重难点专题 代数式（专项训练）数学浙教版2024七年级上册

重难点专题 代数式 4.1列代数式 重难点一 用代数式表示数 一、直接法 根据题目中给出的数量关系，直接写出代数式。 二、关键句法 找出题目中的关键语句，分析其中的数量关系。 三、公式法 运用已学的数学公式来表示数量关系。 四、图表法 根据图表中提供的数据信息，分析数量关系并列出代数式。 五、分段法 当数量关系在不同范围内有不同的表达式时，需分段表示。 六、设元法 当题目中所求的量与其他未知量有关，可先设出相关未知量，再表示出所求代数式。 七、和差倍分法 根据题目中关于数量的和、差、倍、分关系来列代数式。 八、文字叙述转化法 将文字描述的数量关系直接转化为数学符号语言。 九、实际问题抽象法 从实际问题中抽象出数学模型，再用代数式表示。 十、检验法 列出代数式后，可代入具体数值检验是否符合题意，确保代数式的正确性。 1．任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为，从而求解，掌握连续自然数的特征是解题的关键． 【详解】解：由任意三个连续自然数，最小的是，则最大的数为， 故选：． 2．某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是 ． 【答案】元 【分析】本题主要考查了用字母表示数，根据消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元，用x表示出实际金额即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴购买该商品实际付款的金额是元， 故答案为： 3．已知长方形的面积不变，相邻的两边长分别用x和y表示（如下表）． x 10 25 40 … y 20 12 3 … (1)请把表格填写完整； (2)从表格可看出，长方形的一边长y随着它的另一边长x的变大而 ；（填“变大”或“变小”） (3)用式子表示y与x之间的关系，y与x成什么关系？ ； ； (4)若长方形的一边长x增大2，则它的另一边长y如何变化？（请列代数式说明） 【答案】(1)见解析 (2)变小 (3)，反比例 (4)． 【分析】本题考查了列代数式． （1）根据长方形的面积公式填表即可； （2）根据表格数据即可看出结论； （3）根据长方形的面积公式列式，即可求解； （4）长方形的面积不变为120，x增大后边长为，根据长方形的面积公式即可列式． 【详解】（1）解：填写表格如下； x 6 10 25 40 … y 20 12 4.8 3 … （2）解：从表格可看出，长方形的一边长y随着它的另一边长x的变大而变小； 故答案为：变小； （3）解：由题意得，即， y与x成反比例关系， 故答案为：，反比例； （4）解：若长方形的一边长x增大2，即一边长为， 则它的另一边长． 重难点二 代数式的书写与实际意义 一、代数式的书写规则 1. 数字与字母相乘的规范 数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示。 2. 字母与字母相乘的规范 字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，按字母表顺序书写更符合习惯（特殊约定除外）。 3. 除法运算的规范 代数式中的除法运算一般用分数形式表示，分数线具有除号和括号的双重作用。 4. 带单位的代数式书写 当代数式表示数量需要带单位时，若代数式是积或商的形式，单位直接写在后面；若为和或差的形式，代数式需用括号括起来再写单位。 5. 括号的使用规则 当式子中含有多种运算且需要改变运算顺序时，必须添加括号。 二、代数式实际意义的理解方法 1. 直译法 将代数式中的运算符号和字母、数字直接翻译成文字语言，明确运算顺序和数量关系。 2. 情境联想法 结合具体的生活情境或数学背景，赋予代数式实际含义，通过实例理解其意义。 3. 反向验证法 根据给出的实际问题，列出代数式后，通过代入具体数值验证代数式是否符合题意，从而深化对实际意义的理解。 4. 结构分析法 分析代数式的组成结构，区分运算层次，逐层理解各部分的意义，再综合整体含义。 5. 多情境转换法 同一个代数式在不同情境下可以有不同的实际意义，通过列举多种情境帮助全面理解代数式的通用性。 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的书写规则，解决本题的关键是熟练掌握书写规则．根据代数式的书写规则逐一进行判断即可． 【详解】解：A、符合代数式书写规则．故选项正确，符合题意； B、数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，不符合代数式书写规则，应该为； C、数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，而且当数是带分数时一定要化为假分数，应该为； D、当代数式中含有除法运算时，一般不用“÷”号，而改用分数线，应该为； 故选：A． 2．请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义 ． 【答案】已知一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果和3个香蕉共需 元（答案不唯一）． 【分析】此题考查了代数式的实际意义，代数式 表示两个 与三个 的和，其实际意义取决于赋予字母 和 的具体含义．通过设计生活情境，如购物场景，可以解释该代数式表示总费用或总数量等． 【详解】解：例如，设一个苹果的价格为 元，一个香蕉的价格为 元，则购买2个苹果的费用为 元，购买3个香蕉的费用为 元，因此总费用为 元． 故答案为：购买2个苹果和3个香蕉共需 元． 3．用文字语言表达下列代数式 (1) (2) (3) 【答案】(1)m与n的差的3倍 (2)a的平方的三分之一与a和b的积的2倍的和 (3)a的3倍与b的倒数的差 【分析】本题考查了代数式的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分析代数式的意义，即可作答． （2）分析代数式的意义，即可作答． （3）分析代数式的意义，即可作答． 【详解】（1）解：用文字语言表达为m与n的差的3倍； （2）解：用文字语言表达为a的平方的三分之一与a和b的积的2倍的和； （3）解：用文字语言表达为a的3倍与b的倒数的差． 重难点三 代数式的规律 三步骤解题法 列表整理：将序号n与对应的数量aₙ列成表格，通常取n=1,2,3,4 尝试表达：根据表格数据尝试用含n的代数式表示aₙ，关注系数与常数项的由来 规律陈述：用规范数学语言描述规律，如"第n个图形中共有...个..." 1．如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类规律题．根据题意得到第1，2，3个图形所用的火柴棍的数量，由此得到规律，即可求解． 【详解】解：第1个图形需要6根火柴棍， 第2个图形需要11根火柴棍， 第3个图形需要16根火柴棍， 拼第个图形需要火柴棍的根数是， 故选：C． 2．如图，这是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第20个图案中白色瓷砖的块数是 块． 【答案】62 【分析】本题主要考查了图形规律，结合图形根据已有的特殊数据找到一般规律，再利用一般规律解决问题成为解题的关键．由图形可知：第个图案中白色瓷砖块数是，最后将代入计算即可． 【详解】解：∵第1个图案中白色瓷砖是块， 第2个图案中白色瓷砖有块， 第3个图案中白色瓷砖有块， ∴第个图案中白色瓷砖有块． 第20个图案中白色瓷砖块数是． 故答案为：62． 3．观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2)， (3)1023 【分析】本题主要考查代数式及有理数的混合运算，熟练掌握代数式及有理数的混合运算的解法是解题的关键． （1）根据题意得到数字的规律，然后进行求解即可； （2）由题意易得第二行与第一行对应的数字之间相差2，第三行与第一行对应的数字之间的关系是：第一行数字的相反数与1的和等于第三行的数，由此规律可进行求解； （3）根据题意及（2）直接进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：第①行第7个数是，第①行第n个数是； 故答案为：，； （2）解：根据题意得：第②行的第n个数是第①行的第n个数减去2， 故第②行的第n个数是：； 第③行的第n个数是第①行的第n个数的相反数与1的和， 故第③行的第n个数是； 故答案为：，； （3）解：根据题意得：第①行第10个数是， 第②行的第10个数是：， 第③行的第10个数是， 4.2代数式的值 重难点一 已知式子的值，求代数式的值 一、直接代入法 当已知式子的值可以直接确定代数式中字母的具体数值时，直接将字母的值代入代数式进行计算。 步骤： 1. 明确已知条件中字母的值（如已知）； 2. 将代数式中的所有该字母替换为已知值； 3. 按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算结果。 二、整体代入法 当已知式子是一个代数式的值（而非单个字母的值），且所求代数式与已知式子存在整体关联时，将已知式子作为整体代入。 适用场景： 已知式子与所求代数式存在倍数关系（如已知，求(2(x+y)+3)）； 已知式子经过变形后可直接替换所求代数式中的部分（如已知，求）。 步骤： 1. 观察已知式子与所求代数式的结构，确定整体部分（如将(x+y)视为整体）； 2. 将已知式子的值直接代入整体部分； 3. 计算剩余部分，得出结果。 三、化简代入法 当所求代数式较为复杂时，先对代数式进行化简（去括号、合并同类项等），再代入已知值计算，可简化运算。 步骤： 1. 对所求代数式进行化简，合并同类项或去括号，化为最简形式； 2. 将已知字母的值或整体式子的值代入化简后的代数式； 3. 计算结果。 四、间接代入法（列方程求解法） 当已知条件未直接给出字母或整体式子的值，但给出与字母相关的等量关系时，需通过列方程求出字母的值，再代入代数式。 步骤： 1. 根据已知等量关系列出关于字母的方程（如已知，求(x)）； 2. 解方程求出字母的值； 3. 将字母值代入所求代数式计算。 五、特殊值法（针对选择题或填空题） 在选择题或填空题中，若已知条件为字母的取值范围（而非具体值），且所求代数式的值与字母取值无关（恒为定值），可选取符合条件的特殊值代入计算，快速得到结果。 适用条件：代数式的值与字母的具体取值无关（如化简后不含字母）。 1．当时，整式的值为，则当时，整式的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了代数式求值，准确计算是解题的关键． 利用整体代入法，先求出的值，再代入求值． 【详解】解：当时，， ， ， 当时，， 代入，得 原式． 故选． 2．已知，则代数式的值是 ． 【答案】11 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值．根据已知可得，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：11． 3．已知、互为倒数，、互为相反数，的绝对值是，是最大的负整数，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值，根据相反数，倒数，有理数的定义等知识得出，，，，然后代入式子计算即可． 【详解】解：∵、互为倒数，、互为相反数，的绝对值是，是最大的负整数， ∴，，，， 则， 则. 重难点二 程序流程图 解读流程图的方法 1. 从“开始”框入手：按流程线箭头方向依次读取各符号内容，明确每一步的操作或判断。 2. 关注判断框分支：遇到菱形判断框时，需根据给定条件选择“是”或“否”的分支继续追踪流程。例如：若流程图中判断“x>0？”，当x=3时走“是”分支，x=-2时走“否”分支。 3. 追踪数据变化：对于含变量的流程图（如sum、i等），需记录变量在各处理框中的数值变化，直至输出结果。例如：初始i=1，sum=0；处理框“sum=sum+i，i=i+1”后，sum=1，i=2；重复操作直至i超出范围。 4. 反向验证逻辑：若已知输出结果，可逆向推导输入数据或判断条件是否合理，检验流程图的正确性。例如：某流程图输出“偶数”，则输入的数需满足判断框中“能被2整除”的条件。 1．古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，如图所示的程序框图就是源于《九章算术》中的“更相减损术”．如果输入的值为，那么输出的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序框图中代数式求值，根据程序框图把代入即可求解，理解程序框图中的运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 2．根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，根据题意将代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当输入数值为时，输出数值y为， 故答案为：． 3．如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题主要考查了有理数的运算，绝对值，代数式的求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，，得，然后代入即可求解； （）分当时，当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：由，，得， ∴ ； （2）解：当时， ∴， ∴，不符合题意； 当时， ∴， ∴，符合题意； 综上可得的值为． 重难点三 整体思想 （一）直接代入整体 当已知某个代数式的值，要求另一个与它相关的代数式的值时，如果能将所求代数式变形为用已知代数式表示的形式，就可以直接将已知代数式的值作为一个整体代入求解。 （二）变形后代入整体 有时，已知条件给出的代数式与所求代数式并非直接相关，需要对已知代数式或所求代数式进行适当变形，使其能够运用整体代入的方法。 （三）整体加减 当已知条件是两个代数式的值，要求由这两个代数式组合而成的新代数式的值时，可以将这两个已知代数式看作整体进行加减运算。 1．数学思想·整体思想  若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A．14 B．12 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查了求代数式的值，先求出，然后代入计算即可． 【详解】解：由题意可得， 所以， 所以， 所以． 故选C． 2．“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中．例如：已知：，则．利用上述思想方法计算：已知， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟练掌握“整体代入法求代数式的值”是解题的关键．首先将化简，再将代入求值即可． 【详解】 ， 当时， 原式， 故答案为：． 3．综合与实践 问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为1，求当时，代数式 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减化简求值，掌握整式的加减的计算法则，理解题意根据题目要求用整体思想解题是关键． （1）把化为的形式，然后整体代入计算； （2）把化为的形式，最后整体代入计算； （3）先把代入原式得到，进而求出当时，代数式的值． 【详解】（1）解：， ； （2）解：，， ； （3）解：当时，代数式的值为， ， ， 当时 ． 4.3整式 重难点一 单、多项式的系、次、项数 一、单项式的系数、次数确定方法 1. 系数： 定义：单项式中的数字因数（包括符号）。 方法： 直接提取单项式中的数字部分，若单项式仅含字母，则系数为1或-1（如$a$的系数是1，的系数是-1）。 若含分数或小数，需化为最简形式（如的系数是，的系数是）。 2. 次数： 定义：单项式中所有字母的指数之和。 方法： 只计算字母的指数，忽略数字因数的指数（如中$x$的指数为2，$y$的指数为1，次数为）。 单独的非零常数项（如5，-3）次数为0；常数0没有次数。 二、多项式的项数、次数确定方法 1. 项数： 定义：多项式中单项式的个数（每个单项式称为多项式的“项”，含符号）。 方法： 以“+”“-”为分隔符，数出单项式的个数（如含、、$5$三项，项数为3）。 2. 次数： 定义：多项式中次数最高的项的次数（称为“最高次项”）。 方法： 先分别计算每一项的次数，取其中最大的次数作为多项式的次数（如中，的次数为，的次数为2，常数项次数为0，故多项式次数为4）。 1．下列的说法中正确的是（   ） A．单项式的次数是5 B．的系数是 C．多项式的常数项为 D．多项式是三次二项式 【答案】C 【分析】本题考查了单项式的次数与系数、多项式的项数与次数及常数项的概念，解题的关键是准确掌握这些概念的定义． 分别根据单项式次数、系数，多项式项数、次数及常数项的定义，对每个选项逐一分析判断，得出正确选项． 【详解】解： 单项式的次数是所有字母指数的和， 选项 A 中， 的字母部分为 ，次数为 2，不是 5， A 错误． 单项式的系数是数字部分（包括常数 ）， 选项 B 中， 的系数为 ，不是 ， B 错误． 多项式的常数项是不含字母的项， 选项 C 中， 的常数项是 ， C 正确． 多项式的次数是最高次项的次数， 选项 D 中， 的最高次项为 ，次数为 2，是二次二项式，不是三次， D 错误． 故选C． 2．已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的次数、项，单项式的次数、系数等概念，幂的运算等知识﹒根据多项式的次数是5，求出，根据单项式的次数与多项式的二次项系数相同，求出，进而即可求出的值． 【详解】解：∵多项式的次数是5， ∴， ∴， ∵单项式的次数与多项式的二次项系数相同， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 3．已知多项式 的次数和单项式的次数相同． (1)求m的值； (2)写出多项式的各项，并求除常数项外各项的系数和． 【答案】(1)3 (2)各项为：，，，；系数和为： 【分析】本题考查了多项式的次数和系数的概念，单项式的次数的概念，理解基础概念是解题关键． （1）用多项式的次数，单项式的次数分别列方程求解即可； （2）由（1）得到的值，代入计算得到该多项式的各项及各项系数，再把系数求和即可． 【详解】（1）解：的次数和单项式的次数相同， ， 解得：； （2）解：该多项式为， 多项式的各项为：，，，， 除常数项外的系数和为：． 重难点二 降(升)幂排列 一、降幂排列 1. 定义：把一个多项式的各项按照某一字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的降幂排列。 2. 步骤： （1）确定排列的字母（若多项式含多个字母，需明确按哪个字母的指数排列，题目未指定时通常默认按第一个字母）； （2）找出多项式中各项关于该字母的指数； （3）将各项按指数从大到小的顺序依次排列，常数项（指数为0）排在最后； （4）排列时保持各项的符号不变，并用“+”号连接（若第一项为正，“+”号可省略）。 二、升幂排列 1. 定义：把一个多项式的各项按照某一字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的升幂排列。 2. 步骤： （1）确定排列的字母（与降幂排列要求一致）； （2）找出多项式中各项关于该字母的指数； （3）将各项按指数从小到大的顺序依次排列，常数项（指数为0）排在最前； （4）排列时保持各项的符号不变，并用“+”号连接（若第一项为正，“+”号可省略）。 1．把多项式按x的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了将多项式按某个字母升幂（降幂）排列． 按的降幂排列，即根据的指数从高到低排列各项即可． 【详解】解：把多项式按x的降幂排列即． 故选：A． 2．将整式按字母y升幂排列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的升幂排列，按y的升幂排列，即根据y的指数从小到大排列各项，并保持各项原有符号． 【详解】解：整式按字母y升幂排列为： 故答案为：. 3．已知多项式是关于x、y的八次四项式． (1)的值是____________，多项式的常数项是____________； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 【答案】(1)6； (2) 【分析】本题考查了多项式的概念及降幂排列，熟练掌握多项式的相关定义是解题的关键． （1）根据多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，利用多项式是关于x、y的八次四项式，求出m的值，再根据常数项的定义得出常数项即可； （2）根据降幂排列的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 解得：， 多项式的常数项是， 故答案为：6；； （2）解：按x的降幂排列为． 重难点三 单(多)项式的规律 1. “累加型”多项式 特征：多项式为多个单项式的和，且单项式按一定规律递增/递减。 解法：先归纳第k个单项式的表达式（k=1,2,...,n），再用求和符号表示。 2. “符号交替型”多项式 特征：单项式正负交替出现。 解法：用(-1)^(k)或(-1)^(k+1)控制符号（k为项数序号），其中(-1)^(k+1)表示“奇正偶负”，(-1)^k表示“奇负偶正”。 3. “图形关联型”多项式 特征：多项式与几何图形（如三角形、正方形）的数量关系相关（如小正方形个数、线段条数）。 解法：先根据图形写出前3个n对应的多项式，再按“拆分结构→归纳表达式”步骤求解。 1．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B．510 C． D．512 【答案】C 【分析】本题考查数字的规律问题．观察所给数字，发现各部分数字变化的规律即可解决问题． 【详解】解：观察所给图形可知， 左上角的数字依次为：，，，，…， 所以第n个图形中左上角的数字可表示为：， 右上角的数字比同一个图形中左上角的数字大2， 所以第n个图形中右上角的数字可表示为：， 下方的数字为同一个图形中左上角数字的， 所以第n个图形中下方的数字可表示为：． 当时， ， ， ， 所以． 故选：C． 2．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中★共有 个． 【答案】 【分析】本题考查根据图形找规律，根据图形得出每个图形中★的总数是在第一个图形中★的总数的基础上每次增加3个★，即可解题． 【详解】解：由图知，第1个图形中★共有个； 第2个图形中★共有个； 第3个图形中★共有个； 第4个图形中★共有个； ，依此类推，第个图形中★共有个； 则第10个图形中★共有个； 故答案为：． 3．小明用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第1个图案中有5颗围棋子，第2个图案中有9颗围棋子，第3个图案中有13颗围棋子，第4个图案中有17颗围棋子，．．．，按此规律摆放下去． (1)第6个图案中有___________颗围棋子； (2)用含的代数式表示第个图案中围棋子的颗数； (3)求摆第527个图案比摆第312个图案多用多少颗围棋子？ 【答案】(1) (2)用含的代数式表示第个图形中棋子的数量为 (3)摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子 【分析】本题考查了图形的规律探究，代数式求值，根据题意推导一般性规律是解题的关键． （1）由题意知，第6个图案中有颗棋子，计算求解即可； （2）由题意知，第个图案中棋子的数量为，计算求解即可； （3）将和代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，第1个图形中有5颗棋子， 第2个图案中有颗棋子， 第3个图案中有颗棋子， 第4个图案中有颗棋子， …， ∴第6个图案中有颗棋子， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，第个图案中棋子的数量为， ∴用含的代数式表示第个图案中棋子的数量为； （3）解：当时，，当时，， ∴， 答：摆第527个图案比摆第312个图案多用颗围棋子． 4.4合并同类项 重难点一 同类项的定义 一、同类项的定义 同类项是指多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 · 注意：常数项都是同类项（如3和-5是同类项）。 二、判断同类项的“两相同”原则 1. 字母相同 必须包含完全相同的字母，与字母的顺序无关。 2. 相同字母的指数相同 相同字母对应的指数必须完全相等。 1．下列各组单项式中，为同类项的是（   ） A．与 B． C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．据此解答即可． 【详解】解：Ａ、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、所含字母不相同，不是同类项； D、所含字母不相同，不是同类项； 故选：B． 2．如果单项式与的和是一个单项式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项以及求代数式的值．根据同类项的定义，可得：，，，然后得出，，再代入即可求解． 【详解】解：∵单项式与的和是一个单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 3．已知单项式与是同类项，与互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的概念，字母相同，相同字母的指数也相同的几个单项式叫同类项，非负数的性质，求代数式的值；根据同类项的概念求得m与n的值，再根据非负数的性质求出的值，再代入所求代数式中即可求值． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴，， ∴，， ∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的值为． 重难点二 合并同类项与去括号化简 一、合并同类项 1. 同类项的识别 同类项需满足两个条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别相同。常数项都是同类项。 2.合并同类项的法则 把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 步骤： ① 找出多项式中的同类项（可用不同符号标记）； ② 将同类项的系数相加，字母部分照写； ③ 没有同类项的项直接保留在结果中。 二、去括号法则 1. 括号前是“+”号 去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号不变。 公式：； 2. 括号前是“-”号 去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要改变（“+”变“-”，“-”变“+”）。 公式：； 3. 括号前有数字因数 先用乘法分配律将数字因数乘到括号内每一项，再去括号（注意符号）。 公式：； 三、综合化简步骤（先去括号，再合并同类项） 1. 步骤总结 ① 去括号：按去括号法则处理所有括号（先小括号，再中括号，若有数字因数需先分配）； ② 找同类项：标记出多项式中的所有同类项； ③ 合并同类项：将同类项的系数相加，字母和指数不变； ④ 整理结果：按某一字母的升幂或降幂排列（通常按降幂排列，常数项放最后）。 1．下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查合并同类项的法则：只有同类项（相同字母且相同指数）才能合并，系数相加，字母部分不变，据此可逐项进行判断． 【详解】解：A项中，与不是同类项，不能合并，故A错误； B项中，，故B错误； C项中，，故C错误； D项中，，故D正确； 故选D． 2．化简： = ． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的加减运算，注意去括号时变号即可； 【详解】解：原式， 故答案为： 3．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的运算法则，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型． （1）合并同类项即可； （2）首先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1） （2） ． 4.5整式的加减 重难点一 不含某项，与某项无关 一、核心概念理解 1. 不含某项：多项式经过化简后，指定字母的对应次数项的系数为0。 2. 与某项无关：多项式的值不随指定字母的取值变化而变化，即该字母所有次数项的系数均为0。 二、解题步骤（通用方法） 1. 合并同类项 将多项式中相同字母且相同次数的项合并，写成最简形式（按降幂排列）。 2. 确定目标项系数 找到题目要求“不含”或“无关”的项，写出该项的系数表达式。 3. 列方程求解 令目标项的系数等于0，解方程求出未知字母的值。 1．将多项式化简后不含的项，则m的值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减．先化简，然后根据多项式化简后不含的项得出，求解即可． 【详解】解：， ， ， ∵化简后不含xy的项， ∴， 解得， 故选：C． 2．若代数式的值与字母x的取值无关，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算的无关型问题．代数式的值与字母x的取值无关，则所有含x的项的系数之和为零，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：， ∵代数式的值与字母x的取值无关， ∴， ∴， 解得， 故答案为： 3．已知多项式，多项式，多项式，代数式． (1)化简代数式M； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减中的无关型问题，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用整式的加减混合运算法则即可求解； （2）根据多项式M的值与x的取值无关，即含有x的项为零，结合（1）中所求代数式M即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ ； （2）解：由（1）可知，， ∵多项式M的值与x的取值无关， ∴ ∴． 重难点二 化简求值 一、基本概念回顾 1. 整式：单项式和多项式统称整式 2. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（常数项都是同类项） 3. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变 二、化简求值的一般步骤 （一）化简阶段 1. 去括号 括号前是"+"号，把括号和它前面的"+"号去掉后，原括号里各项的符号都不改变 括号前是"-"号，把括号和它前面的"-"号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 括号前有数字因数时，要先把数字因数与括号内各项分别相乘，再去括号 2. 合并同类项 找出多项式中的所有同类项 将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变 按降幂（或升幂）排列化简后的多项式（通常按某一字母的降幂排列） （二）代入求值阶段 1. 准备工作：明确已知字母的具体数值 2. 代入过程：把化简后的整式中的字母用相应的数值代替 3. 计算求值：按照有理数的运算顺序进行计算，得出最终结果 1．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值，解题的关键关键将整式变形为含有所给数值的代数式及整体思想的应用． 先由等式变形为，再将，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴原式 ， 故选：． 2．若，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、代数式求值等知识点，掌握整体代入思想是解题的关键． 先运用整式的加减运算化简代数式并变形，再将整体代入求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 3．先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了整式的加减运算的化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先合并同类项，得，再把代入计算，即可作答． （2）先合并同类项，得，再把，代入计算，即可作答． 【详解】（1）解： ∵， ∴； （2）解： ， ∵，， ∴． 重难点三 收费、打折问题 一、收费问题解题方法 1. 明确收费模式 首先识别题目中的收费类型，常见的有分段收费（如阶梯电价、出租车计费）和固定+浮动收费（如电话费：月租+按分钟计费）。需划出关键分界点（如“100分钟以内”“超过100分钟后”），并分别用代数式表示各阶段费用。 2. 统一单位与变量定义 若题目中涉及不同单位（如“元/小时”与“分钟”），需先统一单位；设未知数时，明确变量代表的实际意义（如设“行驶里程为( x )千米”而非仅写“设( x )”）。 3. 列代数式表示总费用 根据收费规则，将各部分费用相加，注意是否有“不足部分按整数计算”（如出租车不足1千米按1千米计费）等特殊说明，此时需用“进一法”表示代数式（如( x )千米中不足1千米部分记为1千米，总里程表示为，初中阶段可描述为“若( x )为小数，则取整数部分加1”）。 二、打折问题解题方法 1. 理解折扣含义 折扣是售价与原价的比例， 2. 区分“原价”“售价”“利润” · 售价=原价×折扣率（若有多个折扣，连乘折扣率）； · 利润=售价-成本（若题目涉及利润率，利润率=利润÷成本×100%，即利润=成本×利润率）。 3. 列代数式表示多件商品费用 若购买数量超过一定范围有不同折扣（如“购买10件以内按原价，10件以上超过部分打8折”），需分段表示： · 设购买数量为( n )件，原价为( a )元/件； · 当时，总费用= ( 10a )； · 当( n > 10 )时，总费用= ( 10a + 0.8a(n - 10) )。 4. 注意“满减”与折扣的转换 如“满300减50”等价于：若消费金额，实际支付( x - 50 )，折扣率为( (x - 50)/x )（随( x )增大趋近于1），需比较“满减”与直接打折的优惠力度（如300元商品“满300减50”实付250元，相当于250÷300≈0.833，即八三折，若直接打八折只需240元，则八折更优惠）。 1．某停车场24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 08：00~20：00 20元/小时该时段最多收100元 20：00~08：00 5元/小时该时段最多收30元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 已知阿虹某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若阿虹离场时间介于当日的20：00~24：00间，则他此次停车的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了列代数式，阿虹从10∶00停车，离场时间在20：00~24：00间，因此第一个时段（10：00~20：00）停车10小时，按收费规则最多收100元；第二个时段停车小时，按5元/小时收费，且不超过6小时，故不会达到30元上限．总费用为100元加上元． 【详解】解：∵小时，小时， ∴08：00~20：00这个时间段，满5小时后收费都为100元，20：00~08：00满6小时后收费都为30元， ∵进场时间为10∶00，离场时间介于20∶00~24∶00间， ∴第一个时段停车10小时，收费100元（达到上限），第二个时段停车小时，且不超过6小时，则收费元． ∴总费用为元． 故选B． 2．某商店一台电脑的标价是4500元，为了促销，该商店计划打折销售，如果打了折，则这台电脑的售价是 元（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据售价等于标价乘以折扣列式即可得到答案. 【详解】解：根据题意：这台电脑的售价是， 故答案为：． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按一个月结算一次）： 价目表 每月用水量 单价（元） 不超出的部分 3 超出不超出的部分 4 超出的部分 7 请根据价目表的内容解答下列问题： (1)填空： ①若某户居民1月份用水，则应缴水费______元； ②若某户居民2月份用水，则应缴水费______元； ③若某户居民3月份交水费138元，则其用水量为______； (2)某户居民4月份用水量为（其中），求该户居民应缴水费多少元（用的式子表示）？ 【答案】(1)①60；②110；③ (2)元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，列代数式，正确理解分档用水量的计算是解题的关键． （1）①先比较用水量的大小，利用费用=水价价×月用水量，计算即可． ②根据，其费用为元得出结论． ③先比较费用，判断具体的用水量，分步计算即可． （2）根据分档收费，列式即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 故用水量单价为3元每立方， 故费用为：(元)． 故答案为：60； ②∵， ∴其费用为元， 故答案为：110； ③∵， ∴用水量超过， ∵超出费用为， ∴超出用水量， 故总用水量为， 故答案为：38； （2）解：4月份的用水量为（其中）， ∴应该缴纳的费用为：元． 重难点四 数轴动点求t 1. 设定基准位置：设数轴上动点起始位置对应的数为常数a（如点P从表示-3的点出发，则a=-3） 2. 构建运动表达式：根据方向确定符号（向右为+，向左为-），速度为v时，t秒后位置表示为： 向右运动：a + v·t 向左运动：a - v·t 3. 建立等量关系：根据题目条件（如两点重合、距离关系、中点问题）列出含t的方程 · 两点重合：点A位置=点B位置 · 距离问题：|A位置-B位置|=指定距离 · 中点问题：(A位置+B位置)/2=中点表示的数 4. 求解验证：解一元一次方程得t值，代入原式验证运动方向与时间合理性 解题口诀 "起点定正负，方向定加减， 速度乘时间，位置表达式先写全。 相遇等位置，距离绝对值， 中点平均算，方程求解验答案。" 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【分析】本题以数轴的形式考查了行程问题，分类讨论思想，根据题意得到的值，分类进行讨论即可，正确根据不同情况得到不同的式子是解题的关键． 【详解】解：，且， 点、表示的数分别为，10， 根据题意得，，， 长分两种情况： ①当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， 故答案为：D． 2．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 【答案】或 【分析】先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，， ，， ∴点对应的数为，点对应的数是5， 设经过秒，则， ，， 若时，                         ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 若时， ， 当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化； 综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化． 故答案为：或． 【点睛】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论． 3．【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 【答案】（1）点表示的数是，点表示的数是14（2）点表示的数为，点表示的数为，、两点间的距离为个单位长度（3）点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，、两点间的距离与、两点间距离的差为 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，列代数式，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． （1）数轴上点右边的点表示的数是点表示的数加上这两个点的距离，数轴上点左边的点表示的数是点表示的数减去这两个点的距离，依此方法可求出点和点表示的数； （2）根据点和点运动的速度，用表示出点和点表示的数，把时代入点和点表示的数，再根据两点间距离公式求出结果即可； （3）先用分别表示出、、、，再分别表示，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）根据题意可知，， 所以点表示的数是，点表示的数是14． （2）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为，点表示的数为， 当时，点、点表示的数分别为， 所以此时、两点间的距离为个单位长度． （3）根据题意可知，运动秒后，点表示的数为． 点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， 当时，所以、两点间的距离为， 、两点间的距离为， 所以、两点间的距离与、两点间距离的差为． 40 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 代数式 4.1列代数式 重难点一 用代数式表示数 一、直接法 根据题目中给出的数量关系，直接写出代数式。 二、关键句法 找出题目中的关键语句，分析其中的数量关系。 三、公式法 运用已学的数学公式来表示数量关系。 四、图表法 根据图表中提供的数据信息，分析数量关系并列出代数式。 五、分段法 当数量关系在不同范围内有不同的表达式时，需分段表示。 六、设元法 当题目中所求的量与其他未知量有关，可先设出相关未知量，再表示出所求代数式。 七、和差倍分法 根据题目中关于数量的和、差、倍、分关系来列代数式。 八、文字叙述转化法 将文字描述的数量关系直接转化为数学符号语言。 九、实际问题抽象法 从实际问题中抽象出数学模型，再用代数式表示。 十、检验法 列出代数式后，可代入具体数值检验是否符合题意，确保代数式的正确性。 1．任意三个连续自然数，最小的是，那么最大的数表示为（　　） A． B． C． D． 2．某商场举行促销活动，促销的方法是“消费超过200元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元”．若某商品的原价为x（）元，则购买该商品实际付款的金额是 ． 3．已知长方形的面积不变，相邻的两边长分别用x和y表示（如下表）． x 10 25 40 … y 20 12 3 … (1)请把表格填写完整； (2)从表格可看出，长方形的一边长y随着它的另一边长x的变大而 ；（填“变大”或“变小”） (3)用式子表示y与x之间的关系，y与x成什么关系？ ； ； (4)若长方形的一边长x增大2，则它的另一边长y如何变化？（请列代数式说明） 重难点二 代数式的书写与实际意义 一、代数式的书写规则 1. 数字与字母相乘的规范 数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面，乘号可以省略不写或用“·”表示。 2. 字母与字母相乘的规范 字母与字母相乘时，乘号通常省略不写，按字母表顺序书写更符合习惯（特殊约定除外）。 3. 除法运算的规范 代数式中的除法运算一般用分数形式表示，分数线具有除号和括号的双重作用。 4. 带单位的代数式书写 当代数式表示数量需要带单位时，若代数式是积或商的形式，单位直接写在后面；若为和或差的形式，代数式需用括号括起来再写单位。 5. 括号的使用规则 当式子中含有多种运算且需要改变运算顺序时，必须添加括号。 二、代数式实际意义的理解方法 1. 直译法 将代数式中的运算符号和字母、数字直接翻译成文字语言，明确运算顺序和数量关系。 2. 情境联想法 结合具体的生活情境或数学背景，赋予代数式实际含义，通过实例理解其意义。 3. 反向验证法 根据给出的实际问题，列出代数式后，通过代入具体数值验证代数式是否符合题意，从而深化对实际意义的理解。 4. 结构分析法 分析代数式的组成结构，区分运算层次，逐层理解各部分的意义，再综合整体含义。 5. 多情境转换法 同一个代数式在不同情境下可以有不同的实际意义，通过列举多种情境帮助全面理解代数式的通用性。 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（   ） A． B． C． D． 2．请你结合生活实际，设计具体情境，解释代数的意义 ． 3．用文字语言表达下列代数式 (1) (2) (3) 重难点三 代数式的规律 三步骤解题法 列表整理：将序号n与对应的数量aₙ列成表格，通常取n=1,2,3,4 尝试表达：根据表格数据尝试用含n的代数式表示aₙ，关注系数与常数项的由来 规律陈述：用规范数学语言描述规律，如"第n个图形中共有...个..." 1．如图，用火柴棍拼出一组图形，其中第1个图形需要6根火柴棍，第2个图形需要11根火柴棍……．按照这种方法拼下去，拼第个图形需要火柴棍的根数是（  ） A． B． C． D． 2．如图，这是用黑白两色正方形瓷砖按一定规律铺设地板的图案，则第20个图案中白色瓷砖的块数是 块． 3．观察下面三行数： 4 16 64 …① 2 14 62 ② 3 9 33 …③ (1)第①行第7个数是 ，第①行第n个数是 ； (2)第②行第n个数是 ，第③行第n个数是 ． (3)取每一行的第10个数，计算这三个数的和． 4.2代数式的值 重难点一 已知式子的值，求代数式的值 一、直接代入法 当已知式子的值可以直接确定代数式中字母的具体数值时，直接将字母的值代入代数式进行计算。 步骤： 1. 明确已知条件中字母的值（如已知）； 2. 将代数式中的所有该字母替换为已知值； 3. 按照运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，有括号先算括号内）计算结果。 二、整体代入法 当已知式子是一个代数式的值（而非单个字母的值），且所求代数式与已知式子存在整体关联时，将已知式子作为整体代入。 适用场景： 已知式子与所求代数式存在倍数关系（如已知，求(2(x+y)+3)）； 已知式子经过变形后可直接替换所求代数式中的部分（如已知，求）。 步骤： 1. 观察已知式子与所求代数式的结构，确定整体部分（如将(x+y)视为整体）； 2. 将已知式子的值直接代入整体部分； 3. 计算剩余部分，得出结果。 三、化简代入法 当所求代数式较为复杂时，先对代数式进行化简（去括号、合并同类项等），再代入已知值计算，可简化运算。 步骤： 1. 对所求代数式进行化简，合并同类项或去括号，化为最简形式； 2. 将已知字母的值或整体式子的值代入化简后的代数式； 3. 计算结果。 四、间接代入法（列方程求解法） 当已知条件未直接给出字母或整体式子的值，但给出与字母相关的等量关系时，需通过列方程求出字母的值，再代入代数式。 步骤： 1. 根据已知等量关系列出关于字母的方程（如已知，求(x)）； 2. 解方程求出字母的值； 3. 将字母值代入所求代数式计算。 五、特殊值法（针对选择题或填空题） 在选择题或填空题中，若已知条件为字母的取值范围（而非具体值），且所求代数式的值与字母取值无关（恒为定值），可选取符合条件的特殊值代入计算，快速得到结果。 适用条件：代数式的值与字母的具体取值无关（如化简后不含字母）。 1．当时，整式的值为，则当时，整式的值是（   ） A．2025 B． C．2024 D． 2．已知，则代数式的值是 ． 3．已知、互为倒数，、互为相反数，的绝对值是，是最大的负整数，求代数式的值． 重难点二 程序流程图 解读流程图的方法 1. 从“开始”框入手：按流程线箭头方向依次读取各符号内容，明确每一步的操作或判断。 2. 关注判断框分支：遇到菱形判断框时，需根据给定条件选择“是”或“否”的分支继续追踪流程。例如：若流程图中判断“x>0？”，当x=3时走“是”分支，x=-2时走“否”分支。 3. 追踪数据变化：对于含变量的流程图（如sum、i等），需记录变量在各处理框中的数值变化，直至输出结果。例如：初始i=1，sum=0；处理框“sum=sum+i，i=i+1”后，sum=1，i=2；重复操作直至i超出范围。 4. 反向验证逻辑：若已知输出结果，可逆向推导输入数据或判断条件是否合理，检验流程图的正确性。例如：某流程图输出“偶数”，则输入的数需满足判断框中“能被2整除”的条件。 1．古代名著《九章算术》是我国最早的一部数学专门著作，它的内容丰富，如图所示的程序框图就是源于《九章算术》中的“更相减损术”．如果输入的值为，那么输出的值为（    ） A． B． C． D． 2．根据图中的程序，当输入数值为时，输出数值y为 ． 3．如图是一个运算程序： (1)若，，求的值； (2)若，输出结果的值为，求的值． 重难点三 整体思想 （一）直接代入整体 当已知某个代数式的值，要求另一个与它相关的代数式的值时，如果能将所求代数式变形为用已知代数式表示的形式，就可以直接将已知代数式的值作为一个整体代入求解。 （二）变形后代入整体 有时，已知条件给出的代数式与所求代数式并非直接相关，需要对已知代数式或所求代数式进行适当变形，使其能够运用整体代入的方法。 （三）整体加减 当已知条件是两个代数式的值，要求由这两个代数式组合而成的新代数式的值时，可以将这两个已知代数式看作整体进行加减运算。 1．数学思想·整体思想  若代数式的值为8，则代数式的值为（   ） A．14 B．12 C．6 D． 2．“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中．例如：已知：，则．利用上述思想方法计算：已知， ． 3．综合与实践 问题情境：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ． 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)如果，求的值； (2)若，，求的值； (3)当时，代数式的值为1，求当时，代数式 4.3整式 重难点一 单、多项式的系、次、项数 一、单项式的系数、次数确定方法 1. 系数： 定义：单项式中的数字因数（包括符号）。 方法： 直接提取单项式中的数字部分，若单项式仅含字母，则系数为1或-1（如$a$的系数是1，的系数是-1）。 若含分数或小数，需化为最简形式（如的系数是，的系数是）。 2. 次数： 定义：单项式中所有字母的指数之和。 方法： 只计算字母的指数，忽略数字因数的指数（如中$x$的指数为2，$y$的指数为1，次数为）。 单独的非零常数项（如5，-3）次数为0；常数0没有次数。 二、多项式的项数、次数确定方法 1. 项数： 定义：多项式中单项式的个数（每个单项式称为多项式的“项”，含符号）。 方法： 以“+”“-”为分隔符，数出单项式的个数（如含、、$5$三项，项数为3）。 2. 次数： 定义：多项式中次数最高的项的次数（称为“最高次项”）。 方法： 先分别计算每一项的次数，取其中最大的次数作为多项式的次数（如中，的次数为，的次数为2，常数项次数为0，故多项式次数为4）。 1．下列的说法中正确的是（   ） A．单项式的次数是5 B．的系数是 C．多项式的常数项为 D．多项式是三次二项式 2．已知多项式的次数是5，单项式的次数与这个多项式的二次项系数相同，则的值为 ． 3．已知多项式 的次数和单项式的次数相同． (1)求m的值； (2)写出多项式的各项，并求除常数项外各项的系数和． 重难点二 降(升)幂排列 一、降幂排列 1. 定义：把一个多项式的各项按照某一字母的指数从大到小的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的降幂排列。 2. 步骤： （1）确定排列的字母（若多项式含多个字母，需明确按哪个字母的指数排列，题目未指定时通常默认按第一个字母）； （2）找出多项式中各项关于该字母的指数； （3）将各项按指数从大到小的顺序依次排列，常数项（指数为0）排在最后； （4）排列时保持各项的符号不变，并用“+”号连接（若第一项为正，“+”号可省略）。 二、升幂排列 1. 定义：把一个多项式的各项按照某一字母的指数从小到大的顺序排列，叫做这个多项式按该字母的升幂排列。 2. 步骤： （1）确定排列的字母（与降幂排列要求一致）； （2）找出多项式中各项关于该字母的指数； （3）将各项按指数从小到大的顺序依次排列，常数项（指数为0）排在最前； （4）排列时保持各项的符号不变，并用“+”号连接（若第一项为正，“+”号可省略）。 1．把多项式按x的降幂排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将整式按字母y升幂排列为 ． 3．已知多项式是关于x、y的八次四项式． (1)的值是____________，多项式的常数项是____________； (2)把这个多项式按的降幂重新排列． 重难点三 单(多)项式的规律 1. “累加型”多项式 特征：多项式为多个单项式的和，且单项式按一定规律递增/递减。 解法：先归纳第k个单项式的表达式（k=1,2,...,n），再用求和符号表示。 2. “符号交替型”多项式 特征：单项式正负交替出现。 解法：用(-1)^(k)或(-1)^(k+1)控制符号（k为项数序号），其中(-1)^(k+1)表示“奇正偶负”，(-1)^k表示“奇负偶正”。 3. “图形关联型”多项式 特征：多项式与几何图形（如三角形、正方形）的数量关系相关（如小正方形个数、线段条数）。 解法：先根据图形写出前3个n对应的多项式，再按“拆分结构→归纳表达式”步骤求解。 1．根据图中数字的排列规律，在第⑩个图中，的值是（    ） A． B．510 C． D．512 2．观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第10个图形中★共有 个． 3．小明用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第1个图案中有5颗围棋子，第2个图案中有9颗围棋子，第3个图案中有13颗围棋子，第4个图案中有17颗围棋子，．．．，按此规律摆放下去． (1)第6个图案中有___________颗围棋子； (2)用含的代数式表示第个图案中围棋子的颗数； (3)求摆第527个图案比摆第312个图案多用多少颗围棋子？ 4.4合并同类项 重难点一 同类项的定义 一、同类项的定义 同类项是指多项式中所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。 · 注意：常数项都是同类项（如3和-5是同类项）。 二、判断同类项的“两相同”原则 1. 字母相同 必须包含完全相同的字母，与字母的顺序无关。 2. 相同字母的指数相同 相同字母对应的指数必须完全相等。 1．下列各组单项式中，为同类项的是（   ） A．与 B． C．与 D．与 2．如果单项式与的和是一个单项式，那么 ． 3．已知单项式与是同类项，与互为相反数，求的值． 重难点二 合并同类项与去括号化简 一、合并同类项 1. 同类项的识别 同类项需满足两个条件：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别相同。常数项都是同类项。 2.合并同类项的法则 把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。 步骤： ① 找出多项式中的同类项（可用不同符号标记）； ② 将同类项的系数相加，字母部分照写； ③ 没有同类项的项直接保留在结果中。 二、去括号法则 1. 括号前是“+”号 去掉括号和前面的“+”号，括号内各项的符号不变。 公式：； 2. 括号前是“-”号 去掉括号和前面的“-”号，括号内各项的符号都要改变（“+”变“-”，“-”变“+”）。 公式：； 3. 括号前有数字因数 先用乘法分配律将数字因数乘到括号内每一项，再去括号（注意符号）。 公式：； 三、综合化简步骤（先去括号，再合并同类项） 1. 步骤总结 ① 去括号：按去括号法则处理所有括号（先小括号，再中括号，若有数字因数需先分配）； ② 找同类项：标记出多项式中的所有同类项； ③ 合并同类项：将同类项的系数相加，字母和指数不变； ④ 整理结果：按某一字母的升幂或降幂排列（通常按降幂排列，常数项放最后）。 1．下列合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 2．化简： = ． 3．化简： (1)； (2)． 4.5整式的加减 重难点一 不含某项，与某项无关 一、核心概念理解 1. 不含某项：多项式经过化简后，指定字母的对应次数项的系数为0。 2. 与某项无关：多项式的值不随指定字母的取值变化而变化，即该字母所有次数项的系数均为0。 二、解题步骤（通用方法） 1. 合并同类项 将多项式中相同字母且相同次数的项合并，写成最简形式（按降幂排列）。 2. 确定目标项系数 找到题目要求“不含”或“无关”的项，写出该项的系数表达式。 3. 列方程求解 令目标项的系数等于0，解方程求出未知字母的值。 1．将多项式化简后不含的项，则m的值是（   ） A． B．3 C． D． 2．若代数式的值与字母x的取值无关，则m的值是 ． 3．已知多项式，多项式，多项式，代数式． (1)化简代数式M； (2)若代数式M的值与x的取值无关，求y的值． 重难点二 化简求值 一、基本概念回顾 1. 整式：单项式和多项式统称整式 2. 同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（常数项都是同类项） 3. 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变 二、化简求值的一般步骤 （一）化简阶段 1. 去括号 括号前是"+"号，把括号和它前面的"+"号去掉后，原括号里各项的符号都不改变 括号前是"-"号，把括号和它前面的"-"号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 括号前有数字因数时，要先把数字因数与括号内各项分别相乘，再去括号 2. 合并同类项 找出多项式中的所有同类项 将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变 按降幂（或升幂）排列化简后的多项式（通常按某一字母的降幂排列） （二）代入求值阶段 1. 准备工作：明确已知字母的具体数值 2. 代入过程：把化简后的整式中的字母用相应的数值代替 3. 计算求值：按照有理数的运算顺序进行计算，得出最终结果 1．已知，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为 ． 3．先化简，再求值． (1)，其中； (2)，其中，． 重难点三 收费、打折问题 一、收费问题解题方法 1. 明确收费模式 首先识别题目中的收费类型，常见的有分段收费（如阶梯电价、出租车计费）和固定+浮动收费（如电话费：月租+按分钟计费）。需划出关键分界点（如“100分钟以内”“超过100分钟后”），并分别用代数式表示各阶段费用。 2. 统一单位与变量定义 若题目中涉及不同单位（如“元/小时”与“分钟”），需先统一单位；设未知数时，明确变量代表的实际意义（如设“行驶里程为( x )千米”而非仅写“设( x )”）。 3. 列代数式表示总费用 根据收费规则，将各部分费用相加，注意是否有“不足部分按整数计算”（如出租车不足1千米按1千米计费）等特殊说明，此时需用“进一法”表示代数式（如( x )千米中不足1千米部分记为1千米，总里程表示为，初中阶段可描述为“若( x )为小数，则取整数部分加1”）。 二、打折问题解题方法 1. 理解折扣含义 折扣是售价与原价的比例， 2. 区分“原价”“售价”“利润” · 售价=原价×折扣率（若有多个折扣，连乘折扣率）； · 利润=售价-成本（若题目涉及利润率，利润率=利润÷成本×100%，即利润=成本×利润率）。 3. 列代数式表示多件商品费用 若购买数量超过一定范围有不同折扣（如“购买10件以内按原价，10件以上超过部分打8折”），需分段表示： · 设购买数量为( n )件，原价为( a )元/件； · 当时，总费用= ( 10a )； · 当( n > 10 )时，总费用= ( 10a + 0.8a(n - 10) )。 4. 注意“满减”与折扣的转换 如“满300减50”等价于：若消费金额，实际支付( x - 50 )，折扣率为( (x - 50)/x )（随( x )增大趋近于1），需比较“满减”与直接打折的优惠力度（如300元商品“满300减50”实付250元，相当于250÷300≈0.833，即八三折，若直接打八折只需240元，则八折更优惠）。 1．某停车场24小时营业，其收费方式如表所示： 停车时段 收费方式 08：00~20：00 20元/小时该时段最多收100元 20：00~08：00 5元/小时该时段最多收30元 若进场与离场时间不在同一时段，则两时段分别计费 已知阿虹某日10：00进场停车，停了x小时后离场，x为整数．若阿虹离场时间介于当日的20：00~24：00间，则他此次停车的费用为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．某商店一台电脑的标价是4500元，为了促销，该商店计划打折销售，如果打了折，则这台电脑的售价是 元（用含的代数式表示）． 3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的价目表如下（注：水费按一个月结算一次）： 价目表 每月用水量 单价（元） 不超出的部分 3 超出不超出的部分 4 超出的部分 7 请根据价目表的内容解答下列问题： (1)填空： ①若某户居民1月份用水，则应缴水费______元； ②若某户居民2月份用水，则应缴水费______元； ③若某户居民3月份交水费138元，则其用水量为______； (2)某户居民4月份用水量为（其中），求该户居民应缴水费多少元（用的式子表示）？ 重难点四 数轴动点求t 1. 设定基准位置：设数轴上动点起始位置对应的数为常数a（如点P从表示-3的点出发，则a=-3） 2. 构建运动表达式：根据方向确定符号（向右为+，向左为-），速度为v时，t秒后位置表示为： 向右运动：a + v·t 向左运动：a - v·t 3. 建立等量关系：根据题目条件（如两点重合、距离关系、中点问题）列出含t的方程 · 两点重合：点A位置=点B位置 · 距离问题：|A位置-B位置|=指定距离 · 中点问题：(A位置+B位置)/2=中点表示的数 4. 求解验证：解一元一次方程得t值，代入原式验证运动方向与时间合理性 解题口诀 "起点定正负，方向定加减， 速度乘时间，位置表达式先写全。 相遇等位置，距离绝对值， 中点平均算，方程求解验答案。" 1．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 2．如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒1个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m＝ ． 3．【问题背景】如图，在数轴上、两点间的距离为2个单位长度，、两点间的距离为1个单位长度．点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是15． 【问题再现】（1）分别求出点和点在数轴上表示的数； 【问题推广】（2）若点以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时点以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为秒，请用含的代数式表示运动后点和点表示的数，并求出当时，、两点间的距离； 【拓展提升】（3）若点、均以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，点以4个单位长度/秒的速度向左匀速运动，动点从数轴上表示的点出发，以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，设点、、、同时出发，运动时间相同，均为秒，用含的代数式表示运动后点、、、表示的数，并计算出当时，、两点间的距离与、两点间距离的差． 6 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $