以是10吗？并说明理由． (2)若是等腰三角形，求的周长． 题型精讲 题型精讲1题型精讲1等边对等角 一、题型特征 题目围绕等腰三角形 “等边对等角”（即等腰三角形中，相等的两条边所对的角相等）的核心性质展开，常给出等腰三角形的腰长或底边，结合三角形内角和、邻补角等知识，考查角的度数计算，多以选择题、填空题、计算题形式出现，偶尔涉及简单角度关系证明。 二、解题核心步骤 1. 定等腰：先明确等腰三角形的腰和底（如题目给出 “△ABC 中，AB=AC”，则腰为 AB、AC，底为 BC；若未明确，需结合图形标注或已知条件判断）。 1. 找对应角：根据 “等边对等角”，确定相等边所对的角（如 AB=AC，AB 对∠C，AC 对∠B，则∠B=∠C）。 1. 算角度：结合三角形内角和为 180° 或邻补角为 180° 计算未知角。例：△ABC 中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=∠C=(180°-80°)÷2=50°；若已知∠B=50°，则∠C=50°，∠A=180°-50°×2=80°。 1. 验合理性：若计算出的角存在 “大于等于 180°” 的情况，需排除（如等腰三角形中，若一个角为 100°，则该角必为顶角，底角为 40°，不可为底角，否则两角和超过 180°）。 【易错提醒】 1. 混淆 “边对的角”：误将腰对应的角当成顶角（如 AB=AC，误认为 AB 对∠A），导致对应角判断错误，角度计算偏差。 1. 忽略 “多解情况”：已知等腰三角形一个角的度数（未明确是顶角还是底角）时，未考虑两种可能（如已知角为 50°，可能是顶角或底角），漏算一种结果。 【例题1】如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】如果等腰三角形的顶角等于，那么它的底角为 ． 【变式训练2】已知等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 【变式训练3】如图，在中，，在上取一点，使得，连接，作的垂直平分线交于点． (1)补全图形（尺规作图，保留作图痕迹）； (2)设，则___________（用含有的代数式表示），则与满足的等量关系是___________． 题型精讲2三线合一 一、题型特征 题目考查等腰三角形 “三线合一”（即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）的性质，常结合图形给出其中一条线（如中线、高），要求证明另外两条线的性质（如角平分线、垂直关系），或利用该性质计算线段长度、角度，多以证明题、计算题形式出现，需明确 “三线” 的对应关系。 二、解题核心步骤 1. 定等腰与 “三线” 基础：先确定等腰三角形（如△ABC 中，AB=AC）及已知的 “一线”（如 AD 是 BC 边上的中线，即 BD=CD）。 1. 用 “三线合一” 推导： 1. 若已知 “中线”：AB=AC，AD 是 BC 中线，则 AD⊥BC（底边上的高），AD 平分∠BAC（顶角平分线），即∠BAD=∠CAD。 1. 若已知 “高”：AB=AC，AD⊥BC，则 AD 是 BC 中线（BD=CD），AD 平分∠BAC（∠BAD=∠CAD）。 1. 若已知 “角平分线”：AB=AC，AD 平分∠BAC，则 AD 是 BC 中线（BD=CD），AD⊥BC。 6. 解问题：结合推导结果计算（如已知 AB=5，AD=3，AD 是 BC 高，由 “三线合一” 知 BD=CD，用勾股定理得 BD=√(AB²-AD²)=4，故 BC=8）或证明（如证 AD⊥BC）。 【易错提醒】 1. 混淆 “底边” 与 “腰”：“三线合一” 中的 “线” 均针对 “底边” 和 “顶角”，如 AB=AC 中，仅针对底边 BC 和顶角∠BAC，若误将腰 AB 当作底边，推导其 “三线” 关系，会出现逻辑错误。 1. 误用 “三线合一” 到非等腰三角形：如普通三角形中，某边上的中线不等于高或角平分线，却强行用 “三线合一”，导致结论错误。 【例题1】如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，工人师傅在焊接立柱时，只用找到的中点D，就可以说明竖梁垂直于横梁了，工人师傅这种操作方法的依据是（    ） A．等边对等角 B．中垂线的性质定理 C．角平分线的性质定理 D．等腰三角形的“三线合一” 【变式训练1】如图，在中，，为的角平分线，若，则的长为 ． 【变式训练2】如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】如图，在中，，是边上的高．线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． (1)试问：线段与的长相等吗？请说明理由； (2)求的度数． 题型精讲3根据等角对等边证明等腰三角形 一、题型特征 题目需运用 “等角对等边”（即同一个三角形中，相等的两个角所对的边相等）的判定定理，证明某三角形为等腰三角形，常给出三角形的两个角相等（或可推导两角相等），结合角的关系（如角平分线、对顶角、平行线性质），以证明题形式出现，是等腰三角形判定的核心题型。 二、解题核心步骤 1. 找等角：从题目中提取或推导相等的角（如已知 “AD 平分∠BAC，AD∥BC”，则∠BAD=∠CAD，∠BAD=∠B（平行线内错角），故∠B=∠CAD=∠BAD）。 1. 定对应边：根据 “等角对等边”，确定相等角所对的边（如△ABC 中，∠B=∠C，∠B 对 AC，∠C 对 AB，则 AB=AC）。 1. 写证明：规范书写证明过程，先推导等角，再用定理得等边，最后下结论（如 “∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边），∴△ABC 为等腰三角形”）。 【易错提醒】 1. 跨三角形找等角：在两个不同三角形中找相等的角，再试图用 “等角对等边” 证明某一个三角形为等腰，忽略 “同一三角形” 的前提，逻辑无效。 1. 未完整推导等角：直接给出 “∠B=∠C”，未注明推导依据（如 “由平行线性质得”“由角平分线定义得”），导致证明过程不严谨。 【例题1】如图，小红用尺规作出一个等腰三角形，其判定依据是“等腰三角形的定义”，请你再用两种不同方法尺规作出等腰三角形，并分别写出判定依据（保留作图痕迹，无需写出作法）． 【变式训练1】如图所示，在中，，是延长线上一点，点E在上，且．求证：． 【变式训练2】下列命题：①成轴对称的两个三角形全等；②面积相等的两个三角形全等；③有两个内角相等的三角形是等腰三角形；④角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线，其中真命题的个数为 【变式训练3】如图，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠． (1)图2中，若，则______°； (2)图2中重叠部分的是等腰三角形吗？证明你的结论． 题型精讲4根据等角对等边证明边相等 一、题型特征 题目需通过 “等角对等边” 定理，直接证明三角形中的两条边相等，常结合角平分线、平行线、全等三角形性质等推导相等的角，再转化为边相等，多以证明题形式出现，是 “角的关系” 转化为 “边的关系” 的关键题型。 二、解题核心步骤 1. 定目标边：明确需证明相等的两条边（如证 “AB=AC”“BD=CD”），并确定它们所在的三角形（如 AB、AC 在△ABC 中，BD、CD 在△BDC 中）。 1. 推等角：推导目标边所在三角形中，两条边所对的角相等（如证 AB=AC，需推∠B=∠C；证 BD=CD，需推∠DBC=∠DCB）。推导依据可结合已知条件（如 “∠1=∠2（角平分线），∠1=∠3（对顶角），故∠2=∠3”）。 1. 证等边：根据 “等角对等边”，得出目标边相等（如 “∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）”）。 【易错提醒】 1. 目标边与等角对应错误：如证 AB=AC，误推导∠A=∠B，再用 “等角对等边”，导致对应关系混乱，无法证明。 1. 忽略 “边在同一三角形”：需证明的两条边若不在同一个三角形中，不可直接用 “等角对等边”，需先通过全等、平移等转化到同一三角形，再应用定理。 【例题1】如图，在中，，点为上一点，连接，且，若的周长为，则的周长为 ． 【变式训练1】如图，在中，，点E为上一点，连接，且．若的周长为，则的周长为 ． 【变式训练2】如图，，，图中共有全等三角形 对． 【变式训练3】如图，是的高线，，若，，求的长． 题型精讲5根据等角对等边求边长 一、题型特征 题目需先通过 “等角对等边” 判定三角形为等腰三角形，确定相等的边，再结合三角形三边关系、已知边长，计算未知边的长度，多以选择题、填空题、计算题形式出现，需兼顾 “等角对等边” 的判定与边长合理性验证。 二、解题核心步骤 1. 推等角，定等腰：根据已知条件推导相等的角（如 “△ABC 中，∠A=∠B=50°”），由 “等角对等边” 得相等的边（∠A=∠B，∠A 对 BC，∠B 对 AC，故 BC=AC），确定等腰三角形的腰和底（如腰为 BC、AC，底为 AB）。 1. 用已知边长算未知边： 7. 若已知腰长：如 BC=AC=4，求周长，则需先确定底边长（若未直接给出，需结合其他条件，如 AB=3，则周长 = 4+4+3=11）。 7. 若已知底边长：如 AB=5，求腰长（若未直接给出，需结合角度或其他线段关系，如高 AD=3，由 “三线合一” 得 BD=2.5，勾股定理得 AC=√(AD²+CD²)=√(9+6.25)=√15.25≈3.9）。 15. 验三边关系：计算后需验证 “任意两边之和大于第三边”（如腰为 2，底为 5，2+2<5，不符合，需排除该情况）。 【易错提醒】 1. 未验证三边关系：仅通过 “等角对等边” 确定腰和底，直接计算边长，忽略 “两边之和大于第三边”，导致结果不符合三角形存在条件。 1. 角度与边对应错误：推导等角后，找错对应边（如∠A=∠C，误认为∠A 对 AB，∠C 对 BC），导致腰和底判断错误，边长计算偏差。 【例题1】如图，在中，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．3 D．5 【变式训练1】如图，中，平分交于点 D，，，则的长为 ． 【变式训练2】如图，在中，、的平分线交于O点，过O点作交、于点E、F．当，时，的长为 ． 【变式训练3】如图，已知，平分，将直角尺如图所示摆放，使边在上，边与交于点P，与交于点Q，则的长度为 ． 题型精讲6含30度角的直角三角形 一、题型特征 题目围绕 “含 30° 角的直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半” 的特殊性质展开，常给出直角三角形的一个锐角为 30°（或可推导为 30°），结合勾股定理、直角三角形性质，考查斜边或直角边的长度计算，多以选择题、填空题、计算题形式出现，偶尔涉及性质证明。 二、解题核心步骤 1. 定直角与 30° 角：明确直角三角形（如△ABC 中，∠C=90°）及 30° 角的位置（如∠A=30°）。 1. 用性质推导边长： 9. 若已知斜边：30° 角所对的直角边 = 斜边 ÷2（如∠A=30°，对边为 BC，斜边 AB=6，则 BC=6÷2=3）。 9. 若已知 30° 角对的直角边：斜边 = 该直角边 ×2（如 BC=4，∠A=30°，则 AB=4×2=8），再用勾股定理求另一条直角边（AC=√(AB²-BC²)=√(64-16)=√48=4√3）。 18. 验性质适用条件：确认三角形为 “直角三角形 + 含 30° 角”，缺一不可（如非直角三角形中，30° 角对的边不等于任意边的一半）。 【易错提醒】 1. 混淆 “30° 角对的直角边”：误将 30° 角相邻的直角边当作 “对边”，用斜边一半计算（如∠A=30°，误将 AC 当作对边，计算 AC=AB÷2），导致边长错误。 1. 忽略 “直角” 前提：在非直角三角形中，看到 30° 角就套用 “对边 = 斜边一半”，如锐角三角形中∠A=30°，误将 BC=AB÷2，逻辑错误。 【例题1】中，，，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】在中，2.5，则的度数为 ． 【变式训练2】如图，在中，若，，则 ． 【变式训练3】如图，，为角平分线上一点，，若，，则 ． 题型精讲7格点图中画等腰三角形 一、题型特征 题目给出正方形格点图（如 3×3、4×4 格点），要求在格点上确定三个顶点，画出等腰三角形，常限定 “其中两个顶点固定”“腰长为某个值” 或 “底边在某条线上”，以作图题形式出现，需结合格点边长（通常设为 1）和等腰三角形定义（两边相等）分析。 二、解题核心步骤 1. 定已知条件：明确固定顶点（如 A (1,1)、B (3,1)）、格点边长（设为 1）及其他限定（如 “第三个顶点 C 在格点上”“AB 为腰”）。 1. 分情况画图： 11. 情况一：AB 为腰，以 A 为圆心、AB 长为半径画弧，弧与格点的交点即为 C（如 AB 长为 2，以 A (1,1) 为圆心画弧，格点交点可能为 (1,3)、(3,-1) 等），连接 A、B、C 得等腰△ABC（AB=AC）。 11. 情况二：AB 为腰，以 B 为圆心、AB 长为半径画弧，弧与格点的交点即为 C（如 (5,1)、(3,3) 等），连接得△ABC（AB=BC）。 11. 情况三：AB 为底，作 AB 的垂直平分线，垂直平分线上的格点即为 C（如 AB 中点为 (2,1)，垂直平分线为 x=2，格点 (2,2)、(2,0) 等），连接得△ABC（AC=BC）。 21. 标顶点与验证：在格点图中标出三个顶点，验证两边相等（如 AC=AB=2），确保顶点均在格点上。 【易错提醒】 1. 漏画情况：仅考虑 “AB 为腰” 的一种情况（如仅以 A 为圆心画弧），忽略 “以 B 为圆心” 或 “AB 为底” 的情况，导致作图不完整。 1. 计算边长错误：格点中边长需用勾股定理计算（如斜向格点距离：A (1,1) 到 C (2,3)，边长为√[(2-1)²+(3-1)²]=√5），误将横向 / 纵向格点数当作边长，导致腰长不符合要求。 【例题1】在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【变式训练1】图1、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均落在格点上，在图1、图2给定的网格中按要求作图． 要求：只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出作法． (1)在图1中的格点上确定一点P，画一个以为腰的等腰． (2)在图2中的格点上确定一点P，画一个以为底的等腰． 【变式训练2】如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练3】在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 题型精讲8找出图中的等腰三角形 一、题型特征 题目给出复杂图形（如含多个三角形、角平分线、平行线、垂直关系的图形），要求找出其中所有的等腰三角形，常结合等腰三角形的定义（两边相等）、性质（等边对等角）和判定（等角对等边），以填空题、解答题形式出现，需逐一分析图形中的三角形。 二、解题核心步骤 1. 拆图形：将复杂图形拆分为单个或多个独立的三角形（如△ABC、△ABD、△BCD 等），避免遗漏。 1. 判等腰：对每个三角形，结合已知条件判断： 13. 用定义：看是否有两条边相等（如已知 AB=AC，AD=AE，则△ABC、△ADE 为等腰三角形）。 13. 用性质 / 判定：看是否有两个角相等（如∠B=∠C，则△ABC 为等腰；∠ADB=∠ABD，则△ABD 为等腰）。 13. 结合特殊关系：如角平分线 + 平行线（AD 平分∠BAC，AD∥BC，得∠B=∠BAD，故△ABD 为等腰）、垂直平分线（点 C 在 AB 垂直平分线上，得 AC=BC，△ABC 为等腰）。 24. 列结果：将所有判定为等腰的三角形逐一列出（如 “等腰三角形有△ABC、△ABD、△ADE”），避免重复或遗漏。 【易错提醒】 1. 遗漏小三角形：仅关注大三角形（如△ABC），忽略图形中的小三角形（如△ABD、△CDE），导致漏找。 1. 未结合图形关系推导：仅看直接给出的边相等，忽略 “角平分线、平行线” 等隐含条件可推导的等角，进而漏判等腰三角形（如未发现 AD∥BC 可推∠B=∠BAD，漏判△ABD 为等腰）。 【例题1】如图，在中，于点是上一点，． (1)图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形． (2)找出图中所有的直角三角形和等腰三角形． 【变式训练1】如图，在中，点D，E在边和边上，且． (1)图中共有 个三角形，写出以点 C为顶点的三角形； (2)找出图中所有的等腰三角形． 【变式训练2】如图，平分，点E在上，且；找出图形中的等腰三角形，并加以证明． 【变式训练3】有两个三角形，它们的三个角分别为：①；②．怎样把它们分别分成两个等腰三角形？画出图形试试看． 题型精讲9求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 一、题型特征 题目给出平面内两个固定点（如 A、B），要求找出平面内所有满足 “与 A、B 构成等腰三角形” 的点 P（常限定 “P 在某条直线上”“P 在格点上” 或 “P 在坐标轴上”），需分 “PA=AB”“PB=AB”“PA=PB” 三种情况分析，以解答题形式出现，考查分类讨论思想与等腰三角形定义的结合应用。 二、解题核心步骤 1. 定已知条件：明确固定点坐标或位置（如 A (0,0)、B (2,0)）、限定范围（如 “P 在 x 轴上”“P 在平面内”），计算 AB 的长度（如 AB=2，用两点间距离公式：√[(2-0)²+(0-0)²]=2）。 2. 分三类找 P 点： 15. 类 1：PA=AB（以 A 为圆心，AB 长为半径画圆）： 以 A 为圆心、AB 长（2）为半径画圆，圆与限定范围的交点即为 P。例：若 P 在 x 轴上，圆的方程为 x²+y²=4，令 y=0，得 x=±2，其中 x=2 对应点 B（舍去，三点需不共线构成三角形），故 P (-2,0)。 15. 类 2：PB=AB（以 B 为圆心，AB 长为半径画圆）： 以 B 为圆心、AB 长（2）为半径画圆，圆的方程为 (x-2)²+y²=4，与限定范围的交点即为 P。例：若 P 在 x 轴上，令 y=0，得 x=0（对应点 A，舍去）或 x=4，故 P (4,0)。 15. 类 3：PA=PB（作 AB 的垂直平分线）： AB 的中点为 (1,0)，AB 平行于 x 轴，故垂直平分线为 x=1（垂直于 AB 且过中点）。垂直平分线上的所有点均满足 PA=PB，若限定 P 在 x 轴上，垂直平分线 x=1 与 x 轴交点为 (1,0)，但此时 A、B、P 共线（y=0），无法构成三角形，故该情况在 x 轴上无符合条件的 P；若不限定在 x 轴上，x=1 上所有非 (1,0) 的点（如 (1,1)、(1,2)）均为 P。 3.汇总结果：结合限定范围，整理所有符合条件的 P 点（如 P 在 x 轴上时，P (-2,0)、(4,0)）。 【易错提醒】 1. 漏舍共线点：未排除 A、B、P 三点共线的情况（如类 3 中 x=1 与 x 轴交点 (1,0)），导致求出的 “点” 无法构成三角形。 1. 限定范围遗漏：忽略 “P 在某条直线 / 格点上” 的限定，直接求平面内所有 P 点，导致答案超出题目要求；或仅考虑部分范围（如仅 x 轴正半轴），漏算符合条件的点。 1. 分类不完整：仅考虑 “PA=AB”“PB=AB” 两类，漏算 “PA=PB”（垂直平分线）的情况，导致 P 点找不全。 【例题1】如图，以点A，B为顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作 个． 【变式训练1】如图，小明将一根笔直的铁丝放置在数轴上，点，对应的数分别为，5，从点，两处将铁丝弯曲两头对接，围成等腰，若点对应的数为，则点在数轴上对应的数可能为多少？ 甲认为答案是1； 乙认为甲的答案不全，还可能是2； 丙认为除了甲、乙的答案外，还可能是1.5； 丁认为除了甲、乙、丙的答案以外还有其他可能． 四个同学谁的说法正确？（） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练2】在直角坐标系中，O为坐标原点，已知，在y轴上确定点P，使得为等腰三角形，则符合条件的P点共有（   ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 题型精讲10等腰三角形的性质和判定 一、题型特征 题目需同时运用等腰三角形的性质（等边对等角、三线合一）和判定（等角对等边、两边相等定义），形成 “判定→性质→再判定” 或 “性质→判定→再性质” 的逻辑链，常结合复杂图形（含多个等腰三角形、全等三角形、平行线、角平分线），考查边 / 角关系证明、长度计算、角度推导，多以中档或压轴证明题、计算题形式出现，是等腰三角形知识的综合应用核心题型。 二、解题核心步骤 1. 第一步：判断切入方式（性质或判定）： 18. 若已知 “边相等”（如 AB=AC），先用性质推导 “角相等”（∠B=∠C，等边对等角），为后续证明铺垫； 18. 若已知 “角相等”（如∠B=∠C），先用判定推导 “边相等”（AB=AC，等角对等边），建立边的关系。 26. 第二步：结合图形推导中间结论： 18. 含平行线：如 DE∥BC，由平行线性质得∠ADE=∠B、∠AED=∠C，结合第一步 “∠B=∠C”，得∠ADE=∠AED，再用判定得 AD=AE（等角对等边）； 18. 含角平分线：如 BD 平分∠ABC，得∠ABD=∠DBC，结合 “∠B=∠C”，推导∠BDC=∠DBC（三角形内角和），再用判定得 BD=BC（等角对等边）； 18. 含三线合一：如 AB=AC，AD⊥BC，由性质得 BD=CD、∠BAD=∠CAD，为后续全等（如△ABD≌△ACD）或边长计算提供条件。 27. 第三步：解决最终问题： 18. 证明边相等：如由 AB=AC、AD=AE，得 AB-AD=AC-AE，即 BD=CE； 18. 计算边长：如已知 AB=5、AD=3（AD=AE），得 BE=AB-AE=2； 18. 证明角相等：如由 BD=BC，得∠BDC=∠C，结合 “∠B=∠C”，得∠BDC=∠B。 28. 第四步：规范书写逻辑链： 按 “已知→判定 / 性质→中间结论→判定 / 性质→最终结论” 书写，每步标注依据（如 “∵AB=AC，∴∠B=∠C（等边对等角）”）。 【易错提醒】 1. 逻辑颠倒：将判定与性质混淆（如已知 AB=AC，需证∠B=∠C，却写 “∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）”），导致证明无效。 1. 中间步骤缺失：跳过 “平行线→角相等”“角平分线→角相等” 等关键推导（如直接说 “∠ADE=∠AED”，未提 DE∥BC），导致逻辑不连贯。 1. 隐含条件忽略：漏用 “三角形内角和 180°”“对顶角相等” 等隐含条件（如推导∠BDC=∠DBC 时，未用∠BDC=180°-∠DBC-∠C），导致推导中断。 【例题1】如图，等边的顶点A，B分别在x轴和y轴上，轴，点P为x上方的坐标平面内一点，使得，，都是等腰三角形，则这样的点P共有 个． 【变式训练1】在《三角形的证明》一章中，我们学习了很多定理，如：①直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的距离相等．在上述5个定理中，存在逆定理的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练2】如图，是等腰三角形，，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）． (2)判断是否为等腰三角形，并说明理由． 【变式训练3】如图，在中，于点，，，，则的长度为（   ） A．8 B．10 C．11 D．13 【拓展培优】 【典例1】如图，在等腰三角形中，，于点D，E为下方一点，且．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图①中，作出线段的垂直平分线． (2)在图②中，作出的中线． 【变式训练1】如图，在平面直角坐标系中，点，给出如下定义：若P为内（不含边界）一点，且与的一条边相等，则称P为的关联点． (1)在中，的关联点是______； (2)如图2，若P为内一点，且P为的关联点，当______时，；此时，______； (3)直线l为过点，且与x轴平行的直线，若直线l上存在的三个关联点，直接写出m的取值范围． 【典例2】如图，在平行四边形 中， ，点 为边 上一点，当 为等腰三角形时， 的度数是 ．    【变式训练1】如图1，在中，，，平分．图形初探：当点D在的垂直平分线上时，连接，求的度数．小星同学认为点D在的平分线上，所以可以过点D作的垂线，分别交于点M，交的延长线于点N，如图2，则．由于点D在的垂直平分线上，则，可证．再利用三角形内角和求的度数，就能求出的度数；小光同学则在上取一点P，使，连接，如图3，可证，可以得到与之间的数量关系，再利用三角形内角和，从而求出的度数．老师认同了小星和小光的方法，并总结出这两名同学都是利用了是的平分线和点D在的垂直平分线上这两个条件构造全等三角形，从而求出的度数． 　　　 (1)请用小星同学或小光同学或自己的方法求的度数； (2)图形探索：如图4，当点D在的平分线上时，连接，过点B作交的延长线于点E，探究与之间的数量关系； (3)图形再研究：在（2）的条件下，如图5，连接，作交的延长线于点F，探究与之间的数量关系． 【变式训练2】如图，在中，，点D在边上，，点E在边上，，过点E作交于点F，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.2 D．5 【变式训练3】如图，在中，，，将沿折叠，使点A落在直角边上的D点处，设与，边分别交于点E、点F，如果折叠后与均为等腰三角形，则的度数为（　　）度． A．30 B．45 C．60 D．30或45 【典例3】在平面直角坐标系中，，，且m，n满足 点C 在的垂直平分线上，连接． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)如图1，M 为的中点，与相交于点 P．求证：； (3)如图2，延长交x轴的负半轴于点 D，若，求的面积． 【变式训练1】如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确结论的个数是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【课堂检测】 （建议时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，中，，D是中点，下列结论中不正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，为内一点，连接且平分，过点作，交于点，．若，，则的长为（   ） A．3 B．1 C．2 D． 3．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 4．（24-25八年级上·宁夏吴忠·期末）等腰三角形的一个角是，则它的另外两个角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，分别是的平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，中，平分平分经过点O，与相交于点M，N，且，已知，则的周长为（    ） A．6 B．7 C． D． 8．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，并延长交于点，则下列说法：①平分；②；③若、则点D到的距离是1；，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．（24-25八年级上·江苏·期末）如图，在中，为斜边上的中线，若，则 ． 10．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，，，则的度数是 ． 11．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 12．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰中，，垂直平分，为的中点，E为上一动点．若，等腰的面积为8，则的最小值为 ． 三、解答题 13．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，平分，且，于点E，于点F．求证：． 15．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，在正方形网格中，已知的三个顶点都在格点上． (1)画出关于直线的轴对称图形； (2)在直线上找一点P，使点P到边的距离相等． 16．（24-25七年级下·广东河源·期末）是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为．    (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $