第四章 基本平面图形 章节（13知识点回顾+43题型巩固） 2025-2026学年北师大版七年级数学上册同步讲义与测试

第四章 基本平面图形 章节（13知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.线段、射线、直线 2.直线的基本事实 3 .比较两条线段的长短 4.线段的中点 5.角的有关定义 6.角的表示方法 7.角的分类 8.角的单位换算 9.方向角 10.角的大小比较 11.角平分线 12.多边形及其相关概念 13.圆和扇形及其相关概念 题型巩固 一、直线、线段、射线的数量问题 二、直线相交的交点个数问题 三、线段的应用 四、直线、射线、线段的联系与区别 五、画出直线、射线、线段 六、点与线的位置关系 七、两点确定一条直线 八、线段的和与差 九、线段中点的有关计算 十、线段n等分点的有关计算 十一、线段之间的数量关系 十二、与线段有关的动点问题 十三、两点之间线段最短 十四、两点间的距离 十五、最短路径问题 十六、作线段(尺规作图) 十七、角的概念理解 十八、角的表示方法 十九、角的分类 二十、画特殊角 二十一、钟面角 二十二、方向角的表示 二十三、与方向角有关的计算题 二十四、角的单位与角度制 二十五、角的度数大小比较 二十六、角的比较 二十七、三角板中角度计算问题 二十八、几何图形中角度计算问题 二十九、角度的四则运算 三十、实际问题中角度计算问题 三十一、角平分线的有关计算 三十二、角n等分线的有关计算 三十三、尺规作一个角等于已知角 三十四、多边形的概念与分类 三十五、正多边形概念辨析 三十六、多边形截角后的边数问题 三十七、多边形的周长 三十八、网格中多边形面积比较 三十九、多边形对角线的条数问题 四十、对角线分成的三角形个数问题 四十一、圆的基本概念辨析 四十二、圆的周长和面积问题 四十三、圆心角概念辨析及简单运算 知识梳理 知识点1.线段、射线、直线 1. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 2. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB(或 BA) 射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 知识点2.直线的基本事实 1. 画直线画直线的常用工具是直尺，经过一点 A 可以画出无数条直线， 如图 4.1-4所示 . 也就是说， 经过一点的直线有无数条 . 2. 直线的基本事实经过两点有且只有一条直线(这一事实可以简述为两点确定一条直线)，如图 4.1-5 所示 . 知识点3. 比较两条线段的长短 1. 线段的基本事实 线段的基本事实 两点之间的距离 举例 两 点 之 间 的所有连 线中，线 段 最 短，简单说成 : 两点 之 间线段最短 存在性； 最短性； 唯一性 两点之间线段的 长 度，叫作这两点之间的距离 图 中 所 有 连 接 A， B 两点的线中，线段AB 是最短的，线段AB 的 长 度 就是点 A与点 B 之间的距离 (1) 观察法： 当两条线段的长短相差很大时， 一般直接观察比较两条线段的长短 . (2) 度量法(数的比较)： 利用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . 示例 用度量法比较两条 线段的长短 如图，对于线段 AB 与线段 CD，测得 AB= 2 cm， CD=3 cm，所以线段 AB 的长度小于线段 CD 的长度，记作 AB<CD. (3)叠合法(图形的比较) 也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把 两 条 线 段的 一 个 端 点重合，另一个端 点 位 于 重合 端 点 的 同侧 并 在 同 一条直线上，通过 端 点 的 位置 关 系 比 较线段的长短 以线段 AB， CD 为例，把点 A 与点C重合，线 段 AB 与线段 CD 在同一条直线上并使点 B， D 都位于点 A(或点 C)的 同 侧，通过观察点 B 与点 D的位置关系比较线段的长短 因 为 点 D 在线 段 AB 上，所以 AB>CD 因 为 点 B 与点 D 重 合，所以 AB=CD 因为 点 B 在线段 CD 上，所以 AB<CD 2. 尺规作图    在数学中， 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图 . 知识点4.线段的中点 1. 线段的中点的定义  把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点 . 如图 4.1-7，如果点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB. 2. 等分线段  把 一 条 线 段 分 成 三 条 相 等 的 线 段的点叫 作线段的三等分点 . 如图 4.1-8，点 M， N 是 线 段 AB 的 三等分点，则有 AM=MN=NB=  AB. 知识点5.角的有关定义 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 知识点6.角的表示方法 1.角的几何符号：∠. 2.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 知识点7.角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 角的范围 角的名称 各种角之间的大小关系 0°<α <90° 锐角 (1) 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 . (2) 1 周 角 =2 平角 =4 直 角=360°； 1 平角 =2 直角 =180°； 1 直角 =90° α =90° 直角 90°<α <180° 钝角 α =180° 平角 α =360° 周角 知识点8.角的单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360等分，每一份就是1度的角， 记作1° ；把1度的角60等分，每一份叫作 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角60等分，每一份叫作1 秒的角，记作 1″ . 2.角的换算 1 周角 =360°， 1 平角 =180°；1°=60′， 1 ′ = 60″， 1= () °， 1″= () ′； 1°=60′= 3 600″ ，1″= () ′= () °. 知识点9.方向角 1.方向角  用角度和方向表示方向的角 . 如图 4.2-4，与地面上的方向顺序相同 . 2. 方向角的描述  一般地，方向角是以测量点的第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动到目标方向线所形成的角 . 特殊方位角： (1) 东北方向为北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° . 知识点10.角的大小比较 1. 观察法 ：当两个角相差很大时，可以通过直接观察比较大小 . 2. 度量法 ：用量角器先量出各角的度数 , 再按照角的度数比较大小 . 3. 叠合法 ：叠合法比较角的大小的方法也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把两个角的顶点及一条边重合，另一条边位于重合边的同侧，通过边的 位 置 关系比较角的大小 以 ∠ ABC 和∠ DEF 为例，把顶点 B 与顶点 E重 合， BA 与 ED重 合， 边 BC 与EF 位 于 BA(或ED)的 同 侧，通过 观 察 边 BC 与EF 的 位 置 关 系比 较 ∠ ABC 和∠ DEF 的大小 因为射线 EF 在 ∠ ABC 的内部，所以∠ ABC>∠ DEF 因为射线 BC 与EF 重 合， 所以∠ ABC=∠ DEF 因为射线 BC 在∠ DEF 的内部，所以∠ ABC< ∠ DEF 知识点11.角平分线 1. 定义及表示方法 方法 示例 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 若 OC 平分∠ AOB，则∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB， ∠ AOB=2 ∠ AOC=2 ∠ BOC. 反之，结合左图，如果角之间满足上面的数量关系也可以说明 OC 是∠ AOB 的平分线 2. 角的 n 等分线  如图 4.2-8 所示， 射线 OC， OD在∠ AOB 的内部， 如果∠ AOD= ∠ DOC=∠ COB， 那么射线 OC， OD 是 ∠ AOB 的三等分线 . 类似地， 从一个角的顶点出发，把这个角分成 n个相等的角的射线， 叫作这个角的 n 等分线 . 如四等分线、五等分线等 . 知识点12.多边形及其相关概念 1. 多边形 : 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形 . 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 . 如三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形 . 注意： 如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧 . 2. 多边形的表示方法： 先写出多边形的名称，然后写出表示它的各个顶点的大写字母，可以按顶点顺时针的顺序书写，也可以按顶点逆时针的顺序书写 . 3. 多边形的边、顶点、内角、对角线的概念 名称 概念 表示 图示 边 组成多边形的各条线段 线段 AB， BC，CD， DE， EA 顶点 多边形相邻两条边的公共端点 点 A， B， C， D， E 内角 多边形相邻两条边组成的角 ∠ EAB， ∠ ABC， ∠ BCD， ∠ CDE， ∠ DEA 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 线段 AC，AD，BE ， BD， CE 4. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 . 示 例 正三角形 正四边形(正方形) 正五边形 正六边形 正八边形 知识点13.圆和扇形及其相关概念 项目 内容 示例 圆的定义 平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆，固定的端点称为圆心，这条线段称为半径 点 O 是圆心，线段OA ， OB都是半径 ⌒ 有关名称 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧 如弧 AB，记作 AB 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形 如扇形AOB 顶点在圆心的角叫作圆心角 如∠ AOB 1. 圆心角的度数： 因为一个周角为 360° ，所以将一个圆分成的几个扇形的圆心角的度数之和等于 360° ，一个扇形圆心角的度数 =360°× 这个扇形圆心角占周角的百分比 . 2. 扇形的面积： 半径为 R 的圆，其面积 S=π R²，将圆等分为360 个小扇形，则每个圆心角为 1° 的小扇形的面积是 ，所以圆心角为 n° 的扇形的面积为 n . 题型巩固 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，图中线段共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 题型二、直线相交的交点个数问题 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）2024年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第1题：几位同学假期组成一个小组去某市旅游．该市有6座塔，它们的位置分别为A，B，C，D，E，F．同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A，B，C，D处的四座塔，而看不到位于和的塔.已知： （1）同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合； （2）A，B，C，D，E，F中任意3点不在同一直线上； （3）看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所遮挡． 请你观察原题答案提供的如图所示的图形，这个旅游小组最多可能有 名同学． 题型三、线段的应用 3．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 题型四、直线、射线、线段的联系与区别 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列生活中的实例可以看成射线的是（   ） A．紧绷的琴弦 B．人行横道线 C．手电筒发出的光线 D．正方体的棱长 题型五、画出直线、射线、线段 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面内有A、B、C、D四点，按下列步骤作图： (1)画直线、射线； (2)线段，相交于点E． 题型六、点与线的位置关系 6．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 题型七、两点确定一条直线 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 题型八、线段的和与差 8．（25-26七年级上·北京通州·期中）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 题型九、线段中点的有关计算 9．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 题型十、线段n等分点的有关计算 10．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 题型十一、线段之间的数量关系 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，延长线段到点，使，点为的中点． (1)若，请补齐图形并求线段的长； (2)若为的三等分点，则的值为 ．（直接写出结果） 题型十二、与线段有关的动点问题 12．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    题型十三、两点之间线段最短 13．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ； （2）小明骑行的最短距离为 ． 题型十四、两点间的距离 14．（24-25七年级上·全国·期末）关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 题型十五、最短路径问题 15．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．    题型十六、作线段(尺规作图) 16．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 题型十七、角的概念理解 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 题型十八、角的表示方法 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 题型十九、角的分类 19．（2025·河北·一模）如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 题型二十、画特殊角 20．凭你的感觉画出的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？ 题型二十一、钟面角 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 题型二十二、方向角的表示 22．（25-26七年级上·重庆）玲玲家在学校的东偏南方向上，则学校在玲玲家的（    ）方向上． A．东偏南 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 题型二十三、与方向角有关的计算题 23．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 题型二十四、角的单位与角度制 24．计算下列各式 (1) (2) 题型二十五、角的度数大小比较 25．（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 题型二十六、角的比较 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 题型二十七、三角板中角度计算问题 27．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若，请求出的度数． 题型二十八、几何图形中角度计算问题 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 题型二十九、角度的四则运算 29．如图，已知，求，，的度数． 题型三十、实际问题中角度计算问题 30．（22-23七年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 题型三十一、角平分线的有关计算 31．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，平分，平分，则 ． 题型三十二、角n等分线的有关计算 32．如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 题型三十三、尺规作一个角等于已知角 33．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 题型三十四、多边形的概念与分类 34．（24-25七年级下·山东·阶段练习）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 题型三十五、正多边形概念辨析 35．（2023七年级·广东深圳·竞赛）如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 题型三十六、多边形截角后的边数问题 36．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 题型三十七、多边形的周长 37．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 题型三十八、网格中多边形面积比较 38．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 题型三十九、多边形对角线的条数问题 39．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）过七边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型四十、对角线分成的三角形个数问题 40．如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 题型四十一、圆的基本概念辨析 41．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 题型四十二、圆的周长和面积问题 42．（24-25七年级上·湖北十堰）如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图． 题型四十三、圆心角概念辨析及简单运算 43．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 基本平面图形 章节（13知识点回顾+43题型巩固） 目录 知识梳理 1.线段、射线、直线 2.直线的基本事实 3 .比较两条线段的长短 4.线段的中点 5.角的有关定义 6.角的表示方法 7.角的分类 8.角的单位换算 9.方向角 10.角的大小比较 11.角平分线 12.多边形及其相关概念 13.圆和扇形及其相关概念 题型巩固 一、直线、线段、射线的数量问题 二、直线相交的交点个数问题 三、线段的应用 四、直线、射线、线段的联系与区别 五、画出直线、射线、线段 六、点与线的位置关系 七、两点确定一条直线 八、线段的和与差 九、线段中点的有关计算 十、线段n等分点的有关计算 十一、线段之间的数量关系 十二、与线段有关的动点问题 十三、两点之间线段最短 十四、两点间的距离 十五、最短路径问题 十六、作线段(尺规作图) 十七、角的概念理解 十八、角的表示方法 十九、角的分类 二十、画特殊角 二十一、钟面角 二十二、方向角的表示 二十三、与方向角有关的计算题 二十四、角的单位与角度制 二十五、角的度数大小比较 二十六、角的比较 二十七、三角板中角度计算问题 二十八、几何图形中角度计算问题 二十九、角度的四则运算 三十、实际问题中角度计算问题 三十一、角平分线的有关计算 三十二、角n等分线的有关计算 三十三、尺规作一个角等于已知角 三十四、多边形的概念与分类 三十五、正多边形概念辨析 三十六、多边形截角后的边数问题 三十七、多边形的周长 三十八、网格中多边形面积比较 三十九、多边形对角线的条数问题 四十、对角线分成的三角形个数问题 四十一、圆的基本概念辨析 四十二、圆的周长和面积问题 四十三、圆心角概念辨析及简单运算 知识梳理 知识点1.线段、射线、直线 1. 线段、射线、直线的概念 名称 线段 射线 直线 概念 绷紧的琴弦、 黑板的边沿都可以近似地看作线段 将线段向一 个 方向无限延长 就形成了射线 将线段向两个方向无限延长就形成了直线 图形 端点个数 2 1 0 延伸情况 不能延伸 向一个方向无限延伸 向两个方向无限延伸 度量情况 能度量 不能度量 不能度量 联系 射线、线段是直线的一部分；将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线；将射线反向无限延长就形成了直线 2. 线段、射线、直线的表示方法 名称 图例 表示方法 线段 (1)用一个小写字母表示，如线段 ； (2)用表示端点的两个大写字母表示，如线段 AB(或 BA) 射线 用两个大写字母表示，表示端点的字母在前，如射线 OA 直线 (1)用一个小写字母表示，如直线 ； (2)用表示直线上任意两点的两个大写字母表示，如直线 AB(或 BA) 射线表示方法的注意事项： (1) 表示射线时端点字母必须写在前面，如射线 OA 和射线 AO 表示的是不同的射线； (2)在字母前要加上“射线”两个字； (3)端点不同，所表示的射线一定不同； (4)只有端点和延伸方向都相同时，才表示同一条射线 . 知识点2.直线的基本事实 1. 画直线画直线的常用工具是直尺，经过一点 A 可以画出无数条直线， 如图 4.1-4所示 . 也就是说， 经过一点的直线有无数条 . 2. 直线的基本事实经过两点有且只有一条直线(这一事实可以简述为两点确定一条直线)，如图 4.1-5 所示 . 知识点3. 比较两条线段的长短 1. 线段的基本事实 线段的基本事实 两点之间的距离 举例 两 点 之 间 的所有连 线中，线 段 最 短，简单说成 : 两点 之 间线段最短 存在性； 最短性； 唯一性 两点之间线段的 长 度，叫作这两点之间的距离 图 中 所 有 连 接 A， B 两点的线中，线段AB 是最短的，线段AB 的 长 度 就是点 A与点 B 之间的距离 (1) 观察法： 当两条线段的长短相差很大时， 一般直接观察比较两条线段的长短 . (2) 度量法(数的比较)： 利用刻度尺分别量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较 . 示例 用度量法比较两条 线段的长短 如图，对于线段 AB 与线段 CD，测得 AB= 2 cm， CD=3 cm，所以线段 AB 的长度小于线段 CD 的长度，记作 AB<CD. (3)叠合法(图形的比较) 也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把 两 条 线 段的 一 个 端 点重合，另一个端 点 位 于 重合 端 点 的 同侧 并 在 同 一条直线上，通过 端 点 的 位置 关 系 比 较线段的长短 以线段 AB， CD 为例，把点 A 与点C重合，线 段 AB 与线段 CD 在同一条直线上并使点 B， D 都位于点 A(或点 C)的 同 侧，通过观察点 B 与点 D的位置关系比较线段的长短 因 为 点 D 在线 段 AB 上，所以 AB>CD 因 为 点 B 与点 D 重 合，所以 AB=CD 因为 点 B 在线段 CD 上，所以 AB<CD 2. 尺规作图    在数学中， 我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图 . 知识点4.线段的中点 1. 线段的中点的定义  把一条线段分成两条相等线段的点，叫作线段的中点 . 如图 4.1-7，如果点 M 是线段 AB 的中点，则有 AM=BM= AB. 2. 等分线段  把 一 条 线 段 分 成 三 条 相 等 的 线 段的点叫 作线段的三等分点 . 如图 4.1-8，点 M， N 是 线 段 AB 的 三等分点，则有 AM=MN=NB=  AB. 知识点5.角的有关定义 1. 角的定义 (1) 静态： 角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫作角的边，如图 4.2-1 ①所示，角的顶点是 O，角的边是射线OA， OB. (2) 动态：角也可以看成 是由一条射 线绕 着它的端点旋转而成的 . 如图 4.2-1 ②所 示， ∠ AOB 可以看成是以 O 为端点的射线，从 OA 的位置绕点 O 旋转到 OB 的位 置而成的图形 . 2. 平角和周角 一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫作平角，如图 4.2-1 ③ . 终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫作周角，如图 4.2-1 ④ . 在小学数学中，我们已经知道 :1 平角 =180° ，1 周角 =360° . 知识点6.角的表示方法 1.角的几何符号：∠. 2.角的四种表示方法 名称 图例 记法 表示方法 用三个大写字母表示 ∠ AOB 或∠ BOA 字母 O 表示顶点，A， B 分别表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 用一个大写字母表示 ∠ O 当以某一点为顶点的角只有一个时，可用顶点字母来表示角 用一个阿拉伯数字 表示 ∠ 1 在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母 用希腊字母表示 ∠ α 知识点7.角的分类 角可按照角的度数的大小分为锐角、直角、钝角、平角、周角 . 具体如下表： 角的范围 角的名称 各种角之间的大小关系 0°<α <90° 锐角 (1) 锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 . (2) 1 周 角 =2 平角 =4 直 角=360°； 1 平角 =2 直角 =180°； 1 直角 =90° α =90° 直角 90°<α <180° 钝角 α =180° 平角 α =360° 周角 知识点8.角的单位换算 1. 角的度量单位  度、分、秒是常用的角的度量单位 . 把一个周角 360等分，每一份就是1度的角， 记作1° ；把1度的角60等分，每一份叫作 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角60等分，每一份叫作1 秒的角，记作 1″ . 2.角的换算 1 周角 =360°， 1 平角 =180°；1°=60′， 1 ′ = 60″， 1= () °， 1″= () ′； 1°=60′= 3 600″ ，1″= () ′= () °. 知识点9.方向角 1.方向角  用角度和方向表示方向的角 . 如图 4.2-4，与地面上的方向顺序相同 . 2. 方向角的描述  一般地，方向角是以测量点的第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动到目标方向线所形成的角 . 特殊方位角： (1) 东北方向为北偏东 45° ； (2) 东南方向为南偏东 45° ； (3) 西南方向为南偏西 45° ； (4) 西北方向为北偏西 45° . 知识点10.角的大小比较 1. 观察法 ：当两个角相差很大时，可以通过直接观察比较大小 . 2. 度量法 ：用量角器先量出各角的度数 , 再按照角的度数比较大小 . 3. 叠合法 ：叠合法比较角的大小的方法也称为重合法，具体内容如下表： 方法 示例 把两个角的顶点及一条边重合，另一条边位于重合边的同侧，通过边的 位 置 关系比较角的大小 以 ∠ ABC 和∠ DEF 为例，把顶点 B 与顶点 E重 合， BA 与 ED重 合， 边 BC 与EF 位 于 BA(或ED)的 同 侧，通过 观 察 边 BC 与EF 的 位 置 关 系比 较 ∠ ABC 和∠ DEF 的大小 因为射线 EF 在 ∠ ABC 的内部，所以∠ ABC>∠ DEF 因为射线 BC 与EF 重 合， 所以∠ ABC=∠ DEF 因为射线 BC 在∠ DEF 的内部，所以∠ ABC< ∠ DEF 知识点11.角平分线 1. 定义及表示方法 方法 示例 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 若 OC 平分∠ AOB，则∠ AOC=∠ BOC= ∠ AOB， ∠ AOB=2 ∠ AOC=2 ∠ BOC. 反之，结合左图，如果角之间满足上面的数量关系也可以说明 OC 是∠ AOB 的平分线 2. 角的 n 等分线  如图 4.2-8 所示， 射线 OC， OD在∠ AOB 的内部， 如果∠ AOD= ∠ DOC=∠ COB， 那么射线 OC， OD 是 ∠ AOB 的三等分线 . 类似地， 从一个角的顶点出发，把这个角分成 n个相等的角的射线， 叫作这个角的 n 等分线 . 如四等分线、五等分线等 . 知识点12.多边形及其相关概念 1. 多边形 : 由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫作多边形 . 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 . 如三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边形 . 注意： 如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧 . 2. 多边形的表示方法： 先写出多边形的名称，然后写出表示它的各个顶点的大写字母，可以按顶点顺时针的顺序书写，也可以按顶点逆时针的顺序书写 . 3. 多边形的边、顶点、内角、对角线的概念 名称 概念 表示 图示 边 组成多边形的各条线段 线段 AB， BC，CD， DE， EA 顶点 多边形相邻两条边的公共端点 点 A， B， C， D， E 内角 多边形相邻两条边组成的角 ∠ EAB， ∠ ABC， ∠ BCD， ∠ CDE， ∠ DEA 对角线 连接多边形不相邻两个顶点的线段 线段 AC，AD，BE ， BD， CE 4. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 . 示 例 正三角形 正四边形(正方形) 正五边形 正六边形 正八边形 知识点13.圆和扇形及其相关概念 项目 内容 示例 圆的定义 平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫作圆，固定的端点称为圆心，这条线段称为半径 点 O 是圆心，线段OA ， OB都是半径 ⌒ 有关名称 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧 如弧 AB，记作 AB 由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫作扇形 如扇形AOB 顶点在圆心的角叫作圆心角 如∠ AOB 1. 圆心角的度数： 因为一个周角为 360° ，所以将一个圆分成的几个扇形的圆心角的度数之和等于 360° ，一个扇形圆心角的度数 =360°× 这个扇形圆心角占周角的百分比 . 2. 扇形的面积： 半径为 R 的圆，其面积 S=π R²，将圆等分为360 个小扇形，则每个圆心角为 1° 的小扇形的面积是 ，所以圆心角为 n° 的扇形的面积为 n . 题型巩固 题型一、直线、线段、射线的数量问题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，图中线段共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的数量，掌握线段的定义是解题的关键根据线段的定义求解即可． 【详解】解：图中的线段有，共3条， 故选：． 题型二、直线相交的交点个数问题 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）2024年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第1题：几位同学假期组成一个小组去某市旅游．该市有6座塔，它们的位置分别为A，B，C，D，E，F．同学们自由行动一段时间后，每位同学都发现，自己在所在的位置只能看到位于A，B，C，D处的四座塔，而看不到位于和的塔.已知： （1）同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点，且这些点彼此不重合； （2）A，B，C，D，E，F中任意3点不在同一直线上； （3）看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所遮挡． 请你观察原题答案提供的如图所示的图形，这个旅游小组最多可能有 名同学． 【答案】 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题考查了直线的相关知识点，根据三点共线时会互相遮挡画出图形即可得解，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：由题意，由于看不到位于和的塔，可得同学所处位置为两条直线的交点处，有个画圈位置满足条件，如图所示： 故答案为：． 题型三、线段的应用 3．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，在三角形中，比较线段和的长短，科学的方法有 个． ①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置； ②用直尺度量出和的长度； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置； ④凭感觉估计． 【答案】3 【知识点】线段的应用 【分析】本题考查了比较线段的长短，比较两条线段的方法：度量法、叠合法、折叠法，据此逐一判断即可． 【详解】解：①沿点A折叠，使和重合，观察点B的位置，方法可行； ②用直尺度量出和的长度，方法可行； ③用圆规将线段叠放到线段上，观察点B的位置，方法可行； ④凭感觉估计，不科学，方法不可行． 故答案为：3． 题型四、直线、射线、线段的联系与区别 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列生活中的实例可以看成射线的是（   ） A．紧绷的琴弦 B．人行横道线 C．手电筒发出的光线 D．正方体的棱长 【答案】C 【知识点】直线、射线、线段的联系与区别 【分析】本题考查了直线、射线、线段，理解线段、射线、直线的概念是解决问题的关键． 根据直线、射线、线段的定义即可得到结论． 【详解】解：A、紧绷的琴弦可以看成线段，不符合题意； B、人行横道线可以看成线段，不符合题意； C、手电筒发出的光线可以看成射线，符合题意； D、正方体的棱长可以看成线段，不符合题意； 故选：C． 题型五、画出直线、射线、线段 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在平面内有A、B、C、D四点，按下列步骤作图： (1)画直线、射线； (2)线段，相交于点E． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题考查了画出直线、射线、线段，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，以及结合直线和射线的定义进行作图，即可作答． （2）根据题意，以及结合线段的定义进行作图，即可作答． 【详解】（1）解：直线、射线如图所示： （2）解：线段，相交于点E，如图所示． 题型六、点与线的位置关系 6．（2025·河北廊坊·一模）如图，为下列某条直线上的一点，利用直尺判断，该直线为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【知识点】点与线的位置关系 【分析】该题考查了直线的定义，根据图象解答即可． 【详解】解：根据图象可得，该直线为直线， 故选：C． 题型七、两点确定一条直线 7．（25-26七年级上·河南郑州·期中）值日生小亮为了把桌子又快又好的摆整齐，总是先把一列的第一张桌子和最后一张桌子摆好，再依次摆中间的桌子，这样做蕴含的数学依据是 ． 【答案】两点确定一条直线 【知识点】两点确定一条直线 【分析】本题考查了几何公理，掌握“两点确定一条直线”是解题关键．小亮先摆好第一张和最后一张桌子，相当于确定一条直线的两个端点，从而确定一条直线，然后中间的桌子沿这条直线摆放，确保整齐． 【详解】解：根据几何公理，两点确定一条直线．小亮先摆好两端桌子，就确定了桌子的摆放直线，再摆中间桌子，使所有桌子在一条直线上， 故答案为：两点确定一条直线． 题型八、线段的和与差 8．（25-26七年级上·北京通州·期中）下列选项中，能用表示的是（   ） A．整条线段的长度： B．整条线段的长度： C．这个长方形的周长： D．这个图形的面积： 【答案】C 【知识点】列代数式、线段的和与差 【分析】根据线段的和，长方形的周长，长方形的面积的计算公式解答即可． 本题考查了代数式的意义，熟练掌握线段长度的和，长方形周长，面积计算是解题的关键． 【详解】 解：A. 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； B. 整条线段的长度：，表示为，不符合题意； C. 这个长方形的周长：，表示为，符合题意； D. 这个图形的面积：，表示为，不符合题意； 故选：C． 题型九、线段中点的有关计算 9．（2025七年级上·全国·专题练习）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点． (1)求的长； (2)若点F是的中点，求的长． 【答案】(1) (2)8 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差运算，线段中点的含义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据，，求出，再根据中点的定义求出，即可； （2）首先求出，得到，根据中点的定义求出，即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为， 所以． 因为点是的中点， 所以． （2）解：因为， 所以． 因为，， 所以． 因为点是的中点， 所以， 所以． 题型十、线段n等分点的有关计算 10．（22-23七年级上·湖北十堰·期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段，C是直线上的一点，M，N分别是线段的三等分点，且． (1)如图1，当点C在线段上时，求的长； (2)如图2，当点C在延长线上时，求的长； (3)当点C在延长线上时，画出图形，并模仿上述两问的解答过程，求的长． 【答案】(1)6 (2)6 (3)见解析，6 【知识点】线段的和与差、线段n等分点的有关计算 【分析】（1）由可得、，然后根据图形可得即可解答； （2）根据图形可得即可解答； （3）根据图形可得当点C在延长线上时，． 【详解】（1）解：∵， ∴，，，， 如图1：当点C在线段AB上时，． （2）解： 如图2：当点C在AB延长线上时，． （3）解：如图： 当点C在延长线上时，． 【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关键． 题型十一、线段之间的数量关系 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）如图，延长线段到点，使，点为的中点． (1)若，请补齐图形并求线段的长； (2)若为的三等分点，则的值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)图见解析， (2)或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】本题考查了线段中点，线段和差运算等知识，结合图形理清线段间的关系，并分类讨论是解题的关键． （1）依题意即可补齐图形；由可求得的长；由点为的中点，求得的长，再由即可求解； （2）分两种情况：F点为靠近点C的三等分点；F点为靠近点B的三等分点；利用线段间的关系即可求解． 【详解】（1）解：补齐图形如下： 因为，， 所以， 所以； 因为点为的中点， 所以， 所以； （2）解：当F点为靠近点C的三等分点时，如图， 则； 因为点为的中点，， 所以， 所以； 当F点为靠近点B的三等分点时，如图， 则； 因为点为的中点，， 所以， 所以； 综上，或； 故答案为：或． 题型十二、与线段有关的动点问题 12．（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）知识准备： 如图①，点P在以点O为圆心的圆上，若点P用时5分钟在圆上绕点O顺时针旋转一圈，此时点P刚好绕点O旋转一个周角，即360度，则称此时点P绕点O的旋转速度为：度/分钟． 解决问题： 如图②， A、B两点相距60厘米，点O在线段上且厘米，角度，点Q从点B沿直线向点A匀速运动． （1）在点Q运动的同时点P绕点O顺时针旋转，点P旋转的速度为45度/分钟，当点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求点Q的速度． （2）若点Q运动的同时，点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动，同时点P仍然以45度/分钟的速度绕点O顺时针旋转，当点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇，求此时点Q的速度．    【答案】（1）18厘米/分钟；（2）7厘米/分钟 【知识点】与线段有关的动点问题 【分析】（1）根据题意可求出点P的运动时间，由点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇，即得出点Q的运动时间与点P的运动时间相等，再求出点Q运动的距离，最后由速度=路程÷时间求解即可； （2）求出点P的运动时间，即得出点O的运动时间和点Q的运动时间，从而可求出点O的运动距离，再求出点Q的运动距离，最后根据速度=路程÷时间求解即可． 【详解】解：（1）∵，点P旋转的速度为45度/分钟， ∴点P的运动时间为：分钟． ∵点P第一次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为2分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟； （2）当点P第二次运动到直线上时，点P绕点O顺时针旋转了， ∴此时点P的运动时间为：分钟． ∵点O也以3厘米/分钟的速度向点B运动， ∴点O的路程为厘米． ∵点P第二次运动到直线上时恰好与点Q相遇， ∴点Q的运动时间为6分钟，且此时点Q运动的距离为厘米， ∴点Q的速度为厘米/分钟． 【点睛】本题考查线段上的动点问题，解题关键在于数形结合思想的运用和掌握速度=路程÷时间． 题型十三、两点之间线段最短 13．（2025·北京东城·一模）快递员小明每天从快递点骑电动三轮车到三个小区投送快递．每个小区经过且只经过一次，最后返回快递点．之间的距离（单位：）如图所示． （1）若小明按照的路线骑行，则小明骑行的距离为 ； （2）小明骑行的最短距离为 ． 【答案】 【知识点】两点之间线段最短 【分析】本题涉及到距离的计算． （1）直接将路线中各段距离相加即可； （2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离． 【详解】解：（1）根据图示计算的路线距离为； 故答案为：       （2）找出所有可能路线计算： ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； ，距离为； 通过比较这些路线的距离，是最短的． 故答案为：. 题型十四、两点间的距离 14．（24-25七年级上·全国·期末）关于两点之间的线段，下列说法中不正确的是（　　） A．连接两点的线段可以有无数条 B．如果线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离 C．连接两点的线段的长度是两点间的距离 D．连接两点的线段是连接两点的所有的线中，长度最小的 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、两点间的距离 【分析】本题考查线段，两点间的距离，线段的性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】连接两点的线段只有1条，故A错误； 线段，那么点A与点B的距离等于点A与点C的距离，故B正确； 连接两点的线段的长度，是两点间的距离，故C正确； 两点之间的距离是连接两点的所有线的长度中，长度最短的，故D正确； 故答案为：A 题型十五、最短路径问题 15．如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区提供牛奶，牛奶站应建在什么地方，才能使到它的距离之和最短，作图并说明．    【答案】图见解析，说明见解析 【知识点】最短路径问题 【分析】如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置． 【详解】解：如图，作点A关于街道得对称点C，连接CB，交街道与点D，则点D即为所求的牛奶站的位置． 由轴对称的性质可知AD=CD，则AD+BD=CD+BD=BC， 在街道上任取一点不同于D点的E，连接CE，BE， 根据两点之间线段最短可知BE+CE＞BC，则点D即为所求； 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，熟知相关知识是解题的关键． 题型十六、作线段(尺规作图) 16．如图，用同一个圆规张开一定角度比较两条线段和的长短，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．没有刻度尺，无法确定 【答案】C 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题考查了线段长度的大小比较，根据比较线段长短的方法即可． 【详解】解：用圆规比较两条线段和的长短，可知． 故选：C． 题型十七、角的概念理解 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列关于角的说法正确的有 （填序号）． （1）两条射线组成的图形叫做角； （2）延长一个角的两边； （3）角的两边是射线，所以角不可以度量； （4）角的大小与这个角的两边长短无关； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形； （6）平角是一条直线； （7）周角是一条射线． 【答案】（4）（5） 【知识点】角的概念理解 【分析】本题主要考查了角的相关概念以及性质，正确理解角的概念是解题的关键． 根据角的相关概念以及性质分别判断即可． 【详解】解：（1）有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； （2）角的两边是两条射线，射线不能度量，所以不能说延长，原说法错误； （3）角的大小与这个角的两边长短无关，可以度量，原说法错误； （4）角的大小与这个角的两边长短无关，正确； （5）角可以看作是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形，正确； （6）平角是由一条射线绕着它的端点旋转180度而成的角，是由处在同一直线上具有公共端点且方向相反的两条射线构成的角，不是一条直线，原说法错误； （7）周角是一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，此时终边和始边重合，但它有顶点和两条重合的边，而射线只有一个端点，周角与射线是不同的概念，原说法错误； 故答案为：（4）（5）． 题型十八、角的表示方法 18．（24-25七年级上·全国·随堂练习）老师提出了以下问题：如图所示，请用恰当的方法表示图中给出的所有角（小于平角的角），某组同学在本组展示区的答案是：，，，，． 思考分析后，分别解答下列问题： (1)有位同学认为答案中有错误，你是否认同他的观点？ _______．（填“认同”或“不认同”） (2)如果你认为有错误，错误的答案为______________． (3)另一位同学认为答案不完整，还有符合要求的角没表示出来，请你将答案修改补充完整，图中还有_________________________________________________． 【答案】(1)认同 (2) (3)，， 【知识点】角的表示方法 【分析】本题主要考查了角的表达方式，即角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，角还可以用一个希腊字母或阿拉伯数字表示，熟练掌握角的表达方式是解题关键． （1）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （2）根据角的表达方式即可判断表达有错误； （3）根据角的表达方式即可求解． 【详解】（1）解：其中表达有错误，所以我认同他的观点． 故答案为：认同． （2）解：表达有错误， 故答案为：． （3）解：应改为：，； 图中还有没表示出来． 故答案为：，，． 题型十九、角的分类 19．（2025·河北·一模）如图，若，则边可能经过的点为（   ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】B 【知识点】角的分类 【分析】本题考查了角的分类，掌握锐角、直角、钝角的概念是解题关键．连接各选项点进行分析即可． 【详解】解：A、连接，由图形可知，，不符合题意； B、连接，由图形可知，接近于，则边可能经过点N，符合题意； C、连接，由图形可知，，不符合题意； D、连接，由图形可知，，不符合题意； 故选：B． 题型二十、画特殊角 20．凭你的感觉画出的角，再用量角器量一量，你画的准确度如何？ 【答案】图见解析，基本准确． 【知识点】画特殊角 【分析】可借助三角板画出的角，然后利用120°的角等于30°+90°，135°的角等于45°+90°，这样画起来比较准确，然后可借助量角器量一量． 【详解】解：画出的角度如下， 经测量后，基本准确． 【点睛】本题考查作角．在作一些特殊的角时可借助三角板或者利用三角板上的角的和或者差作比较准确，本题主要是培养学生对特殊角度的感知． 题型二十一、钟面角 21．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【知识点】钟面角 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． （1）因为钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，借助图形，找出时针和分针之间相差的大格数，用大格数乘即可． （2）根据钟面角的定义以及图形中的角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 题型二十二、方向角的表示 22．（25-26七年级上·重庆）玲玲家在学校的东偏南方向上，则学校在玲玲家的（    ）方向上． A．东偏南 B．南偏东 C．西偏北 D．北偏西 【答案】C 【知识点】方向角的表示 【分析】本题考查方向角． 根据位置的相对性即可求解． 【详解】解：∵玲玲家在学校的东偏南方向上， ∴学校在玲玲家的西偏北方向上． 故选：C． 题型二十三、与方向角有关的计算题 23．（25-26七年级上·全国·期末）湘绣手工店周边还布局了体验工坊和奶茶店．如图，若把湘绣手工店记作点，在处观察体验工坊（记作点）时，点在点的北偏西方向上，在处观察奶茶店（记作点）时，，则奶茶店在湘绣手工店的（   ） A．南偏东方向上 B．北偏东方向上 C．东偏北方向上 D．北偏东方向上 【答案】B 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方位角的定义，角度的运算，掌握方位角的定义是解题的关键．结合图形，根据方位角的意义，求得的度数即可求解． 【详解】解：如图， ∵点在点的北偏西40°18'方向上， ∴， ∵， ∴， ∴奶茶店在湘绣手工店的北偏东方向上． 故选：B． 题型二十四、角的单位与角度制 24．计算下列各式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】角的单位与角度制 【分析】本题主要考查度分秒的换算． （1）直接进行角度的减法运算，当低位不够减时，向高位借； （2）直接进行角度的加法运算，满进，满进． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二十五、角的度数大小比较 25．（24-25七年级·辽宁沈阳·期末）一班同学学完角一节后，有两名同学因为两个角的大小争论起来，请你帮助判断比较大小： ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】 【知识点】角的度数大小比较 【分析】将转化为度分的形式，再与比较大小．本题主要考查了度分秒的换算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 【详解】解：， ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 题型二十六、角的比较 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图所示，正方形网格中有和，如果每个小正方形的边长都为，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【知识点】角的比较 【分析】本题考查了角的大小比较，数形结合是解题的关键．作，由图可知，即可求解． 【详解】解：如图，作， ， ， 故选：A． 题型二十七、三角板中角度计算问题 27．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O．若，请求出的度数． 【答案】 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了角的计算．根据角的和差关系计算即可． 【详解】解：由图可知，， ∴． 题型二十八、几何图形中角度计算问题 28．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知．求的度数．（分射线在内部和外部两种情形） 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】本题需要分射线在内部和外部两种情况，根据角的和差关系来计算的度数． 【详解】解：当射线在内部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 当射线在外部时： 根据角的和差关系： 已知 ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题考查了角的和差计算，掌握分情况讨论射线的位置，根据角的和差关系计算角的度数是解题的关键． 题型二十九、角度的四则运算 29．如图，已知，求，，的度数． 【答案】的度数为，的度数为，的度数为 【知识点】角度的四则运算 【分析】本题考查了角的计算，准确的计算是解决本题的关键． 由图得出，再根据题意得出进而求解即可． 【详解】解：由图可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 题型三十、实际问题中角度计算问题 30．（22-23七年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：如果，且（k为正整数），那么称是的“倍锐角”． (1)下列三个条件中，能判断是的“倍锐角”的是________（填写序号）； ①；②；③是的角平分线； (2)如图，当时，在图中画出的一个“倍锐角”； (3)如图，当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°，可得它的“倍锐角”_____°； (4)当且存在它的“倍锐角”时，则________°． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3)60或80 (4)或 【知识点】实际问题中角度计算问题 【分析】（1）分别求出和后判断是否符合（k为正整数）； （2）先求出的度数，再任意画出一个符合题意的角即可； （3）先求出的所有可能性，再分别求出的度数； （4）分两种情况分别讨论． 【详解】（1）当时，，，①符合题意； 当时，，，②不符合题意； 当是的角平分线，，③符合题意； 故答案为①③． （2）∵，， ∴， 如下图： （3）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ∴应逆时针旋转， ∵当时，射线绕点O旋转，每次旋转10°， ∴可取，，，， 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，符合题意； 故答案为：60或80． （4）∵是的“倍锐角”， ∴（k为正整数）， ∵， ∴， ①：如图， ； ②：如图， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了用新定义计算角的和差，正确理解“倍锐角”是解题的关键． 题型三十一、角平分线的有关计算 31．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）如图，已知，平分，平分，则 ． 【答案】/60度 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】本题考查了角平分线的性质以及有关角的计算，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 根据角平分线的定义得到，根据角的和差即可得到结论． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 题型三十二、角n等分线的有关计算 32．如图，OB，OC是的两条三等分线，则下列说法①；②；③；④OC平分，其中不正确的是 （只填序号）． 【答案】② 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】由OB、OC是∠AOD的两条三等分线，得到∠AOB＝∠BOC＝∠COD，以此判断即可． 【详解】解：OB、OC是∠AOD的两条三等分线， 故∠AOB＝∠BOC＝∠COD ∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3∠BOC，故①正确； ∠AOD＝3∠BOC，2∠AOC＝2（∠AOB＋∠BOC）＝4∠BOC故②不正确 ，故③正确； ∠COD＝∠BOC，故④正确； 故答案为：②． 【点睛】本题考查了角的n等分线的定义，熟练掌握角等分线的定义是解决本题的关键． 题型三十三、尺规作一个角等于已知角 33．（25-26七年级上·辽宁沈阳·期中）如图，，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线于，以为圆心，以为半径画弧，交前弧于点，过作射线，则 【答案】/80度 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查的知识点是尺规作等角的方法及角的和差运算；通过尺规作图得，再利用已知角的度数，结合角的和差关系求出所求角的度数． 【详解】解：由尺规作图可知，(以为圆心画弧，再以为圆心、长为半径画弧得到点，这种作图方法是作角平分线的方法)， ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型三十四、多边形的概念与分类 34．（24-25七年级下·山东·阶段练习）下列多边形中，不是凸多边形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】多边形的概念与分类 【分析】本题考查凸多边形的定义，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形．根据凸多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：选项A、C、D中，画出这个多边形的任意一条边所在的直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，所以都是凸多边形， 只有B选项不符合凸多边形的定义，不是凸多边形． 故选：B． 题型三十五、正多边形概念辨析 35．（2023七年级·广东深圳·竞赛）如图，正十二边形的面积是2022，那么图中阴影部分的面积是（    ）． A．504 B．568 C．612 D．674 【答案】D 【知识点】正多边形概念辨析 【分析】根据图，将阴影部分等积变形，推出阴影部分和正十二边形的关系，计算得到结论即可． 本题考查了面积与等积变换，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：如图，正十二边形是有12个正三角形和6个四边形组成的， 设正三角形的面积为a，四边形的面积为b， 而阴影部分是有4个正三角形和2个四边形组成的，恰好是正十二边形的， 图中阴影部分的面积是， 故选：D． 题型三十六、多边形截角后的边数问题 36．若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【知识点】多边形截角后的边数问题 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到． 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况． 题型三十七、多边形的周长 37．（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正八边形的周长是，则这个多边形的边长等于 ． 【答案】4； 【知识点】多边形的周长 【分析】本题考查正多边形的定义，根据每条边都相等，每个内角都相等的多边形叫正多边形求解即可得到答案； 【详解】解：∵正八边形的周长是， ∴这个多边形的边长为：， 故答案为：4． 题型三十八、网格中多边形面积比较 38．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”，具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，为图形的面积，是边界上的格点数，是内部格点数，则有．请根据此方法计算图中四边形的面积． 【答案】 【知识点】网格中多边形面积比较 【分析】本题考查了用“方格法”来计算四角形的面积，结合图形得出公式中的相关字母的值，则问题不难解答．根据图形分别得出和的值，代入公式计算即可． 【详解】解：由图形可知，， ． 题型三十九、多边形对角线的条数问题 39．（23-24七年级上·宁夏银川·阶段练习）过七边形的一个顶点可以画n条对角线，则n的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】多边形对角线的条数问题 【分析】本题考查了多边形的对角线：多边形对角线的条数问题，根据边形有个顶点，且过一个顶点能画条对角线，进行作答即可． 【详解】解：∵过七边形的一个顶点可以画n条对角线， ∴ 故选：B． 题型四十、对角线分成的三角形个数问题 40．如图，某同学探究n边形的内角和公式，首先将以顶点为端点的对角线、、、、、连接，将此n边形分割成个三角形，然后由每个三角形的内角和为，可得n边形的内角和为．该同学的上述探究方法所体现的数学思想是（   ） A．分类讨论 B．公理化 C．类比 D．转化 【答案】D 【知识点】对角线分成的三角形个数问题 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式、数学思想等知识点，掌握转化的数学思想是解题的关键． 根据题意即可解答． 【详解】解：探究多边形内角和公式时，从n边形的一个顶点出发引出条对角线，将n边形分割成个三角形，这个三角形的所有内角之和即为n边形的内角和，这一探究过程运用的数学思想是转化思想． 故选D． 题型四十一、圆的基本概念辨析 41．（2025·江苏连云港·二模）一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次． A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】圆的基本概念辨析 【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案． 【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上， ∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心， ∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次， 故选：B． 题型四十二、圆的周长和面积问题 42．（24-25七年级上·湖北十堰）如图所示，半径为1厘米的小圆盘（娃娃脸）沿着长方形内壁，从点出发不停滚动（无滑动），最后到原来的位置．小圆盘在 、、位置是怎样的，请你计算一下并画出示意图． 【答案】见解析 【知识点】圆的周长和面积问题 【分析】本题考查了圆的周长公式，熟记公式并灵活运用是解题的关键． 根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：到转了（圈）， 到转了（圈）， 作图如下： ． 题型四十三、圆心角概念辨析及简单运算 43．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 学科网（北京）股份有限公司 $