1.1锐角三角函数（第2课时正弦与余弦 ）（导学案）数学北师大版九年级下册

1.1 锐角三角函数 导学案 第2课时 正弦与余弦 1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2..能够用 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 学习重点：理解直角三角形中对边、邻边、斜边的对应关系，准确掌握 、 的定义及应用. 学习难点：在几何图形中辨认和应用正弦、余弦时，避免与正切相混淆，并能利用三角函数值间的关系解决简单的计算和判定问题. 第一环节 自主学习 温故知新： （1）如图，在Rt△ABC中，tan A＝               . （2）可用梯子的倾斜角的               来描述梯子的倾斜程度,               越大，梯子               ． （3）正切也经常用来描述山坡的               .坡度越大,坡面               。 新知自研：自研课本第5--6页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关，并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切． 其它边之间的比值也确定吗?梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? 【学法指导】 自研课本P5-6页的内容，思考： ●探究一：正弦、余弦的定义 ◆1.议一议 （1）在上节课的图中，我们知道了△A∽△A， 那么和有什么关系?和呢?            （2）如果改变在梯子A上的位置(如 )，上述结论还成立吗？      思考：由此能得到什么结论？ 在Rt∆A中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定． ◆2.知识归纳 正弦、余弦的定义： ∠A的             与             的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 sin A＝ ＝ ∠A的 与 的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A ， 即 cos A＝ ＝ 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 定义中应该注意的几个问题: ①sin A ,cos A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). ②sin A,cos A是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号). ③sin A,cos A 是一个比值.注意比的顺序.且sin A,cos A均﹥0,无单位. ④sin A,cos A的大小只与∠A的 有关,而与直角三角形的 无关. ⑤角相等,则其三角函数值 ；两锐角的三角函数值相等,则这两个 相等. ◆3.练一练 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sin A=0.6，求BC的长. ●探究点2：梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系 ◆1.想一想 如图，梯子的倾斜程度与sin A ,和cos A有关系吗？ 结论：梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关. sin A的值越大,梯子越 ; cos A的值越 ,梯子越陡. ◆2.练一练 如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子与地面的倾斜角为 α，下列说法正确的是（ ） A. α 越大，sin α 越小，梯子越陡 B. α 越大，cos α 越大，梯子越陡 C. α 越大，sin α 越大，cos α越小，梯子越陡 D. α 越大，sin α 越小，cos α越大，梯子越陡 ●探究点3：正弦、余弦和正切的相互转化 ◆1.做一做 如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,=，AB等于多少呢？sinB呢？ 思考:根据以上计算，你有什么发现？ ◆2.知识归纳 正弦、余弦和正切的关系： （1）任意锐角的正弦值等于它的余角的 值.即= 证明如下：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ＝ cos B＝ ＝ = （2）一个锐角的余弦值等于这个角余角的 . tan A == ÷ =. 即 tan A＝ ◆3.练一练 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值等于（ ） A. B. C. D. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sin B,cos B,tan B. 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形底边三线合一性质可求得BD= = ，根据勾股定理即可求得 的长，然后将边长代入对应的三角函数中即可解答. 【解答】 例2如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC. （1）求证：AC＝BD； （2）若 , , 求的长 【分析】（1）根据高的定义得到∠ADB= =90°，则分别利用正切和余弦的定义得到tan∠B和cos∠DAC的表达式，再利用tan∠B=cos∠DAC即可得到AC=BD； （2）在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin C=AD/AC ，可设AD=12k,AC=13k,再根据勾股定理计算出CD= ,由于BD=AC= ,于是利用BC=BD+ 得到13k+ =36，解得k= ，所以AD= ． 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论正弦和余弦的定义以及它们与正切的关系； B.交流例题的解题思路，探讨如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　 　) 2.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是(　　) 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB 4.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍                B.缩小为原来的3倍       C.扩大为原来的6倍                D.大小不变 5. 如图, ∠C=90° CD⊥AB. （1） sinB=== （2）若BD=6,CD=12.则cosA=______. 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA=_____，cosA=_____ . 7.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,cos ∠ACD和tan ∠ACD. 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B． 题型一：求角的正弦值 1．（2024秋•肇源县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin∠B的值为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 4．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 题型二：利用正弦值求线段长 5．（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 题型三：求角的余弦值 8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型四：利用余弦值求线段长 11．（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝4，cosB，那么BC等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 题型五：锐角三角函数的综合运用 14．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 17．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 19．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 20.在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． ▲1、正弦、余弦的定义： ∠A的 与 的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 sin A＝ ＝ ∠A的 与 的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A ， 即 cos A＝ ＝ ． ▲2、正弦、余弦和正切的关系： （1） 任意锐角的正弦值等于它的余角的 值.即= （2）一个锐角的余弦值等于这个角余角的 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 锐角三角函数 导学案 第2课时 正弦与余弦 1.能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2..能够用 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 学习重点：理解直角三角形中对边、邻边、斜边的对应关系，准确掌握 、 的定义及应用. 学习难点：在几何图形中辨认和应用正弦、余弦时，避免与正切相混淆，并能利用三角函数值间的关系解决简单的计算和判定问题. 第一环节 自主学习 温故知新： （1）如图，在Rt△ABC中，tan A＝               . 解：= （2）可用梯子的倾斜角的               来描述梯子的倾斜程度,               越大，梯子               ． 解：正切值，正切值，越陡 （3）正切也经常用来描述山坡的               .坡度越大,坡面               。 解：坡度，越陡 新知自研：自研课本第5--6页的内容． 创设情景，引入新课 问题情境： 如图,当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,它的对边与邻边的比便随之确定.也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关，并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切． 其它边之间的比值也确定吗?梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? 【学法指导】 自研课本P5-6页的内容，思考： ●探究一：正弦、余弦的定义 ◆1.议一议 （1）在上节课的图中，我们知道了△A∽△A， 那么和有什么关系?和呢? 解：根据相似三角形的对应边成比例，可得， （2）如果改变在梯子A上的位置(如 )，上述结论还成立吗？ 解：仍然成立，=，=. 思考：由此能得到什么结论？ 在Rt∆A中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比，邻边与斜边的比也随之确定． ◆2.知识归纳 正弦、余弦的定义： ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 sin A＝ ＝ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A ， 即 cos A＝ ＝． 锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.当锐角A变化时，相应的正弦、余弦和正切值也随之变化. 定义中应该注意的几个问题: ①sin A ,cos A是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). ②sin A,cos A是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦 (习惯省去“∠”号). ③sin A,cos A 是一个比值.注意比的顺序.且sin A,cos A均﹥0,无单位. ④sin A,cos A的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. ⑤角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. ◆3.练一练 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=200，sin A=0.6，求BC的长. 解：在Rt△ABC中， 即 ∴ BC=200×0.6=120. ●探究点2：梯子的倾斜程度与正弦、余弦的关系 ◆1.想一想 如图，梯子的倾斜程度与sin A ,和cos A有关系吗？ 结论：梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关. sin A的值越大,梯子越陡; cos A的值越小,梯子越陡. ◆2.练一练 如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子与地面的倾斜角为 α，下列说法正确的是（ ） A. α 越大，sin α 越小，梯子越陡 B. α 越大，cos α 越大，梯子越陡 C. α 越大，sin α 越大，cos α越小，梯子越陡 D. α 越大，sin α 越小，cos α越大，梯子越陡 解：C ●探究点3：正弦、余弦和正切的相互转化 ◆1.做一做 如图:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,=，AB等于多少呢？sinB呢？ 思考:根据以上计算，你有什么发现？ 解：= ◆2.知识归纳 正弦、余弦和正切的关系： （1）任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.即=cos B 证明如下：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ＝ cosB＝ ＝ =cos B （2）一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦. tan A ==÷=. 即 tan A＝ ◆3.练一练 在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则cos B的值等于（ ） A. B. C. D. 解：B. cos B=sin A=. 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图，在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=6.求: sin B,cos B,tan B. 【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据等腰三角形底边三线合一性质可求得BD=CD=3，根据勾股定理即可求得AD的长，然后将边长代入对应的三角函数中即可解答. 【解答】 例2如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tan B＝cos∠DAC. （1）求证：AC＝BD； （2）若 , , 求的长 【分析】（1）根据高的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，则分别利用正切和余弦的定义得到tan∠B和cos∠DAC的表达式，再利用tan∠B=cos∠DAC即可得到AC=BD； （2）在Rt△ACD中，根据正弦的定义得sin C=AD/AC ，可设AD=12k,AC=13k,再根据勾股定理计算出CD=5k,由于BD=AC=13k,于是利用BC=BD+CD得到13k+5k=36，解得k=2，所以AD=24． 【解答】解:(1)证明：∵ 是上的高, ∴ . 在中, ; 在中, . ∵ ∴ ∴ （2）在中, . 设 , , 则 ∵ , ∴ 解得 ∴ 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论正弦和余弦的定义以及它们与正切的关系； B.交流例题的解题思路，探讨如何作辅助线构造直角三角形. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cos A的值是(　 　) 解：D． 2.在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是(　　) 解：A． 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子一定成立的是（　　） A．sinA=sinB B．cosA=cosB C．tanA=tanB D．sinA=cosB 解：D. 4.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　) A.扩大为原来的3倍                B.缩小为原来的3倍       C.扩大为原来的6倍                D.大小不变 解：D． 5. 如图, ∠C=90° CD⊥AB. （1） sinB=== （2）若BD=6,CD=12.则cosA=______. 解：(1) (2) 6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则sinA=_____，cosA=_____ . 解：， 7.在Rt△ABC中,∠BCA=90°,CD是中线,BC=8,CD=5.求sin ∠ACD,cos ∠ACD和tan ∠ACD. 解: ∵ 在中, , 是上的中线, ∴ , 又 , ∴ , , ∴ , ∴ , ∴ , , 8.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cos B． 解：∵∠C＝90°，MN⊥AB， ∴∠C＝∠ANM＝90°． 又∵∠A＝∠A， ∴△ABC∽△AMN， ∴== 设AC＝3x，AB＝4x． 由勾股定理，得BC==x ∴在Rt△ABC中，cosB=== 题型一：求角的正弦值 1．（2024秋•肇源县月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin∠B的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3， 由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理，正弦定义是解题的关键． 2．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，在矩形中，E，F是边上两点，且，连接，，与相交于点G，连接．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，正弦函数等；过作，为垂足，由线段的长度得，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得 ，由正弦函数的定义即可求解；掌握矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，正弦函数进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作，为垂足， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 同理可求：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 【分析】利用勾股定理得出AB，BC的长，再利用锐角三角函数关系得出即可． 【详解】解：如图（1）：∵AC＝5，BC＝3， ∴AB， ∴sinA， sinB， 如图（2）：∵AC＝1，BA， ∴BC＝2， ∴sinA， sinB． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确利用边角关系求出是解题关键． 4．（2025·浙江温州·二模）如图，在中，，，． (1)若，求的度数． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由三角形内角和定理得到的度数，再由等边对等角和三角形内角和定理得到的度数，最后根据角的和差关系即可得到答案； （2）设，则，利用勾股定理可得，解方程并根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型二：利用正弦值求线段长 5．（2025·广东梅州·二模）在中，，，， 则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中，已知的长和角的正弦值可求出． 【详解】解：在中， ， 所以 故选：B． 6．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在中，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，掌握锐角的对边与斜边的比叫做的正弦是解题的关键． 根据正弦的定义可得，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图： ∵， ， 又∵，， ∴， 解得：，（负值已经舍去）． 故选：A． 7．（2025·广东广州·二模）在中，，，于点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用，在中利用勾股定理及正弦函数的定义即可求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 由勾股定理得， ∴； 故答案为：． 题型三：求角的余弦值 8．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在中，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求余弦，勾股定理；先由勾股定理求出，再由余弦函数的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 9．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 10．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形中，，，点在上，把沿折叠，点恰好落在边上的点处，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、解直角三角形等知识，推导出是解题的关键．由矩形的性质得，，由翻折得，，由，，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，， 把△沿折叠，点落在边上的点处， ，， ，， ， ， 故选：C． 题型四：利用余弦值求线段长 11．（2025·云南昭通·二模）在中，，已知，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图： ， ∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：D． 12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，如果AC＝4，cosB，那么BC等于（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A． 【分析】由cosB，可设BC＝3x，则AB＝5x，利用勾股定理求得x，进而得到BC的长度． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴cosB， ∴可设BC＝3x，则AB＝5x， 由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2， ∴42+（3x）2＝（5x）2， ∴x＝1， ∴BC＝3． 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 13．（2025·陕西渭南·三模）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五：锐角三角函数的综合运用 14．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解： ，， ， 故选A． 15．（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 16．（24-25九年级上·浙江衢州·阶段练习）在中，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余弦的定义，勾股定理，求角的正切值等知识点，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据，设，则，利用勾股定理可得，最后根据即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴设，则， ∴， ∴， 故选：A． 17．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 18．（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，是的中线，    求： (1)的长； (2)的正弦值． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，作于．        在中，，， ，， 在中，， ， ． （2）， ，，， 在中，． 的正弦值为． 19．如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A在x轴正半轴上，点B（4，3）， （1）求sin∠BOA； （2）若tan∠BAO＝sin∠BOA，求点A的坐标． 【分析】（1）作BC⊥OA于C，如图，由B点坐标得到OC＝4，BC＝3，则根据勾股定理可计算出BC＝5，然后根据正弦的定义求解； （2）利用tan∠BAO＝sin∠BOA可得tan∠BAC，则可计算出AC＝5，所以OA＝9，于是可确定点A的坐标． 【详解】解：（1）作BC⊥OA于C，如图， ∵B（4，3）， ∴OC＝4，BC＝3， ∴BC5， ∴sin∠BOC， 即sin∠BOA； （2）∵tan∠BAO＝sin∠BOA， ∴在Rt△ABC中，tan∠BAC， ∴AC3＝5， ∴OA＝OC+AC＝9， ∴点A的坐标为（9，0）． 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了坐标与图形性质． 20.在中，，，为锐角且． (1)求的面积； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作，根据的正切值确定的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出、，最后利用三角形的面积公式算出的面积； （2）先利用线段的和差关系求出，然后在中利用勾股定理求出； （3）在中利用直角三角形的边角间关系求出的余弦值． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， ∴， ∵为锐角且， ∴， ∴， ∴， ∴， 在， ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴的面积为． （2）∵，， ∴， 在中， ． ∴的值为． （3）在中，，， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键． ▲1、正弦、余弦的定义： ∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA ， 即 sin A＝ ＝ ∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A ， 即 cos A＝ ＝． ▲2、正弦、余弦和正切的关系： （1）任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.即=cos B （2）一个锐角的余弦值等于这个角余角的正弦. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $