重难点培优04 大学数学背景下的数学问题全归纳（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦大学数学背景下的高考热点问题，涵盖泰勒公式、中值定理、微积分等八大核心题型，按“知识重构-题型精研-实战检测”逻辑架构梳理内在联系。通过重难梳理固根基、技巧通法提能力、分层检测验成效的教学流程，帮助学生系统突破难点。 资料创新融合大学与高中知识，如通过泰勒公式证明不等式培养数学思维，设计“题型精研+分层检测”模式保障复习效果。检测Ⅰ组巩固重难知识，检测Ⅱ组提升创新能力，助力学生高效备考，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

重难点培优04 大学数学背景下的数学问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 泰勒公式与帕德近似（★★★★★） 3 题型二 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（★★★★★） 13 题型三 微积分（★★★★★） 20 题型四 洛必达法则（★★★★★） 26 题型五 伯努利与琴生不等式（★★★★） 31 题型六 行列式与矩阵（★★★★★） 38 题型七 初等数论（★★★★） 45 题型八 切比雪夫不等式、马尔科夫链（★★★★★） 50 03 实战检测・分层突破验成效 57 检测Ⅰ组 重难知识巩固 57 检测Ⅱ组 创新能力提升 76 1、泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． 2、已知函数在处二阶可导，且 （1）若，则在处取得极小值； （2）若，则在处取得极大值. 3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）. 4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得. 5、罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得． 6、微积分 知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积. 知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . 7、伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． 8、设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 题型一 泰勒公式与帕德近似 1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）设，利用导数求出该函数的最小值后可得不等式恒成立； （2）利用泰勒展式可证不等式成立； （3）就和分类讨论，前面可利用导数证明为极小值点，后者可判断为极大值点，故可得参数的范围. 【详解】（1）设，则． 当时，：当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，，即． （2）由泰勒公式知，① 于是，② 由①②得， ， 所以 ． 即． （3）， 则，设． 设，则，当时， 故在上为增函数. 由基本不等式知，，当且仅当时等号成立． 所以当时，，所以在R上单调递增． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 因此，是的极小值点． 下面证明：当时，不是的极小值点． 当时，， 又因为是R上的偶函数，且在上单调递增， 所以当时，． 因此，在上单调递减． 又因为是奇函数，且， 所以当时，；当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 因此，是的极大值点，不是的极小值点． 综上，实数的取值范围是． 2．（24-25高三上·吉林长春·月考）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数m，n的值； (2)证明：当时，； (3)设a为实数，讨论函数的单调性. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据，可构造方程求得结果； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，结合最值可证得结论； （3）求导后，分别在和的情况下，根据正负可求得单调性. 【详解】（1）由，知：； ，，，， ，，，. （2）由（1）知：； 令， 则，在上单调递增， 又，，即当时，. （3）由题意知：， ； ①当，即时，，， 在上单调递增； ②当，即时，令得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 3．十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. (1)，，，比较的大小; (2)当时，证明：； (3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）根据题意中常见函数的阶泰勒展开式，即可比较的大小； （2）构造函数，求导，根据函数单调性，即可得证； （3）由题知，，当时，显然成立，当真包含于时，结合函数单调性可得，即可判断此时不存在符合条件的区间，然后下结论即可. 【详解】（1）由题知，用泰勒展开式前三项计算， 则， 又， ， 所以. （2）设，， 则， 所以在上单调递增， 所以，所以； 设，， 则， 令，，则在上单调递增， 令，，则在上单调递减， 又，， 所以，即， 综上，. （3）易知，， 当时，显然成立； 当真包含于时，若，则函数最小值应大于，故， 则函数最大值小于，于是，因此. 同理，若，也能得到. 所以函数在区间上单调递减， 所以，于是， 变形有， 又函数在区间上为单调递增函数，且为奇函数， 故，所以可以化为， 由（2）可以知道没有两个解， 此时不存在区间满足条件. 综上所述，符合条件的区间只有. 4．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； (3)设，证明：. 【答案】(1)0.48； (2)，证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用泰勒公式即可估算的值； （2）构造函数，，并利用导数求得最小值，进而得到与的大小关系； （3）利用（2）中结论得到不等式结合裂项相消法对进行放缩变化，进而证得题给不等式成立. 【详解】（1）令，则，， ，， 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故． （2）结论：，证明如下： 令，，则 令，则， 故在上单调递增，，则 故在上单调递增，， 即证得，故． （3）由（2）可得当时，， 且由得，当且仅当时取等号， 故当时，，， ， 而 ， 即有 故 而， 即证得． 5．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）由，，，解方程，可以求出，从而可求出. （2）根据帕德逼近定义与对称变换，可把题目转化成与0的比较大小的问题，对求导，可解决问题. （3）由帕德逼近定义，可以把第三问转化成不等式恒成立问题，用“端点效应”可解决问题. 【详解】（1）对于函数 ，其在 处的 阶帕德逼近为 ，需满足： ，，； 计算 的导数： ，，故 ， ，故 ， 由 ，得 ； 计算 的导数： ，， ，故 ， ，， 故 ， 因此，. （2）已知函数 与 的图象关于直线 对称， 故 是 的反函数，即 . 由（1）知 ，则：， （当 ）， 令； 其中定义域为， ，，又对任意成立， 在上单调递减，又， 因此：当 时，； 当 时，. （3）由帕德逼近定义，需匹配至四阶导数： ，，，，， 代入 ，得 ，，故 ，且 ，； 不等式为 ，代入得， 对任意 成立， 定义函数 （)，需 ， ，，， ，， 必要条件：， 当 时， 对 成立； 当 时，存在 使 ； 故实数 的取值范围为 . 【点睛】关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 题型二 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 1．已知，， (1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间； (2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于． 【答案】(1)，和 (2)证明见解析 【分析】（1）利用极值的性质求得，再利用导数与函数单调性的关系即可得解； （2）利用导数的几何意义猜想拉格朗日中值定理，再利用导数的运算，结合基本不等式即可得证. 【详解】（1）因为，则， 依题意，有，即． 所以，， 令，得或， 令，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以满足题意，同时，的单调增区间为和； （2）猜想如下： 因为表示的两端点连线的斜率， 而由题可知，上必然存在点，使得其切线的斜率为，即， 所以一定定存在，使得； 证明如下： 因为， 则． 由猜想可知，对于函数图象上任意两点， 在之间一定存在一点，使得， 又，故有. 2．（24-25高三上·山西·月考）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据题设新定义即可证结论； （2）令，并对其求导，讨论参数的范围，结合函数区间最值确定参数范围. 【详解】（1）因为，且在上连续，在内可导， 所以，由罗尔中值定理得，. （2）设，则. 当，即时，， 当，得，则在上单调递减， 当，得，则在上单调递增， 从而，故符合题意. 当时，即时，令，得或. 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减. 因为在上的最小值为，且，则，得； 当，即时，恒成立，则在上单调递增，故，不合题意； 当，即时， 当或，得，则在和上单调递增， 当，得，则在上单调递减， 从而，故，不合题意； 综上，a的取值范围为. 3．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它的表述如下： 若函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，则存在，使得. (1)若，，，求满足的实数的值. (2)运用拉格朗日中值定理求解以下问题： （ⅰ）对任意的且，证明不等式. （ⅱ）已知函数，对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.（结果保留3位小数） 参考数据：，，，. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）求，利用拉格朗日中值定理建立关于的方程，求的值； （2）（ⅰ）构造函数（且），求，分，两种情况分别进行证明即可；（ⅱ）将问题转化为对任意的，，恒成立，构造函数，讨论函数在上的单调性，从而求解的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以由得，解得， 故实数的值为1. （2）（ⅰ）设（且），则， 当时，由拉格朗日中值定理得，存在，使得，即， 因为，所以，从而有，即， 当时，由拉格朗日中值定理得，存在，使得，即， 因为，所以，从而有，即. 综上，对任意的且，不等式成立. （ⅱ）任意的，，恒成立， 等价于任意的，，恒成立， 不妨设，由拉格朗日中值定理得，存在，使得， 由的任意性，可知，恒成立， 易知，令， 则， 易知函数在上单调递减，，， 由零点存在定理知，存在，使得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，即取得最大值， 最大值为， 又，， 所以， 所以，即或， 故实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 4．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由柯西中值定理可得对，，，结合的单调性即可求解； （2）取，，由柯西中值定理，成立，设，利用导函数求解的最大值即可得. 【详解】（1）由题， 由柯西中值定理知：对，， 使得，， 又在上单调递增，则， 则，即， 所以， 故在上为增函数； （2）， 取，， 因为，所以由柯西中值定理，， 使得， 由题则有：， 设，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故，所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的. 5．（24-25高三上·湖北武汉·月考）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题： (1)证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，； (2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由方程构造函数，根据罗尔定理，可得答案； （2）由罗尔定理可得导数的零点情况，构造函数再次求导，由导数研究单调性，利用分情况讨论，可得答案. 【详解】（1）设，， 则， 在上连续，在上可导，又， 由罗尔中值定理知：至少存在一个，使得成立， . 故方程在内至少有一个实根. （2），在区间内有零点， 不妨设该零点为，则，. 由于，易知在和上连续，且在和上可导. 又，由罗尔中值定理可得，至少存在一个，使；至少存在一个，使得. 方程在上至少有两个不等实根和. 设，，则. ，. 当，即时， ，故在上单调递增；方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去； 当，即时， ，故在上单调递减. 方程在上至多有一个实根，不符合题意，舍去； 当时， 由得， 时，有单调递减； 时，有单调递增. 在上的最小值. 注意到，则有. 方程在上至少有两个不等实根， ，解得. 结合，且，， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 题型三 微积分 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中． (1)若，且，求； (2)当时，证明：； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由基本函数的导数公式和题中新定义的含义得到.（2）先由新定义的运算得到，再构造函数，利用导数分析单调性，证明结论.（3）先证明时，再利用结论，得，累加法可得答案. 【详解】（1）因为，所以设， 又，代入上式可得，解得， 所以； （2）因为，所以， 设，，则恒成立， 所以在上单调递增，，所以. （3）令，当，， 在上单调递减，，时恒成立； 知当时，当且仅当时取等. ，， ，，， ， 累加得， 即， 得证. 【点睛】关键点点睛：1、由题干得到求导与新定义的运算互为逆运算；2、证明不等式时可作差构造函数，求导，利用导数分析其单调性；3、构造函数，求导证明，进而得到，利用累加法得出答案. 2．微积分的发现是数学发展中的里程碑，它为研究变量和函数提供了重要的方法.对于函数在区间上连续.如图所示，定积分是由直线、直线、直线和曲线所围成区域（即曲边梯形ABQP）的面积.根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即. (1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： (2)已知函数，其中. （ⅰ）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在点和点处的切线不重合； （ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）设过点作的切线分别交于，结合，即可得证； （2）①利用反证法可得，结合由（1）的结论即可得改式不成立；或者我们利用比值代换可证不成立； ②根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）如图所示，在曲线取一点， 过点作的切线分别交AP，BQ于， 因为， 所以，即. （2）方法一： 由题意得，不妨设， 曲线在点处的切线方程为， 即， 同理曲线在点处的切线方程为， 假设与重合，则 代入化简可得，消去a可得， 整理得，由（1）的结论知，与上式矛盾， 故对任意实数a，b及任意不相等的正数与均不重合. 方法二： 由方法一可得.设，则， 设，则， 故在上为增函数，故，矛盾. 故对任意实数a，b及任意不相等的正数与均不重合. （3）当时，不等式恒成立， 所以在上恒成立，故. 下证当时，恒成立. 因为，所以. 设. 当时，由知， 即在上单调递增，故； 当时，设， 由知，即在上单调递增， 所以，即在上单调递减，故. 综上所述，实数a的取值范围是. 3．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列． (1)已知函数的零点为，，求的2次近似值． (2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （i）证明：； （ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题干中的为的1次近似值和为的2次近似值的定义即可求解； （2）（i）根据题意，得到数列的递推关系式，得到数列为等比数列，求和得证；（ii）假设数列中存在4项，，，（其中，，，成等差数列）成等比数列，利用反证法得证． 【详解】（1）函数，求导得， 则，而， 在处的切线方程为，即. 令，得，则， 在处的切线为，令，得， 所以的2次近似值为. （2）（i）因为，则， 可得， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点，则， 且，则， 可得， 故数列为等比数列；则， 所以；           （ii）由（i）知，所以， 所以. 假设数列中存在4项（其中成等差数列）成等比数列， 则互不相等，所以， 即， 又因为成等差数列，所以，所以， 化简得，所以， 又，所以与已知矛盾. 同理，对进行类似推导，也会得出矛盾. 所以在数列中不存在4项成等比数列. 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，数列求和，证明不等式，第一问解题的关键在于结合导数的几何意义求出切线方程；第二问解决的关键在于结合所给结论，结合等差等比数列的性质，通过适当放缩，用反正法证明结论. 题型四 洛必达法则 1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）将选择的式子化简结合极限的定义求解； （3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 2．对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）解法一：根据洛必达法则先化简分式，然后求导可得结果；解法二：根据洛必达法则对分子分母求导可得结果. （2）（i）先化简不等式，构造新函数，对新函数求导，判断单调性，根据洛必达法则获取新函数的最值，即可求得的取值范围；（ii）对函数求导，将其导数构造新函数，对此函数求导判断单调性，可证得，然后对不等式相加求和化简即可证明结论. 【详解】（1）解法一：根据洛必达法则可知 解法二：根据洛必达法则可知 （2）（i）由题意可知不等式0在上恒成立， 当时，不等式可化为恒成立． 令，则， 令，则， 设，则， 设，则． 因为，所以，则在上单调递减，所以，即， 所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减， 所以，即， 所以在上单调递减，所以． 根据洛必达法则可知 所以， 故的取值范围为． （ii）证明：当时，， 设，则， 设，则，所以在上单调递增， 则，即，所以，即， 当且仅当时取得等号． 令，，则，，， 将上面个式子相加得 故，. 3．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 【答案】(1)证明见详解； (2)； (3)证明见详解. 【分析】（1）根据k阶无穷递降函数的定义即可证明； （2）记，取对数得，利用洛必达法则求出，然后可得的值； （3）先证明是上的2阶无穷递降函数，可得，然后证明即可得证. 【详解】（1）记， 因为， 所以在区间不恒成立， 所以，不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）记，则， 因为， 所以，所以. （3）因为，所以， 所以， 即对任意，均有， 所以， 因为， 所以 ， 所以，时，. 题型五 伯努利与琴生不等式 1．伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当时，，当且仅当或时取等号． (1)假设某地区现有人口万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断年后该地区人口的估计值是否能超过万？ (2)数学上常用表示，，，的乘积，． ①证明：； ②数列，满足：，，证明：． 【答案】(1)能超过 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）依题意，年后该地区人口的估计值为万人，再利用伯努利不等式即可判断； （2）①由伯努利不等式可得，再求出，即可得证； ②由，即可得到，由①可知，从而得到，再利用裂项相消法证明，即可得证. 【详解】（1）依题意，年后该地区人口的估计值为万人， 由伯努利不等式可得， 所以年后该地区人口的估计值能超过万. （2）①根据伯努利不等式可知， 所以 ， 所以. ②因为，则 ， 所以， 由①可知，所以， 又因为， 即， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用题干所给的伯努利不等式，以及前面已证的不等式的应用. 2．设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． (1)证明：函数在上为凸函数； (2)设，且，求的最大值； (3)设为正实数，且，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由凸函数的定义结合基本不等式即可证明； （2）由函数在上为凸函数，即可求解； （3）构造函数构造函数，证明其在上为凸函数，进而可求证； 【详解】（1）由，设， 则，， 因为，当且仅当时去等号， 再由在为增函数， 所以则， 即， 所以函数在上为凸函数 （2）因为函数在上为凸函数， 则 也即， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）构造函数在上为凸函数， 证明如下：， 要证， 等价于； 等价于； 等价于；而此式由基本不等式可知恒成立，当且仅当取等号， 故在上为凸函数， 所以， 即， 又， 所以， 即， 即； 得证. 【点睛】关键点点睛：第三问构造函数，证明其在上为凸函数； 3．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数的凹凸性； (2)在锐角中，求的最小值； (3)若个正数满足，证明:. 【答案】(1)凹函数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数凹凸性的定义判断的符号即可； （2）应用（1）函数的凹凸性，结合琴生不等式可求得最小值； （3）构造函数，判断函数的凹凸性，再应用琴生不等式即可证得. 【详解】（1） 所以，， 所以函数在上为凹函数. （2）由1）知，函数在上为凹函数， 由琴生不等式得，， 即（当且仅当时等号成立）. 因此在锐角中，的最小值. （3）构造函数， 因为，， 所以函数在上为凹函数. 因为正数满足， 所以 由琴生不等式得， （当且仅当时等号成立）， 所以 所以 所以 4．瑞士数学家伯努利（Bernoulli，1654－1705）提出“让式子丢掉次数”，是高等数学在解决不等关系问题中最常见的一种方法．伯努利提出“若实数，则有”，这就是伯努利不等式，并给出了这个结论的完美证明． (1)指出伯努利不等式中等号成立的条件（不必说明理由）； (2)证明伯努利不等式； (3)已知无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列，…，依次类推．试用n与d表示，并证明． 【答案】(1)或 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）分别在，时，确定等号成立的条件； （2）设（n是正整数，），注意到，求导得到，二次求导，得到函数的单调性和极值最值情况，证明出结论； （3）依题意得，又n是正整数，，由伯努利不等式，得，再利用等差数列求和即可. 【详解】（1）当时，，，故， 当，时， 设（n是正整数，），则， ， 令，因为，所以，即． 令，则， 所以是增函数． 所以时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以当且仅当时，， 所以伯努利不等式中等号成立的条件是，或． （2）证明：需证对恒成立， 显然时不等式成立，下证，且时，该不等式也成立． 设（n是正整数，），则， ， 令，因为，所以，即． 令，则， 所以是增函数． 所以时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以在处取得极小值，也是最小值， 所以时，，即对恒成立． 综上，对恒成立． （3）解：， ， ， 依次类推，可得， 又n是正整数，，由伯努利不等式，得 （等号仅当或时成立）， 因此． 题型六 行列式与矩阵 1．（2024·河北保定·三模）对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，. (1)证明：. (2)若方阵，满足，且，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）结合行列式定义式以及两个方阵的乘法运算分别求出和，则可得答案； （2）首先由行列式定义式以及两个方阵的乘法运算求得，结合的条件即可求得，由行列式公式可得，对比结果可得答案. 【详解】（1）设方阵， 则， ， ， ， 则， 所以. 因为，所以，证毕. （2）设，，则由， 可得，① ，② ，③ ，④ 由①④，得，⑤ 由②③，得，⑥ 由⑤⑥，可得， 整理得，即. 由，可得或则. 又， 所以，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题考查行列式的定义式以及两个方阵的乘法运算公式，解决问题的关键在于理解定义式，耐心化简即可得证. 2．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 【答案】(1) (2)， (3)证明见解析 【分析】（1）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标； （2）利用三角函数的定义得到旋转之前的和，再由两角和的正弦、余弦公式得到点的坐标，再根据变换公式的定义得到变换公式及与之对应的二阶矩阵； （3）根据定义分别计算、、，证明即可. 【详解】（1）可求得，设，则，， 设点，， 故 所以. （2）设，，则，，， 故 所以坐标变换公式为， 该变换所对应的二阶矩阵为 （3）设矩阵，向量，，则． ， 对应变换公式为：， ， 所以 故对应变换公式同样为 所以得证. 【点睛】方法点睛：利用三角函数的定义解题：（1）角的顶点与坐标原点重合；（2）角的始边与轴正半轴重合；在角的终边上任取一点，该点到原点的距离，则：；； . 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知表示二阶行列式，规定；表示三分行列式，规定．设． (1)求； (2)以为切点，作直线交的图象于异于的另一点，其中．若，当时，设点的横坐标构成数列． ①求的通项公式； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见详解 【分析】（1）根据行列式的定义运算求解即可； （2）①根据所给的规则求出切点为的切线方程，再进一步求得，结合等比数列的定义得出结果；②当时，先证明成立，得出，再结合等比数列求和得出结果. 【详解】（1）由题意可得：. （2）①由（1）可知：，， 则切点，切线斜率：， 故切线方程为：， 联立得：， 化简得：， 因式分解得：，故， 上式亦满足由作切线而得到的的横坐标，故， ，则是以为首项，以为公比的等比数列, 故，故，即； ②构造，则， 故在上单调递减，故， 可得当时，， 则， 即，，……， 将上式累加可得 ， 故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明数列不等式问题:常根据已知的函数不等式或者构造函数不等式进行证明，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过求和达到证明的目的. 4．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由个数排列成的m行n列的数表称为矩阵，其中称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若，，则，其中.已知，函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个极值点，证明：，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意，，求导得，从而可以分是否为0进行讨论，时，可以继续分是否大于0进行讨论，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）构造函数，首先利用导数证明得到，进一步有，从而即可顺利得解. 【详解】（1）由矩阵乘法定义知，， ∵， ∴当时，，单调递增， 时，方程的判别式， 当时，，，单调递增， 当或时，，令，方程两根记为，， 则，， 当时，，， 当时，，单调递增，时，，单调递减， 当时，， 当和时，单调递增， 当时，，单调递减， 综上，当时，单调递增， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）∵有两个极值点，由（1）知， 设， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴单调递增， ∴， 由（1）知，， ∴，即， ∴， 又由（1）知在上单调递减且， ∴， ∴. 【点睛】关键点点睛：第一问的关键在于讨论的时候做到不重不漏，第二问的关键在于构造适当的函数得出，由此即可顺利得解. 题型七 初等数论 1．（2024·河北秦皇岛·三模）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和. (1)判断28是否为完全数，并说明理由. (2)已知，若为质数，证明：为完全数. (3)已知，求，的值. 【答案】(1)28是完全数，理由见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）根据完全数的概念求解即可； （2）根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算证明即可； （3）根据完全数的概念结合等比数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）28的所有正因数为1，2，4，7，14，28， 因为，所以28是完全数. （2）的正因数为，，，，，，，，，， ， 所以为完全数. （3）的正因数为，，，，，，，，，，，，，，，， 所以. 因为， 所以 . 2．同余理论是大学数学教材《初等数论》中的重要内容．同余的定义为：设a，b，m为正整数，其中，若存在正整数k，使得，则称a同余于b模m，记作．例如：，可记为． (1)证明：数列中的每一项都是同余方程的解； (2)已知同余方程． （ⅰ）求同余方程所有的正整数解： （ⅱ）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）或；（ii）（或） 【分析】（1）先验证是3的倍数，则除以3余1，即同余于1模3； （2）（i）正整数集 ， 分别验证时，是否为3的倍数，即可求出同余方程所有的正整数解； （ii）首先写出数列的通项公式，再分奇偶项分别求和即可得到数列的前n项和． 【详解】（1）由， 得， 故数列中的每一项都是同余方程的解． （2）（i）正整数集 ， 当时，由，知不是3的倍数， 故不是同余方程的解； 当时， 由，知， 故是同余方程的解； 当时，由，知， 故是同余方程的解． 由上知，同余方程的所有正整数解为或． （ii）由上知，该同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列为， 即奇偶项均为公差为3的等差数列，由可得， 当n为偶数时， ， 当n为奇数时，， 故（或）. 3．设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数，因数），由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质；①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中，. (1)证明：；； (2)若为奇数，求证：能被整除； (3)对于整数与，，求证：可整除. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）注意到，据此可完成证明；注意到，结合可完成证明； （2）注意到，据此可完成证明； （3）由（2）可证明，也可证明，据此可完成证明. 【详解】（1）注意到 ， 则； 又注意到，，， 则 ， 则； （2）注意到： ； 则 ， 则，故； （3）由题， . 由（2）可得，， . 又， 则 ，则； 另一方面， . 注意到，则由（2）可得：， 又，则，又注意到与互质， 则.又， 则，即可整除. 【点睛】关键点睛：整除问题，常可利用等比数列求和公式，二项式定理，分解因式等知识来处理. 4．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)若正整数互质，证明：； (3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【分析】（1）分别写出的所有质因数，根据其个数即可计算出结果； （2）对的取值是否为1进行分类讨论，对的取值进行分别计算即可求得结论； （3）利用定义由组合数定义以及二项式定理可得出证明. 【详解】（1）因为，易知， 所以； 又，因为5的指数，所以； （2）①若或，因为，所以； ②若，且存在质数，使得或的质因数分解中包含，则的质因数分解中一定也包含， 所以， ③若，且不存在②中的，可设， 其中均为质数，则， 因为互质，所以互不相等， 所以， 综上可知 （3）由于，所以可设，为偶数， 的所有因数，除了1之外都是中的若干个数的乘积，从个质数中任选个数的乘积一共有种结果， 所以 ， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于充分理解莫比乌斯函数的定义，并根据计算规则得出其规律，再由二项式系数性质可得出结果. 题型八 切比雪夫不等式、马尔科夫链 1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有． (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信． 【答案】(1)证明见解析； (2)不可信. 【分析】（1）法一：应用马尔科夫不等式及期望与方差的关系，即可证；法二：设X的分布列为  ，2，…，n，结合、马尔科夫不等式，即可证； （2）设在100名患者中治愈的人数为X，且及切比雪夫不等式，即可得结论. 【详解】（1）法一：对非负离散型随机变量及正数，使用马尔科夫不等式， 有； 法二：设X的分布列为  ，2，…，n， 其中，，，2，…，n，， 记，则对任意 . （2）设在100名患者中治愈的人数为X，假设药企关于此新药有效的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，，， 由切比雪夫不等式，有， 即在假设下，100名患者中治愈的人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信． 2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）不可信． 【分析】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，然后求出，，由条件概率求得； （2）（i）由二项分布期望和方差公式求得，，由二项分布随机变量的概率的性质得到，然后由切比雪夫不等式得到结果； （ii）假设厂家关于产品合格率的说法成立，随机抽取100件产品中合格品的件数为，则，再由期望和方差公式求得，，由由切比雪夫不等式求出，然后由小概率原理做出判断. 【详解】（1）记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品， ，， ； （2）（i）由题：若，则，， 又， 所以（或）， 由切比雪夫不等式可知，， 所以， （ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知， 一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 3．（2024·湖北·模拟预测）某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X． (1)要使的值最大，求n的值； (2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计． ①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）； ②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值． 注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②45 【分析】（1）由题意可得，计算可求； （2）①法一：设的分布列为，其中，，记，则对任意，利用计算可证结论； 法二：由马尔科夫不等式，得，计算可证结论． ②，则，，进而可得，结合切比雪夫不等式，可得，求解即可. 【详解】（1），由题意有， 解得，由于为整数，故． （2）①证法1：设的分布列为， 其中，，记，则对任意， ． 证法2：由马尔科夫不等式，得． ②，则，． 由题意，，即，，也即． 由切比雪夫不等式，有， 从而，，估计的最小值为45． 【点睛】新定义题型：考查阅读理解能力，弄清题意是解题的关键，转化化归的能力，由切比雪夫不等式得解决问题的关键. 4．（2025·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，分析可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值； （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【详解】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且，       ，     ，      ，        所以的分布列为： 数学期望为. （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得，           而， ， ， 于是，， 也即，       首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 5．（24-25高三上·湖北·期中）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且. (1)求的值； (2)求； (3)证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由独立事件的乘法公式求解即可； （2）由条件概率的计算公式得及，结合求解即可； （3），所以，所以，令，则，，计算即可证明. 【详解】（1），所以； （2） ， 又， ， 所以 ， ， . （3）证明： ， 所以， 令，则， ， 而， . ， ， 所以.得证. 【点睛】由独立事件的乘法公式与条件概率的计算公式结合求解离散型随机变量的分布列数学期望： ，所以，所以，令，则，，计算即可证明. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有. (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立. (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信. 【答案】(1)证明见解析； (2)不可信. 【分析】（1）方法一：利用非负离散型随机变量及正数使用马尔可夫不等式证明；方法二：先列出的分布列，然后利用马尔可夫不等式证明； （2）第一步：设出随机变量，判断服从二项分布，由二项分布计算均值与方差；第二步：利用切比雪夫不等式求出；第三步；得出结论. 【详解】（1）方法一：由题意， . 方法二：设的分布列为，，2，…，， 其中，，，记， 则对任意，； （2）设在100名患者中治愈的人数为， 假设药企关于此新药对治疗某种疾病的有效率的宣传内容是客观真实的， 那么在此假设下，，，. 由切比雪夫不等式，有. 即在此假设下，100名患者中治愈人数不超过60的概率不超过0.04，此概率很小， 据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信. 2．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“上凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“下凸函数”这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴声不等式. (1)已知函数， ①若判断函数是上凸还是下凸函数并给予证明， ②试判断是上凸还是下凸函数，直接写出结论. (2)若是一组实数且，求的最小值. 【答案】(1)①是下凸函数，证明见解析；②是下凸函数 (2)2024 【分析】（1）根据题意，由下凸函数的定义即可证明； （2）根据题意，由下凸函数的定义，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）①是下凸函数. ， ， ， 所以函数是下凸函数. ②是下凸函数. 证明如下： ， 所以函数是下凸函数. （2）由是下凸函数可知: ， 所以的最小值为. 3．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意根据组合数公式、古典概型概率计算公式先求得，再结合全概率公式可得. （2）由全概率公式得递推公式，构造等比数列即可求解. （3）由题意得，结合，由此可得、分布列以及数学期望. 【详解】（1）设恰有2个黑球的概率为，则恰有0个黑球的概率为． 由题意知，， 所以． （2）因为， 所以． 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以，． （3）因为①， ②． 所以①②，得． 又因为，所以．所以． 所以的概率分布列为： 0 1 2 p 所以． 所以的数学期望为定值1． 4．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围； (3)，证明：（附：）. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求函数的导函数，再结合分分别求出导函数正负得出函数单调性即可证明； （2）先把不等式恒成立转化为，再结合函数单调性得出函数值范围即可求参； （3）构造函数，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式再结合累加法及等比数列求和即可证明. 【详解】（1）， 令，则， 令，则， 若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减， 若，则单调递增，，即 存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增， 且， 在区间上单调递减，且在上连续， 综上，在区间上单调递减. （2）当时，，成立.当时，由可得， 令， 由（1）可知在上单调递减，. 由洛必达法则：， . （3）当且时，，令， 则，令，则， 在上单调递增，， 即在上单调递增，（当时取等号）， ， ， ， ， 即. 5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 【答案】(1), ； (2)答案见解析； (3)证明过程见解析. 【分析】（1）根据在点处的阶泰勒展开式的定义可直接求得结果； （2）令，利用导数可求得在上单调递增，结合可得的正负，由此可得与的大小关系； （3）令，利用导数可求得，即；①当时，由，，可直接证得不等式成立；②当时，分类讨论，由此可证得不等式成立. 【详解】（1），，， ，，， ，即； 同理可得：； （2）由（1）知：，， 令，则， ，， 在上单调递增，又， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； ，， 在上单调递增，又， 当时，；当时，； 综上所述：当时，；当时，；当时，； （3）令，则， ，在上单调递增， 又，在上单调递减，在上单调递增， ，即； 在点处的阶泰勒展开式为：， ，当且仅当时取等号， ①当时，由（2）可知，，当且仅当时取等号，所以； ②当时，设，， ，， 当，由（2）可知，所以， ，即有； 当时，， 所以，时，单调递减，从而，即． 综上所述：. 【点睛】关键点睛：本题考查了导数中的新定义问题，关键是审题时明确阶泰勒展开式的具体定义；本题在证明不等式成立时的关键是能够根据原函数与其在处的阶泰勒展开式的大小关系，利用放缩的方法将不等式进行转化. 6．（24-25高三上·重庆·月考）给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，.已知在处的阶帕德近似注：，，，，… (1)求，，的值； (2)比较的大小，并说明理由； (3)求不等式的解集，其中 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3). 【分析】（1）根据新定义先求导函数，再代入求参即可； （2）先化简换元令，再求导函数根据正负得出函数单调性即可证明； （3）结合（2）结论应用单调性解不等式 【详解】（1）因为 ， ， ， 则 ， 则 ，则 ， ， 所以 . （2）， 令， 则 ， 令 ， ， 所以 在 单调递增， 在 单调递增， ， 即 ， 所以 ， ， 所以 ， 综上， . （3）若要使 成立， 则 ， 即 或 ， 当 时， 即 ， 由（2）知上式成立， 所以 ， 当 等价于 ， 当 时， 等价于 ， 成立; 当 时， 等价于 ， 不成立， 所以解集为. 7．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理． (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明； (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 【答案】(1)在上单调递增,证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，得取由恒成立，得在上单调递增，由即得结论； （2）先将题设不等式转化成，利用柯西中值定理，将表示成的形式，从而得，不等式恒成立，构造函数求出最大值即得； （3）将待证不等式等价转化为，对于左式，运用柯西中值定理得到，再根据范围进行放缩即可得证. 【详解】（1）不妨取，则在上单调递增. 证明：因，，令， 因在上单调递增，则，在上恒成立， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增. （2）因且，不等式恒成立， 即且，不等式恒成立， 取，由柯西中值定理，， 故，不等式恒成立， 令， 则由，可得，由可得， 即在上单调递增，在上单调递减， 故时，函数取得最大值，故， 即实数的取值范围为. （3）因，取， 由柯西中值定理，， 因则， 因，故，证毕. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查柯西中值定理的应用，属于难题. 解题关键在于充分理解和把握柯西中值定理的内涵，构造与之匹配的结构，运用定理进行解析式的简化，达到透过现象抓住本质的目的. 8．（24-25高三上·河北·期中）若正整数，则称为的一个“分解积”. (1)当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大； (2)当正整数的分解积最大时，求中2的个数； (3)当正整数的分解积最大时，求出中的值. 【答案】(1)，， (2)至多有2个2 (3)中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个 【分析】（1）根据“分解积”的定义可直接写出结果； （2）易知，且，因此分解积最大时，中至多有2个2； （3）根据分解积最大以及各数之间的和之间的关系，可得出结论. 【详解】（1），分解积的最大值为； ，分解积的最大值为； ，分解积的最大值为. （2）由（1）可知，中可以有0个2，1个2，2个2. 当有3个或3个以上的2时， 因为，且，所以分解积不是最大的. 因此，中至多有2个2. （3）①当中有1时，因为， 所以分解积不是最大的，可将1加到其它数中，使得分解积变大； ②由（2）可知，中至多有2个2； ③当中有4时， 若将4分解为，由①可知分解积不会最大；若将4分解为，则分解积相同； 若有两个4，因为，且，所以将改写为，使得分解积更大. 因此，中至多有1个4，而且可写成； ④当中有大于4的数时，不妨设， 因为，所以将分解为会使得分解积更大. 综上，中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解分解积定义并根据正整数之间的分解和积的关系，可得出分解积最大时所得的数字组合，即可得出结论. 9．对于任意实数，引入记号表示算式，即，称记号为二阶行列式.是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值. (1)求下列行列式的值： ①；②； (2)求证:向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于的二元一次方程组有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）. 【答案】(1)①1；②0 (2)证明见解析 (3)，答案见解析 【分析】（1）借助行列式的定义计算即可得； （2）借助向量共线的定义与性质证明其其充分性与必要性即可得； （3）解出该不等式后，借助行列式的定义表示出、即可得. 【详解】（1）①；②； （2）若向量与向量共线， 则有，即， 所以必要性得证， 若，即， 当不全为0时，即时， 不妨设，则，所以， 因为，所以， 所以与共线， 当且时，，所以与共线， 充分性得证； 综上，向量与向量共线的充要条件是； （3）由，则有， 消去得：，① 由，则有， 消去得：，② 所以当时，即时，由①②得： ，， 所以当时，关于的二元一次方程组有唯一解， 且. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助行列式的定义表示出、，从而得出其有唯一解的条件. 10．（23-24高三下·贵州·月考）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出. 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用. 伯努利不等式的一种常见形式为： 当，时，，当且仅当或时取等号. (1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？ (2)数学上常用表示，，，的乘积，，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）已知直线与函数的图象在坐标原点处相切，数列满足：，，证明：. 【答案】(1)能超过 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）依题意，年后该地区人口的估计值为万人，再利用伯努利不等式即可判断； （2）（ⅰ）由伯努利不等式可得，再求出，即可得证； （ⅱ）利用导数求出切线的斜率，即可求出直线的方程，从而得到，即可得到，由（ⅰ）可知，从而得到，再利用裂项相消法证明，即可得证. 【详解】（1）依题意，年后该地区人口的估计值为万人， 由伯努利不等式可得， 所以年后该地区人口的估计值能超过万. （2）（ⅰ）根据伯努利不等式可知， 所以 ， 所以. （ⅱ）由，则，所以， 又直线与函数的图象在坐标原点处相切， 所以直线的斜率为，且过点， 所以直线的方程为， 所以，则 ， 所以， 由（ⅰ）可知，所以， 又因为， 即， 所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用题干所给的伯努利不等式，以及前面已证的不等式的应用. 11．由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵. 矩阵是高等代数中的常见工具，在物理学、计算机科学中都有广泛的应用. 现有矩阵，其中.设. 定义变换 : “对于矩阵的每一行的数，若其中有或，则将这一行中每个数变为其相反数; 否则这一行中所有数均保持不变”. 表示对用变换得到，再对用变换得到，以此类推，最后得到. 记矩阵中四个数的和为. (1)若，写出经过变换后得到的矩阵，并求的值； (2)若 ，求的所有可能取值的和； (3)对任意矩阵，证明: 的所有可能取值的和不超过 0 . 【答案】(1)，； (2)的所有可能取值的和为； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据变换定义直接依次求出，再由的定义即可求解； （2）根据矩阵中的数可将分成和两组数据，则S的3个数据从这两组数据中取出，故可分成“取第一组数据3个”、“取第二组数据3个”、“取第一组数据1个和第二组数据2个”、“取第一组数据2个和第二组数据1个”这几种情况一一分析求解即可； （3）考虑或两种情况下，在集合的所有非空子集中考虑是否含有a、b时子集个数和经过变换后第一行的数，接着求出所以经过变换后所有的第一行元素之和，同理计算经过变换后所有的第二行的所有数的和即可求解. 【详解】（1）因为， 所以经过变换后得到的矩阵为， 所以经过变换后得到的矩阵为， 所以； （2）若，则，从而； 若，则，从而； 若S中只含1，不含0，3，则有3种情况，此时，从而； 若S中只含3，不含0，1，则有3种情况，此时，从而； 若S中只含0，不含1，3，则有3种情况，此时，从而； 若S中只含0，1，不含3，则有3种情况，此时，从而； 若S中只含1，3，不含0，则有3种情况，此时，从而； 若S中只含0，3，不含1，则有3种情况，此时，从而. 综上所述，的所有可能取值的和为. （3）若，则在集合的所有非空子集中， 含有a且不含b的子集共个，经过变换后第一行均变为； 含有b且不含a的子集共个，经过变换后第一行均变为； 同时含有a和b的子集共个，经过变换后第一行仍为a，b； 不含a也不含b的子集共个，经过变换后第一行仍为a，b； 所以经过变换后所有的第一行元素之和为， 若，则在的所有非空子集中， 含有a的子集共个，经过变换后第一行均变为； 不含有a的子集共个，经过变换后第一行仍为a，b； 所以经过变换后所有的第一行的所有数的和为. 同理经过变换后所有的第二行的所有数的和为， 所以的所有可能取值的和为， 又因为，所以的所有可能取值的和不超过0 12．（24-25高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有． (1)求，； (2)求所有，，使得是奇数； (3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接证明当时有，然后利用该结论求解； （2）利用（1）中的结论求解即可； （3）这就是（1）中结论的直接推论. 【详解】（1）我们先证明一个引理. 引理：对正整数，设的质因数分解式为，其中表示互不相同的质数，则有. 引理的证明：由于，故和不互质，从而就是中，和互质的数的个数. 由于的全部质因子为，故一个正整数和互质，当且仅当它不被每个整除. 设集合，，这里. 换言之，就是中全体的倍数. 由于是不同的质数，故它们两两互质，从而对任意，都有 . 从而，这里表示集合的元素个数. 所以由容斥原理可得 . 将展开即知. 所以，引理得证. 回到原题，由于，，故由引理知 ，. （2）根据（1）中的引理，我们可以直接得出，若正整数，则是的倍数，所以如果是奇数，则一定是奇数. 对正整数，我们分两种情况讨论. 情况一：是的倍数. 取最大的正整数，使得整除，则. 根据正整数的取法，一定是奇数，所以和互质. 若，则根据（1）中的引理有是偶数； 若，设，这里是互不相同的奇质数，则根据（1）中的引理，有 . 从而是偶数. 无论怎样都有是偶数，故此时不满足条件； 情况二：不是的倍数，且是偶数. 此时如果，则，满足条件； 如果，则是大于的奇数，设，这里是互不相同的奇质数，则根据（1）中的引理，有 . 而是奇数，故是奇数，所以是奇数，满足条件. 无论怎样都有是奇数，故此时满足条件； 情况三：是奇数. 此时由于是奇数，所以是奇数，故此时满足条件. 综上，所求的全部的集合为. （3）显然这就是（1）中引理的直接推论. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于给出适当的结论作为基础，从而方便研究所求的问题. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（24-25高三上·河北唐山·月考）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． (1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)对于任意的实数，，证明：； (3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先求，再根据“拉格朗日中值点” 的定义令，解方程即可求解； （2）设，分和两种情况讨论，利用拉格朗日中值定理有，结合即可求证； （3）对函数二次求导，利用拉格朗日中值定理，结合函数的单调性即可证明. 【详解】（1）因为，， ，，所以在上的“拉格朗日中值点”的个数为. （2）设，有， 易知函数在上满足拉格朗日中值定理的两个条件， 当时，显然有， 当时，不妨设，由拉格朗日中值定理可知， 存在，使得， 有，又由，有， 可得， 由上知，不等式成立. （3）由，有， 又由，设， 有， 可得函数单调递增， 由拉格朗日中值定理可知，存在， 使得， 同理可知，存在， 使得， 又由和函数单调递增，有， 有， 由化简可得， 故不等式成立． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于能够将问题与拉格朗日中值定理联系并结合导数解决问题. 2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Johan  Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）. (1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数； (2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围； (3)设数列中的各项均不小于1，证明：. 【答案】(1)不是上的凹函数，是上的凹函数 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义，结合对勾函数的单调性，即可下结论； （2）根据新定义可得为增函数，由分离参数法可得，利用导数的应用讨论函数的性质即可求解； （3）记，由新定义，结合琴声不等式的应用即可证明. 【详解】（1）的导函数为， 因为函数不是上的增函数， 所以不是上的凹函数. 的导函数为， 当时，令， 由对勾函数的单调性知在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以函数是上的凹函数. （2）由题可知， 设，则. 因为函数为上的凹函数，所以为增函数， 所以，即恒成立. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 故m的取值范围是. （3）设，因为，故，记， 由（1）知为定义域上的凹函数，所以由琴生不等式可知 ， 所以. 【点睛】方法点睛： 学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 3．设正整数，其全部正因数构成集合，且满足，设任意相邻两项之积，若整除，则称符合该条件的为可除整数. (1)判断是否为可除整数； (2)证明：； (3)证明：所有的可除整数构成素数集. 【答案】(1)不是可除整数 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出的所有正因数构成的集合，结合题中定义验证即可； （2）根据题意可得，即，从而可得出，再利用不等式的性质可证得结论成立； （3）根据题意可得，由（2）中的结论可得出，可知素数是正整数和的正因数中最小的素数，由此推导出，再结合（2）中的结论可证得结论成立. 【详解】（1）的所有正因数构成的集合为， 所以，，则不整除， 所以不是可除整数. （2）因为正整数的全部正因数构成集合， 所以，即， 所以， 得，当且仅当为素数时取等； 又，所以， 所以， 化简得，所以，证毕. （3）因为正整数满足整除，则， 由得； 不难发现素数是正整数和的正因数中最小的素数， 而的正因数又满足，所以， 由（2）知当且仅当为素数时，不等式取等， 即当为素数时，满足除，即所有的可除整数构成素数集，证毕. 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)，0.182 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意分别对两个函数求导，建立方程组，可得答案； （2）整理不等式，构造函数并求导，根据二次函数的性质，可得答案； （3）利用两边取对数整理不等式，构造函数，利用导数求得其最值，利用（2）的结论，可得答案. 【详解】（1）， 因为，所以，解得， . （2）解法1：设， 则在上恒成立.若，则显然成立； 若， 设， ，当时，， 因此，即在上单调递增， 时，，满足题意； 当时，在上单调递减，因为， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即在单调递减， 时，，与已知矛盾，舍去. 综上，实数的取值范围为. 解法2：设， 则在上恒成立.因为，， 所以，解得， 当时，， 在上单调递增，时，恒成立. 综上，实数的取值范围为. （3）证明：要证时，，即证， 设，则，令得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 因此， 因此只需证，即证. 设， 则在上单调递增， ，即， 令，则，因此原不等式成立. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用，二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）将选择的式子化简结合极限的定义求解； （3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 6．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式． (1)分别求在处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； (3)当时，求证：．（参考数据） 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在处的泰勒展开式的公式即可求解； （2）把在处的泰勒展开式中的替换为，利用复数的运算法则进行化简整理可得，从而即可证明； （3）根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得. 【详解】（1）因为函数在处的泰勒展开式为 （其中表示的n次导数）， 所以，，在处的泰勒展开式分别为： ； ； . （2）把在处的泰勒展开式中的替换为，可得 ， 所以，即. （3）由在处的泰勒展开式，先证当时，， 令， ，又，则， 所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 再令，， 则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 而， 所以当时，恒成立， 则 ， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题（3）问解题的关键是根据在处的泰勒展开式，先证当时，恒成立，再证当时，恒成立，即可证得. 7．（2024·江西鹰潭·二模）“让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立. (1)证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件； (2)已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明： (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析，，或 (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）设（），注意到，,二次求导，得到函数的单调性和极值最值情况，证明出结论； （2）当时，显然成立，当时，构造数列， ，作差法得到是一个单调递增的数列（），结合，得到（），证明出结论. （3）利用（2）的结论，再利用数列求和及放缩，即可得到证明. 【详解】（1）当时，，则，当时，， 当时，我们需证， 设，， 注意到，， 令得，即， 令，则，所以在单调递增， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，即恒成立， .不等式对，成立，得证， 不等式取等号的条件是，或. （2）当时，原不等式即，显然成立， 当时，构造数列， ， 则， 若（），由上式易得，即； 若（），则， 所以， 故， 即此时也成立，所以当时，， 由于， 所以（），故原不等式成立. （3）要证， 只需证 由（2）知 又 ∴，得证. 【点睛】关键点点睛：（1）要设出函数，并通过二次求导，得到函数的单调性和极值最值情况；（2）关键是构造数列，通过作差法得到是一个单调递增的数列，证明出结论；（3）需要利用（2）的结论，再利用数列求和，关键是需要合理放缩，得到证明. 8．（2024·江西南昌·模拟预测）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.    已知函数，其中. (1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求得，分别求得在点和处的切线方程，假设与重合，整理得，结合题干结论，即可得证； （2）根据题意，转化为时，在恒成立， 设，求得，分和，两种情况讨论，得到函数的单调性和最值，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得， 不妨设，曲线在处的切线方程为 ，即， 同理曲线在处的切线方程为， 假设与重合，则， 代入化简可得， 两式消去，可得，整理得， 由知，与上式矛盾 即对任意实数及任意不相等的正数与均不重合， 所以函数图像上的任意两点切线均不重合； （2）当时，不等式恒成立， 所以在恒成立，所以， 下证：当时，恒成立． 因为，所以 设 （i）当时，由知恒成立， 即在为增函数，所以成立； （ii）当时，设，可得， 由知恒成立，即在为增函数． 所以，即在为减函数，所以成立， 综上所述，实数的取值范围是 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 9．（24-25高三上·河北邯郸·月考）记为有穷数列的前项和，若满足下列两个条件则称为阶“期待数列”：①；②.形如的数表表示2行列的矩阵，设是由阶“期待数列”中的项任意排列组成的2行列的矩阵，记为阶“期待数列”组成的所有2行列的矩阵的集合.设为的第行各数之和为的第列各数之和，记为，中的最小值. (1)若等差数列是递增的2023阶“期待数列”，且，求； (2)对所有的矩阵，求的最大值； (3)给定，对所有的矩阵，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列求和公式可得，，即可根据求解公差，进而可求解， （2）根据，， 可得 即可结合绝对值的性质求解. （3）根据，相加可得求解.. 【详解】（1）设等差数列的公差，由题意可得，即， 所以，即，所以，又，由可得， 所以，解得， 由可得. （2）设且， 若任意改变矩阵的行的次序或列的次序，或把中的每一个数都换成其相反数，得到新矩阵，则， 不妨设， 由定义可知，， 所以 ， 当且仅当时取等号，则的最大值为. （3）设， ， 由（2）不妨设， 由定义可知，， 相加可得 . 当且仅当，且时取等号，所以，的最大值为. 10．（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组. (1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解； (2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=. （i）用二阶行列式表示方程组的两个解； （ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解. (3)若存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）推导见解析，答案见解析 (3) 【分析】（1）利用消元法计算即可求解； （2）（i）由（1），结合行列式的定义直接得解；（ii）利用类比的思想可得三阶行列式，进而可表示该方程组的解； （3）由行列式的定义可得，令（），则，分类讨论t的取值范围，结合对勾函数的性质即可求解. 【详解】（1）该方程组的两个解为； （2）（i）由（1）得， 所以该方程组的两个解为； （ii）类比二元一次方程组，将三元一次方程组中的系数排成一个数表，则可以得到三阶行列式. 令，当时，该三元一次方程组有唯一一组解， 即得该三元一次方程组有唯一一组解的条件为 ， 用三阶行列式表示该方程组的解为 ，，； （3）， 令，则， 其中， 因为，所以，， 故， 当时，无解，不合要求； 当时，， 其中在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为2，故； 当时，， 其中在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为-2，故， 因为存在，使得，所以或， 综上所述，m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解答第（2）问的关键是利用类比的思想得到三阶行列式，即可解决；解答第（3）问的关键是利用换元法将原不等式转化为（），结合分类讨论的思想即可解决. 11．矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m行l列的矩阵A为，A中第i行第j列的元素为（，2，3，…，m，，2，3，…，l），记一个l行n列的矩阵B为，我们定义一个双目运算符“”使得矩阵，那么有以下规则： a.A的列数必须与B的行数相等. b.C是一个m行n列的矩阵. c.C中的元素. d.若有n个相同的矩阵A相后得到一个新矩阵，可将其记作. e.运算满足结合律，不满足交换律. (1)求. (2)数列满足：，其中.存在唯一的矩阵D使得（，）. ①求矩阵D，并用矩阵相的形式表示出矩阵（，）； ②用矩阵相的形式表示出矩阵（，）. 【答案】(1) (2)①，，； ②，(答案不唯一). 【分析】（1）根据提供的矩阵运算规则求解即可； （2）①根据及矩阵运算规则可求矩阵，利用递推关系可求，结合可得；②根据可得矩阵，利用递推和矩阵运算可得答案. 【详解】（1）. （2）①由题可得，其中. 所以，. 所以; ，. 所以 ②设，因为，所以， 因为，，所以； ，. 所以，. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是理解矩阵的运算规则；二是根据递推关系构造出矩阵. 12．（2025·安徽合肥·模拟预测）合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 【答案】(1)改选2号箱，理由见解析 (2)改选2号､3号以外的箱，理由见解析 (3)，，验证见解析 【分析】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子，根据全概率公式和贝叶斯公式计算即可判断； （2）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，根据全概率公式计算可得，再根据条件概率计算即可判断； （3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子，，计算可得，进而可求得和，代入分析化简可得，令，求导，根据导数可得，再证明成立即可. 【详解】（1）用分别表示1，2，3号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开号箱子. 如上所述，你初次选择了1号箱.因为你在做选择时不知道奖品在哪个箱子里， 你的选择不影响奖品在三个箱子中的概率分配，所以事件的概率仍为，此为先验概率. 主持人打开1号箱之外的一个空箱子，有以下几种可能情况： 奖品在1号箱里，主持人可打开2，3号箱，故； 奖品在2号箱里，主持人只能打开3号箱，故； 奖品在3号箱里，主持人只能打开2号箱，故. 利用全概率公式，主持人打开3号箱的概率为 . 再根据贝叶斯公式，在3号箱打开的条件下，1号箱和2号箱里有奖品的条件概率分别为 所以改选2号箱，因为这样会增加中奖的概率； （2）用分别表示i号箱子里有奖品，则， 用分别表示主持人打开i号箱子， 则， 则. 所以 所以改选2号､3号以外的箱，因为这样会增加中奖的概率； （3）用分别表示i号箱子里有奖品，用分别表示主持人打开i号箱子， 则， ， ，则当时， ， 所以， 对任意的，， 记分别为大于的最小整数和小于的最大整数， 则， 所以， 所以， 令， 则当时，单调递增； 当时，单调递减，所以. 所以， 下面证明， 即证明， 因为， 所以， 即当时，，即. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 当时，. 此时，当时，； 当时，. 综上所述，成立. 13．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求比赛中得10分的概率，列举出情况，计算求解再求和即可. （2）求投篮次数的均值，有三种方法: 马尔科夫链方法:根据当前连续命中球数的不同状态，建立关于达到连续命中3球所需平均投篮次数的递推关系，联立方程求解，概率母函数方法:根据投篮的不同情况确定概率，构建率母函数，通过求函数在特定点的导数值得到投篮次数的均值，鞅的停时定理方法:利用游戏“公平性”，根据不同资本状态下投篮的结果建立关于投篮次数期望的方程，联立求解. 【详解】（1）根据题中的连续投中得分公式，得. 总得分为10，只能从连续投中4次、3次、2次、1次中选择组合.将总得分10的可能情况分类求解如下； ①连续投中4次得分，其余6次均不中，并且这样的选择有7种．其发生的概率为. ②连续投中1个3次得分分. 要总得分为10分，在10次投篮中出现一个连续投中3次、一个连续投中2次，一个投中1次， 它的得分为6分+3分+1分分.用捆绑法和插空法：， 可得这样的不同投法有种，该情况下发生的概率为． ③连续投中一个2次得分分，要总得分为10分，可以3个连续2次投中，1个1次投中，总得分为分+1分分， 用捆绑法和插空法：，选择投中1次的位置有种. 该情况下发生的概率为， 另外，如果由2个连续投中2次，4个投中1次，可得总分分+4分分， 但是2个连续2次中间至少要有一次不中，这需要至少5次，4个1次要间隔， 中间至少有3次失败，一共至少需要次，所以该情况不满足题意，其它亦如此. 根据概率加法公式，总得分为10分的概率为， 所以总概率为． （2）①马尔科夫链法：已知， 化简可得， 同理，当已经连续命中1球时候，若下一次命中， 只需要再投个球回家，若未命中，则需要投个球回家， 则. 当已经连续命中2球时候，若下一次命中就能回家（投篮次数为0）， 若未命中，则需要再投个球回家， 则. 联立求解可得，即小宇投篮次数的均值是14. ②概率母函数法：小宇投篮的情况可以分为四种：（i）未命中；（ii）命中，未命中： （iii）命中，命中，未命中;（iv）命中，命中，命中. 这四种情况概率分别为. 则小宇投篮次数的均值恰为函数在处的导数值. 先对当,时，, 则， 故，，即小宇投篮次数的均值是14. ③鞅的停时定理： 设小宇的投篮次数为，因为游戏是“公平的”，小宇开始时资本为0， 设为第次后的投篮的资本，根据停时定理， 每次投篮的命中概率，未命中的概率为. 当资本为0时，， （表示资本为0开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望， 表示资本为2开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望），化简得. 当资本为2时，（表示资本为4开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望）. 当资本为4时，. 联立求解,即小宇投篮次数的均值是14. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点培优04 大学数学背景下的数学问题全归纳 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 泰勒公式与帕德近似（★★★★★） 3 题型二 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理（★★★★★） 5 题型三 微积分（★★★★★） 7 题型四 洛必达法则（★★★★★） 8 题型五 伯努利与琴生不等式（★★★★） 10 题型六 行列式与矩阵（★★★★★） 11 题型七 初等数论（★★★★） 13 题型八 切比雪夫不等式、马尔科夫链（★★★★★） 14 03 实战检测・分层突破验成效 16 检测Ⅰ组 重难知识巩固 16 检测Ⅱ组 创新能力提升 21 1、泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式． 2、已知函数在处二阶可导，且 （1）若，则在处取得极小值； （2）若，则在处取得极大值. 3、帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．（注：，，，，…；为的导数）. 4、拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得. 5、罗尔定理描述如下：如果 上的函数满足以下条件：①在闭区间上连续，②在开区间内可导，③，则至少存在一个，使得． 6、微积分 知识卡片1：一般地，如果函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式（其中为小区间长度），当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作即.这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形的面积. 知识卡片2：一般地；如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 知识卡片3：在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . 7、伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立． 8、设连续函数的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为凸函数.若是区间上的凹函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 题型一 泰勒公式与帕德近似 1．（2024·贵州贵阳·一模）英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题． (1)证明：； (2)设，证明：； (3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围． 2．（24-25高三上·吉林长春·月考）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，……，（注：，，，，为的导数）已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数m，n的值； (2)证明：当时，； (3)设a为实数，讨论函数的单调性. 3．十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的阶泰勒展开式为： ， ， ， 其中，读作的阶乘. 这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用计算器计算，得到的值约为，用泰勒展开式前三项计算得到. (1)，，，比较的大小; (2)当时，证明：； (3)设，是否存在区间，使得的定义域为时，值域也为？若存在，求出所有的区间. 4．（2024·湖北·一模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. (1)根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； (2)由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； (3)设，证明：. 5．（2025·甘肃白银·二模）帕德逼近是法国数学家亨利•帕德发现的一种用有理函数逼近任意函数的方法．帕德逼近有“阶”的概念，如果分子是m次多项式，分母是n次多项式，那么得到的就是阶的帕德逼近，记作．一般地，函数在处的阶帕德逼近定义为：，且满足，，，…，．注：，，，，…已知在处的阶帕德近似． (1)求的解析式； (2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，当时，比较与0的大小； (3)已知在处的阶帕德近似，若对任意，都成立，求实数a的取值范围． 题型二 罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理 1．已知，， (1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间； (2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于． 2．（24-25高三上·山西·月考）以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，其定理陈述如下：若定义在上的函数满足条件①在闭区间上连续，②在开区间内可导，则，.而罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例：若，则.现已知函数. (1)设可导函数，证明：，； (2)若在上的最小值为，求a的取值范围. 3．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它的表述如下： 若函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间内可导，则存在，使得. (1)若，，，求满足的实数的值. (2)运用拉格朗日中值定理求解以下问题： （ⅰ）对任意的且，证明不等式. （ⅱ）已知函数，对任意的，，恒成立，求实数的取值范围.（结果保留3位小数） 参考数据：，，，. 4．（2024·湖北襄阳·三模）柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用.定理内容为：设函数f(x)，g(x)满足: ①图象在上是一条连续不断的曲线； ②在内可导; ③对，，则，使得. 特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理. (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，证明：函数在上为增函数. (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围. 5．（24-25高三上·湖北武汉·月考）2022年7月，在重庆巴蜀中学读高一的瞿霄宇，夺得第63届国际数学奥林匹克（IMO）满分金牌.同年9月26日，入选2022年阿里巴巴全球数学竞赛获奖名单，同时成为了本届获奖者中年龄最小的选手.次年9月16日，他再接再厉，在2023阿里巴巴全球数学竞赛中获金奖.他的事迹激励着广大数学爱好者勇攀数学高峰，挖掘数学新质生产力.翔宇中学高二学生小刚结合自己“强基计划”的升学规划，自学了高等数学的罗尔中值定理：如果上的函数满足条件：①在闭区间上连续；②在开区间可导；③.则至少存在一个，使得.据此定理，请你尝试解决以下问题： (1)证明方程：在内至少有一个实根，其中，，，； (2)已知函数在区间内有零点，求的取值范围. 题型三 微积分 1．（24-25高三上·重庆·开学考试）如果函数的导数，可记为．若，则表示曲线，，以及轴围成的曲边梯形”的面积（其中． (1)若，且，求； (2)当时，证明：； (3)证明：． 2．微积分的发现是数学发展中的里程碑，它为研究变量和函数提供了重要的方法.对于函数在区间上连续.如图所示，定积分是由直线、直线、直线和曲线所围成区域（即曲边梯形ABQP）的面积.根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即. (1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法，证明： (2)已知函数，其中. （ⅰ）证明：对任意两个不相等的正数，曲线在点和点处的切线不重合； （ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数a的取值范围. 3．在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而英国物理学家、数学家艾萨克•牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德•莱布尼茨各自独立发明了微积分．其中牛顿在《流数法与无穷级数》（The Method of Fluxions and Inifinite Series）一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值．一直继续下去，得到．一般地，作点处曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列． (1)已知函数的零点为，，求的2次近似值． (2)函数的两个零点分别为，，数列为函数的牛顿数列，若数列满足，，． （i）证明：； （ii）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在4项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的4项；若不存在，请说明理由． 题型四 洛必达法则 1．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 2．对于给定函数，，，分别是，的导函数，当，时，根据洛必达法则知．已知函数，． (1)当时，求的值； (2)设函数，若不等式在上恒成立． （i）求的取值范围； （ii）证明：，． 3．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有一结论：若函数，的导函数分别为，，且，则； ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)证明不是区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)记，；求证：. 题型五 伯努利与琴生不等式 1．伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出．伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用．伯努利不等式的一种常见形式为：当时，，当且仅当或时取等号． (1)假设某地区现有人口万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断年后该地区人口的估计值是否能超过万？ (2)数学上常用表示，，，的乘积，． ①证明：； ②数列，满足：，，证明：． 2．设函数定义域在区间连续，对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数；若在区间上为凸函数，则对任意的，有琴生不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）． (1)证明：函数在上为凸函数； (2)设，且，求的最大值； (3)设为正实数，且，证明：． 3．（24-25高三上·黑龙江·月考）若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凸函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立，则称函数在上为“凹函数”.也可设可导函数在上的导函数为在上的导函数为，当时，函数在上的为“凹函数”.这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)讨论函数的凹凸性； (2)在锐角中，求的最小值； (3)若个正数满足，证明:. 4．瑞士数学家伯努利（Bernoulli，1654－1705）提出“让式子丢掉次数”，是高等数学在解决不等关系问题中最常见的一种方法．伯努利提出“若实数，则有”，这就是伯努利不等式，并给出了这个结论的完美证明． (1)指出伯努利不等式中等号成立的条件（不必说明理由）； (2)证明伯努利不等式； (3)已知无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列，…，依次类推．试用n与d表示，并证明． 题型六 行列式与矩阵 1．（2024·河北保定·三模）对于任意给定的四个实数，，，，我们定义方阵，方阵对应的行列式记为，且，方阵与任意方阵的乘法运算定义如下：，其中方阵，且.设，，. (1)证明：. (2)若方阵，满足，且，证明：. 2．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系中，利用公式①（其中，，，为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由，，，组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母，，…表示． (1)在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求点的坐标； (2)如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转角得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵； (3)向量（称为行向量形式），也可以写成，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①可以表示为：，则称是二阶矩阵与向量的乘积，设是一个二阶矩阵，，是平面上的任意两个向量，求证：． 3．（24-25高三上·云南昆明·期中）行列式最早起源于对线性方程组的研究，起初是一种速记的表达式，发展到现在已经成为一种非常有用的数学工具．已知表示二阶行列式，规定；表示三分行列式，规定．设． (1)求； (2)以为切点，作直线交的图象于异于的另一点，其中．若，当时，设点的横坐标构成数列． ①求的通项公式； ②证明：． 4．（2024·山东泰安·模拟预测）在数学中，由个数排列成的m行n列的数表称为矩阵，其中称为矩阵A的第i行第j列的元素.矩阵乘法是指对于两个矩阵A和B，如果4的列数等于B的行数，则可以把A和B相乘，具体来说：若，，则，其中.已知，函数. (1)讨论的单调性； (2)若是的两个极值点，证明：，. 题型七 初等数论 1．（2024·河北秦皇岛·三模）“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和. (1)判断28是否为完全数，并说明理由. (2)已知，若为质数，证明：为完全数. (3)已知，求，的值. 2．同余理论是大学数学教材《初等数论》中的重要内容．同余的定义为：设a，b，m为正整数，其中，若存在正整数k，使得，则称a同余于b模m，记作．例如：，可记为． (1)证明：数列中的每一项都是同余方程的解； (2)已知同余方程． （ⅰ）求同余方程所有的正整数解： （ⅱ）将上述同余方程所有的正整数解按从小到大的顺序排列构成数列，求数列的前n项和． 3．设，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数，因数），由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质；①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中，. (1)证明：；； (2)若为奇数，求证：能被整除； (3)对于整数与，，求证：可整除. 4．（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数 (1)求； (2)若正整数互质，证明：； (3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：． 题型八 切比雪夫不等式、马尔科夫链 1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有． (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立． (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信． 2．（24-25高三上·湖南益阳·期末）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 (1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率； (2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立． （i）若，证明：； （ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件） 3．（2024·湖北·模拟预测）某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X． (1)要使的值最大，求n的值； (2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布未知的情况下，对事件的概率作出估计． ①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）； ②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值． 注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有． 4．（2025·四川成都·模拟预测）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． (1)求、； (2)求； (3)证明：是等比数列． 5．（24-25高三上·湖北·期中）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且. (1)求的值； (2)求； (3)证明：为定值. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有. (1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立. (2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信. 2．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“上凸函数”.若为上任意个实数，满足，当且仅当时等号成立.则称函数在上为“下凸函数”这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴声不等式. (1)已知函数， ①若判断函数是上凸还是下凸函数并给予证明， ②试判断是上凸还是下凸函数，直接写出结论. (2)若是一组实数且，求的最小值. 3．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲、乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为． (1)求的值； (2)求的值（用表示）； (3)求证：的数学期望为定值． 4．（2025·河北·三模）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，. (1)证明：在区间上单调递减； (2)对于恒成立，求实数的取值范围； (3)，证明：（附：）. 5．给出以下三个材料：①若函数可导，我们通常把导函数的导数叫做的二阶导数，记作.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，阶导数的导数叫做阶导数，记作.②若，定义.③若函数在包含的某个开区间上具有阶的导数，那么对于任一有，我们将称为函数在点处的阶泰勒展开式.例如，在点处的阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目： (1)求出在点处的阶泰勒展开式，并直接写出在点处的阶泰勒展开式； (2)比较（1）中与的大小. (3)证明：. 6．（24-25高三上·重庆·月考）给定两个正整数，，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，.已知在处的阶帕德近似注：，，，，… (1)求，，的值； (2)比较的大小，并说明理由； (3)求不等式的解集，其中 7．柯西中值定理是数学的基本定理之一，在高等数学中有着广泛的应用．定理内容为：设函数，满足①图象在上是一条连续不断的曲线；②在内可导；③对，．则，使得．特别的，取，则有：，使得，此情形称之为拉格朗日中值定理． (1)设函数满足，其导函数在上单调递增，判断函数在的单调性并证明； (2)若且，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，求证：． 8．（24-25高三上·河北·期中）若正整数，则称为的一个“分解积”. (1)当分别等于时，写出的一个分解积，使其值最大； (2)当正整数的分解积最大时，求中2的个数； (3)当正整数的分解积最大时，求出中的值. 9．对于任意实数，引入记号表示算式，即，称记号为二阶行列式.是上述行列式的展开式，其计算的结果叫做行列式的值. (1)求下列行列式的值： ①；②； (2)求证:向量与向量共线的充要条件是； (3)讨论关于的二元一次方程组有唯一解的条件，并求出解.（结果用二阶行列式的记号表示）. 10．（23-24高三下·贵州·月考）伯努利不等式又称贝努力不等式，由著名数学家伯努利发现并提出. 伯努利不等式在证明数列极限、函数的单调性以及在其他不等式的证明等方面都有着极其广泛的应用. 伯努利不等式的一种常见形式为： 当，时，，当且仅当或时取等号. (1)假设某地区现有人口100万，且人口的年平均增长率为，以此增长率为依据，试判断6年后该地区人口的估计值是否能超过107万？ (2)数学上常用表示，，，的乘积，，. （ⅰ）证明：； （ⅱ）已知直线与函数的图象在坐标原点处相切，数列满足：，，证明：. 11．由个数排成的行列的数表称为行列的矩阵，简称矩阵. 矩阵是高等代数中的常见工具，在物理学、计算机科学中都有广泛的应用. 现有矩阵，其中.设. 定义变换 : “对于矩阵的每一行的数，若其中有或，则将这一行中每个数变为其相反数; 否则这一行中所有数均保持不变”. 表示对用变换得到，再对用变换得到，以此类推，最后得到. 记矩阵中四个数的和为. (1)若，写出经过变换后得到的矩阵，并求的值； (2)若 ，求的所有可能取值的和； (3)对任意矩阵，证明: 的所有可能取值的和不超过 0 . 12．（24-25高三上·江苏南通·月考）小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如，等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数，我们将比小且与互质的正整数的个数记为．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以，同理有． (1)求，； (2)求所有，，使得是奇数； (3)若正整数，其中表示互不相同的质数．证明：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．（24-25高三上·河北唐山·月考）约瑟夫·路易斯·拉格朗日是闻名世界的数学家，拉格朗日中值定理就是他发现的.定理如下：若函数满足如下条件： ①函数在区间上连续（函数图象没有间断）； ②函数在开区间内可导（导数存在）．则在区间内至少存在一点，使得成立，其中称为“拉格朗日中值点”． (1)求函数在上的“拉格朗日中值点”的个数； (2)对于任意的实数，，证明：； (3)已知函数在区间上满足拉格朗日中值定理的两个条件，当时，证明：． 2．（24-25高三上·河北邯郸·月考）定义：设为区间D上的可导函数，若为增函数，则称为区间D上的凹函数.对于凹函数，丹麦著名数学家琴生（Johan  Jensen）提出了著名的琴生不等式：若函数为其定义域上的凹函数，则对其定义域内任意n个数，均有成立（当且仅当时等号成立）. (1)分别判断函数与是否为其定义域上的凹函数； (2)若函数为上的凹函数，求m的取值范围； (3)设数列中的各项均不小于1，证明：. 3．设正整数，其全部正因数构成集合，且满足，设任意相邻两项之积，若整除，则称符合该条件的为可除整数. (1)判断是否为可除整数； (2)证明：； (3)证明：所有的可除整数构成素数集. 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的，用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：，其中和分别是和次多项式，且满足.其中为的导数.已知在处的阶帕德近似为. (1)求实数的值，利用的阶帕德近似估计的近似值（结果保留3位有效数字）； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)证明：当时，. 5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 6．（24-25高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的泰勒展开式． (1)分别求在处的泰勒展开式； (2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：．（其中为虚数单位）； (3)当时，求证：．（参考数据） 7．（2024·江西鹰潭·二模）“让式子丢掉次数”—伯努利不等式（Bernoulli’sInequality），又称贝努利不等式，是高等数学分析不等式中最常见的一种不等式，由瑞士数学家雅各布.伯努利提出，是最早使用“积分”和“极坐标”的数学家之一.贝努利不等式表述为：对实数，在时，有不等式成立；在时，有不等式成立. (1)证明：当，时，不等式成立，并指明取等号的条件； (2)已知，…，（）是大于的实数（全部同号），证明： (3)求证：. 8．（2024·江西南昌·模拟预测）微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数在区间上的图像连续不断，从几何上看，定积分便是由直线 和曲线所围成的区域（称为曲边梯形ABQP）的面积，根据微积分基本定理可得，因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积，即，代入数据，进一步可以推导出不等式：，用同样的方式也可以推导不等式.    已知函数，其中. (1)请参考上述材料证明：函数图象上的任意两点切线均不重合； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．（24-25高三上·河北邯郸·月考）记为有穷数列的前项和，若满足下列两个条件则称为阶“期待数列”：①；②.形如的数表表示2行列的矩阵，设是由阶“期待数列”中的项任意排列组成的2行列的矩阵，记为阶“期待数列”组成的所有2行列的矩阵的集合.设为的第行各数之和为的第列各数之和，记为，中的最小值. (1)若等差数列是递增的2023阶“期待数列”，且，求； (2)对所有的矩阵，求的最大值； (3)给定，对所有的矩阵，求的最大值. 10．（2024·江苏南通·模拟预测）解二元一次方程组是数学学习的必备技能.设有满足条件的二元一次方程组. (1)用消元法解此方程组，直接写出该方程组的两个解； (2)通过求解，不难发现两个解的分母是由方程组中的系数所唯一确定的一个数，按照它们在方程组中的位置，把它们排成一个数表，由此可以看出是这个数表中左上到右下对角线上两个数的乘积减去右上到左下对角线上两个数的乘积的差，称为该数表的二阶行列式，记为.当≠0时，二元一次方程组有唯一一组解.同样的，行列式称为三阶行列式，且=. （i）用二阶行列式表示方程组的两个解； （ii）对于三元一次方程组，类比二阶行列式，用三阶行列式推导使得该三元一次方程组有唯一一组解的条件（结论不得使用行列式表达），并用三阶行列式表示该方程组的解. (3)若存在，使得，求的取值范围. 11．矩阵可以理解为一个二维数列，在数列的研究中有重要的应用.记一个m行l列的矩阵A为，A中第i行第j列的元素为（，2，3，…，m，，2，3，…，l），记一个l行n列的矩阵B为，我们定义一个双目运算符“”使得矩阵，那么有以下规则： a.A的列数必须与B的行数相等. b.C是一个m行n列的矩阵. c.C中的元素. d.若有n个相同的矩阵A相后得到一个新矩阵，可将其记作. e.运算满足结合律，不满足交换律. (1)求. (2)数列满足：，其中.存在唯一的矩阵D使得（，）. ①求矩阵D，并用矩阵相的形式表示出矩阵（，）； ②用矩阵相的形式表示出矩阵（，）. 12．（2025·安徽合肥·模拟预测）合肥一中2025年元旦联欢会上一个抽奖游戏，主持人从编号为的个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由抽奖人获得.抽奖人当然希望选中有奖品的箱子!假定你是抽奖人，不妨设你选择了号箱.在打开号箱之前，主持人先打开了另外个箱子中的一个空箱子.按游戏规定，主持人打开你的选择之外的空箱子，当你的选择之外有多个空箱子时，主持人随机选择其中一个打开. (1)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？试说明理由； (2)若，不妨设主持人打开的是3号箱.现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选2号箱，还是改选其他号码的箱？试说明理由； (3)切比雪夫不等式是概率中经典的不等式之一，其形式如下：设随机变量的期望和方差存在，则对任意的，有.若，设主持人打开箱的号码为随机变量，求的期望和方差，并验证随机变量满足切比雪夫不等式. 13．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立. (1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率； (2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值. ①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式. ②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，） ③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $