重难点培优03 古典概型、条件概率、全概率和贝叶斯公式（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优03 古典概型、条件概率、全概率和贝叶斯公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 古典概型（★★★★★） 4 题型二 条件概率（★★★★★） 5 题型三 事件的相互独立（★★★★★） 6 题型四 全概率公式（★★★★★） 8 题型五 贝叶斯公式（★★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 13 一、事件的关系判断 1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立． 事件A的对立事件记为 二、事件的运算 1、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生， 我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，即B ⊇A(或A⊆B)， 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B， 则称事件A与事件B相等，记作A＝B 2、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生， 这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 3、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 三、古典概型 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 四、概率的基本性质 1、概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 五、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则 4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 六、条件概率 1、定义：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、条件概率性质应用 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 3、全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 4、贝叶斯公式及其应用 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 题型一 古典概型 【技巧通法·提分快招】 古典概型的概率求解步骤 （1）求出所有样本点的个数； （2）求出事件包含的所有样本点的个数； （3）代入公式求解. 1．（25-26高三上·广东佛山·月考）某袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球．求所抽出的两个球的颜色不同的概率．（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·福建福州·开学考试）将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）从这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河南郑州·期中）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 题型二 条件概率 【技巧通法·提分快招】 条件概率的求解方法 1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·四川南充·月考）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 题型三 事件的相互独立 【技巧通法·提分快招】 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 2．在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 4．（2025·山东济南·模拟预测）某AI训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任务．机器人每次训练有以下规则：若上一轮成功，本轮成功率为p；若上一轮失败，本轮成功率降为．已知首轮成功率为，且前两轮都成功的概率为．则三轮训练中恰好成功两次的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·河北沧州·月考）甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是（   ） A． B． C． D． 题型四 全概率公式 【技巧通法·提分快招】 利用全概率公式求解概率的步骤 1．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·江西九江·三模）某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（   ） A． B． C． D． 题型五 贝叶斯公式 【技巧通法·提分快招】 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即． 1．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 4．（2024·浙江·二模）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·河南鹤壁·二模）某同学忘记单词“”的字母顺序，但是记得前两个字母为“”，后两个字母为“”，则该同学能写对的概率为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·江西·月考）某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 3．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 4．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 5．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）某城市对市民上班的出行方式进行了调查，结果显示有的市民乘坐公共交通工具，有的市民开私家车，有的市民选择步行．在乘坐公共交通工具出行的市民中有的人迟到，在开私家车出行的市民中有的人迟到，在步行出行的市民中有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（    ） A． B．1 C． D． 7．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 8．（2025·江苏苏州·三模）若，，，则事件与事件满足（    ） A．互为对立事件 B． C． D．以上都不对 9．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 10．（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 13．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 14．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·河北邢台·三模）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）甲､乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面分别标以数字）并观察向上的点数，当两枚骰子的点数之差为偶数时，视为平局，当两枚骰子的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方胜2次或平局4次时停止，则恰好进行了3局时，游戏停止的概率为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高三上·浙江·月考）一副扑克牌共有13张红桃牌，其中J､Q､K称为花牌，其它的称为数字牌，现将这13张红桃牌从左到右随机排成一排，则在红桃A的左侧没有数字牌的概率为（    ） A． B． C． D． 19．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 2．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海虹口·期中）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（     ） A． B． C． D． 6．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 7．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 8．（23-24高三下·浙江金华·开学考试）（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优03 古典概型、条件概率、全概率和贝叶斯公式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 4 题型一 古典概型（★★★★★） 4 题型二 条件概率（★★★★★） 7 题型三 事件的相互独立（★★★★★） 10 题型四 全概率公式（★★★★★） 14 题型五 贝叶斯公式（★★★★） 18 03 实战检测・分层突破验成效 21 检测Ⅰ组 重难知识巩固 21 检测Ⅱ组 创新能力提升 32 一、事件的关系判断 1、互斥（互不相容）：一般地，如果事件A与事件B不能同时发生， 也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容) 2、互为对立：一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生， 即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立． 事件A的对立事件记为 二、事件的运算 1、包含关系：一般地，若事件A发生，则事件B一定发生， 我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)，即B ⊇A(或A⊆B)， 特殊情形：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊆B， 则称事件A与事件B相等，记作A＝B 2、并事件（和事件）：一般地，事件A与事件B至少有一个发生， 这样的事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中， 则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B) 3、交事件（积事件）：一般地，事件A与事件B同时发生， 这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中， 则称这样的事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB) 三、古典概型 1、古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2、古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n()分别表示事件A和样本空间包含的样本点个数. 四、概率的基本性质 1、概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）= 1，P()=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，…，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=1P（A）， P(A)=1P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B） P（）. 五、事件的相互独立性 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则 4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 六、条件概率 1、定义：一般地，设，为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率． 2、条件概率性质应用 （1）由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． （2）如果和是两个互斥事件，则； 3、全概率公式及其应用 一般地,设,,是一组两两互斥的事件,,且，,则对任意的事件,有,我们称此公式为全概率公式. 4、贝叶斯公式及其应用 （1）设,,是一组两两互斥的事件,,且，， 则对任意的事件,，有，. 题型一 古典概型 【技巧通法·提分快招】 古典概型的概率求解步骤 （1）求出所有样本点的个数； （2）求出事件包含的所有样本点的个数； （3）代入公式求解. 1．（25-26高三上·广东佛山·月考）某袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球．求所抽出的两个球的颜色不同的概率．（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用古典概型公式计算即可. 【详解】袋中有5个不同颜色的球．芷晴从该袋中随机抽出一个球，然后她把所抽出的球放回该袋中，再从该袋中随机抽出一个球所有基本事件个数为：， 设事件为“所抽出的两个球的颜色不同”，则事件为“所抽出的两个球的颜色相同”， 所以事件包含的基本事件个数为，则事件为“所抽出的两个球的颜色不同”包含的基本事件个数为， 所以; 故选：D 2．（25-26高三上·福建福州·开学考试）将含有甲、乙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列组合求解个数，即可由古典概型的概率公式求解. 【详解】将含有甲、乙的6人平均分成两组，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料的基本事件共有种情况， 甲、乙至少一人参加指挥交通的情况有， 故所求概率为， 故选：D. 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）从这10个正整数中任选3个正整数，所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求中的素数，再利用古典概率公式即可求解. 【详解】由题意知：中的素数为，共4个， 所以所选三个正整数中至少有一个数是素数的概率：， 故选：B. 4．（25-26高三上·内蒙古包头·月考）某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用排列和组合，求出基本事件的个数和两位参赛同学抽到一个相同主题的个数，再利用古典概率公式，即可求解. 【详解】某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，共有种， 所以甲、乙两位参赛同学抽取两个不同主题准备作文，共有种， 两位参赛同学抽到一个相同主题，有种， 则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为P＝＝． 故选：A． 5．（2025·广东佛山·模拟预测）某学校的数学兴趣小组为了了解我国古代的数学成就，先后去图书馆借阅了5本古代数学名著：《周髀算经》､《九章算术》､《海岛算经》､《孙子算经》和《张丘建算经》，该小组每次随机借阅一本名著，且归还后再随机借阅下一本（已借阅的不会重复借阅）．则最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由古典概率的计算公式求解即可. 【详解】所有可能的借阅顺序总数为：， 最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》， 所以前两本的顺序可以是《周髀算经》、《九章算术》或者《九章算术》、《周髀算经》，有种情况， 最后一本已经确定是《孙子算经》，中间本为《海岛算经》、《张丘建算经》，有种情况， 设最先借阅的两本是《周髀算经》和《九章算术》，且最后一本借阅的是《孙子算经》为事件， 则， 故选：D. 6．（25-26高三上·河南郑州·期中）盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即81种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶， 即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次. 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类， 剩余2个位置分别给另外两种：种， 总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 题型二 条件概率 【技巧通法·提分快招】 条件概率的求解方法 1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）盒中装有个红球和个蓝球，小球除颜色外均相同．甲、乙两人先后从盒中随机取出个球，记录颜色后放回．已知两人取出的球颜色相同，则两人取出的球同为蓝色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】记事件两人取出的球颜色相同，事件两人取出的球同为蓝色，则， 则，， 由条件概率公式可得， 故选：C. 2．（25-26高三上·四川南充·月考）同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 3．（25-26高三上·河北沧州·月考）已知口袋内放有8个大小、质地均匀的小球，其中4个白球，4个红球，每次从中不放回地摸出2个小球，设事件表示第1次摸出的小球中恰有1个红球，事件表示第2次摸出的小球中有红球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率定义即可求得. 【详解】因为是不放回，所以第1次摸完后还剩6个球， 又因为事件发生了，即第1次摸出了1个红球和1个白球，还剩3个红球和3个白球. ， 故选：A. 4．（25-26高三上·湖北·月考）已知事件和事件满足：，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率的加法公式求出，再利用条件概率公式计算求解． 【详解】， ， ． 故选：D． 5．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】现根据捆绑法计算出仅有两人相邻和三人均相邻的不同情况数，再根据古典概型计算事件概率，再根据条件概率定义求出事件概率. 【详解】设“甲乙丙之间恰有两人相邻”，“甲乙丙三人均相邻” 则，，故在有两人相邻坐的条件下，三人均相邻的概率为 ， 故选：A. 6．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某机器狗位于点处，它可以向上、下、左、右四个方向自由移动，每次移动一个单位.现机器狗从点出发移动4次，则在机器狗仍回到点的条件下，它向右移动了2次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”，通过计算条件概率即可. 【详解】设事件“向右移动2次”，事件“移动4次后仍回到点”， 每次移动有4种方向，4次移动，总路径数为：， 设上、下单位数分别为，左、右单位数分别为 因运动4次后仍回到点，所以上下步数相等且左右步数相等， 记，，则，即. 若即则路径数有6种； 若即则路径数有24种； 若即则路径数有6种； 所以. 事件“向右移动2次且回到点” 要使向右移动2次且回到点，则且， 又，所以，路径数有6种； . . 故选：A. 题型三 事件的相互独立 【技巧通法·提分快招】 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．（25-26高三上·上海·期中）投掷一枚均匀的骰子，若事件表示“掷出的倍数”，事件表示“掷出偶数”，事件表示“掷出合数”，则与事件独立的事件是（    ）. A．是和 B．只有 C．只有 D．不存在 【答案】B 【分析】利用事件独立性的定义判断即可. 【详解】由题意可得，，，，， 由古典概型的概率公式可得，，， 所以，， 故事件与相互独立，事件与不独立. 故选：B. 2．在一次校园安全知识竞赛中，甲、乙、丙同时回答一道题，每人回答问题正确与否相互独立，甲答对的概率是，甲、乙两人都答对的概率是，乙、丙两人都答错的概率是，则甲、乙、丙三人中，至少有一人答对该题的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x、y，根据已知及独立事件乘法公式、对立事件概率求法列方程求x、y，再应用对立事件概率求法求目标概率. 【详解】设乙、丙各自答对这道题的概率分别是x，y，则，解得，， 故所求概率为. 故选：D 3．（2024·上海嘉定·一模）假定生男生女是等可能的，设事件：一个家庭中既有男孩又有女孩；事件家庭中最多有一个女孩.针对下列两种情形：①家庭中有2个小孩；②家庭中有3个小孩，下面说法正确是（    ）. A．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件相互独立 B．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件相互独立 C．①中事件与事件相互独立､②中的事件与事件不相互独立 D．①中事件与事件不相互独立､②中的事件与事件不相互独立 【答案】B 【分析】分别写出①②对应的样本空间，再利用相互独立事件计算判断. 【详解】若家庭中有两个小孩，样本空间为(男,男)，(男,女)，(女,男)，(女,女)，共4种情况， (男,女)，(女,男)(男,男)，(男,女)，(女,男)(男,女)，(女,男)， 则，，，事件与事件不相互独立，AC错误； 若家庭中有三个小孩，样本空间为(男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， (男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)，(女,女,女)，共8种情况， (男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,女,女)，(女,男,女)，(女,女,男)， (男,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)，(男,男,女)，(男,女,男)，(女,男,男)， ，，，事件与事件相互独立，B正确，D错误. 故选：B 4．（2025·山东济南·模拟预测）某AI训练平台使用强化学习算法训练机器人完成迷宫任务．机器人每次训练有以下规则：若上一轮成功，本轮成功率为p；若上一轮失败，本轮成功率降为．已知首轮成功率为，且前两轮都成功的概率为．则三轮训练中恰好成功两次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意三轮训练中恰好成功两次的情形有3种，情形1：成功、成功、失败, 情形2：成功、失败、成功，情形3：失败、成功、成功，再计算对应概率求和即可. 【详解】求p的值：前两轮成功概率：首轮成功，第二轮成功p，故，解得； 分类计算：情形1：成功、成功、失败，概率：； 情形2：成功、失败、成功，第二轮失败后，第三轮成功率降为，概率：； 情形3：失败、成功、成功； 1．首轮失败后，第二轮成功率降为； 2．第二轮成功后，第三轮成功率保持； 3．概率：； 总概率：. 故选：B. 5．（2025·海南海口·模拟预测）小明、小刚两位同学进行射击比赛，小明击中靶心的概率为，小刚击中靶心的概率为，比赛规则如下：每次由一人进行射击，若击中靶心，下一轮由另一人射击，若没有击中靶心，则继续进行射击，问4轮射击中，小明在恰好射击3次的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用事件相互独立性来计算即可． 【详解】小明、小刚两人每次击中靶心的概率分别为，， 则小明、小刚两人每次未击中靶心的概率分别为，， 根据题意，前4次中小明恰好射击3次的情况为第一次小刚击中第二、三次小明均未击中第四次小明射击，其概率为， 第一次小明击中第二次小刚击中第三次小明未击中第四次甲射击，其概率为， 第一次小明未击中第二次小明击中第三次小刚击中第四次小明射击，其概率为， 第一、二次小明未击中第三次小明击中第四次小刚射击，其概率为． 则前4次中小明恰好射击3次的概率为． 故选：D． 6．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为，则“莎头”组合再次以获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析“莎头”组合以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜，利用二项分布的概率公式计算可得. 【详解】“莎头”组合再次以获胜，即前局“莎头”组合胜局、负局，第局“莎头”组合获胜， 所以“莎头”组合再次以获胜的概率. 故选：B 7．（24-25高三下·河北沧州·月考）甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】列举出第五次是乙投篮的所有情况，结合独立事件的概率乘法与互斥事件的加法公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可分两类情况，第1类为第四次甲投篮，第2类为第四次乙投篮． 类别 1 2 3 4 5 概率 第1类 甲 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 甲 甲 甲 甲 乙 甲 乙 乙 甲 乙 第2类 甲 甲 乙 乙 乙 甲 甲 甲 乙 乙 甲 乙 甲 乙 乙 甲 乙 乙 乙 乙 所以第五次由乙投篮的概率是， 故选：B． 题型四 全概率公式 【技巧通法·提分快招】 利用全概率公式求解概率的步骤 1．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全概率公式求解. 【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件， 则，. 则. 故选：D 2．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，条件概率及全概率公式可得答案. 【详解】记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件， 根据题意可得， ， 所以 . 故选：D. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）两兄弟玩一种自定义游戏赢礼物，约定先由弟弟掷一枚质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则获得礼物；若掷出其他点数，则记下该点数（假设为），然后从哥哥开始两人轮流掷这枚骰子，直至任意一方掷出点数或者6，该游戏结束.若掷出的是，则弟弟获得礼物；若掷出的是6，则哥哥获得礼物.该游戏中弟弟能获得礼物的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，根据和得，即可求解. 【详解】第一次掷骰子的概率：掷出的点数为6，概率为，弟弟获得礼物；掷出的点数不为6，概率为，记下点数，进入后续阶段. 后续阶段的概率：设哥哥掷骰子时弟弟获得礼物的概率为，弟弟掷骰子时弟弟获得礼物的概率为. 若哥哥掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6，概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为，有，① 若弟弟掷骰子：掷出，概率为，弟弟获得礼物；掷出6：概率为，哥哥获得礼物；其他点数，概率为，轮到哥哥掷骰子，此时概率为，有，② 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟获得礼物的概率为，则该游戏中弟弟能获得礼物的概率为. 故选：D. 5．（2025·江西九江·三模）某校选拔乒乓球队队员，选拔时选手与教练对局．若选手连胜两局则成功入选，若连负两局则落选．已知某选手每局测试中（无平局）获胜的概率为，则该选手成功入选的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题通过定义不同状态下成功入选的概率，利用状态转移的思想建立方程组来求解选手成功入选的概率.先根据不同状态下获胜和失败的概率建立关于和的方程组，求解出和后，再根据初始状态与、的关系求出. 【详解】定义状态(最近一局赢)，(最近一局输)，成功入选的概率分别为和，初始状态成功入选的概率为. 建立方程组 将第二个方程代入第一个方程可得： 把代入可得： 又因为，将，代入可得： 该选手成功入选的概率是， 故选：A. 题型五 贝叶斯公式 【技巧通法·提分快招】 1、利用贝叶斯公式求概率的步骤 第一步：利用全概率公式计算，即； 第二步：计算，可利用求解； 第三步：代入求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率，全概率公式及乘法公之间的关系，即． 1．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 2．（2025·湖南邵阳·二模）有甲、乙、丙3台车床加工同一型号的零件，加工的次品率分别为、、，加工出来的零件混放在一起．已知甲、乙、丙台车床加工的零件数分别占总数的、、．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的，事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品，利用贝叶斯公式可求得的值. 【详解】记事件取到的零件为甲车床加工的，事件取到的零件为乙车床加工的， 事件取到的零件为丙车床加工的，事件取到的零件是次品， 则，，， ，，， 由贝叶斯公式可得. 因此，如果取到的零件是次品，则它是甲车床加工的概率为. 故选：C. 3．（24-25高三上·四川德阳·月考）某汽车4S店从甲乙丙三个车企分别采购同一款智能汽车500，400，100辆进行销售，甲乙丙三个车企生产的该智能汽车的智驾故障率分别为2%，3%，5%，某消费者从该4S店购买了一台此款智能汽车，在智驾过程中突然出现故障，则根据概率计算出甲乙丙三个车企应承担的责任比为（　　） A．2：3：5 B．10：12：5 C．5：12：10 D．5：4：1 【答案】B 【分析】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的，事件 表示智驾出现故障，由贝叶斯公式得，，即可求解. 【详解】设事件 分别表示购买一辆汽车是甲、乙、丙车企生产的， 则 ， 事件 表示智驾出现故障， 则由全概率公式得 ， 由贝叶斯公式得，，， 所以甲乙丙要承担的责任比为. 故选：B. 4．（2024·浙江·二模）小明开始了自己的存钱计划：起初存钱罐中没有钱，小明在第天早上八点以的概率向存钱罐中存入100元，．若小明在第4天早上七点发现自己前3天晚上八点时存钱罐中的余额恰好成等差数列，则小明在第2天存入了100元概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案. 【详解】余额恰好成等差数列，即， 其中第天存入元的是， 故所求概率为. 故选：A 5．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 【答案】C 【分析】先利用条件概率公式和全概率公式计算得，然后利用贝叶斯概率公式即可求出. 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时． 所以，，， 所以， 所以，即是与无关的定值，且为. 故选：C. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．（2025·河南鹤壁·二模）某同学忘记单词“”的字母顺序，但是记得前两个字母为“”，后两个字母为“”，则该同学能写对的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用排列及古典概率公式，即可求解. 【详解】因为单词中间三个字母的排列有种排法， 所以该同学能写对的概率为. 故选：C. 2．（25-26高三上·江西·月考）某百货商场为促销举办抽奖活动，设有两种奖券：甲奖券和乙奖券.顾客每次抽取甲奖券中奖的概率为0.4，每次抽取乙奖券中奖的概率为0.5，每次抽奖结果相互独立.某顾客计划先抽取2张甲奖券，再抽取1张乙奖券.若该顾客恰好中奖2次，且其中有1张甲奖券中奖，则另外中奖的1张也是甲奖券的概率为（   ） A．0.12 B．0.2 C．0.25 D．0.32 【答案】C 【分析】利用条件概率计算公式以及独立事件的乘法公式可求解. 【详解】设事件：恰好中奖2次且其中有1张甲奖券中奖，即甲奖券中奖1次且乙奖券中奖1次或甲奖券中奖2次且乙奖券不中奖， 事件：恰好中奖2次且均为甲奖券，即甲奖券中奖2次，乙奖券不中奖， 则，， 又由, 所以所求概率为． 故选： C． 3．（2025·湖南湘潭·一模）跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的 40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3：3：4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为（    ） A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 【答案】A 【分析】首先明确各年级教师人数的比例以及各年级中喜欢跑步的教师比例，然后利用全概率公式计算从三个年级中随机抽一名教师喜欢跑步的概率即可 【详解】设事件表示“随机抽一名教师喜欢跑步”，事件分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， ∵三个年级的教师人数之比为3:3:4， ∴， ∵高一、高二、高三三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%， ∴, 根据全概率公式， 故选：A. 4．（2025·河北石家庄·三模）已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，，，则下面结论正确的是（    ） A．事件A与B一定是对立事件 B． C． D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【分析】举例判断AB，由于不确定事件A、B的关系，故不能求解，即可判断C，结合对立事件概率公式和相互独立事件乘法公式求解判断D. 【详解】对于AB，一个密封的盒子中有标号为1,2，3,4,5的5个小球从中任取1球， 记事件A：从中取出球的标号为1,2，事件：从中取出球的标号为1,2,3， 则，满足，但不是对立事件，故A错误； 由上例可知，故B错误； 对于C，仅在事件A、B相互独立时才成立，而不知道事件A、B的关系，故不确定的值，错误. 对于D，若事件A、B相互独立，则事件A、也相互独立， 所以，正确. 故选：D 5．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）某城市对市民上班的出行方式进行了调查，结果显示有的市民乘坐公共交通工具，有的市民开私家车，有的市民选择步行．在乘坐公共交通工具出行的市民中有的人迟到，在开私家车出行的市民中有的人迟到，在步行出行的市民中有的人迟到．以频率估计概率，从该市随机选择一名市民，若他迟到了，则这名市民是乘坐公共交通工具出行的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【详解】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为×=， 市民开私家车出行迟到的概率为×=， 市民骑行或步行出行迟到的概率为×=， 则这名市民迟到的概率为×+×+×=， 故所求的概率为. 故选：C. 6．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）甲、乙两人玩“六六大顺”游戏，其规则为：盒子中装有编号为1，2，……，6的6张卡片，卡片除编号外完全相同，两人轮流有放回的从盒子中任意抽取1张卡片，先抽得6号卡片者胜，且游戏结束；若一人抽得的不是6号卡片，则换另一个人来抽；若一轮中两人均没有抽得6号卡片，则游戏重新开始，一直这样轮回下去，直至游戏结束.若游戏开始时，甲先抽，设甲、乙人获胜的概率分别和，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得抽中6号的概率为，未抽中的概率为，再列出递推式求解即可. 【详解】由题知抽中6号的概率为，未抽中的概率为， 则，解得， ，解得， 所以. 故选：C. 7．（2025·广东汕头·一模）设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【分析】AC选项，求出各个事件的概率，得到，，A错误，C正确；BD选项，由条件概率公式进行求解. 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 8．（2025·江苏苏州·三模）若，，，则事件与事件满足（    ） A．互为对立事件 B． C． D．以上都不对 【答案】C 【分析】由题意，，从而，，由此可判断A，由可判断B，由条件概率可判断CD. 【详解】对于A，因为，，所以，， 所以，所以互相独立，而，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于CD，由互相独立，可知互相独立， 所以，故C正确，D错误. 故选：C. 9．（25-26高三上·山东聊城·开学考试）如图，四个开关控制着五盏灯，其中开关控制着1，2，3号灯，开关控制着2，3，4号灯，开关控制着3，4，5号灯，开关控制着1，4，5号灯.开始时，五盏灯均是亮的，现先后按动这四个开关中两个不同的开关，则其中2号灯亮的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由排列数确定总的基本事件个数，再分两类情况按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，或按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，讨论2号灯亮的情况，结合古典概型概率公式即可求解. 【详解】先后按动这四个开关中两个不同的开关，有=12种方法. 2号灯亮有两类情形.第一类，按第一个开关时，2号灯灭，按第二个开关时，2号灯亮，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）； 第二类，按第一个开关和第二个开关均与2号灯无关，此时对应的方法有=2种（两个开关进行全排列）. 故所求事件的概率为. 故选：B 10．（2025·辽宁·三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种. “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”. 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种. 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种.则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 由条件概率公式，将，代入可得： . 故选：B. 11．（2025·海南·模拟预测）小明参加一场弓箭比赛，需要连续射击三个靶子，每次射箭结果互不影响，已知他射中这三个靶子的概率分别为x，x，，若他恰好射中两个靶子的概率是，那么他三个靶子都没射中的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用事件相互独立性，互斥，根据恰好射中两个靶子的概率是建立等式，求出x，再利用事件相互独立性乘法公式进行求解． 【详解】记小明射中三个靶子分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立，且，， 恰好能射中两个靶子为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，三个靶子都没射中为事件， 故， 故选：C． 12．（2024·江苏淮安·模拟预测）已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，先分析求解从甲中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，再分别分析三种情况求解即可 【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 13．（2025·山东济宁·一模）甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设相应事件，根据独立事件概率求法求，，进而求条件概率. 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 14．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3个2和2个1随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】法一：先求出事件总数，再利用插空法找到符合题意的事件个数，根据古典概型的概率公式即可求出概率. 方法二：列出所有可能的结果，找到2个1不相邻的基本事件个数，根据古典概型的概率公式即可求出概率. 【详解】方法一： 由题意，事件总数有种， 将2个1放入3个2排好后形成的4个空隙中，有种， ， 故选：A. 方法二： 由题意，将3个1和2个2随机排成一行，可以是： ， 共10种排法， 其中2个2不相邻的排列方法为： ， 共6种方法， 故2个2不相邻的概率为， 故选：A. 15．（2025·云南·模拟预测）某高中举行科技节活动，有甲、乙、丙、丁4名同学去参加九连环、数独和汉诺塔三个活动，其中每个活动都有人参加，且每个同学只能参加一项活动，则在甲参加九连环活动的条件下，甲和乙都参加九连环活动的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（甲参加九连环活动的概率）和（甲和乙都参加九连环活动的概率），再代入公式计算. 【详解】从人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到个活动中，方法数有种. 根据分步乘法计数原理，总情况数为种. 若甲单独参加九连环活动，那么从剩下人中选个人为一组，方法数有种， 再把这一组与另外个人全排列，安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 若甲和另外一人一起参加九连环活动，从剩下人中选人与甲一组，方法数有种， 剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 此时情况数为种. 所以甲参加九连环活动的情况数共有种， 则甲参加九连环活动的概率. 若甲和乙都参加九连环活动，则剩下人全排列安排到数独和汉诺塔两个活动中，方法数有种， 则甲和乙都参加九连环活动的概率. 根据条件概率公式. 故选：B. 16．（2025·河北邢台·三模）现有甲、乙、丙、丁4位乒乓球业余爱好者组队参与某次比赛，比赛顺序是第一场双打，第二场与第三场单打，每人只参加其中一个项目，在每场比赛中赢对方的概率分别是，，，且每场比赛相互独立，则在三场比赛中恰有两场赢对方的条件下，第一场赢对方的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由互斥加法、独立乘法公式即可求解. 【详解】设双打与第二、第三场单打赢对方分别为事件，，， 三场比赛中恰有两场赢对方为事件，则，，， ， ， 所以. 故选：D. 17．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）甲､乙两人玩掷骰子游戏，每局两人各投掷一枚质地均匀的正方体骰子（骰子六个面分别标以数字）并观察向上的点数，当两枚骰子的点数之差为偶数时，视为平局，当两枚骰子的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方胜2次或平局4次时停止，则恰好进行了3局时，游戏停止的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由列举法以及古典概型，求得每人获胜的概率，利用概率乘法公式，可得答案. 【详解】由题意两人掷骰子的基本事件如下： 记表格中横向数据为甲，纵向数据为乙， 则甲获胜的情况有，，，，，，，，，共种情况，则概率为， 同理可得乙获胜的概率为，恰好局结束游戏，甲或乙需胜两场，且胜的第二场为游戏第局， 所以符合题意的概率为. 故选：C. 18．（25-26高三上·浙江·月考）一副扑克牌共有13张红桃牌，其中J､Q､K称为花牌，其它的称为数字牌，现将这13张红桃牌从左到右随机排成一排，则在红桃A的左侧没有数字牌的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有限制条件的排列问题，结合古典概型列式求解. 【详解】将一副扑克中的13张红桃从左到右排成一排，共有种不同的排法， 红桃A的左侧没有数字牌共有种不同排法， 所以红桃A的左侧没有数字牌的概率. 故选：C 19．（2025·河北保定·二模）已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“从甲箱中取出的球恰有个红球”为事件，“从乙箱中取出的球是黑球”为事件，则是（    ） A．与有关的常量 B．与有关的变量 C．与无关的定值，且为 D．与无关的定值，且为 【答案】C 【分析】先利用条件概率公式和全概率公式计算得，然后利用贝叶斯概率公式即可求出. 【详解】依题意可得，，， 若先发生，则乙袋中有个红球，5黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，4黑球，此时， 若先发生，则乙袋中有个红球，3黑球，此时． 所以，，， 所以， 所以，即是与无关的定值，且为. 故选：C. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（2025·江西·一模）甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 2．小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有3张黑色牌和3张红色牌，小王手中有3张黑色牌和2张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有7张牌的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用独立事件概率的乘法原理计算即可. 【详解】进行两次后，小王手中有7张牌意味着小王这两次都赢了， 第一次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第一次小王赢的概率是， 第一次赢之后小张有5张牌，第一种情况是有2张黑色牌，3张红色牌， 小王有4张黑色牌，有2张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 第二种情况是有3张黑色牌，2张红色牌，小王有3张黑色牌，有3张红色牌， 第二次总事件数为种，小王赢的事件数是种， 则第二次小王赢的概率是： 出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是， 出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是， 则两次均赢的概率为：. 故小王手中有7张牌的概率为. 故选：D. 3．（24-25高三下·上海虹口·期中）春节期间，小明和弟弟玩起了一种自定义游戏，规定先由弟弟掷一颗质量均匀的骰子，若弟弟掷出的点数为6，则吃1颗花生；若掷出其他点数，则记下这个点数，然后由小明开始两个人轮流掷这颗骰子，直至任意一方掷出这个记下的点数或者6，一次游戏结束.若掷出的是这个记下的点数，则弟弟吃1颗花生；若是6，则小明吃3颗花生.任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出第一步掷骰子弟弟能吃到花生的概率为，再通过分类讨论求出第一次掷出非6，后续阶段弟弟能吃到花生的概率，二者相加即为任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率. 【详解】第一步：第一次掷骰子的概率 （1）掷出6点：概率为，弟弟直接吃1颗花生； （2）非6点：概率为，记下点数，进入后续阶段. 第二步：后续阶段的概率分析 设小明掷骰子时弟弟吃到花生的概率为，弟弟掷骰子时弟弟吃到花生的概率为， 若小明掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到弟弟掷骰子，此时概率为， 故有①； 若弟弟掷骰子： （1）掷出：概率为，弟弟吃1颗花生； （2）掷出：概率为，小明吃3颗花生； （3）其他点数：概率为，轮到小明掷骰子，此时概率为， 故有②； 联立①②两式，可得，即后续阶段弟弟吃到花生的概率为， 故任意一次游戏中弟弟能吃到1颗花生的概率为.故选：D 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·月考）小明工作日每天往返于家和公司办公室，有两把雨伞用于上下班，如果上班时天下雨，他将拿一把去办公室，如果下班时天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”,对下雨的次数进行分类讨论，求出各种情况下，两天都不淋雨的概率，再结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】“至少有一天淋雨”的对立事件为“两天都不淋雨”，连续上两天班，上班、下班的次数共有次． （1）次均不下雨，概率为； （2）有次下雨但不淋雨，则第一天或第二天上班时下雨，概率为； （3）有次下雨但不淋雨，共种情况： ①同一天上下班均下雨； ②两天上班时下雨，下班时不下雨； ③第一天上班时下雨，下班时不下雨，第二天上班时不下雨，下班时下雨， 概率为； （4）有次下雨但不被淋雨，则第一天或第二天下班时不下雨，概率为； （5）次均下雨，概率为：； 两天都不淋雨的概率为， 所以至少有一天淋雨的概率为：， 故选：C． 5．（2025·福建福州·模拟预测）某商场在有奖销售的抽奖环节，采用人工智能(AI)技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖；如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型计算公式，再结合分类分步计数原理计算出符合题意的组合数，即可得出所求概率. 【详解】根据题意可知，每次点击有3种选择，连续点击5次，共有种， 若获二等奖，则奖券码为3的正整数倍，所以生成的5个数字之和可以为3，6，9（和的最大值为10）； （1）当数字之和为3时，其组成方式为三个1和两个0；或者一个2，一个1，三个0； 若为三个1和两个0，共有种， 若为一个2，一个1，三个0，共有种， 即数字之和为3时共有种； （2）当数字之和为6时，其组成方式为三个2和两个0；或者两个2，两个1，一个0；或者一个2，四个1； 若为三个2和两个0，共有种， 若为两个2，两个1，一个0，共有种， 若为一个2，四个1，共有种； 即数字之和为6时共有种； （3）当数字之和为9时，其组成方式为四个2和一个1，此时共有种， 因此符合条件的组合数共有种，所以获二等奖的概率为. 故选：A 6．某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【详解】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故选：D. 7．（2025·黑龙江大庆·三模）某商店店庆，每个在店内消费到一定额度的顾客都可以参与抽奖活动.组织方准备了个盲盒，其中有个盲盒内有奖品.抽奖规则为：抽奖者从这个盲盒中随机抽取1个盲盒，兑奖后组织方会再补回一个相同的盲盒，充分混合后，再由下一位抽奖者抽奖.抽奖者甲先拿起了一个盲盒，在犹豫是否打开时，组织方拿走了一个没有奖品的盲盒，最终甲选择了另外一个盲盒打开，记甲中奖的概率为.抽奖者乙在选盲盒时不小心碰掉了一个盲盒，并且发现摔裂的盲盒内没有奖品，随后乙从剩下的盲盒中选定一个盲盒打开，记乙中奖的概率为，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用全概率公式求出，利用古典概率求出，再比较大小即可. 【详解】设事件为“抽奖者甲中奖”，事件为“甲最初选中的盲盒有奖”，则， 在组织方拿走无奖的盲盒后，若先选中的有奖，则剩余个盲盒中有个奖品， 甲更换盲盒后， 若甲先选中的盲盒无奖，则剩余个盲盒中有个奖品，则更换盲盒后， 因此， 由乙碰掉的盲盒无奖，则所有个盲盒中有个奖品，且每个盲盒被抽到的可能性相同，则， 于是，所以. 故选：A. 8．（23-24高三下·浙江金华·开学考试）（多选题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球、一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球、一个3号球；3号盒子内装有三个1号球、两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为 B．第二次抽到3号球的概率为 C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种 【答案】ABD 【分析】对于A，利用条件概率公式求解；对于B，利用全概率公式求解；对于C，利用贝叶斯公式求解；对于D，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解. 【详解】记第一次抽到第号球的事件分别为则有，， 对于A，在第一次抽到2号球的条件下，将2号球放入2号盒子内， 因此第二次抽到1号球的概率为，故A正确； 对于B，记第二次在第号盒子内抽到3号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 记第二次抽到3号球的事件为， 所以，故B正确； 对于C：记第二次在第号盒内抽到1号球的事件分别为， 而两两互斥，和为， 所以， 记第二次抽到1号球的事件为， ， 第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同， 所以， ， ， 即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，故C错误； 对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种， 将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同方法， 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，故D正确； 故选：ABD. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $