1.1锐角三角函数（第1课时正切与坡度）（导学案）数学北师大版九年级下册

1.1锐角三角函数 导学案 第1课时 正切与坡度 1.理解正切的意义和与现实生活的联系。 2.能够用 表示直角三角形中两直角边的比，解决倾斜程度、坡度（坡比）等问题。 3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算。 学习重点：掌握正切定义，利用对边与邻边之比表征物体的倾斜程度。 学习难点：在实际应用中正确识别对边与邻边，并利用正切建立方程模型。 第一环节 自主学习 章节导读 思考：小明在处仰望塔顶，测得的大小，再往塔的方向前进50m到处又测得的大小，并根据这些数据求出了塔的高度。你知道他是怎么做的吗？ 结合我们之前对直角三角形以及角度的学习思考：如果知道一个直角三角形的一条边以及一个锐角，是否就能求出其他边和角？这背后隐藏着什么规律？ 本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题. 新知自研：自研课本第2--4页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 2.情景引入 ①梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？ 【解答】：如图，梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.倾斜角大，梯子就 ；倾斜角小，梯子就 ． ②但在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那么我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？ 【解答】：我们可以借助直角三角形的边角关系来研究。 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的 高度. 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的 宽度. 【学法指导】 自研课本P154-155页的内容，思考： ●探究一：正切的定义 ◆1.问题引入： 问题1：如图①，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 【解答】通过度量法或 即可比较出倾斜角∠ABC ∠EFD. 根据倾斜角越大，梯子就 ，可以得到梯子 更陡． 问题2：直接比较倾斜角可以知道哪个更陡，还有没有其他判断方法呢？ 【解答】如图①，当铅直高度一样，水平宽度 ，梯子 .因此梯子 更陡. 如图②，当水平宽度一样，铅直高度 ，梯子 .因此梯子 更陡. 问题3:如图③，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 【解答】当铅直高度与水平宽度都不相等时，可以比较它们的比. ∵ = = ≈ ， = = ≈ . 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子 . ★铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. ◆2.想一想 如图,，是梯子AB上的点，⊥AC，垂足为点，⊥AC，垂足为点.小明想通过测量及A，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量及A，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. (1)Rt∆A和Rt∆A有什么关系？ (2)和有什么关系? (3)如果改变在梯子AB上的位置(如 )，上述结论还成立吗？ 思考：由此你得出什么结论? ◆3.知识归纳 正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的 与 的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作 ，即 tan A＝ = 当锐角A变化时，tanA的值也随之 . 正切定义的几点说明： （1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. （2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1. （3） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）. （4）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. ◆4.议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 【知识扩充】对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有 的确定的值与它对应. ◆5.练一练 ①判断对错： (1).如图 (1) tanA= ( ) (2).如图 (2)tanA= ( ) (3).如图 (2)tanA= ( ) (4).如图 (2)tanB= ( ) (5).如图 (2)tanA=0.7 ( ) (6).如图 (2) ( ) ②如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，=，则tan A＝( )． 探究点2：梯子的倾斜程度与tan A的关系 ◆1.议一议 教师提问：如图,梯子的倾斜程度与tan A有怎样的关系? 学生思考并讨论： ①当梯子与地面所成的角为锐角A时，tan A＝，tan A的值越大，梯子越 ． 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的 程度． ②当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的 有关，而与物体的 无关. ◆2.练一练 下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 探究点3：坡度、坡角 ◆1.问题引入： 如图，正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i(即tanα)就是:i= = = . ①坡面与 的夹角(α)叫坡角. ②坡面的铅直高度与 的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的 . ③坡度越大,坡面越 . ◆2.练一练 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值． 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AB= ,再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与 的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案． 【解答】 例2 已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732)． 【分析】过点D作DF⊥BC，过点A作AE⊥BC，根据已知条件求出AE= 的值，再根据坡度与特殊角的三角函数值求出 ，最后根据EF=BC﹣ ﹣ ，即可得出答案． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论正切的定义以及如何计算坡度（坡比）问题； B.交流例题的解题思路，探讨如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.大小不变 3.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A,B,C均在格点上，则tanA=（ ） A. B. C.2 D. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____． 5. 如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). 6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA=,求AC和BC. 题型一： 求角的正切值 1．（2024秋•道里区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 3．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 4．（2024秋•南岳区校级期末）等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 5．（2024•雅安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4．则tanA＝　 　． 题型二：由正切值求线段长 6．（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．（2024秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（　　） A．1 B．9 C． D． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 9．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 10．（2024秋•肇源县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA，求AC． 题型三： 坡度与坡角的计算 11．（2024秋•射洪市期末）已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．30° C．1： D．：1 12．（2024秋•市北区期末）如图所示，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2，坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（　　） A．4m B．5m C．6m D．3m 13．（2024秋•城关区校级期末）如图，四边形ABCD是某护坡大坝的横截面，AD∥BC，坝顶宽AD为5米，斜坡AB的坡度为i＝1：3，斜坡CD的坡角为45°，坡长CD＝4米，则坝底宽约为（　　） A．16.3米 B．15.8米 C．13.8米 D．11.3米 14．（2024•雁塔区校级一模）如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，） 15．（2024•沧州一模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°． （1）求新坡面AC的长度； （2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离． 16．（2024•澄迈县模拟）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：1.732） ▲1、 正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的 与 的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作 ，即 tan A＝ = ▲２、坡角与坡度 （1）坡面与 的夹角(α)叫坡角. （2）坡面的铅直高度与 的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的 . （3）坡度越大,坡面越 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1锐角三角函数 导学案 第1课时 正切与坡度 1.理解正切的意义和与现实生活的联系。 2.能够用 表示直角三角形中两直角边的比，解决倾斜程度、坡度（坡比）等问题。 3.能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算。 学习重点：掌握正切定义，利用对边与邻边之比表征物体的倾斜程度。 学习难点：在实际应用中正确识别对边与邻边，并利用正切建立方程模型。 第一环节 自主学习 章节导读 思考：小明在处仰望塔顶，测得的大小，再往塔的方向前进50m到处又测得的大小，并根据这些数据求出了塔的高度。你知道他是怎么做的吗？ 结合我们之前对直角三角形以及角度的学习思考：如果知道一个直角三角形的一条边以及一个锐角，是否就能求出其他边和角？这背后隐藏着什么规律？ 本章我们将借助生活中的实例，探索直角三角形边角之间的关系，并利用三角函数解决生活中一些简单的实际问题. 新知自研：自研课本第2--4页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 2.情景引入 ①梯子是我们日常生活中常用的工具，在使用梯子的时候，有时需要放得陡一些，有时需要放得缓一些，那么我们该如何刻画梯子的倾斜程度呢？ 【解答】：如图，梯子与地面的夹角∠ABC称为倾斜角.倾斜角大，梯子就陡；倾斜角小，梯子就缓． ②但在实际问题中，有时我们不方便测量倾斜角，有时不容易准确测量倾斜角，那么我们又该如何刻画梯子的倾斜程度呢？ 【解答】：我们可以借助直角三角形的边角关系来研究。 从梯子的顶端A到墙角C的距离，称为梯子的铅直高度. 从梯子的底端B到墙角C的距离，称为梯子的水平宽度. 【学法指导】 自研课本P154-155页的内容，思考： ●探究一：正切的定义 ◆1.问题引入： 问题1：如图①，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 【解答】通过度量法或叠合法即可比较出倾斜角∠ABC＞∠EFD. 根据倾斜角越大，梯子就越陡，可以得到梯子AB更陡． 问题2：直接比较倾斜角可以知道哪个更陡，还有没有其他判断方法呢？ 【解答】如图①，当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡.因此梯子AB更陡. 如图②，当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡.因此梯子EF更陡. 问题3:如图③，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 【解答】当铅直高度与水平宽度都不相等时，可以比较它们的比. ∵ = = ≈2.67， = = ≈2.69. 当铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡. ∴梯子EF更陡. ★铅直高度与水平宽度的比和倾斜角的大小都可用来判断梯子的倾斜程度. ◆2.想一想 如图,，是梯子AB上的点，⊥AC，垂足为点，⊥AC，垂足为点.小明想通过测量及A，算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为，通过测量及A，算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度. (1)Rt∆A和Rt∆A有什么关系？ 解:两个直角三角形相似. (2)和有什么关系? 解:∵Rt∆A~Rt∆A ∴= ∴= (3)如果改变在梯子AB上的位置(如 )，上述结论还成立吗？ 解:仍然成立，=. 思考：由此你得出什么结论? ◆3.知识归纳 正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即 tan A＝= 当锐角A变化时，tanA的值也随之变化. 正切定义的几点说明： （1）初中阶段，正切是在直角三角形中定义的， ∠A是一个锐角. （2） tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”。但∠BAC的正切表示为:tan∠BAC,∠1的正切表示为:tan∠1. （3） tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中锐角∠A的对边与邻边的比（注意顺序：）. （4）tanA的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关. ◆4.议一议 锐角A的正切值可以等于1吗？为什么？可以大于1吗？ 解：可以等于1，此时为等腰直角三角形；也可以大于1，甚至可逼近于无穷大. 【知识扩充】对于锐角A的每一个确定的值，tanA都有唯一的确定的值与它对应. ◆5.练一练 ①判断对错： (1).如图 (1) tanA= ( ) (2).如图 (2)tanA= ( ) (3).如图 (2)tanA= ( ) (4).如图 (2)tanB= ( ) (5).如图 (2)tanA=0.7 ( ) (6).如图 (2) ( ) 解：×，×，×，√，√，× ②如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，=，则tan A＝( )． 解：由正切定义可知tan A＝， 因为=，可设BC＝15a，AB＝17a， 从而可用勾股定理表示出第三边AC＝8a， 再用正切的定义求解得tan A＝=. 探究点2：梯子的倾斜程度与tan A的关系 ◆1.议一议 教师提问：如图,梯子的倾斜程度与tan A有怎样的关系? 学生思考并讨论： ①当梯子与地面所成的角为锐角A时，tan A＝，tan A的值越大，梯子越陡． 因此可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度． ②当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关. ◆2.练一练 下图表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡? 解：甲梯中,tanα==. 乙梯中，tanβ==. ∵ tanα> tanβ， ∴甲梯更陡. 探究点3：坡度、坡角 ◆1.问题引入： 如图，正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m，那么山坡的坡度i(即tanα)就是:i=tanα==. ①坡面与水平面的夹角(α)叫坡角. ②坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切. ③坡度越大,坡面越陡. ◆2.练一练 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　　) 解：∵∠ACB＝90°，坡度为1∶3， ∴= ∵BC＝2米，∴AC＝3BC＝3×2＝6(米)． AB= = =2 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，D为AC的中点，求tan∠ABD的值． 【分析】根据等腰直角三角形的性质，可得AB=2a,再根据等腰直角三角形的性质，可得DE与AE的长，根据线段的和差，可得BE的长，根据正切三角函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E. 设AC＝BC＝2a，根据勾股定理得AB＝2a. ∵D为AC中点，∴AD＝a. ∵∠A＝∠ABC＝45°，DE⊥AB， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴DE＝AE＝. ∴BE＝AB－AE＝，tan∠ABD＝＝. 例2 已知一水坝的横断面是梯形ABCD，下底BC长14m，斜坡AB的坡度为3∶，另一腰CD与下底的夹角为45°，且长为4m，求它的上底的长(精确到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732)． 【分析】过点D作DF⊥BC，过点A作AE⊥BC，根据已知条件求出AE=DF的值，再根据坡度与特殊角的三角函数值求出BE，最后根据EF=BC﹣BE﹣FC，即可得出答案． 【解答】解：过点A作AE⊥BC，过点D作DF⊥BC，垂足分别为E、F. ∵CD与BC的夹角为45°， ∴∠DCF＝45°， ∴∠CDF＝45°. ∵CD＝4m， ∴DF＝CF＝＝4(m)， ∴AE＝DF＝4m. ∵斜坡AB的坡度为3∶， ∴tan∠ABE＝＝＝， ∴BE＝4m. ∵BC＝14m， ∴EF＝BC﹣BE﹣CF＝14-4-4＝10-4(m)． ∵AD＝EF， ∴AD＝10－4≈3.1(m)． ∴它的上底的长约为3.1m. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论正切的定义以及如何计算坡度（坡比）问题； B.交流例题的解题思路，探讨如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 解：A． 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的3倍 C.扩大为原来的6倍 D.大小不变 解：D． 3.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A,B,C均在格点上，则tanA=（ ） A. B. C.2 D. 解：D. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD＝____． 解：． 5. 如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). 解： 6.在Rt△ABC中,∠C=90°, AB=15,tanA=,求AC和BC. ∴设BC=3k,AC=4k. 题型一： 求角的正切值 1．（2024秋•道里区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则∠B的正切值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出AC，根据正切的定义计算即可． 【解答】解：由题意可得：， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，正确进行计算是解题关键． 2．（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（　　） A． B．3 C． D． 【分析】根据正切函数的定义求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC， ∴tanB． 故选：A． 【点评】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义． 3．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（    ） A． B．1 C． D． 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可． 【解答】如图，过点D作DE⊥BC于点E， ∵∠ACB=∠DEB=90°， ∴AC∥DE ∴∠A=∠EDB ∴△ACB∽△DEB（AA） ∵， ∴ 又∵AB=3，BC=1 ∴，， ∵Rt△BDE ∴ ∵BC=1 ∴ ∴ 故选C． 【点评】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点． 4．（2024秋•南岳区校级期末）等腰三角形的底边长为10cm，周长为36cm，则底角的正切值是（　　） A． B． C． D．无法确定 【分析】根据等腰三角形的周长，底边长，可得腰长，根据勾股定理，可得底边上的高，根据正切函数的定义，可得答案． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝10cm，周长为36cm， 则AB＝AC＝（36﹣10）÷2＝13cm． 作AD⊥BC于D点，则BD＝CD＝5cm， 由勾股定理得，AD＝12cm， 所以底角的正切值tan∠ABC． 故选：A． 【点评】此题主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出底边上的高是解题的关键． 5．（2024•雅安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4．则tanA＝　 　． 【分析】根据锐角三角函数的定义即可求得答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC：AC＝3：4， ∴tanA， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 题型二：由正切值求线段长 6．（2025·云南红河·三模）如图，在中，若，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义得，再根据，即可得出的长，然后利用勾股定理计算求解． 【解答】解：在中，，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7．（2024秋•普陀区期末）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，，BC＝3，那么AC的长等于（　　） A．1 B．9 C． D． 【分析】根据题意，表示出∠B的正切即可解决问题． 【解答】解：在Rt△ABC中， tanB， 又因为，BC＝3， 所以， 解得AC＝1． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键． 8．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【解答】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在中，， 即：， ， ， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【解答】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（2024秋•肇源县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，tanA，求AC． 【分析】根据锐角三角函数的定义可得tanA，再把BC＝3，tanA代入即可算出AC的值． 【解答】解：∵∠C＝90°， ∴tanA， ∵BC＝3，tanA， ∴， 解得：AC． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握正切函数的定义：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 题型三： 坡度与坡角的计算 11．（2024秋•射洪市期末）已知一个斜坡的坡面长30米，铅直高度为15米，则这个斜坡的坡度为（　　） A．1：2 B．30° C．1： D．：1 【分析】先根据勾股定理可以求得斜坡的水平距离，再根据斜坡的坡度定义即可求解． 【解答】解：如图所示： ∵斜坡AB的坡面长30米，其铅垂高度BC为15米， ∴这个斜坡的水平距离AC15（米）， ∴这个斜坡的坡度为：15：151：， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题以及勾股定理，解题的关键明确坡度是指斜坡的铅直高度与水平距离的比值． 12．（2024秋•市北区期末）如图所示，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：2，坝高BC＝3m，则坡面AB的长度是（　　） A．4m B．5m C．6m D．3m 【分析】根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB． 【解答】解：∵坡AB的坡比为1：2，坝高BC＝3m， ∴AC＝2BC＝2×3＝6（m）， ∴AB3（m）， 故选：D． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比． 13．（2024秋•城关区校级期末）如图，四边形ABCD是某护坡大坝的横截面，AD∥BC，坝顶宽AD为5米，斜坡AB的坡度为i＝1：3，斜坡CD的坡角为45°，坡长CD＝4米，则坝底宽约为（　　） A．16.3米 B．15.8米 C．13.8米 D．11.3米 【分析】过点A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F，证明四边形AEFD是矩形，△DCF是等腰直角三角形，解直角三角形即可求解． 【解答】解：过点A、D作BC的垂线，垂足分别为E、F， ∵AD∥BC， ∴四边形AEFD是矩形， ∵斜坡CD的坡角为45°， ∴△DCF是等腰直角三角形， ∵CD＝4米， ∴， ∴， ∵斜坡AB的坡度为i＝1：3， ∴， ∴（米）． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．（2024•雁塔区校级一模）如图，小华和同伴秋游时，发现在某地小山坡的点E处有一棵小树，他们想利用皮尺、倾角器和平面镜测量小树到山脚下的距离（即DE的长度），小华站在点B处，让同伴移动平面镜至点C处，此时小华在平面镜内可以看到点E．且测得BC＝3米，CD＝28米．∠CDE＝127°．已知小华的眼睛到地面的距离AB＝1.5米，请根据以上数据，求DE的长度．（参考数据：，） 【分析】过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F，设EF＝x米，根据正切的定义用x表示DF，证明△ABC∽△EFC，根据相似三角形的性质计算即可． 【解答】解：过点E作EF⊥BD交BD的延长线于F， 设EF＝x米， ∵∠CDE＝127°， ∴∠DEF＝127°﹣90°＝37°， 在Rt△EDF中，tan∠DEF， 则DF＝EF•tan∠DEFx， 由题意得：∠ACB＝∠ECF， ∵∠ABC＝∠EFC＝90°， ∴△ABC∽△EFC， ∴，即， 解得：x＝22.4， ∴DFx＝16.8， ∴DE28（米）， 答：DE的长度约为28米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、相似三角形的判定定理是解题的关键． 15．（2024•沧州一模）如图是一座人行天桥的示意图，已知天桥的高度CD＝6米，坡面BC的倾斜角∠CBD＝45°，距B点8米处有一建筑物NM，为了方便行人推自行车过天桥，市政府决定降低坡面BC的坡度，把倾斜角由45°减至30°，即使得新坡面AC的倾斜角为∠CAD＝30°． （1）求新坡面AC的长度； （2）试求新坡面底部点A到建筑物MN的距离． 【分析】（1）根据含30°角的直角三角形的性质计算； （2）根据等腰直角三角形的性质求出BD，进而求出AD，根据正切的定义求出AD，计算即可． 【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米， 则AC＝2CD＝2×6＝12（米）， 答：新坡面AC的长度为12米； （2）在Rt△BCD中，∠CBD＝45°，CD＝6米， ∴BD＝CD＝6米， ∵NB＝8米， ∴ND＝NB+BD＝8+6＝14（米）， 在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝6米， 则AD6（米）， ∴NA＝ND﹣AD＝（14﹣6）米， 答：新坡面底部点A到建筑物MN的距离为（14﹣6）米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．（2024•澄迈县模拟）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：1.732） 【分析】过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．则四边形DHBF是矩形，得BF＝DH，在Rt△ADH中求出DH，再解直角三角形求出EF、CF的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，过D作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F． 则四边形DHBF是矩形， ∴BF＝DH， 在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4， ∴DH＝50（米）， ∴BF＝DH＝50（米）， 在Rt△EFB中，∠BEF＝45°， ∴△EFB是等腰直角三角形， ∴EF＝BF＝50（米）， 在Rt△EFC中，∠CEF＝60°，tan∠CEF＝tan60°， ∴CFEF＝50（米）， ∴BC＝BF+CF＝（50+50）（米）． 答：建筑物BC的高度为（50+50）米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、坡度坡角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． ▲1、 正切的定义： 如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即 tan A＝= ▲２、坡角与坡度 （1）坡面与水平面的夹角(α)叫坡角. （2）坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(或坡比),即坡度等于坡角的正切. （3）坡度越大,坡面越陡. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $