专题15.3等腰三角形（知识点总结+13大题型举一反三+同步练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3等腰三角形 【题型1】等腰三角形的角度求解（等边对等角） 1.核心知识点总结 等边对等角：同一三角形中，若，则。 三角形内角和：；三角形外角性质：外角=不相邻两内角和。 2.高频考点梳理 已知顶角求底角：底角。 已知底角求顶角：顶角。 已知一个锐角，求另外两个角(分类讨论该角为顶角或底角)。 3.易错点警示 已知角为锐角时未分类，漏解一种情况。 钝角或直角只能是顶角(底角若为钝角/直角，两底角和，矛盾)，忽略此隐含条件。 不同三角形中的“等边”误用“对等角”。 4.解题技巧拆解 第一步：判断已知角类型(钝角/直角→必为顶角；锐角→分顶角、底角两类)。 第二步：利用“等边对等角”和内角和定理计算。 第三步：验证角度和是否为，排除矛盾解。 【例题1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点在直线上，且，连接，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】解：①当点D在的延长线上时， ∵， ∴． ∵， ∴， ②当点D在的延长线上时， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在等腰中，，中线与角平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 根据等腰三角形的性质可得，根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在中，是中线， ， ， ∵是角平分线，， ， ， ， 故选：B． 【变式题1-2】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，连接，设，交于点，根据题意得出，设，则，进而得出 ，根据得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设，交于点 ∵， ∴， ∵直线，分别是、的垂直平分线 ∴ ∴ ∴ ∴，即 设，则 ∴，则 ∴ 又∵ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分当顶角为时，当为底角时两种情况分析即可，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】解：当顶角为时， 则它的底角度数为； 当底角为时，其底角为， ∴它的底角度数为或， 故选：． 【题型2】等腰三角形的边长与周长计算 1.核心知识点总结 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形（相等的边为腰，第三边为底）。 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.高频考点梳理 已知等腰三角形两边长，求周长（需分类讨论腰和底）。 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长。 结合实际情境（如折叠、裁剪）求边长或周长。 3.易错点警示 忽略三边关系验证，导致出现“两边之和等于第三边”的无效解。 未分类讨论（已知边不确定是腰还是底时漏解）。 4.解题技巧拆解 第一步：明确分类标准（已知边为“腰”或“底”）。 第二步：按分类计算另外两边长度。 第三步：验证每类解是否满足三边关系，排除无效解。 示例：已知两边为2和4，分类①腰=2、底=4（，无效）；②腰=4、底=2（，有效），周长。 【例题2】．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）已知是的三边长，，设的长度是． (1)求的取值范围． (2)若三角形的周长是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和三角形三边关系，求出c的取值范围是解题的关键． （1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围； （2）先确定周长范围，利用等腰三角形的判定方法得出即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即， （2）解：是等腰三角形，理由如下： 设三角形周长为， 则 即的取值范围为 ∵是小于9的整数， ∴或， 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 当时，， ∴， ∴是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【变式题2-1】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定等知识，根据题意添加辅助线，构造等腰三角形是解题关键．在上取点E，使，分别证明，，即可求出，则﹒ 【详解】解：如图，在上取点E，使， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为20， ∴﹒ 故答案为：8 【变式题2-2】．（17-18八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质并结合角平分线的定义得出，即可得证； （2）由（1）知，，再证明得出，最后求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：由（1）知，． ∵点F是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，及平行线的性质，由为角平分线，得到一对角相等，再由平行于，利用两直线平行内错角相等，得到一对角相等，等量代换可得出，利用等角对等边得到，同理得到，而三角形的周长等于三边相加，即，其中，，等量代换后可得出三角形的周长等于三角形的周长与的和，即等于两三角形的周长之差，将两三角形的周长代入，即可求出的长． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ， 同理可得， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3】等腰三角形“三线合一”的基础应用 1.核心知识点总结 三线合一：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 符号语言：若，平分，则且(反之亦然)。 2.高频考点梳理 利用三线合一求线段长度(如)、角度(如)。 利用三线合一证明垂直、平分关系。 结合角平分线、中线、高的定义综合应用。 3.易错点警示 忽略“等腰三角形”前提，对非等腰三角形误用三线合一。 混淆“底边上”与“腰上”的三线(腰上的中线、高、角平分线不一定重合)。 4.解题技巧拆解 遇等腰三角形求线段/角相等、垂直，优先标注“三线”中的一个条件。 作辅助线：等腰三角形中，遇底边中点、顶角平分线、底边上的高，可直接关联另外两个性质。 示例：等腰中，，是中点→且平分。 【例题3】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质. （1）根据等腰三角形的性质可得，再由为的中点，可得平分，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵为的中点， ∴平分， ∴， 故度数为． （2）解∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，先证明，求解，再进一步求解可得答案. 【详解】解：∵，于点， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴，， ∴，. 故选：B． 【变式题3-2】．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识的应用是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，由等腰三角形的性质推出，，由三角形的外角性质得到，由直角三角形的性质求出，即可得到的度数； （2）由（1）知，，得到，因此，求出，得到，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， ∴， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-3】．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质． （1）根据垂直平分线的性质得到，由的周长为即可解答； （2）先证明，推出，求出，再根据等腰三角形三线合一求出，由即可解答． 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为； （2）解：∵、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【题型4】等角对等边的判定应用 1.核心知识点总结 等角对等边：同一三角形中，若，则。 辅助条件：平行线性质(同位角/内错角相等)、角平分线性质(角相等)。 2.高频考点梳理 利用角度相等判定等腰三角形。 结合平行线、角平分线证明边相等。 与等腰三角形性质(等边对等角)综合应用(性质→判定→性质)。 3.易错点警示 不同三角形中的角相等，误用“等角对等边”。 未证明“在同一三角形中”，直接得出边相等。 4.解题技巧拆解 第一步：证明角相等(利用平行线、角平分线、全等、三角形内角和等)。 第二步：强调角在“同一三角形中”，应用“等角对等边”得出边相等。 示例：平分，→→(等角对等边)。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质．通过证明，由等角对等边求得，据此求解即可． 【详解】证明：在和中，   ， ∴， ∴的周长等于的周长， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴的周长， ∴的周长为14． 故答案为：14． 【变式题4-1】．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 【变式题4-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线的定义及平行线的性质可得，即得，同理得到，进而由得到，即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， 故选：． 【变式题4-3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 【题型5】等边三角形的性质基础应用 1.核心知识点总结 等边三角形定义：三边相等的三角形(又称正三角形)。 性质：三角均为；三线合一(每条边的中线、高、对角平分线重合)；有三条对称轴。 2.高频考点梳理 求等边三角形的边长、周长、高(高，为边长)。 利用角计算角度、证明角相等。 等边三角形与等腰三角形的关系(等边是特殊等腰)。 3.易错点警示 混淆等边三角形与等腰三角形的性质(如等边三角形的高是边长的，等腰三角形无此固定关系)。 高的计算错误(忘记乘以)。 4.解题技巧拆解 遇等边三角形，直接标注三边相等、三角。 求高时，利用含的直角三角形(等边三角形的高将其分为两个的直角三角形)。 示例：等边边长为4→高，。 【例题5】．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，将一个等边三角形沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、平移的性质，令与交于点，由等边三角形的性质可得，，由平移的性质可得，，从而得出，为等边三角形，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，令与交于点， ， ∵为等边三角形， ∴，， ∵将一个等边三角形沿向右平移后得到， ∴，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴两个三角形重叠部分的周长为， 故答案为：． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在中，，，，则的周长为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． 根据等边三角形的判定与性质即可得． 【详解】解：在中，，， 是等边三角形， ， ， 的周长为， 故答案为：9． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知，如图，是等边三角形，D是的中点，，，垂足分别是E、F． (1)求证：． (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，含直角三角形的性质，理解相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的性质可知，，，结合题意可知，，进而可证明，得，再结合线段的和差关系即可证明结论； （2）由等边三角形的性质，结合题意可知，在根据含直角三角形的性质可知，进而可得，即可求得的周长． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点是边上的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∴． （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，则， ∴， ∵点是边上的中点， ∴， 则的周长． 【变式题5-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 将绕点逆时针旋转，得到相等的角和线段，得出，得出相等的线段，然后利用等量代换可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转， ∵是等腰三角形，， ∴与重合，， ∴， ∴，，， ∵是边长为3的等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：A． 【题型6】等腰三角形的分类讨论(提升) 1.核心知识点总结 等腰三角形的不确定性：腰与底、顶角与底角、点的位置(线段上/延长线上)。 约束条件：三角形三边关系、内角和、外角性质。 2.高频考点梳理 已知一个角，求所有可能的顶角/底角。 已知两边，求所有可能的周长。 动点在射线/直线上，探究等腰三角形的存在性(分类讨论动点位置)。 3.易错点警示 分类不全(如漏“已知角为底角”的情况、漏动点在延长线上的情况)。 未验证约束条件(如三边关系、内角和)，导致增解。 4.解题技巧拆解 建立分类标准，避免重复或遗漏： 角度分类：“已知角=顶角”“已知角=底角”。 边长分类：“已知边=腰”“已知边=底”。 动点分类：“动点在线段上”“动点在延长线上”“动点在延长线上”。 每类解后，验证是否满足三边关系、内角和等约束条件。 【例题6】．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，及三角形内角和定理，不确定的角是等腰三角形的底角还是顶角，则分两种情况分析；等腰三角形的底角是，两个底角都是，结合三角形内角和是计算顶角的度数；另一种情况是就是顶角的度数． 【详解】解：（1）是等腰三角形的底角时，顶角的度数为； （2）就是顶角的度数． 综上，这个等腰三角形的顶角是或． 故答案为：或． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，等腰直角三角形中，，，点是上一点，连接． (1)若是边上的高，求证：平分； (2)若将分成两个等腰三角形，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键． （1）根据等腰三角形的三线合一即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质可得，再分三种情况：①，②和③，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高， ∴平分（等腰三角形的三线合一）． （2）解：∵等腰直角三角形中，，， ∴． ①当时，则是等腰三角形， ∴， ∴，， ∴，，， ∴此时是等腰三角形，不是等腰三角形，不符合题意； ②当时，则， ∴，此时点与点重合，不能将分成两个等腰三角形，不符合题意； ③当时，则是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时和都是等腰三角形，符合题意； 综上，的度数为． 【变式题6-2】．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）已知在中，，过点B的一条直线将分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键． 分三种情况讨论：①当为等腰的顶角时，②当为等腰的顶角时，③当为等腰的顶角时，综合三种情况即可． 【详解】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论． ①当为等腰的顶角时，如图1， ∵， 又∵是等腰三角形，， ∴； ②当为等腰的顶角时，如图2， ∵， ∴， ∴， 又∵是等腰三角形，， ∴； ③当为等腰的顶角时，如图3， 则， 又∵是等腰三角形，， ∴． 故答案为：或或． 【变式题6-3】．（24-25八年级上·全国·期中）如图，等腰中，为腰的中线，将分成长和的两段，则等腰的底边长 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，注意分情况讨论是解题的关键． 题中没有指明哪部分的周长， 故应该分两种情况进行分析， 从而求解． 【详解】解：∵为腰的中线， ∴， 当时，则， ∴， 解得， ∴； 当时，则， ∴， 解得， ∴； 故答案为：或． 【题型7】三线合一与全等三角形综合(提升) 1.核心知识点总结 三线合一：等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”重合。 全等三角形判定：、、、；全等性质：对应边相等、对应角相等。 2.高频考点梳理 利用三线合一作辅助线，证明三角形全等。 通过全等证明等腰三角形的“三线”关系。 综合求解线段倍分、角相等、垂直关系。 3.易错点警示 辅助线作法错误(如等腰三角形中作腰上的高，而非底边上的高，无法用三线合一)。 全等条件找不全(忽略三线合一提供的边/角相等条件)。 4.解题技巧拆解 遇等腰三角形综合题，优先作“底边上的高/中线/顶角平分线”(三线合一辅助线)。 三线合一提供的条件：①线段相等()；②角相等()；③垂直()，可直接作为全等的条件。 示例：等腰中，，→，结合、→()。 【例题7】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得．即可利用证明，有．结合等角对等边得．再依据等腰三角形三线合一即可证明． 【详解】证明：∵平分，； ∴．（依据：角平分线上的点到角两边的距离相等） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：等腰三角形三线合一）． 【变式题7-1】．（2025七年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，于点．求证：． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，在上截取，与交于点，只要证明，推出，再根据等腰三角形的性质即可解决问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：如图，在上截取，与交于点， ∵，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，，点是边的中点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形三线合一的性质； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ； （2）由（1）可知，， ， 点是边的中点， ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·北京西城·阶段练习）数学课上，王老师提出了如下问题： 尺规作图：作中边上的高线． 已知：如图，． 求作：中边上的高线． 下面是小胜设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法：如图， ①以点B为圆心，以长为半径作弧，以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D，则线段是中边上的高线． 王老师肯定了小胜的作法，请你根据他设计的尺规作图过程，完成下列问题． (1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹） (2)小德和小远两位同学对小胜的作法给出了证明，请将证明过程补充完整． 小德证明： 连接，． ∵ ∴． ∴______． 又∵， ∴．（_____） ∴线段是中边上的高． 小远证明： 连接，． ∵，， ∴点B，C分别在线段的垂直平分线上． （_____） ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查的知识点是尺规作图—做垂线、垂直平分线的判定、三线合一、等边对等角、三角形内角和定理、三角形高线的定义，解题关键是理解题意． （1）根据题目中的步骤画图即可； （2）根据两位同学的证明过程判断所用的依据； 【详解】（1）解：图见解析； （2）解：小德证明： 连接，， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴，（三线合一） ∴线段是中边上的高． 小远证明： 连接，． ∵，， ∴点B，C分别在线段的垂直平分线上．（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． 【题型8】等边三角形的判定与性质综合(提升) 1.核心知识点总结 等边三角形判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角为的等腰三角形。 等边三角形性质：角、三线合一、三边相等。 2.高频考点梳理 判定一个三角形为等边三角形(优先用“等腰+角”)。 利用等边三角形性质证明线段/角相等、垂直。 与等腰三角形、含直角三角形综合。 3.易错点警示 判定时忽略“等腰三角形”前提(有一个角的三角形不一定是等边三角形)。 性质应用时，混淆“边相等”与“角相等”的推导顺序。 4.解题技巧拆解 判定等边三角形的捷径：若已知三角形为等腰，且有一个角为，直接判定为等边。 遇等边三角形，灵活运用“角”和“三线合一”，可转化为含的直角三角形求解。 示例：中，，→为等边三角形(判定定理3)→，。 【例题8】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或或 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题． （1）①根据即可证明； ②利用等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质得到，进而证明，再根据三角形内角和求出结论； （2）分点D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上的情形，并根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； ②， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，当时，则有， ∴为等边三角形， ①如图1，当点D在线段上时， 此时， ∴． ②如图2，当点D在的延长线上时， 此时， ③如图3，当点D在的延长线上，且时， 此时． ④如图4，当点D在的延长线上，且时， 此时． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·北京·期中）在等边中，点在射线上，点在延长线上，满足． (1)如图1，若在线段上，求证：； (2)如图2，若在线段延长线上，为中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)补全图形见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关知识． （1）过点作交于点，得到，，根据等边三角形判定与性质推出，证明，得到，即可得证； （2）作交的延长线于点M，延长至点N，使，连接，证明得，从而可证．证明得，，再证明，可证，得到，进而可证． ． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ∴， ， 为等边三角形， ， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ， ， ； （2）如图，作交的延长线于点M，延长至点N，使，连接， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵ ， ， ． ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． (1)初步探究：当时，求证：； (2)解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； (3)类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形，见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，结合三角形的外角性质推出，根据可得，即可得证； （2）过点作交于点，得到，，根据等边三角形的性质推出，证明，得到，即可得证； （3）证明得到，，推出，得到，，即可判定． 【详解】（1）证明：， ， ∴， ， ， ， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， ，， 为等边三角形， ， ，， ， ，， ， ， ； （3）是等边三角形，证明如下： 证明： ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出结论； （2）延长至，使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）取的中点F，连接，由（2）知，由题意易得是等边三角形则有平分，作于H，则，则，然后根据点到直线垂线段最短可进行求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ； （2）证明：延长至，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， 由（1）知，， 设，， ， ，， 由（1）知， ， 在和中， ， ， ， 又， ； （3）解：取的中点F，连接，由（2）知， ∴， ∵， ∴，即点E在的垂直平分线上， ∵，， ∴是等边三角形， ∴平分，则， 作于H，则（在含角的直角三角形中，对边是斜边的一半）， ，根据垂线段最短，当A、E、H共线且时，最小值为A到的距离h， ， ∴，解得． ∴的最小值为． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型9】含角的直角三角形性质应用(提升) 1.核心知识点总结 核心性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半(若，，则)。 推论：斜边中线等于斜边的一半(中，为斜边中线，则)。 2.高频考点梳理 求线段长度(利用倍分关系：对的直角边斜边，斜边对的直角边)。 证明线段倍分关系。 与等边三角形综合(等边三角形的高分解为含的直角三角形)。 3.易错点警示 忽略“直角三角形”前提，对非直角三角形误用该性质。 混淆“角所对的直角边”与“另一条直角边”。 4.解题技巧拆解 遇角+直角，立即标注“对的直角边”和“斜边”，建立倍分关系。 等边三角形中作高，可将其分为两个含的直角三角形(如等边中，→，)。 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 【例题9】．．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，，，，，求的长 【答案】的长为． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质．先根据等腰三角形的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据等腰三角形的判定与性质可得，据此根据线段的和差即可得． 【详解】解：， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 即的长为． 【变式题9-1】．．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，是边上的一点，过点作交于点，，连接交于点． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】（1）先证，即可得出是的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据：，得出，结合，求出，根据垂直平分，得出，再在，根据直角三角形的性质求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，且， ， 在和中 ， ， ， ， ∴是等腰三角形， ， ∴垂直平分； （2）解：， ， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质和判定与等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握直角三角形的性质与全等三角形的性质和判定是解决本题的关键． 【变式题9-2】．．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余的性质、等角对等边的性质，根据直角三角形两锐角互余可知，根据直角三角形的性质可得，根据、可以求出，根据三角形外角的性质可得，根据等角对等边可得：． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ， 是的外角， ， ， ． 故选：D． 【变式题9-3】．．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，过点D作于点G，根据直角三角形的性质可得，推出，利用证明，推出，即可解答． 【详解】解：过点D作于点G， 则， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型10】等腰三角形的折叠与对称变换(培优) 1.核心知识点总结 折叠性质：对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线。 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一；轴对称性质(对称轴是三线合一所在直线)。 2.高频考点梳理 折叠后角度计算(利用对应角相等+等腰三角形角度关系)。 折叠后线段长度求解(对应边相等+三线合一+勾股定理)。 证明折叠后的三角形为等腰/等边三角形。 3.易错点警示 折叠后对应边、对应角找错(混淆折叠前后的图形元素)。 忽略对称轴与等腰三角形三线合一的结合(折叠的对称轴可能是等腰三角形的三线)。 4.解题技巧拆解 第一步：画折叠后的图形，用虚线标注对称轴，明确对应点、对应边、对应角。 第二步：利用“折叠→全等→边/角相等”，结合等腰三角形性质推导。 第三步：遇折叠后求线段长度，优先用勾股定理(设未知数，列方程)。 示例：等腰折叠，使顶点落在上的点，折痕为→，，，若，可证为等腰三角形。 【例题10】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， ． 【答案】或90或45 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与翻折变换，找出特殊点与，分别重合时的两点是解决问题的关键． 根据等腰三角形的判定可以得出，存在不同的边之间相等，有，，，然后利用三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：将进行折叠，使点落在线段上（包括点和点，设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， 点可能的位置共有：①当点与点点）重合时， ∵， ∴， 由折叠的性质可知：，，， ∴， ，此时是等腰三角形，且； ②当点与点点）重合时，点与点重合， ，，， ，，是等腰三角形， ∴； ③如图当时，是等腰三角形． ∵． ∴， ∴； 故答案为：或90或45． 【变式题10-1】．．（25-26八年级上·北京·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案． 【详解】解：设， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式题10-2】．．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，为中点，，，点为上一动点，将沿折叠得到，与交于点，若，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，折叠的性质，先证明得出，如图设交于点，根据三角形内角和定理得出，再导角得出，则是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴，， ∴ 设 ∵ ∴ ∴ ∵ 即 即 ∴ 如图设交于点， ∵折叠， ∴ 又∵ ∴， ∵折叠， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故选：B． 【变式题10-3】．．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至的对应边与交于点，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 【答案】（1）①，②；（2）的度数为或，（3） 【分析】（1）①求出，得；②根据，，得． （2）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得． （3）由题意可得：， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得． 【详解】解：（1）①∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ． ②∵在中，；在中，， 且，， ∴． （2）∵，， ∴，， 设， 则，， ∴， ∴， ∵为等腰三角形，且， 情况1：， ∴， 解得：． ∴，， ∴． 情况2：， ∴， 解得：， ∴，， ∴． ∴的度数为或 ． （3）∵ ∴， 在 上截取 ， ∵， 结合（1）可得：， ， ， 在和中， ， ∴，而， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． 【题型11】等腰三角形背景下的周长最小值问题（培优） 1. 核心知识点总结 轴对称性质：两点之间线段最短；对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等。 等腰三角形对称性：等腰三角形的顶角平分线（底边上的中线/高）是其对称轴。 垂线段最短：直线外一点到直线的垂线段长度最短（特殊情况的最值）。 辅助性质：含直角三角形的边倍分关系、勾股定理。 2. 高频考点梳理 动点在等腰三角形的对称轴上，求“两定一动”型周长最小值（如最小）。 动点在等腰三角形的边上，求“一定两动”型周长最小值（如周长最小，、为动点）。 结合等边三角形的对称性，求多线段和的最小值（如最小）。 坐标系中，利用等腰三角形的对称轴（如轴、垂直平分线）求周长最小值。 3. 易错点警示 找不到等腰三角形的对称轴，无法转化线段（关键错误，导致“化折为直”失败）。 混淆“动点的运动范围”（如动点只能在底边上，却扩展到延长线）。 忽略等腰三角形的性质（如三线合一），计算最短线段长度时出错。 未验证最小值对应的动点位置是否符合题意（如是否在指定边上）。 4. 解题技巧拆解 核心思路：化折为直，利用等腰三角形的对称性，将折线转化为直线段（线段最短）。 具体步骤： 确定等腰三角形的对称轴（如 为对称轴，) ； ② 作其中一个定点关于对称轴( 或动点所在边) 的对称点； ③ 连接对称点与另一个定点，与对称轴( 或动点所在边) 的交点即为使周长最小的动点位置； ④ 利用等腰三角形性质、勾股定理或含直角三角形性质计算最短周长。 【例题11】．．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知，点P是内任意一点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的应用，等边三角形的性质和判定， 先作点P关于的对称点C，连接，作点P关于的对称点D，连接，再根据两点之间线段最短可得当点C，D，M，N四点共线时，周长最小，然后说明是等边三角形可得答案. 【详解】解：如图所示，作点P关于的对称点C，连接，作点P关于的对称点D，连接， ∴， ∴的周长， 根据两点之间线段最短可得当点C，D，M，N四点共线时，周长最小， ∵， ∴， 同理可得， ∴. ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴. 故选：A. 【变式题11-1】．．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出；在线段上截取，连接，可证明，得到，则当C、E、H三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、H三点共线，且时，有最小值，当，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为3， 故选：B． 【变式题11-2】．．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在等腰中，的面积为40，的垂直平分线分别交边于点E、F，若点为边的中点，点为线段上的动点，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质． 连接交于点，连接，利用线段垂直平分线的性质确定出的最小值时点的位置，再利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于点，连接， ∵垂直平分， ∴， 当点在同一条直线上时，的值最小，即为的值， ∵为定值， ∴此时，的周长值最小， ∵，点为边的中点， ∴，， ∵的面积为40， ∴， ∴此时，的周长为：， 故答案为：14． 【变式题11-3】．．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系， 连接，根据等腰三角形的性质得，再根据面积公式求出，然后根据线段垂直平分线的性质得，接下来根据三角形三边关系得即可得出答案. 【详解】解：如图，连接. ∵为边的中点， ∴. ∴， ∴. ∵垂直平分为线段上的一个动点， ∴. ∵ ∴, ∴, ∴周长的最小值为9. 故答案为：9. 【题型12】等腰三角形的旋转模型(手拉手)(培优) 1.核心知识点总结 旋转性质：对应边相等、对应角相等、旋转角=顶角。 手拉手模型：两个等腰/等边三角形共顶点旋转(如和均为等腰，，，)。 全等三角形判定()：共顶点的边相等、旋转角相等、另一组腰相等。 2.高频考点梳理 证明线段相等(如)、角相等(如)。 证明线段垂直(如)。 等边三角形手拉手模型(旋转角，可证)。 3.易错点警示 旋转角找错(旋转角=共顶点的两个角，而非任意角)。 全等条件()中的夹角找错(夹角应为旋转角，而非其他角)。 模型识别不熟练(未发现共顶点的等腰/等边三角形)。 4.解题技巧拆解 识别手拉手模型：共顶点+两等腰/等边三角形(腰相等、顶角相等)。 标注旋转角：→(旋转角)。 证明全等：，，→()。 推导结论：由全等得，，进而证明(如)。 【例题12】．．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据等边三角形三个角都是，三条边都相等得出，，，推得，根据全等三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． （2）解：条件改变，结论仍然成立．理由如下： ∵和都是等边三角形 ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）． 【变式题12-1】．．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在综合实践课上，同学们以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．一副三角板按如图1的方式摆放（顶点C与F重合，边与边叠合，顶点在同一条直线上）．其中，，，． (1)如图2，将三角板绕着点逆时针旋转后，如果直线，那么的值的是 ．与的数量关系是 ． (2)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，与相交于点，DE与AB相交于点N，若． ①求n的值； ②与的数量关系是否保持不变？请说明理由； (3)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，EF与相交于点，与相交于点，若为等腰三角形时，的值为 ． 【答案】(1)45； (2)①；②，保持不变，见解析 (3)或或 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，等腰三角形的性质，垂线性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等角的余角相等等知识，熟练掌握相关性质定理，根据旋转画图分情况求解为解题关键 （1）根据垂直得到，再根据三角板的角度即可求出n的结果，再根据，即可得出结论； （2）①根据等边对等角，结合三角板的度数得到，即可进一步求解； ②利用即可得证； （3）根据等腰三角形的定义，分三种情况时，时，时，利用等腰三角形性质，三角形外角性质等知识分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，与相交于点M， ， ， ， ； 故答案为：45；； （2）① ， ， ， ； ②，保持不变，理由如下： ， ，保持不变； （3）如图，当时， 则， ； 如图，当时， 则 ， ； 当时， 则， ， ， 综上所述，为等腰三角形时n的值为或或． 【变式题12-2】．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，理由见解析； (3) ，理由见解析；能，与的夹角度数为，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键． （）由，则，证明，然后通过全等三角形性质即可求证； （）设与交于点，与交于点，同（）理证明，则有，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）理证明，然后通过全等三角形性质即可求证； 设与交于点，由得，则，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，，理由， 如图，设与交于点，与交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ，理由， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 能，与的夹角度数为，理由， 如图，设与交于点， 由得， ∴， ∴ ， ∴与的夹角度数为． 【变式题12-3】．．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示． 请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________； （2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明； （3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）等腰直角三角形，1；（2）同意，理由见解析；（3）24或30 【分析】题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）由正方形的性质即可确定三角形的形状，过点作于点，再由等腰三角形的判定与性质求出，即可求解面积； （2）证明，则，即可进行面积转化； （3）证明，则，分两种情况讨论，靠近点后点靠近点，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴； （2）同意小明的观点，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）当点为靠近的点的三等分点时，连接， ∵长方形，， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点为靠近的点的三等分点时，连接， 同理可证明：， ∴， ∴， 综上所述：当点为边的三等分点时，四边形的面积为24或30． 【题型13】等腰三角形的存在性探究（“2圆一垂直”法）（培优） 1.核心知识点总结 等腰三角形构成条件：三点、、满足、、三者之一。 “2圆一垂直”原理：①以、为圆心，为半径画圆(覆盖、)；②作的垂直平分线(覆盖)。 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到、距离相等。 2.高频考点梳理 已知两点、，用“2圆一垂直”找所有点使为等腰三角形。 坐标系中已知、坐标，求点的坐标(结合网格、坐标轴)。 限定点在某直线上，筛选有效点。 3.易错点警示 漏画“2圆”或“一垂直”导致漏解。 未排除三点共线、重合的无效点。 坐标系中垂直平分线作法错误(未找中点、垂直方向错)。 限定直线上未筛选交点，多解或漏解。 4.解题技巧拆解 步骤：①画“2圆”(以、为圆心，为半径)；②作中点，过作垂直平分线；③找“2圆”及垂直平分线与目标区域/直线的交点；④排除无效点，保留有效点。 【例题13】．．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的存在性，根据等腰三角形的性质和判定可知要分三种情况讨论，画图即可解决； 【详解】解：如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 如图所示，以为顶点； 综上可知：等腰三角形一共8个， 故选：C． 【变式题13-1】．．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，要求：保留连线痕迹，不必说明理由． (1)在图1中画出一个以为边且与全等的三角形； (2)在图2中画出的高线； (3)在图2中，找一个格点P使为等腰三角形，请至少写出4个符合条件的格点P的坐标，不需要画图、不需要写出理由． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)或或或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，易得，，故，即可作答． （2）结合网格，得出，故，则，因为，即，即，合网格得，即，故是的高线； （3）因为为等腰三角形，则当以点B为顶角，以为腰，故点P的坐标为或或，当以点A为顶角，以为腰，故点P的坐标为，即可作答． 【详解】（1）解：与全等的三角形，如图所示： （2）解：画出的高线，如图所示： （3）解：依题意，4个符合条件的格点P的坐标分别是或或或． 【变式题13-2】．．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 【答案】（1）①，5；②见解析；③见解析 （2）①见解析；②4 【分析】本题考查了利用网格求三角形的面积，算术平方根的应用，作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （）①利用算术平方根的定义求解，利用割补法计算面积即可；②根据轴对称图形的性质作图即可；③连接，与直线相交于点，点即为所求； （）①根据轴对称图形的性质画图即可；②根据①所画图形即可求解； 【详解】（1）解：①：以为边作正方形， 则 ∴（舍负）， 的面积， 故答案为：，； ②如图所示，即为所求； ③如上图，点即为所求； （2）解：①如图所示，即为所求； ②由图可知，符合条件的格点有个， 故答案为：． 【变式题13-3】．．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)4，1，2，3，， (3)10 【分析】题目主要考查作轴对称图形，写出点的坐标，利用网格画等腰三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意作图即可； （2）结合图形写出点的坐标即可； （3）分三种情况以点为圆心、长为半径画圆，以点为圆心、长为半径画圆，两圆的交点连接可得的垂直平分线，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）点坐标关于轴对称的变换规律：横坐标互为相反数，纵坐标不变， ， ； （3）如图，以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 以点为圆心、长为半径画圆与坐标轴相交可得到四个点，所以有4个以为腰的等腰三角形， 将两圆的交点连接可得的垂直平分线，交坐标轴于两个点，所以有2个以为底的等腰三角形， 综上，所有符合条件的点有10个 故答案为：10． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．两边及其中一边对角相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假，涉及等腰三角形的性质、三角形全等的判定、等边三角形的判定，熟知正确的命题是真命题是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、因为等腰三角形两腰相等，根据三角形面积公式可证明等腰三角形两腰上的高相等，正确，是真命题，符合题意； B、两边及其夹角相等的两个三角形全等，原命题错误，是假命题，不符合题意； C、等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合，原命题错误，是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，原命题错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，是腰上的高，与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线的定义，等腰三角形的定义，三角形内角和定理，直角三角形的性质，由题意可得，根据等腰三角形的定义可得，利用直角三角形的性质可得，由三角形内角和定理得到，进而求出，化简即可得到结论． 【详解】解：∵是腰上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，再根据含度的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ， ， 平分交于点， ， ． 故选：D． 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，等边对等角、三角形内角和定理等知识，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短，全等三角形的性质和判定等知识，学会构造全等三角形解决问题是解题的关键．作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接，由对称性可知：，连接，易证，进而证明是等边三角形，即可解答． 【详解】解：作点E关于的对称点，连接′交于点P，此时最小．连接， 由对称性可知：， ∴， ∵等边， ∴，即， ∴， 连接， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．分两种情况：若角为顶角，若角为底角，即可求解． 【详解】解：若角为顶角，此时它的顶角的度数是； 若角为底角，此时它的顶角的度数是； 综上所述，它的顶角的度数是或． 故答案为：或 7．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后利用等量代换可得的周长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，E是的中点，连接，若的面积为8，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据等腰三角形三线合一得出是的中线，即可求出的面积，再根据E是的中点即可求出的面积． 【详解】解：在中，， ∴是等腰三角形． ∵平分， ∴，即是的中线， ∴． ∵E是的中点， ∴． 故答案为：2 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为    【答案】/72度 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及等腰三角形的性质．设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质得到，再利用内角和定理即可求出，便可求出答案． 【详解】解：设， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点， ；连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 【答案】 4 2 【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，，通过证明得到，推出点在过点且与夹角为的直线上运动，作于点，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵等边三角形边长为8，是高， ∴，，，， 由旋转的性质得，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点在过点且与夹角为的直线上运动， 作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴线段长度的最小值是2． 故答案为：4；2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形、垂线段最短，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点．观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． (1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． (2)方方说：“若，则．”请你证明结论． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. （1）先证明，结合，与角的和差运算可得结论； （2）如图1，过作于，证明，，可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：圆圆的说法正确，理由如下： 由作图可得：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴圆圆的说法正确； （2）解：如图1，过作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·广东珠海·期中）已知：如图，是等腰三角形的底边上的中线，是上任意一点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题关键．先根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，，可得垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，，根据角的和差关系即可得结论． 【详解】解：中，，为边的中线， ∴，，， ∴垂直平分， ∵是上任意一点， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．（北京市第二中学教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角得出，证明，即可得证； （2）证明为等边三角形．得出，由直角三角形的性质可得，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴为等边三角形． ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，点D在的边上，交于点． (1)求证： (2)若，求的度数（用含m的代数式表示）． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，等边对等角，三角形内角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角的运算以及三角形外角性质，得，，又因为，故，即可作答． （2）理解题意得，再根据等边对等角，三角形内角性质，得，又因为以及三角形外角性质，进行列式计算，得，最后把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 则 解得 ∴ ∴． 15．（25-26八年级上·吉林白山·期中）【问题原型】 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（无需作答）． 【解决问题】 （1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）求的度数； （3）若是的中点，且，直接写出四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）135，（3）27 【分析】（1）证明，再等量代换解答即可； （2）根据，角的和，等腰直角三角形的性质，计算的大小即可； （3）根据题意，证明，得到，再结合图形得到解答即可． 【详解】（1）证明：在上截取， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：135． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，对顶角的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.3等腰三角形 【题型1】等腰三角形的角度求解（等边对等角） 1.核心知识点总结 等边对等角：同一三角形中，若，则。 三角形内角和：；三角形外角性质：外角=不相邻两内角和。 2.高频考点梳理 已知顶角求底角：底角。 已知底角求顶角：顶角。 已知一个锐角，求另外两个角(分类讨论该角为顶角或底角)。 3.易错点警示 已知角为锐角时未分类，漏解一种情况。 钝角或直角只能是顶角(底角若为钝角/直角，两底角和，矛盾)，忽略此隐含条件。 不同三角形中的“等边”误用“对等角”。 4.解题技巧拆解 第一步：判断已知角类型(钝角/直角→必为顶角；锐角→分顶角、底角两类)。 第二步：利用“等边对等角”和内角和定理计算。 第三步：验证角度和是否为，排除矛盾解。 【例题1】．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点在直线上，且，连接，则的度数为 ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在等腰中，，中线与角平分线交于点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，直线，分别是、的垂直平分线，，交于点，连接．若，则的度数为 ． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）若等腰三角形的一个内角为，那么它的底角度数为（   ） A． B． C．或 D． 【题型2】等腰三角形的边长与周长计算 1.核心知识点总结 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形（相等的边为腰，第三边为底）。 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 2.高频考点梳理 已知等腰三角形两边长，求周长（需分类讨论腰和底）。 已知等腰三角形周长和一边长，求另外两边长。 结合实际情境（如折叠、裁剪）求边长或周长。 3.易错点警示 忽略三边关系验证，导致出现“两边之和等于第三边”的无效解。 未分类讨论（已知边不确定是腰还是底时漏解）。 4.解题技巧拆解 第一步：明确分类标准（已知边为“腰”或“底”）。 第二步：按分类计算另外两边长度。 第三步：验证每类解是否满足三边关系，排除无效解。 示例：已知两边为2和4，分类①腰=2、底=4（，无效）；②腰=4、底=2（，有效），周长。 【例题2】．（25-26八年级上·山东日照·阶段练习）已知是的三边长，，设的长度是． (1)求的取值范围． (2)若三角形的周长是小于9的整数，试判断的形状，并说明理由． 【变式题2-1】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，于点D．若的周长为20，，则的长为 ． 【变式题2-2】．（17-18八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，已知点D在线段的反向延长线上，过的中点F作线段交的平分线于E，交于G，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的周长． 【变式题2-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，中，、的平分线相交于，过点且与平行．的周长为，的周长为，则的长为 ． 【题型3】等腰三角形“三线合一”的基础应用 1.核心知识点总结 三线合一：等腰三角形中，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。 符号语言：若，平分，则且(反之亦然)。 2.高频考点梳理 利用三线合一求线段长度(如)、角度(如)。 利用三线合一证明垂直、平分关系。 结合角平分线、中线、高的定义综合应用。 3.易错点警示 忽略“等腰三角形”前提，对非等腰三角形误用三线合一。 混淆“底边上”与“腰上”的三线(腰上的中线、高、角平分线不一定重合)。 4.解题技巧拆解 遇等腰三角形求线段/角相等、垂直，优先标注“三线”中的一个条件。 作辅助线：等腰三角形中，遇底边中点、顶角平分线、底边上的高，可直接关联另外两个性质。 示例：等腰中，，是中点→且平分。 【例题3】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求度数； (2)求的周长． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-2】．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【变式题3-3】．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，在中，，点在上，且点在的垂直平分线上，连接． (1)若，，求的周长． (2)分别过点，作于、于，若，，求的长． 【题型4】等角对等边的判定应用 1.核心知识点总结 等角对等边：同一三角形中，若，则。 辅助条件：平行线性质(同位角/内错角相等)、角平分线性质(角相等)。 2.高频考点梳理 利用角度相等判定等腰三角形。 结合平行线、角平分线证明边相等。 与等腰三角形性质(等边对等角)综合应用(性质→判定→性质)。 3.易错点警示 不同三角形中的角相等，误用“等角对等边”。 未证明“在同一三角形中”，直接得出边相等。 4.解题技巧拆解 第一步：证明角相等(利用平行线、角平分线、全等、三角形内角和等)。 第二步：强调角在“同一三角形中”，应用“等角对等边”得出边相等。 示例：平分，→→(等角对等边)。 【例题4】．（25-26八年级上·全国·课后作业） 如图，，．若，的周长为10，则的周长为 ． 【变式题4-1】．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式题4-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，分别平分，，且，，的周长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题4-3】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【题型5】等边三角形的性质基础应用 1.核心知识点总结 等边三角形定义：三边相等的三角形(又称正三角形)。 性质：三角均为；三线合一(每条边的中线、高、对角平分线重合)；有三条对称轴。 2.高频考点梳理 求等边三角形的边长、周长、高(高，为边长)。 利用角计算角度、证明角相等。 等边三角形与等腰三角形的关系(等边是特殊等腰)。 3.易错点警示 混淆等边三角形与等腰三角形的性质(如等边三角形的高是边长的，等腰三角形无此固定关系)。 高的计算错误(忘记乘以)。 4.解题技巧拆解 遇等边三角形，直接标注三边相等、三角。 求高时，利用含的直角三角形(等边三角形的高将其分为两个的直角三角形)。 【例题5】．（25-26八年级上·青海海东·期中）如图，将一个等边三角形沿向右平移后得到，若，则两个三角形重叠部分的周长为 ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·江苏扬州·阶段练习）已知在中，，，，则的周长为 ． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）已知，如图，是等边三角形，D是的中点，，，垂足分别是E、F． (1)求证：． (2)若，求的周长． 【变式题5-3】．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且．以D为顶点作一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【题型6】等腰三角形的分类讨论(提升) 1.核心知识点总结 等腰三角形的不确定性：腰与底、顶角与底角、点的位置(线段上/延长线上)。 约束条件：三角形三边关系、内角和、外角性质。 2.高频考点梳理 已知一个角，求所有可能的顶角/底角。 已知两边，求所有可能的周长。 动点在射线/直线上，探究等腰三角形的存在性(分类讨论动点位置)。 3.易错点警示 分类不全(如漏“已知角为底角”的情况、漏动点在延长线上的情况)。 未验证约束条件(如三边关系、内角和)，导致增解。 4.解题技巧拆解 建立分类标准，避免重复或遗漏： 角度分类：“已知角=顶角”“已知角=底角”。 边长分类：“已知边=腰”“已知边=底”。 动点分类：“动点在线段上”“动点在延长线上”“动点在延长线上”。 每类解后，验证是否满足三边关系、内角和等约束条件。 【例题6】．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）若等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角度数为 ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，等腰直角三角形中，，，点是上一点，连接． (1)若是边上的高，求证：平分； (2)若将分成两个等腰三角形，求的度数． 【变式题6-2】．（23-24八年级上·宁夏银川·阶段练习）已知在中，，过点B的一条直线将分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则的度数为 ． 【变式题6-3】．（24-25八年级上·全国·期中）如图，等腰中，为腰的中线，将分成长和的两段，则等腰的底边长 【题型7】三线合一与全等三角形综合(提升) 1.核心知识点总结 三线合一：等腰三角形的“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”重合。 全等三角形判定：、、、；全等性质：对应边相等、对应角相等。 2.高频考点梳理 利用三线合一作辅助线，证明三角形全等。 通过全等证明等腰三角形的“三线”关系。 综合求解线段倍分、角相等、垂直关系。 3.易错点警示 辅助线作法错误(如等腰三角形中作腰上的高，而非底边上的高，无法用三线合一)。 全等条件找不全(忽略三线合一提供的边/角相等条件)。 4.解题技巧拆解 遇等腰三角形综合题，优先作“底边上的高/中线/顶角平分线”(三线合一辅助线)。 三线合一提供的条件：①线段相等()；②角相等()；③垂直()，可直接作为全等的条件。 示例：等腰中，，→，结合、→()。 【例题7】．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，平分，于点E，于点F，．求证：． 请你补全下述证明过程： 证明：∵平分，； ∴．（依据：__________________________） ∵，， ∴． 在和中， ∴（依据：） ∴． ∴__________=__________．（依据：等角对等边） 又∵平分 ∴．（依据：__________________________） 【变式题7-1】．（2025七年级上·山东·专题练习）如图，在中，，，于点．求证：． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，，，，点是边的中点． 求证： (1)； (2)． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·北京西城·阶段练习）数学课上，王老师提出了如下问题： 尺规作图：作中边上的高线． 已知：如图，． 求作：中边上的高线． 下面是小胜设计的“作中边上的高线”的尺规作图过程． 作法：如图， ①以点B为圆心，以长为半径作弧，以点C为圆心，以长为半径作弧，两弧在下方交于点E； ②连接交于点D，则线段是中边上的高线． 王老师肯定了小胜的作法，请你根据他设计的尺规作图过程，完成下列问题． (1)使用直尺和圆规，补全图形．（保留作图痕迹） (2)小德和小远两位同学对小胜的作法给出了证明，请将证明过程补充完整． 小德证明： 连接，． ∵ ∴． ∴______． 又∵， ∴．（_____） ∴线段是中边上的高． 小远证明： 连接，． ∵，， ∴点B，C分别在线段的垂直平分线上． （_____） ∴垂直平分线段． ∴线段是中边上的高线． 【题型8】等边三角形的判定与性质综合(提升) 1.核心知识点总结 等边三角形判定：①三边相等；②三角相等；③有一个角为的等腰三角形。 等边三角形性质：角、三线合一、三边相等。 2.高频考点梳理 判定一个三角形为等边三角形(优先用“等腰+角”)。 利用等边三角形性质证明线段/角相等、垂直。 与等腰三角形、含直角三角形综合。 3.易错点警示 判定时忽略“等腰三角形”前提(有一个角的三角形不一定是等边三角形)。 性质应用时，混淆“边相等”与“角相等”的推导顺序。 4.解题技巧拆解 判定等边三角形的捷径：若已知三角形为等腰，且有一个角为，直接判定为等边。 遇等边三角形，灵活运用“角”和“三线合一”，可转化为含的直角三角形求解。 示例：中，，→为等边三角形(判定定理3)→，。 【例题8】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当在线段上时， ①求证：． ②当时，求的度数． (2)当时，若中最小角为，求的度数． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·北京·期中）在等边中，点在射线上，点在延长线上，满足． (1)如图1，若在线段上，求证：； (2)如图2，若在线段延长线上，为中点，连接．依题意补全图形，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明你的结论． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·辽宁营口·期中）如图1，在中，，点在上，点为延长线上一点，连接，． (1)初步探究：当时，求证：； (2)解决问题：如图2，在（1）的条件下，当为等边三角形时，求证：； (3)类比探究：如图3，在（2）的条件下，过点作，交延长线于点，延长至点，使，连接、．请你猜想的形状并证明你的猜想． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖南长沙·阶段练习）以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点F为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），连接，若，，且，求的最小值． 【题型9】含角的直角三角形性质应用(提升) 1.核心知识点总结 核心性质：直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半(若，，则)。 推论：斜边中线等于斜边的一半(中，为斜边中线，则)。 2.高频考点梳理 求线段长度(利用倍分关系：对的直角边斜边，斜边对的直角边)。 证明线段倍分关系。 与等边三角形综合(等边三角形的高分解为含的直角三角形)。 3.易错点警示 忽略“直角三角形”前提，对非直角三角形误用该性质。 混淆“角所对的直角边”与“另一条直角边”。 4.解题技巧拆解 遇角+直角，立即标注“对的直角边”和“斜边”，建立倍分关系。 等边三角形中作高，可将其分为两个含的直角三角形(如等边中，→，)。 【例题9】．（25-26八年级上·甘肃武威·期中）如图，在中，，，，，求的长 【变式题9-1】．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，是边上的一点，过点作交于点，，连接交于点． (1)求证：垂直平分线段； (2)若，，求的长． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，在中，，，是上一点，连接，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题9-3】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，边交于点，则的度数为 ． 【题型10】等腰三角形的折叠与对称变换(培优) 1.核心知识点总结 折叠性质：对应边相等、对应角相等、对称轴垂直平分对应点连线。 等腰三角形性质：等边对等角、三线合一；轴对称性质(对称轴是三线合一所在直线)。 2.高频考点梳理 折叠后角度计算(利用对应角相等+等腰三角形角度关系)。 折叠后线段长度求解(对应边相等+三线合一+勾股定理)。 证明折叠后的三角形为等腰/等边三角形。 3.易错点警示 折叠后对应边、对应角找错(混淆折叠前后的图形元素)。 忽略对称轴与等腰三角形三线合一的结合(折叠的对称轴可能是等腰三角形的三线)。 4.解题技巧拆解 第一步：画折叠后的图形，用虚线标注对称轴，明确对应点、对应边、对应角。 第二步：利用“折叠→全等→边/角相等”，结合等腰三角形性质推导。 第三步：遇折叠后求线段长度，优先用勾股定理(设未知数，列方程)。 示例：等腰折叠，使顶点落在上的点，折痕为→，，，若，可证为等腰三角形。 【例题10】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知中，．如图，将进行折叠，使点A落在线段上（包括点和点C）设点的落点为，折痕为，当是等腰三角形时， ． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·北京·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，为中点，，，点为上一动点，将沿折叠得到，与交于点，若，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题10-3】．（25-26八年级上·福建福州·阶段练习）【背景】数学兴趣小组发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系，并对此展开探究． 【探索】（1）如图1，在和中，点为与的交点． ①若，则___________； ②若，则与之间的数量关系是___________； 【应用】（2）如图2，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至的对应边与交于点，当为等腰三角形时，求的度数； （3）如图3，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式． 【题型11】等腰三角形背景下的周长最小值问题（培优） 1. 核心知识点总结 轴对称性质：两点之间线段最短；对称轴垂直平分对应点连线，对应线段相等。 等腰三角形对称性：等腰三角形的顶角平分线（底边上的中线/高）是其对称轴。 垂线段最短：直线外一点到直线的垂线段长度最短（特殊情况的最值）。 辅助性质：含直角三角形的边倍分关系、勾股定理。 2. 高频考点梳理 动点在等腰三角形的对称轴上，求“两定一动”型周长最小值（如最小）。 动点在等腰三角形的边上，求“一定两动”型周长最小值（如周长最小，、为动点）。 结合等边三角形的对称性，求多线段和的最小值（如最小）。 坐标系中，利用等腰三角形的对称轴（如轴、垂直平分线）求周长最小值。 3. 易错点警示 找不到等腰三角形的对称轴，无法转化线段（关键错误，导致“化折为直”失败）。 混淆“动点的运动范围”（如动点只能在底边上，却扩展到延长线）。 忽略等腰三角形的性质（如三线合一），计算最短线段长度时出错。 未验证最小值对应的动点位置是否符合题意（如是否在指定边上）。 4. 解题技巧拆解 核心思路：化折为直，利用等腰三角形的对称性，将折线转化为直线段（线段最短）。 具体步骤： 确定等腰三角形的对称轴（如 为对称轴，) ； ② 作其中一个定点关于对称轴( 或动点所在边) 的对称点； ③ 连接对称点与另一个定点，与对称轴( 或动点所在边) 的交点即为使周长最小的动点位置； ④ 利用等腰三角形性质、勾股定理或含直角三角形性质计算最短周长。 【例题11】．（25-26八年级上·吉林·期中）如图，已知，点P是内任意一点，点M和点N分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·甘肃定西·期中）如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（    ）． A．2 B．3 C．6 D．9 【变式题11-2】．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，在等腰中，的面积为40，的垂直平分线分别交边于点E、F，若点为边的中点，点为线段上的动点，连接，则周长的最小值为 ． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点E、F．若D为边的中点，M为线段上的一个动点，则周长的最小值为 ． 【题型12】等腰三角形的旋转模型(手拉手)(培优) 1.核心知识点总结 旋转性质：对应边相等、对应角相等、旋转角=顶角。 手拉手模型：两个等腰/等边三角形共顶点旋转(如和均为等腰，，，)。 全等三角形判定()：共顶点的边相等、旋转角相等、另一组腰相等。 2.高频考点梳理 证明线段相等(如)、角相等(如)。 证明线段垂直(如)。 等边三角形手拉手模型(旋转角，可证)。 3.易错点警示 旋转角找错(旋转角=共顶点的两个角，而非任意角)。 全等条件()中的夹角找错(夹角应为旋转角，而非其他角)。 模型识别不熟练(未发现共顶点的等腰/等边三角形)。 4.解题技巧拆解 识别手拉手模型：共顶点+两等腰/等边三角形(腰相等、顶角相等)。 标注旋转角：→(旋转角)。 证明全等：，，→()。 推导结论：由全等得，，进而证明(如)。 【例题12】．（10-11七年级下·辽宁辽阳·期末）如图①，是线段上一点，与是等边三角形（三边相等，三个角都为的三角形）． (1)请你判断：与相等吗？并说明理由； (2)如图②，若绕点旋转一定角度，（1）中的结论还成立吗？ 【变式题12-1】．（24-25七年级下·山西临汾·期末）在综合实践课上，同学们以“一副三角板的拼接与旋转”为主题开展活动．一副三角板按如图1的方式摆放（顶点C与F重合，边与边叠合，顶点在同一条直线上）．其中，，，． (1)如图2，将三角板绕着点逆时针旋转后，如果直线，那么的值的是 ．与的数量关系是 ． (2)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，与相交于点，DE与AB相交于点N，若． ①求n的值； ②与的数量关系是否保持不变？请说明理由； (3)如图3，将三角板绕着点逆时针旋转后，EF与相交于点，与相交于点，若为等腰三角形时，的值为 ． 【变式题12-2】．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【变式题12-3】．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）（1）操作发现：小明将一个含角的直角三角板的直角顶点，与边长为2的正方形的中心点重合，然后将三角板绕点旋转．在旋转的过程中，三角板与正方形的重叠部分的图形有两种特殊情况，一种是正方形，一种如图1所示． 请你回答：图1中重叠部分（即）图形的形状是___________，其面积为___________； （2）类比探究：在（1）的基础上，小明将三角板旋转到图2的位置，设它的两条直角边分别与相交于点．研究后小明认为：四边形的面积与（1）中的面积一定相等．你同意小明的观点吗？若同意请你说明理由；若不同意，请举反例说明； （3）拓展延伸：如图3，在长方形中，已知，点是的中点，点分别在边上，且．当点为边的三等分点时，直接写出四边形的面积． 【题型13】等腰三角形的存在性探究（“2圆一垂直”法）（培优） 1.核心知识点总结 等腰三角形构成条件：三点、、满足、、三者之一。 “2圆一垂直”原理：①以、为圆心，为半径画圆(覆盖、)；②作的垂直平分线(覆盖)。 垂直平分线性质：垂直平分线上的点到、距离相等。 2.高频考点梳理 已知两点、，用“2圆一垂直”找所有点使为等腰三角形。 坐标系中已知、坐标，求点的坐标(结合网格、坐标轴)。 限定点在某直线上，筛选有效点。 3.易错点警示 漏画“2圆”或“一垂直”导致漏解。 未排除三点共线、重合的无效点。 坐标系中垂直平分线作法错误(未找中点、垂直方向错)。 限定直线上未筛选交点，多解或漏解。 4.解题技巧拆解 步骤：①画“2圆”(以、为圆心，为半径)；②作中点，过作垂直平分线；③找“2圆”及垂直平分线与目标区域/直线的交点；④排除无效点，保留有效点。 【例题13】．（25-26八年级上·全国·课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式题13-1】．（24-25七年级下·山东滨州·期末）在平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，要求：保留连线痕迹，不必说明理由． (1)在图1中画出一个以为边且与全等的三角形； (2)在图2中画出的高线； (3)在图2中，找一个格点P使为等腰三角形，请至少写出4个符合条件的格点P的坐标，不需要画图、不需要写出理由． 【变式题13-2】．（24-25七年级下·山东济南·期末）（1）在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． ①的长度为 ___________；的面积=___________； ②在图（1）中作出关于直线l对称的； ③若点P为直线l上的一点，在图（1）中标出的值最小时点P的位置．（仅用无刻度的直尺在网格中完成画图） （2）如图（2），在的正方形网格中，点A，B在格点上． ①请在网格中找出一个格点C（一个即可），使成为轴对称图形，画出； ②符合条件的格点C有___________个． 【变式题13-3】．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对应点，不写画法）； (2)直接写出，，三点的坐标：（ ），（ ），（ ）． (3)点在坐标轴上，且满足是等腰三角形，则所有符合条件的点有___________个． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中，是真命题的是（   ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．两边及其中一边对角相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 2．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，是腰上的高，与的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在等边中，平分交于点D，过点D作于点E，且，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，，，是的中线，点在边上，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·湖南长沙·期中）如图，在等边中，，点P是边上的动点，点D，E分别在边上，且．当的值最小时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 二、填空题 6．（25-26八年级上·河南驻马店·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的顶角的度数是 ． 7．（25-26八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 ． 8．（25-26八年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点D，E是的中点，连接，若的面积为8，则的面积为 ． 9．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为    10．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，边长为8的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点， ；连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段练习）综合与实践 如图，在中，．以点为圆心，为半径画弧，交于点，连接．过点作的垂线，交于点．观察这个图形，同学们纷纷提出自己的想法． (1)圆圆说：“．”你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由． (2)方方说：“若，则．”请你证明结论． 12．（25-26八年级上·广东珠海·期中）已知：如图，是等腰三角形的底边上的中线，是上任意一点．求证：． 13．（北京市第二中学教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 14．（25-26八年级上·山东德州·阶段练习）如图，点D在的边上，交于点． (1)求证： (2)若，求的度数（用含m的代数式表示）． 15．（25-26八年级上·吉林白山·期中）【问题原型】 在数学活动课上，老师给出如下问题：如图①，在中，，，以为斜边作直角三角形，点在边同侧，与交于点，连接，过于点．求证：（无需作答）． 【解决问题】 （1）如图②，有思维敏捷的同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在上截取，连接，将线段之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．请根据上述解题思路写出证明的完整过程． 【实践应用】 （2）求的度数； （3）若是的中点，且，直接写出四边形的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $