2026年中考数学复习之小题决胜演练圆

2026年中考数学复习之小题决胜演练 圆 一．选择题 1．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 4．如图，⊙C过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知∠OBA＝30°，点D的坐标为，则点A的横坐标为（　　） A． B． C．2 D． 5．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上的点，若∠CAB＝59°，则∠CBA的大小为（　　） A．31° B．41° C．49° D．90° 6．如图，在⊙O中，直径AB，弦CD，且AB⊥CD于点E，CD＝4，OE＝1.5，则⊙O的半径是（　　） A．2.5 B．2 C．2.4 D．3 7．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O的弦AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点C，若AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径为（　　） A． B．1m C． D．2m 8．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，D、E分别是、的中点，∠DAE＝α，∠BAC＝β，则（　　） A．α+β＝180° B．2β＝α C．α﹣β＝45° D．2α﹣β＝180° 9．如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE．下列结论：①DF⊥BF；②EC＝EF；③∠OFB＝∠ADB；④为定值2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 二．填空题 11．若圆锥的高是cm，底面直径是2cm，则这个圆锥的侧面积是　 　 ，表面积是　 　 cm2；侧面展开图扇形的圆心角的度数是　 　 ． 12．如图，点E是边长为4的正方形ABCD内一点，且∠E＝90°，将线段DE以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DF，点G是BC的中点，连接FG，则FG的最大值为　 　 ． 13．如图，∠ACB＝60°，⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，点P为圆上一动点，分别作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，则s的最大值与最小值的差为 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B（6，0）作⊙P的切线，切点为Q，则OA＝　 　 ，切线长BQ的最小值为　 　 ． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝75°，则∠D＝　 　 °． 16．如图，⊙O的弦AC＝6cm，弦BC＝8cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BD长是 　 　 cm． 17．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接CD．若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是 　 　 ． 18．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，点N是AB的中点，MN⊥AB，交于点M．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当OA＝5，按照这个公式计算，AB＝8时，l的值约为　 　 ． 19．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点O为AB边上一点且OB＝8，点D为BC边上的动点，过点D作⊙O的两条切线，切点分别为E，F，若⊙O的半径为2，则四边形DEOF面积的最小值是 　 　 ． 20．如图，在以AB为直径的半圆O中，C、D为半圆O的三等分点，过点D作DE⊥AC，交AC延长线于点E，连接OE交AD于点F，则　 　 ． 三．解答题 21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　 　 ． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长． （3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系． 22．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于D，OC平分∠ACB． （1）证明：直线BC是小圆的切线； （2）试证明：AC+AD＝BC； （3）若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 23．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． 24．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F． （1）求证：AF⊥EF． （2）探究线段AF、CF、AB之间的数量关系，并证明． 25．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AC＝3，AB＝5，求CE，DE的长． 26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于F，若，⊙O半径为，，求BF的长． 27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 28．如图，点A、B、D、C都在圆上，AD是⊙O的直径，OB⊥AC交AC于点E． （1）求证：AB＝BC； （2）若AE＝4，CD＝6，求BE． 29．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 ∠α的度数 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）观察上面表格中α的变化规律，∠α与边数n的关系为：　 　 ． （3）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝18°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 30．如图1，三角形ABC内接于⊙O，点D在上，且，连接DA，DC，E为BA延长线上一点，且DE＝DC． （1）求证：∠DEA＝∠DCB； （2）如图2，当直线DE与⊙O相切时，求证：∠DCA+2∠CAB＝180°． 31．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A0，B0分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，利用刻度尺测得B0D0的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为8cm． （1）小明认为，他所测量的B0D0的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：　 　 ； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 参考答案 一．选择题 1．如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D，且DC+DA＝12，⊙O的直径为20，则AB的长等于（　　） A．8 B．12 C．16 D．18 【分析】连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，设AD＝x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长． 【解答】解：连接OC，过O作OF⊥AB，垂足为F， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠OAC， ∵AC平分∠PAE， ∴∠DAC＝∠CAO， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴PB∥OC， ∵CD⊥PA， ∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°， ∴四边形DCOF为矩形， ∴OC＝FD，OF＝CD． ∵DC+DA＝12， 设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x， ∵⊙O的直径为20， ∴DF＝OC＝10， ∴AF＝10﹣x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2． 即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102， 解得x1＝4，x2＝18． ∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去， ∴x＝4， ∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6， ∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点， ∴AB＝2AF＝12． 故选：B． 2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，⊙O是四边形ABCD的内切圆，CD，BC分别切⊙O于F，E两点，若AD＝3，BC＝6，则EF的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】作DG⊥BC于点G，连接OC、OE，根据切线长定理可得CE＝CF，OC平分∠ECF，DF＝DH，所以OC垂直平分EF，令OC、EF相交于点M，则EM＝FM，设圆半径为R，则DG＝2R，CG＝3，CD＝6﹣R+3﹣R，根据勾股定理可求出R，再利用面积公式求出EM即可求得EF． 【解答】解：连接OC，与EF相交于点M，作DG⊥BC于点G，连接OE，设AD与圆的切点为H，如图， ∵AD∥BC，AB⊥BC，DG⊥BC， ∴四边形ABGD是矩形， ∴BG＝AD＝3，CG＝BC﹣BG＝6﹣3＝3， ∵点E、F、H是切点， ∴DF＝DH，CF＝CE，OC平分∠ECF， ∴△ECF是等腰三角形，OC是EF的垂直平分线， ∴EM＝FM， 设圆O半径为R，则BE＝R，DG＝2R， ∴CE＝CF＝6﹣R，DF＝DH＝3﹣R， ∵DG2+CG2＝CD2， ∴（2R）2+32＝[（3﹣R）+（6﹣R）]2， 解得：R＝2， ∴CE＝6﹣2＝4， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 4．如图，⊙C过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知∠OBA＝30°，点D的坐标为，则点A的横坐标为（　　） A． B． C．2 D． 【分析】连接AD，根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系可证AD为直径，由圆周角定理得到∠D＝∠OBA＝30°，在Rt△OAD中，根据勾股定理计算可得AO的长，得到点A的横坐标，即可求解． 【解答】解：连接AD， ∵∠AOD＝90°， ∴AD为⊙C的直径，即点C在AD上， ∵， ∴∠D＝∠ABO＝30°， ∴AD＝2AO， ∵， ∴， ∵在Rt△AOD中，AO2+DO2＝AD2， 即， ∴AO＝2， ∴点A的横坐标为2． 故选：C． 5．如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上的点，若∠CAB＝59°，则∠CBA的大小为（　　） A．31° B．41° C．49° D．90° 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝59°， ∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝31°， 故选：A． 6．如图，在⊙O中，直径AB，弦CD，且AB⊥CD于点E，CD＝4，OE＝1.5，则⊙O的半径是（　　） A．2.5 B．2 C．2.4 D．3 【分析】连接OD，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣8，再根据勾股定理求出r的值即可． 【解答】解：连接OD， ∵直径AB⊥弦CD于点E，且CD＝4， ∴DECD＝2， 在Rt△ODE中， OE2+DE2＝OD2， ∴1.52+22＝OD2，解得OD＝2.5． 故选：A． 7．如图，圆形拱门的形状是以点O为圆心的圆的一部分，点D是⊙O的弦AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点C，若AB＝2m，CD＝3m，则⊙O的半径为（　　） A． B．1m C． D．2m 【分析】根据垂径定理、线段中点的定义可得OD⊥AB，AD＝1m，设⊙O的半径长为rm，则OA＝OC＝rm，OD＝（3﹣r）m，再在Rt△AOD中，利用勾股定理即可得． 【解答】解：∵C是⊙O中的弦AB的中点，且AB＝2m，∴OD⊥AB，ADAB＝1m， 设⊙O的半径长为rm， 则OA＝OC＝rm， ∵CD＝3m， ∴OD＝（3﹣r）m， 在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2， 即（3﹣r）2+12＝r2， 解得r 即⊙O的半径长为m． 故选：C． 8．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，D、E分别是、的中点，∠DAE＝α，∠BAC＝β，则（　　） A．α+β＝180° B．2β＝α C．α﹣β＝45° D．2α﹣β＝180° 【分析】在△ABC中由三角形内角和定理得∠B+∠C＝180°﹣β，再根据圆周角定理得∠DAB∠B，∠CAE∠C，进而得∠DAB+∠CAE（∠B+∠C），由此得∠DAE＝α＝∠DAB+∠CAE+∠BAC，由此即可得出答案． 【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝β， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣β， ∵D点D、E分别是、的中点， ∴∠DAB∠B，∠CAE∠C， ∴∠DAB+∠CAE（∠B+∠C）（180°﹣β）， ∴∠DAE＝α＝∠DAB+∠CAE+∠BACβ， ∴2α﹣β＝180°． 故选：D． 9．如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE．下列结论：①DF⊥BF；②EC＝EF；③∠OFB＝∠ADB；④为定值2．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据题意可得EF是BD的垂直平分线，OC是AB的垂直平分线，可得点A、B、D以F为圆心的圆上，根据圆周角定理可得∠BFD＝2∠BAC，进而可判断①；连接BC，根据圆周角定理的推论并结合①的结论可得点C和点F在以点E为圆心的同一个圆上，于是可判断②；连接AF，由①知点A、B、D以F为圆心的圆上，然后根据圆周角定理即可判断③；在直角△BDC中，利用锐角三角函数和③的结论可得，然后将进行整理变形即得结论，进而可判断④，于是可得答案． 【解答】解：连接AF， 由条件可知EF垂直平分BD， ∴FB＝FD． ∵OC是半径，C为的中点， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OC＝OB， ∴∠BOC＝∠AOC＝90°，△AOC是等腰直角三角形，FA＝FB＝FD， ∴∠BAC＝∠OCA＝45°，点A、B、D以F为圆心的圆上， ∴∠BFD＝2∠BAC＝90°， ∴DF⊥BF，①正确． 连接BC， 由条件可知∠ACB＝90°＝∠BCD＝∠BFD， ∴点C和点F在以点E为圆心的同一个圆上， ∴EC＝EF，故②正确． 连接AF， 由条件可知，故③正确． 在直角△BDC中， ， ∴，故④错误． 故选：C． 10．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 【分析】连接OA构成直角三角形，先根据垂径定理，由DE垂直AB得到点E为AB的中点，由AB＝10可求出AE＝5，再设出圆的半径OA为x，表示出OE，根据勾股定理建立关于x的方程，解方程直接可得2x的值，即为圆的直径． 【解答】解：如图，连接OA， ， ∵AB⊥CD，且AB＝10寸， ∴AE＝BE＝5寸， 设圆O的半径OA的长为x，则OC＝OD＝x， ∵CE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25， 即2x＝26， ∴CD＝26寸， 故选：D． 二．填空题 11．若圆锥的高是cm，底面直径是2cm，则这个圆锥的侧面积是　2πcm2 ，表面积是　3π　 cm2；侧面展开图扇形的圆心角的度数是　180°　 ． 【分析】先求出圆锥的底面圆的半径和周长，再求出圆锥展开后侧面所得扇形的半径，即可求出这个圆锥的侧面积和表面积，再根据扇形面积公式求出圆心角即可． 【解答】解：∵圆锥的底面直径是2cm， ∴圆锥的底面圆的半径为1cm，周长为2πcm， ∵圆锥的高是cm， ∴圆锥展开后所得扇形的半径为2（cm）， ∴这个圆锥的侧面积是2π×2＝2π（cm2），表面积是2π+π×12＝3π（cm2）， 设侧面展开图扇形的圆心角的度数是n°， ∵圆锥展开后所得扇形的面积是2πcm2， ∴2π， 解得：n＝180， 故答案为：2πcm2，3π，180°． 12．如图，点E是边长为4的正方形ABCD内一点，且∠E＝90°，将线段DE以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DF，点G是BC的中点，连接FG，则FG的最大值为　2+2　 ． 【分析】连接CF，证明△ADE≌△DCF（SAS），则∠CFD＝∠E＝90°，当G、H、F共线时，GF最大，即可求解． 【解答】解：连接CF，取CD的中点H， 由旋转的性质知，∠CDF＝∠ADE， ∵AD＝CD，DE＝DF， 则△ADE≌△DCF（SAS）， 则∠CFD＝∠E＝90°， 则点F在以CD为直径的圆H上，连接GH、FH， 当G、H、F共线时，GF最大， 则HFCD＝2，GHCG＝2， 则GF的到最大值为2+2， 故答案为：2+2． 13．如图，∠ACB＝60°，⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切，点P为圆上一动点，分别作PM⊥CA，PN⊥CB，令s＝PM+2PN，则s的最大值与最小值的差为 　　 ． 【分析】先证明，作MH⊥PN，从而可利用三角函数证得，进而证明，得出当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小，分别画出图形确定HN的最大值和最小值，从而得出S的最大值与最小值的差． 【解答】解：作MH⊥NB于H，作MF⊥BC于F， ∵PM⊥AC，PN⊥CB， ∴∠PMC＝∠PNC＝90°， ∴∠MPN＝360°﹣∠PMC﹣∠PNC﹣∠C＝120°， ∴∠MPH＝180°﹣∠MPN＝60°， ∴， ∴， ∵MH⊥HN，MF⊥FN，FH⊥HN， ∴四边形MFNH是矩形， ∴MF＝NH， ∴当MP与⊙O相切时，MF取得最大和最小， 如图1，连接OP，OG，OC， ∵MP与⊙O相切，MG与⊙O相切，PM⊥CA，GO＝OP， ∴四边形OPMG是正方形， ∴MG＝OP＝3， ∵⊙O的半径为3且与∠ACB两边都相切， ∴OC平分∠MCN， ∵∠ACB＝60°， ∴， ∴在Rt△COG中，∠COG＝90﹣∠OCG＝60°， ∴CG＝OG•tan∠COG＝OG•tan60°＝3， ∴， 在Rt△CMF中，， ∴， ∴； 如图2， ∴，MG＝2， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵S＝PM+2PN， ∴S的最大值为与最小值为． ∴S的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 14．如图，在平面直角坐标系中，A（4，3），⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，过点B（6，0）作⊙P的切线，切点为Q，则OA＝　5　 ，切线长BQ的最小值为　　 ． 【分析】由勾股定理可直接得OA5；由于⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切，可推得圆心P在∠MOA的角平分线OP上．通过作A点关于直线OP的对称点A'（0，5），进而找到AA'的中点坐标（2，4），则OP必经过点（2，4），可求出直线OP的表达式为y＝2x．设点P坐标为（x，2x），故OP．由勾股定理可得：BQ2＝PB2﹣PQ2，即BQ2＝（x﹣6）2+（2x）2﹣x2＝4x2﹣12x+36＝4（x）2+27，将BQ的最值问题转化为函数最值问题．通过求此二次函数的最值即可得BQ的最小值． 【解答】解：如图1所示，设⊙P切y轴于点M，连接PM， ∵A（4，3）， ∴OA5． ∵⊙P与射线OA以及y轴的正半轴始终相切， ∴圆心P在∠MOA的角平分线OP上． 作A点关于直线OP的对称点A'（0，5）， 则AA'的中点坐标为（2，4）， 则OP必经过点（2，4）， ∴直线OP的表达式为y＝2x． 设点P坐标为（x，2x）， 故OP． ⊙P的半径PM＝PQ＝x， 连接PQ，则∠PQB＝90°， 则由勾股定理可得：BQ2＝PB2﹣PQ2， 即BQ2＝（x﹣6）2+（2x）2﹣x2＝4x2﹣12x+36＝4（x）2+27， 故BQ2有最小值27， 此时BQ最小为． 故答案为：5，． 15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝75°，则∠D＝　105　 °． 【分析】根据圆内接四边形的性质可得∠D+∠B＝180°，再代入数值进行计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠D+∠B＝180°， ∵∠B＝75°， ∴∠D＝180°﹣∠B＝105°， 故答案为：105． 【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 16．如图，⊙O的弦AC＝6cm，弦BC＝8cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，则BD长是 　5　 cm． 【分析】连接AD，由圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，由勾股定理求出AB10（cm），由圆心角、弧、弦的关系定理推出AD＝BD，判定△ABD是等腰直角三角形，求出BDAB＝5（cm）． 【解答】解：连接AD， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB10（cm）， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD， ∴， ∴AD＝BD， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴BDAB＝5（cm）． 【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形，关键是判定△ABD是等腰直角三角形． 17．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，且AB⊥OC，P为圆上一动点，D为AP的中点，连接CD．若⊙O的半径为4，则CD长的最大值是 　22　 ． 【分析】根据题意得出点M的移动轨迹，再根据圆外一点到圆上一点最大距离进行计算即可． 【解答】解：如图，当点P在⊙O上移动时，AP的中点M的轨迹是以OA为直径的⊙O'， 因此CO′交⊙O'于点D，此时CD的值最大， 由题意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′OA＝2＝O′D， 在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2， O′C2， ∴CD＝CO′+O′D＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，正确进行计算是解题关键． 18．《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，点N是AB的中点，MN⊥AB，交于点M．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当OA＝5，按照这个公式计算，AB＝8时，l的值约为　8.8　 ． 【分析】连接ON．由垂径定理得ON⊥AB，结合MN⊥AB，得M，N，O三点共线，由勾股定理求得ON的长，从而求得MN的长，再代入弧长l的近似值计算公式即可求解． 【解答】解：如图，连接ON． 由条件可知ON⊥AB， 又∵MN⊥AB， ∴M，N，O三点共线， ∴， ∴， ∴MN＝OM﹣ON＝5﹣3＝2， ； 故答案为：8.8． 【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键． 19．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，点O为AB边上一点且OB＝8，点D为BC边上的动点，过点D作⊙O的两条切线，切点分别为E，F，若⊙O的半径为2，则四边形DEOF面积的最小值是 　　 ． 【分析】连接OD，过点O作OH⊥BC于点H，则OHOB＝4，证明Rt△DOE和△DOF全等得S四边形DEOF＝2S△DOE＝2DF，要使四边形DEOF的面积为最小，只需DF为最小即可，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＝OD2﹣4，因此当OD为最小时，DF为最小，根据“垂线段最短”得当点D于点H重合时，OD为最小，最小值为线段OH的长，即OD的最小值为4，此时DF，由此可得四边形DEOF的最小值． 【解答】解：连接OD，过点O作OH⊥BC于点H，如图所示： ∵∠B＝30°，OB＝8，OH⊥BC， ∴OHOB＝4， ∵DE，DF是⊙O的两条切线， ∴OE⊥DE，OF⊥DF，OE＝OF＝2， 在Rt△DOE和△DOF中， ， ∴Rt△DOE≌△DOF（HL）， ∴DE＝DF，S△DOE＝S△DOF， ∴S四边形DEOF＝2S△DOE＝2DF×OF2DF， 要使四边形DEOF的面积为最小，只需DF为最小即可， ∴在Rt△ODF中，由勾股定理得：DF2＝OD2﹣OF2＝OD2﹣4， ∴当OD为最小时，DF为最小， ∵点D为BC边上的动点， ∴根据“垂线段最短”得：当点D于点H重合时，OD为最小，最小值为线段OH的长， 即OD的最小值为4， 此时DF， ∴四边形DEOF的最小值为：2DF． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了切线的性质，含30度角的直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，灵活运用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 20．如图，在以AB为直径的半圆O中，C、D为半圆O的三等分点，过点D作DE⊥AC，交AC延长线于点E，连接OE交AD于点F，则　　 ． 【分析】连接OC、OD、CD，则OA＝OC＝OD，由，得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，则△AOC和△COD都是等边三角形，所以AC＝OC＝OD＝CD，∠OCA＝∠OCD＝∠ODC＝60°，求得∠DCE＝60°，由∠CED＝90°，得∠CDE＝30°，则AC＝OD＝CD＝2CE，所以EA＝3CE，可证明OD∥EA，则△OFD∽△EFA，所以，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OC、OD、CD，则OA＝OC＝OD， ∵C、D为半圆O的三等分点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD180°＝60°， ∴△AOC和△COD都是等边三角形， ∴AC＝OC＝OD＝CD，∠OCA＝∠OCD＝∠ODC＝60°， ∴∠DCE＝180°﹣∠OCA﹣∠OCD＝60°， ∵DE⊥AC，交AC延长线于点E， ∴∠CED＝90°， ∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝30°， ∴AC＝OD＝CD＝2CE， ∴EA＝CE+2CE＝3CE， ∵∠ODE+∠AED＝∠ODC+∠CDE+∠CED＝180°， ∴OD∥EA， ∴△OFD∽△EFA， ∴， 故答案为：． 三．解答题 21．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格中进行下列操作： （1）在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D点坐标为　（2，0）　 ． （2）连接AD、CD，求⊙D的半径及弧的长． （3）有一点E（6，0），判断点E与⊙D的位置关系． 【分析】（1）找到AB，BC的垂直平分线的交点即为圆心坐标； （2）利用勾股定理可求得圆的半径；易得△AOD≌△DEC，那么∠OAD＝∠CDE，即可得到圆心角的度数为90°，根据弧长公式可得； （3）求出DE的长与半径比较可得． 【解答】解：（1）如图，D点坐标为（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）AD2； 作CE⊥x轴，垂足为E． ∵△AOD≌△DEC， ∴∠OAD＝∠CDE， 又∵∠OAD+∠ADO＝90°， ∴∠CDE+∠ADO＝90°， ∴扇形DAC的圆心角为90度， ∴的长为π； （3）点E到圆心D的距离为4， ∴点E在⊙D内部． 22．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于D，OC平分∠ACB． （1）证明：直线BC是小圆的切线； （2）试证明：AC+AD＝BC； （3）若AB＝8cm，BC＝10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积． 【分析】（1）作OE⊥BC于E，可证OE＝OA， （2）连接OD，由（1）知AC＝CE，再证△AOD≌△EOB，得AD＝BE， （3）由（2）可得BE＝AD＝BC﹣AC＝1010﹣6＝4cm，S圆环＝S大圆﹣S小圆． 【解答】（1）证明：作OE⊥BC于E； ∵CA是圆O的切线， ∴OA⊥CA， ∵CO平分∠ACB， ∴OE＝OA， ∵A在小圆O上， ∴E也在小圆O上， ∴BC是小圆的切线． （2）证明：连接OD， ∵AC、BC是小⊙O的切线， ∴AC＝CE， 在直角△AOD与直角△EOB中， ∵， ∴Rt△AOD≌Rt△EOB（HL），得AD＝BE， ∴BC＝AD+AC． （3）解：由（2）可得BE＝AD＝BC﹣AC＝1010﹣6＝4cm， S圆环＝S大圆﹣S小圆 ＝π（OB2﹣OE2） ＝π•BE2 ＝16π（cm2）． 23．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F． （1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小； （2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长． 【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案； （2）首先连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案． 【解答】解：（1）连接OD， ∵OA为半径的圆与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODB＝90°， ∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴∠CAD＝∠ADO＝25°， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA＝25°， ∴∠BOD＝2∠OAD＝50°， ∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°； （2）连接OF，OD， 由（1）得：OD∥AC， ∴∠AFO＝∠FOD， ∵OA＝OF，点F为的中点， ∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD， ∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝30°， ∵OA＝OD＝2， ∴OB＝2OD＝4， ∴AB＝OA+OB＝6． 24．如图所示，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F． （1）求证：AF⊥EF． （2）探究线段AF、CF、AB之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）首先连接OD，由EF是⊙O的切线，可得OD⊥EF，由∠BAC的平分线交⊙O于点D，易证得OD⊥BC，即可得BC∥EF，由AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AC⊥BC，继而证得AF⊥EF． （2）首先连接BD并延长，交AF的延长线于点H，连接CD，易证得△ADH≌△ADB，△CDF≌△HDF，继而证得AF+CF＝AB． 【解答】（1）证明：连接OD， ∴OD⊥EF， ∵AD平分∠BAC， ∴， 由垂径定理知OD⊥BC， 又AB是直径， ∴∠ACB＝90°即AF⊥BC， ∴AF∥OD， ∴AF⊥EF． （2）AF+CF＝AB． 证明：过D作DH⊥AB于H， 则DH＝DF，AH＝AF， ∵， ∴DC＝DB， 在 Rt△CFD与 Rt△BHD中，， ∴△CFD≌△BHD（HL）， ∴BH＝CF， ∴AB＝AH+HB＝AF+CF，得证． 25．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且点C是的中点，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AC＝3，AB＝5，求CE，DE的长． 【分析】（1）证明：连接OC，OD，由C是的中点求得AOC＝∠COD根据等边三角形的性质得到∠A＝∠OCA（180°﹣∠AOC），∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD），求得∠A＝∠OCA＝∠OCD＝∠ODC，求得OC⊥CE根据清晰度性质得到结论； （2根据圆周角定理得到∠ACB＝90°＝∠E根据相似三角形的性质得到CD＝AC＝3，根据勾股定理得到BC4于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，OD， ∵C是的中点， ∴， ∴∠AOC＝∠COD， ∵OA＝OC＝OD， ∴∠A＝∠OCA（180°﹣∠AOC），∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD）， ∴∠A＝∠OCA＝∠OCD＝∠ODC， ∵∠CDE＝∠A＝180°﹣∠BDC， ∴∠CDE＝∠OCD， ∵CE⊥BD， ∴∠E＝90°， ∴∠OCD+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴OC⊥CE， ∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°＝∠E， ∵∠A＝∠CDE， ∴△ABC∽△DCE， ∴， ∵， ∴CD＝AC＝3， 在Rt△ABC中，BC4， ∴， ∴DE，CE． 26．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于F，若，⊙O半径为，，求BF的长． 【分析】（1）证明：连接OC，如图：根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BCO，根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线； （2）过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图：根据勾股定理得到OD5，根据三角形的面积公式得到CM2，求得OM2＝1，根据相似三角形的性质得到HE＝1＝OM，根据全等三角形的性质得到OH＝CM＝2，根据线段的和差列方程即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，如图： ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90°， ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠BCO， 又∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OD是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：过C作CM⊥AB于M，过E作EH⊥AB于H，连接OE，如图： ∵∠DCO＝90°，CD＝2，OC， ∴OD5， ∴CM2， ∴OM2＝1， ∵∠CMF＝∠FHE＝90°，∠CFM＝∠EFH， ∴△CMF∽△EFH， ∴， ∴， ∴HE＝1＝OM， ∵OC＝OE， ∴Rt△COM≌Rt△OEH（HL）， ∴OH＝CM＝2， ∴AH2， ∵△CMF∽△EFH， ∴， ∴设FM＝2x，FH＝x， ∵BM＝OB﹣OM1， ∴AB＝BM+FM+FH+AH1+2x+x2＝2， ∴x＝1， ∴1+32． 27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB于点D，过O点作OE∥AB交AC于点E，连接DE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，BC＝8，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）如图所示，连接OD，可证△DOE≌△COE（SAS），得到∠ODE＝∠OCE＝90°，结合切线的判定即可求解； （2）根据题意得到，∠COE＝60°＝∠DOE，，，由阴影部分的面积＝S四边形OCED﹣S扇形COD代入计算即可求解． 【解答】（1）解：DE是⊙O的切线，理由如下， 如图所示，连接OD， ∵OB＝OD， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵AB∥OE， ∴∠OBD＝∠COE，∠ODB＝∠DOE， ∴∠DOE＝∠COE， 在△ODE和△OCE中， ， ∴△DOE≌△COE（SAS）， ∴∠ODE＝∠OCE＝90°， 又OD是圆的半径， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠A＝30°，BC＝8，AB∥OE， ∴， ∴∠COE＝60°＝∠DOE， ∴OE＝2OC＝8，， ∴， ∴， ∵∠COD＝60°+60°＝120°，OC＝OD＝4， ∴， ∴阴影部分的面积＝S四边形OCED﹣S扇形COD ， ∴图中阴影部分的面积为． 28．如图，点A、B、D、C都在圆上，AD是⊙O的直径，OB⊥AC交AC于点E． （1）求证：AB＝BC； （2）若AE＝4，CD＝6，求BE． 【分析】（1）由垂径定理即可得出结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，可得∠C＝90°，由垂径定理可得AC，根据勾股定理可得AD，从而可得OA，OB，根据勾股定理可得OE，从而可得BE． 【解答】（1）证明：∵OB⊥AC于点E， ∴， ∴AB＝BC； （2）解：∵点C在圆上，AD是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∵点E在AC上，AE＝CE， ∴AC＝2AE， ∵AE＝4， ∴AC＝4×2＝8， 又∵CD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴OB﹣OE＝5﹣3＝2， ∴BE＝2． 29．如图，一组正多边形，观察每个正多边形中α的变化情况，解答下列问题． （1）将表格补充完整． 正多边形的边数n 3 4 5 6 ∠α的度数 　60°　 　45°　 　36°　 　30°　 （2）观察上面表格中α的变化规律，∠α与边数n的关系为：　∠α×n＝180　 ． （3）根据规律，是否存在一个正多边形，其中的∠α＝18°？若存在，请求出n的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据正多边形的性质和三角形内角和定理可得答案； （2）根据（1）中的规律，即可得出结论； （3）代入（2）中的结论即可． 【解答】解：（1）根据正多边形的性质可知： 正多边形的边数n 3 4 5 6 ∠α的度数 60° 45° 36° 30° 故答案为：60°，45°，36°，30°； （2）观察上面表格中α的变化规律，∠α与边数n的关系为：∠α×n＝180， 故答案为：∠α×n＝180； （3）存在，当∠α＝18°时，18×n＝180，则n＝10， 30．如图1，三角形ABC内接于⊙O，点D在上，且，连接DA，DC，E为BA延长线上一点，且DE＝DC． （1）求证：∠DEA＝∠DCB； （2）如图2，当直线DE与⊙O相切时，求证：∠DCA+2∠CAB＝180°． 【分析】（1）由，得DA＝DC，而DE＝DC，则DA＝DE，所以∠DEA＝∠DAE，由∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°，推导出∠DAE＝∠DCB，所以∠DEA＝∠DCB． （2）连接OD，由直线DE与⊙O相切，得DE⊥OD，由OD平分，得OD⊥AC，则DE∥AC，所以∠DEA＝∠CAB，则∠DAE＝∠CAB，即可由∠DAC+∠DAE+∠CAB＝180°，且∠DAC＝∠DCA，证明∠DCA+2∠CAB＝180°． 【解答】证明：（1）∵， ∴DA＝DC， ∵DE＝DC， ∴DA＝DE， ∴∠DEA＝∠DAE， ∵∠DAE+∠DAB＝180°，∠DCB+∠DAB＝180°， ∴∠DAE＝∠DCB， ∴∠DEA＝∠DCB． （2）如图2，连接OD， ∵直线DE与⊙O相切， ∴DE⊥OD， ∵OD平分， ∴OD⊥AC， ∴DE∥AC， ∴∠DEA＝∠CAB， ∴∠DAE＝∠CAB， ∵∠DAC+∠DAE+∠CAB＝180°，且∠DAC＝∠DCA， ∴∠DCA+2∠CAB＝180°． 31．综合与实践：测量如图（1）所示的圆口水杯的杯口直径．工具：一张宽度为2cm的矩形硬纸板（厚度忽略不计）和刻度尺．小明的测量方法：如图（2），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的两个顶点A0，B0分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，利用刻度尺测得B0D0的长． 小亮的测量方法：如图（3），将硬纸板紧贴在杯口上，纸板的一边与杯口相切，切点为A，另一边与杯口相交于B，C两点，利用刻度尺测得BC的长为8cm． （1）小明认为，他所测量的B0D0的长就是杯口的直径，他用到的几何知识是：　90°的圆周角所对的弦是直径　 ； （2）请根据小亮的测量方法和所得数据，计算出杯口的直径． 【分析】（1）根据90°的圆周角所对的弦是直径进行解答即可； （2）设点O为圆心，连接OA交BC于点M，连接OC．根据EF为⊙O的切线得到OA⊥EF．由BC∥EF得到OA⊥BC，垂径定理得到CM＝4cm，设⊙O的半径为xcm，则OC＝xcm，OM＝（x﹣2）cm，在Rt△OMC中，OM2+MC2＝OC2，得到（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝5，即可得到答案． 【解答】解：（1）∵纸板的两个顶点A，B分别靠在杯口上，硬纸板的边沿与杯口的另两个交点分别为C0，D0，∠B0A0D0＝90°， ∴B0D0为杯口的直径（90°的圆周角所对的弦是直径）， ∴他用到的几何知识是90°的圆周角所对的弦是直径． 故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径； （2）如图，设点O为圆心，连接OA交BC于点M，连接OC． ∵EF为⊙O的切线， ∴OA⊥EF． 又∵BC∥EF， ∴OA⊥BC， ∴， 设⊙O是半径为xcm，则OM＝（x﹣2）cm，OC＝xcm， 在Rt△OMC中，OM2+MC2＝OC2， ∴（x﹣2）2+42＝x2， 解得x＝5， 所以杯口的直径为10cm． 1 学科网（北京）股份有限公司 $