期末专题01 空间向量与立体几何8大考点（期末真题汇编，湖南专用）高二数学上学期人教A版

期末专题01 空间向量与立体几何 9大高频考点概览 考点01 空间向量的运算、定理 考点02 空间向量的坐标表示 考点03 异面直线所成角 考点04 线面角 考点05 二面角 考点06 方程思想的应用 考点07 最值与范围问题 考点08 距离与体积问题 考点09 多选题多考点综合 地 城 考点01 空间向量的运算、定理 1．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先表示出，根据可求出结果. 【详解】因为， ， 所以. 故选：C. 2．(21-22高二下·江苏扬州江都区·期中)如图，在平行六面体中，为和的交点，若，则下列式子中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性表示与运算法则，把用、、表示即可． 【详解】解：由题意知， ． 故选：A． 3．(24-25高二上·湖南益阳·期末)在四面体中，、分别是棱、的中点，是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式. 【详解】因为为的中点，则，即， 所以，， 因为、分别为、的中点， 同理可得， 故选：C. 4．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)在正四棱台中，，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量法求. 【详解】在正四棱台中，过点向作垂线，垂足为点， 则，所以， . 故选：A 5．(24-25高二上·湖南娄底·期末)已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【详解】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故选：C． 6．(24-25高二上·湖南浏阳·期末)（多选）下列四个结论正确的是（    ） A．任意向量，若，则或或 B．若空间中点满足，则三点共线 C．空间中任意向量都满足 D．已知向量，若，则为钝角 【答案】AB 【分析】由，则或或，从而可判断A； 根据，可得，从而可判断B； 根据空间向量数量积的定义即可判断C； 根据为钝角，求出x的范围，即可判断D. 【详解】解：对于A，，则或或，即或或，故A正确； 对于B，因为，则，即，所以，所以A，B，C三点共线，故B正确； 对于C，，是与共线得向量， ，是与共线得向量， 而与方向不确定，故无法确定与是否相等，故C错误； 对于D，，若，则， 当时，则存在唯一实数，使得，即， 所以，解得， 所以当，且时，为钝角，故D错误. 故选：AB. 地 城 考点02 空间向量的坐标表示 7．(24-25高二上·湖南娄底·期末)点关于平面对称的点的坐标是 . 【答案】 【分析】根据空间向量点关于面对称的性质可得. 【详解】点关于平面对称的点的坐标是. 故答案为：. 8．(24-25高二上·湖南永州·期末)在空间直角坐标系中，点关于平面对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称点坐标特征可直接得到结果. 【详解】由对称点坐标特征可知：点关于平面对称点的坐标为. 故选：C. 9．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知两个向量，则 . 【答案】 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 10．(24-25高二上·湖南益阳·期末)已知两个向量，则的值是（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】根据可得，解得， 故选：D 11．(24-25高二上·湖南浏阳·期末)已知向量，则在上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量、的夹角为， 因为在上的投影向量为：， 又因为，， 所以，， 所以， 所以在上的投影向量为：. 故答案为： 12．(24-25高二上·湖南永州·期末)已知空间中三点，，． (1)若向量与相互垂直，求实数的值； (2)求的面积． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用向量运算的坐标表示及两向量垂直的条件即可求解； （2）法一，利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合三角形的面积公式即可求解；法二，求出，判断，得，由三角形面积公式即可求解. 【详解】（1），， ∴， 又∵，∴， 即，解得. （2）法一：由（1）得，， ， 因为，∴， ． 法二：，， ∴为直角三角形，，，， ． 13．(24-25高二上·湖南天壹名校·期末)在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为 . 【答案】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 地 城 考点03 异面直线所成角 14．(24-25高二上·湖南郴州·期末)在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取空间向量的一个基底，利用空间向量求出异面直线的夹角余弦值. 【详解】在平行六面体中，， ，而，， 则， ，， ，因此， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A    15．(23-24高二上·湖南益阳·期末)如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且，分别为的中点，则（    ）    A． B． C．直线与夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的余弦值为 【答案】BC 【分析】由题意可建立空间直角坐标系，由向量计算可得A、B，借助夹角公式可得C，求出平面法向量后结合可得D. 【详解】由底面是正方形，故，由平面， 、平面，故、， 故、、两两垂直， 故可以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 故、，，故A错误； 、，故，故B正确； ，故， 即直线与夹角的余弦值为，故C正确； ，，设平面法向量为， 则有，即，可令，故有，， 故平面的法向量可为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为， 其余弦值为，故D错误. 故选：BC.    地 城 考点04 线面角 16．(23-24高二上·湖南郴州·期末)正方体中，与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的公式即可得到结果. 【详解】分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，,,,， ,,， 设平面的法向量为， 即，取，， 设与平面所成角为, ， 故选：B. 17．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)给定一个点和一个向量，那么过点，且以向量为法向量的平面可以表示为集合，即在空间直角坐标系中，若，，设，则平面的方程为.根据以上信息，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求解平面法向量，利用待定系数法求解的方向向量为，即可利用向量的夹角公式求解. 【详解】由题意可知，平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为. 又直线是平面与平面的交线，设直线的方向向量为， 则取，则. 设与平面所成的角为，则. 故选:D. 18．(23-24高二上·湖南永州·期末)如图，矩形是圆柱的一个轴截面，、分别为上下底面的圆心，为的中点，，．    (1)当点为弧的中点时，求证：平面； (2)若点为弧的靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）只需证明，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）结合（1）问，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）结合题意:易知底面是以为圆心，以为直径的半圆， 因为点为弧的中点，所以， 因为矩形是圆柱的一个轴截面， 所以面, 因为面,所以, 因为,且平面， 所以平面. （2）取弧的中点连接,由（1）问可知：平面， 且易得，,, 故以坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系如图所示： 因为，，点为弧的靠近点的三等分点， 所以, 所以 因为为的中点，所以，所以, 设平面的法向量为， 则,即，令，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．(24-25高二上·湖南长沙第一中学·期末)如图，三棱锥由三个以为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板和为两个全等的直角三角板，且，，分别为，的中点，平面与平面的交线为. (1)证明：平面； (2)点在直线上，直线与直线的夹角为，直线与平面的夹角为，是否存在点，使得.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）通过线面平行的判定定理和性质定理先证得，再根据平面，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，根据，可确定点坐标. 【详解】（1）因为，分别为，的中点，∴. 又平面，平面，∴平面. 又平面，平面平面，. 又，且，，平面， ∴平面，从而平面. （2）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设，如图， 则，，，，， 由于，设， 则，，， 设平面的法向量， 则取. 由题意，， 即，解得，从而符合题意的点存在，. 地 城 考点05 二面角 20．(24-25高二上·湖南永州·期末)在三棱锥中，是正三角形，，记二面角，的平面角分别为，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的边长为3，得到，借助余弦定理，求出，，再通过作辅助线，找出二面角，的平面角，再结合已知条件以及，利用三角函数的相关知识求解. 【详解】设的边长为3，则， 在中，由余弦定理得 ，则， ， 则，， 如图，作面，于，于， 侧，，，， 又，所以， ，，所以， 结合，得， 根据三角函数的两角差公式可得 ， 所以， 已知，则， 将上式移项可得， 解得，所以，，三点共线， 由得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点作出辅助线，找出二面角，的平面角，由，得到，进而得到.再结合差角公式，齐次化处理求出.最后将转化为.综合性较强，属于难题. 21．(24-25高二上·湖南益阳·期末)如图，在正三棱柱中，为的中点，为棱上一个动点. (1)若，求证：平面； (2)若为的中点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，进而可得，即可根据勾股定理求解长度证明，即可求解， （2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【详解】（1）证明：正三棱柱平面平面. 为正三角形，为中点，. 又平面平面平面.又平面， . . 所以，. . 又平面,故平面. （2）以为坐标原点，以及过点且垂直平面的垂线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，可取. 设平面的一个法向量为， 则，可取. 平面与平面夹角的余弦值为. 22．(24-25高二上·湖南郴州·期末)如图，四棱锥中，平面，，，，，点为线段上靠近的三等分点．    (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合余弦定理，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角的余弦值. 【详解】（1）在四棱锥中，， 由余弦定理，得， 则，而，则，， 由平面平面，得，又平面， 因此平面，又平面，所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， 显然平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 设平面和平面夹角为，， 所以平面和平面夹角的余弦值. 23．(24-25高二上·湖南岳阳平江县·期末)在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形是边长为2的菱形，，E是AD的中点. (1)判断直线BE与平面的位置关系，并证明； (2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【答案】(1)平面，证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BD，通过证明，可得到平面. （2）以E为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可计算平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）平面，证明如下： 如图，连接BD. 因为为等边三角形，E是AD的中点，所以，且. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，所以， 因为平面，，所以平面. （2）以E为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PAB的法向量为，则， 令，则，故， 设平面PBC的法向量为，则， 令，则，故， 所以， 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 24．(24-25高二上·湖南衡阳第一中学·期末)如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，. (1)求证：平面； (2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用余弦定理计算出，再利用勾股定理证明，最后再根据线面垂直的判定定理即可得证； （2）取的中点，的中点，连接，先证明两两垂直，再建立空间直角坐标系，根据平面与平面夹角的向量方法求解即可. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，且， 所以，， 在由余弦定理可得， 所以，，所以， 又因为，平面，， 所以平面. （2） 取的中点，的中点，连接，显然， 因为平面，所以平面，又因为平面， 所以，因为是边长为的等边三角形， 所以，且， 所以三点共线，因为，平面，， 所以平面， 又因为平面，所以，且， 所以两两垂直，建立以为原点如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，设平面的法向量为， 则，取，则， ，取，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 25．(24-25高二上·湖南邵阳邵东·期末)如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形，，是的中点，在线段上，且. (1)求证：. (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，先证明平面即可. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角的正弦值. 【详解】（1）连接，四边形是正方形，， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，. （2）由（1）知，，，，，两两垂直如图， 以为原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系. 不妨设，则，，，， 平面，平面的一个法向量为， 设，，， ， 设平面的法向量为，则， 取，则，，平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的正弦值为. 26．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，，是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，连接，，易知四边形为正方形，得到，再根据全等三角形得到，进而得到，最后用线面垂直判定得到平面，进而得到面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标和法向量坐标，结合向量夹角余弦公式计算即可. 【详解】（1）如图，取的中点为，连接，，设，连接，易知四边形为正方形，， ，，， ， 为的中点，， 因为，，平面，平面， 又平面，平面平面. （2）易知，又，，，平面， 平面， 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则取得， 设平面的法向量为， 则取，得， 设平面与平面所成的角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 27．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)如图，在长方体中，，是的中点，是的中点.    (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面和平面的法向量，根据法向量垂直证明面面垂直即可； （2）求出平面的法向量，结合（1）中求得的平面法向量，根据面面角的向量求解方法可求得答案. 【详解】（1）如图，以为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，.    设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以. 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以. 因为，所以， 所以平面平面. （2）由（1）知，，， 平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为，则 ，即， 令，则，，所以. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以， 所以平面与平面夹角的正弦值为. 28．(24-25高二上·湖南长沙周南中学·期末)如图，在四面体中，平面，．为的重心，点在线段上，.    (1)证明：平面； (2)若，，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用重心的性质结合线面平行的判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量运算来求两平面夹角的余弦值即可. 【详解】（1）如图，连接并延长交于，连接， 为的重心，， 又，，， 平面，平面， ， 平面. （2）如图，以为轴，为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，    则，，，， 因为的重心，点在线段上，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面的夹角的余弦值. 29．(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)如图，在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，，点是的中点，，且面. (1)证明：面； (2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，推导出，利用线面垂直的性质可得出，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）连接，因为是等腰直角三角形斜边的中线，所以，， 因为面，面，则， 因为，、平面，所以，平面. （2）因为面，， 以为原点，、、的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，. 则、、、、， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 所以，. 因此，平面与平面的夹角的余弦值为. 30．(24-25高二上·湖南多校联考·期末)如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，. (1)求证：平面； (2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由题中条件，求出，根据勾股定理证明，再由，根据线面垂直的判定定理，即可证明结论成立； （2）取的中点，连接并延长交于，结合（1）中结论，证明平面平面，得到，，两两互相垂直，以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，根据平面夹角公式的向量表示，即可求出结果. 【详解】（1）因为是边长为2的等边三角形，且，， 所以，. 又，所以.     此时，所以.     又，，平面，平面， 所以平面； （2）取的中点，连接并延长交于，则， 又，，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 再由（1）可知平面，平面，故， 又平面， 所以平面，可得，，两两互相垂直，    故以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，      则，，， 因为，所以，     所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得.     因为， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 地 城 考点06 方程思想的应用 31．(24-25高二上·湖南永州·期末)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，． (1)求线段的长； (2)线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可构造方程求得结果； （2）根据面面角的向量求法可构造方程求得长，进而得到结果. 【详解】（1）以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 设，则，，，， ，，， ，即. （2）设，则，， 设平面的法向量， ，令，则，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，即， 解得：或（舍），即， 当时，平面与平面夹角的余弦值为. 地 城 考点07 最值与范围问题 32．(24-25高二上·湖南永州·期末)在三棱锥中，平面，，，若三棱锥外接球的表面积不大于，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，在等腰中，求得，设的外心是，外接圆半径是，由正弦定理得，设外接球球心是，可得是直角梯形，设可得，把也用表示，然后可表示出外接球半径，利用外接球的表面积不大于得即可求解. 【详解】设，在等腰中，， 设的外心是，外接圆半径是，则， 设外接球球心是，则平面，平面，则， 同理，，又平面， 所以，是直角梯形， 设，外接球半径为，即， 则，所以， 在直角中，，， 则，，所以， 由三棱锥外接球的表面积不大于，得， ， 解得， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定一个参数，由已知设，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，从而得解. 地 城 考点08 距离与体积问题 33．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】先求出向量，再计算与夹角的余弦值，进而得到正弦值，最后利用距离公式求出点到直线的距离. 【详解】点，点，所以. . 根据向量点积公式可得： 因为，所以： 且， 则点到直线的距离为. 故选：C. 34．(24-25高二上·湖南邵阳邵东第一中学·期末)平行六面体中，，，，则 ． 【答案】 【分析】由，平方即可求解； 【详解】    因为六面体是平行六面体，所以，所以 ，所以． 故答案为：5 35．(24-25高二上·湖南永州·期末)（多选）已知正方体的棱长为，，，分别是棱，，的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面截正方体所得截面的周长为 D．三棱维的体积为 【答案】ABD 【分析】A.易知，得到判断；B.取CD的中点M，连接FM，BM，易知得到平面判断；C.取AB的中点N，连接DN，GN，易得，得到截面是判断；D.由判断. 【详解】A.如图所示：   ，则， 因为平面，平面，所以平面，故正确； B.如图所示：   ， 取CD的中点M，连接FM，BM，易知，则， 又，则， 所以， 易知 平面ABCD，平面ABCD，所以， 又平面， 所以平面，又平面BFM，则，故正确； C.如图所示：    取AB的中点N，连接DN，GN，，则，则， 所以平面截正方体所得截面是， ，所以截面的周长为，故错误； D. 如图所示：   ， 易知，平面，， 又G 为中点，所以点G到平面的距离为， 所以，故正确； 故选：ABD 地 城 考点09 多选题多考点综合 36．(24-25高二上·湖南百师联盟·期末)如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（    ） A． B．三棱锥的体积最大值为1 C．若，则点到直线的距离为 D．三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 【答案】ACD 【分析】根据题意直接建立空间直角坐标系，利用空间向量证明选项A是否正确；求出三棱锥体积的表达式，利用二次函数即可得到选项B中最大值；利用点到线的距离公式即可求得点到直线的距离为，故C正确；先等量转化找出外接球球心，再利用轨迹方程即可求得近似值，得出选项D正确. 【详解】 以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示.设， 则，，，，. 对于选项A：因为，，所以， 所以，所以，A正确. 对于选项B：三棱锥的体积， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误. 对于选项C：若，则，，，所以，， 所以点到直线的距离，C正确. 对于选项D：设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，直线与平面交于点， 则点为外接球的球心，显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等.因为，， 所以. 在平面内，点的轨迹方程为，且，， 故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D正确. 故选：ACD. 37．(24-25高二上·湖南株洲第二中学·期末)如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（    ） A．点到平面的距离为 B．与所成角的余弦值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，从而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据点面距离公式求解A，根据向量的夹角公式求解BD，根据外接球的性质求解半径，即可根据体积公式求解C. 【详解】因为菱形中，为的中点，所以， 即将沿折起后，，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 对于A，设平面的法向量为，则 取，得， 所以点到平面的距离为，A正确； 对于B，与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，取的中点为，则，所以为三棱锥 的外接球球心，，C错误； 对于D，设直线与平面所成的角为， 则，D正确. 故选:ABD 38．(24-25高二上·湖南益阳·期末)在棱长为1的正方体中，分别是棱的中点，是线段上一个动点，则（    ） A．在线段上存在一点，使得 B．三棱锥的体积为 C．与平面所成角的余弦值的最小值为 D．若平面，则平面与正方体的截面面积是 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量共线判断A；求出平面的法向量，求出点到平面距离及线面角的正弦判断BC；取中点并作出过点的截面正六边形，证明垂直于该截面并求出面积判断D. 【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点， 对于A，，当时，与不共线， 当时，与不共线，因此不平行，A错误； 对于B，，设平面的法向量为， 则，令，得，点到平面的距离， ，， 则，， 因此三棱锥的体积，B正确； 对于C，，设与平面所成的角为，则， 当且仅当时取等号，此时取得最小值，C正确； 对于D，，取中点，过点的平面截正方体 的截面为正六边形， ，则，， 于是，而，平面，则垂直于该截面，该截面与的交点为， 因此平面，截面正六边形的面积为，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点睛：用向量法求直线与平面所成的角，求出平面的法向量是关键，并注意公式求出的是线面角的正弦． 39．(24-25高二上·湖南郴州·期末)在棱长为2的正方体中，点是线段上的动点，点是线段的中点．则下列说法正确的是（    ） A．若点是的中点，则过、、三点的正方体的截面的周长是 B．三棱锥的体积是定值 C．直线与平面所成的线面角的正弦值是 D．异面直线与所成的角的最大值是 【答案】ABD 【分析】做出截面，求出截面周长，即可判断A，根据锥体的体积公式判断B，建立空间直角坐标系，利用空间向量法判断C、D. 【详解】对于A：连接、，取的中点，连接、， 则且，所以四边形为平行四边形，所以， 又且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以四点共面，则截面周长为，故A正确； 对于B：，即三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C、D：如图建立空间直角坐标系，则，，， 设， 所以，又平面的法向量为， 设直线与平面所成的线面角为，则，故C错误； 因为，，设异面直线与所成的角为， 则， 所以当时，，又，所以， 即异面直线与所成的角的最大值是，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量法定量计算. 40．(24-25高二上·湖南娄底新化县·期末)如图，在棱长为2的正方体中，点E，F，G分别为，，的中点，若点P在线段EF上运动，则下列结论正确的为（   ） A．与EF为共面直线 B．平面平面EFG C．三棱锥的体积为定值 D．与平面所成角的正切值为 【答案】BCD 【分析】利用线线平行证明线面平行和面面平行，利用空间向量法来求线面角，即可作出判断. 【详解】对于A：连接，如图所示： ∵，分别为，的中点，∴， 又因为平面，平面， ∴平面，平面，且不平行， 则与为异面直线，故A错误； 对于B：连接， ∵点，分别为，的中点，∴，又，∴ ∵平面，平面，∴平面， 由选项A得，平面，平面，∴平面， 又，平面，平面，∴平面平面，故B正确； 对于C：由选项B得平面， ∵点在线段上运动， ∴点到平面的距离等于点到平面的距离，且为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，， ∴，，，设平面的一个法向量为， 则，取，则，， ∴平面的一个法向量为， 设与平面所成角为， ∴， ∴，，故D正确． 故选：BCD. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 期末专题01空间向量与立体几何 ☆9大高频考点概览 考点01空间向量的运算、定理 考点02空间向量的坐标表示 考点03异面直线所成角 考点04线面角 考点05二面角 考点06方程思想的应用 考点07最值与范围问题 考点08距离与体积问题 考点09多选题多考点综合 目目 考点01 空间向量的运算、定理 1.(24-25高二上湖南株洲禄口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学期末)如图，在平行六面体 ABCD-A,B,CD,中，AC与BD的交点为点M,设AB=a,AD=b,AA=c,则下列向量中与C,M相等的 向量是() D A -M 2a+zb+c 1-1 B. 2 2 C. 2 D. 2a-6+c 1-1 2 2.(21-22高二下江苏扬州江都区期中)如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，M为AC和BD的交点， 若AB=a,AD=b,AA=c,则下列式子中与MB,相等的是() 1/12 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D B B A. 1 + - B.6- C. D. 3.(24-25高二上·湖南益阳期末)在四面体0-ABC中，M、N分别是棱OA、BC的中点，P是MN的中 点，设0A=a,0B=b,0C=c,则oP=(） 1-,1,1- A.2a2 -a+-b+二c -a+-b+-C 2 244 1,1,1- C.4+4”4 :a+一b+一C D.a+l6+1 -a+-b+-C 422 4.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)在正四棱台ABCD-A,B,C,D,中，A4,=1,AB=√2， cos∠BA4=5,则4C=（) 4 A.5 B.2 C.5 D.6 5.(2425高二上湖南娄底期末)已知0为空间任意一点，A,B,C,P四点共面，且任意三点不共线，若 OP=mOA-3OB+0C,则m的值为() 4 A号 B c D.1 6.(24-25高二上·湖南浏阳期末)（多选)下列四个结论正确的是() A.任意向量，6，若5-0，则a=0或6=0或<a,6>月 B.若空间中点048，C满足Oc-01+号丽，则《，8C三点共线 C.空间中任意向量a,i,c都满足(a)c=a6.c) D.已知向量ā=l.6=(-2x4列，若x<号则位，列为纯角 目目 考点02 空间向量的坐标表示 2/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高二上·湖南娄底期末)点M(3,2,1)关于平面Oz对称的点的坐标是 8.(24-25高二上湖南永州期末)在空间直角坐标系中，点A(-1,2,3)关于平面x0y对称点的坐标为() A.(1,2,3 B.-1,-2,3 C.（-1,2,-3) D.（1,-2,-3) 9.(24-25高二上湖南益阳期末)已知两个向量ā=(-1,2,0)，万=（-2,2，V2),则ā-= 10.(24-25高二上湖南益阳·期末)已知两个向量ā=(x,2,-1),b=(1,-2,1),ā⊥b,则x的值是() A.-5 B.-1 C.1 D.5 11.(24-25高二上湖南浏阳·期末)已知向量ā=（2,3，-1)，b=(1,2,2),则ā在五上的投影向量为. 12.(24-25高二上湖南永州期末)已知空间中三点A(0,2,3),B(1,2,-1),C(5,6,0). (I)若向量AB-kAC与AB相互垂直，求实数k的值； (2)求ABC的面积， 13.(24-25高二上湖南天壹名校期末)在长方体ABCD-A,B,CD,中，AB=4,BC=3,CC1=2,E是AD 的中点，点P满足B,P=1B,C(2∈R),当AP11平面D,CE时，1的值为 目目 考点03 异面直线所成角 14.(24-25高二上湖南郴州期末)在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=A4=2, ∠BAD=∠BAA,=∠DAA,=60°，则异面直线BC,与CA所成角的余弦值为() A.6 B.V6 c.3 D.3 6 5 3 15.(23-24高二上·湖南益阳·期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形， 且PA=2AB=4,E,F分别为PB,PD的中点，则() p A.AC=2EF B.CE.CF=8 3/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.直线AB与CE夹角的余弦值为3 1 D.直线PB与平面PAC所成角的余弦值为0 10 目目 考点04 线面角 16.(23-24高二上湖南郴州期末)正方体ABCD-A,B,CD中，BC与平面ACD所成角的正弦值为() A.② B.3 C.6 3 D. 3 6 17.(24-25高二上湖南百师联盟期末)给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平 面a可以表示为集合{Pa.AP=0,即在空间直角坐标系0-z中，若A(x,y,),a=(a,b,c，设 P(x,y,z,则平面a的方程为a(x-x)+b(y-yo)+c(z-2o)=0根据以上信息，解决下面问题：已知平面 B的方程为x+3y-2z+5=0,直线1是两平面2x-3y+6=0与3y-2z+7=0的交线，则直线1与平面B所成 角的正弦值为（) A.0 B.3v14 C.3v22 D.377 14 22 154 18.(23-24高二上·湖南永州·期末)如图，矩形BCCB是圆柱OO,的一个轴截面，Q、0分别为上下底面的 圆心，E为CO的中点，BC=8,BB,=4. B (I)当点A为弧BC的中点时，求证：AO⊥平面BB,CC; (2)若点A为弧BC的靠近C点的三等分点，求直线AE与平面AOB所成角的正弦值， 19.(24-25高二上湖南长沙第一中学期末)如图，三棱锥P-ABC由三个以C为公共直角顶点的直角三角板 拼成，其中直角三角板ABC和PAC为两个全等的直角三角板，且∠BAC=云，E,F分别为PA,PC的中 6 点，平面BEF与平面ABC的交线为I. 4/12 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (1)证明：I⊥平面PBC; (2)点Q在直线I上，直线PQ与直线EF的夹角为，直线PQ与平面BEF的夹角为B,是否存在点Q,使得 Q+B=工如果存在，请求出BQ;如果不存在，请说明理由 2 目目 考点05 二面角 20.24-25高二上湖南永州期末)在三棱锥S-ABC中，ABC是正三角形，AD=DC,记二面角 S-AB-C,S-BC-A的平面角分别为a,B,tanQ=2tanB,tan∠SBD=y6 则cOS∠SBA=() A.3V6 B. 5v6 C.6 2 D.96 14 14 14 21.(24-25高二上湖南益阳期末)如图，在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=2,AA,=V3,D为AC的中点，E 为棱AA上一个动点 A C B (1)若A,E=2EA,求证：ED⊥平面BDC1; (2)若E为A,A的中点，求平面EBC,与平面DBC夹角的余弦值， 22.(24-25高二上湖南郴州期末)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD/1BC,∠ABC=60 ,AB=AD=2BC=2,PA=3,点M为线段PD上靠近P的三等分点. 5/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求证：平面MAC⊥平面PAD; (2)求平面MAC和平面PAC夹角的余弦值. 23.(24-25高二上湖南岳阳平江县·期末)在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等边 三角形，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点 B (I)判断直线BE与平面PAD的位置关系，并证明； (2)求平面PAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值， 24.(24-25高二上·湖南衡阳第一中学期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形， ABIICD,AD⊥PB,AB=4 P D B (I)求证：AD⊥平面PBD: (2)若BD⊥PC,且PC=2V5,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值 25.(24-25高二上·湖南邵阳邵东·期末)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是 正方形，PD=AD,M是PD的中点，N在线段PC上，且CN=CP 6/12 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求证：AC⊥BM. (2)求平面BMN与平面ABCD夹角的正弦值 26.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，底面ABC是边长为2的等边 三角形，AA=4,AA,⊥AC,∠BAA=60°，D是CC的中点 B B C (1)求证：平面ACC,4,⊥平面BAD: (2)求平面ABC与平面ABC夹角的余弦值 27.(24-25高二上湖南百师联盟·期末)如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=2BC=2CC,=2,E是 CD的中点，F是BC的中点. D B B (1)求证：平面EAD⊥平面EFD: (2)求平面ADF与平面EAD,夹角的正弦值. 28.(24-25高二上湖南长沙周南中学期末)如图，在四面体A-BCD中，AD1平面BCD,BC⊥CD.E为 △BCD的重心，点F在线段AB上，FB=2AF 7/12 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .J5. D 。E (1)证明：EF/1平面ACD; (2)若AD=BC=2,CD=4,求平面BEF与平面BCD的夹角的余弦值. 29.(24-25高二上·湖南株洲渌口区第三中学、株洲健坤潇湘高级中学·期末)如图，在三棱锥P-ABC中，底 面ABC为等腰直角三角形，AB⊥BC,AC=4,点O是AC的中点，PO=2√5，且P0⊥面ABC B (1)证明：AC⊥面P0B; (2)若M为BC的中点，求平面PAB与平面POM的夹角的余弦值 30.(24-25高二上湖南多校联考期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，△BCD是边长为2的等边三角形， AB//CD,AD⊥PB,AB=4. P B (I)求证：AD⊥平面PBD; (2)若BD⊥PC,且PC=2V5,求平面PAB与平面PBC夹角的余弦值， 目目 考点06 方程思想的应用 8/12 厨学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 31.(24-25高二上湖南永州期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD, DP=DC=2,AD·BP=1· D (1)求线段AD的长； ②线段40上是否存在点E,复得平面PE8与平面P4D夹角的余弦值为气？者存在，求出的能：若 不存在，请说明理由。 目目 考点07 最值与范围问题 32.(24-25高二上湖南永州·期末)在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面BCD,∠BAD=∠CBD,BD=BC=2, 若三棱锥A-BCD外接球的表面积不大于 ，则CD的取值范围为一 目目 考点08 距离与体积问题 33.已知直线1的方向向量为=（-1,0,1)，点A=1,2,-1在1上，则点P=(2,-1,2)到1的距离为() A.√15 B.4 C.17 D.32 34.(24-25高二上·湖南邵阳邵东第一中学·期末)平行六面体ABCD-A,B,C,D,中AB=1,AD=2,AA,=3, A1B=4D=∠BD=背则4G=一 35.(24-25高二上·湖南永州期末)（多选）已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E,F,G分别是棱 BC,CD,BB,的中点，则() A.EGII平面AA,DD B.AE⊥BF C.平面C,DG截正方体所得截面的周长为3（√2+√5） 9/12 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :棱维A-CDG的休积为 目目 考点09 多选题多考点综合 36.(24-25高二上湖南百师联盟期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,BCD中，BE=元BC, CF=CD,元∈(0,1)，则下列说法正确的有() D C B A D F B A.B,F⊥DE B.三棱锥C,-CEF的体积最大值为1 C.者元=了则点R到直线BF的距离为y5 D.三棱锥C,-CEF外接球球心轨迹的长度近似为√2 37.(24-25高二上湖南株洲第二中学期末)如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点， 将ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为A,使得平面A,DE⊥平面BCDE,连接AB,AC,则下列 说法正确的是（) E A.点B到平面ACD的距离为V3 B.BC与AD所成角的余弦值为三 C.三棱锥E-A,CD的外接球的体积为8π D.直线4B与平面4CD所成角的正弦值为V6 38.(24-25高二上湖南益阳期末)在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E,F分别是棱BC,BB,的中点， 10/12