2.6　直角三角形 课件 2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦直角三角形的性质与判定，第1课时围绕内角性质、斜边上的中线展开，第2课时侧重判定方法。课堂导入结合梯子滑动、脊柱侧弯检测等生活实例，通过“性质探究—判定应用”的脉络构建学习支架，衔接三角形内角和等前置知识。 其亮点在于融入中考真题与生活情境，以数学眼光发现问题，如梯子滑动问题应用中线性质。通过分类讨论（如易错题）、逻辑推理（如证明题）培养数学思维，“素养提优”模块含新定义题等，提升模型意识与应用能力。助力学生深化理解，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

第１课时　直角三角形的性质 2.6　直角三角形 初中数学  　直角三角形内角的性质 1.在直角三角形中,有一个锐角是另一个锐角的2倍,则这个锐 角的度数是 ( ) A.30°　　　    B.45° C.60°　　　    D.40° 　C     解析　设这个锐角的度数为x,则另一个锐角的度数为 x,由 题意得x+ x=90°,解得x=60°.故选C. 初中数学 2.【学科特色·教材变式】(2025湖州期中)如图,Rt△ABC中,∠ ACB=90°,CD⊥AB于点D,则下列结论不一定成立的是 ( )   A.∠1+∠2=90°　　　    B.∠1=30° C.∠1=∠4　　　     D.∠2=∠3 　B 初中数学 解析　∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°, ∴∠1+∠2=180°-∠ACB=180°-90°=90°, ∵CD⊥AB于点D,∴∠ADC=∠BDC=90°, ∴∠1+∠3=90°,∠2+∠4=90°, 又∵∠1+∠2=90°,∴∠1=∠4,∠2=∠3. ∴不一定成立的结论是∠1=30°.故选B. 初中数学 3.(2023衢州中考)如图所示的是脊柱侧弯的检测示意图,在体 检时为方便测出Cobb角∠O的大小,需将∠O转化为与它相等 的角,则图中与∠O相等的角是 ( )   　B     A.∠BEA　　　    B.∠DEB C.∠ECA　　　    D.∠ADO 初中数学 解析　由题图可知,△DOA和△DBE都是直角三角形,∴∠O+ ∠ADO=90°,∠DEB+∠ADO=90°,∴∠DEB=∠O.故选B. 初中数学 4.(2025杭州临平期中)如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于 点D,∠BCD=36°,∠CEA=70°,则∠EAB=__________°.     16     初中数学 解析　∵∠ACB=90°,∠BCD=36°, ∴∠ACD=90°-36°=54°. ∵CD⊥AB于点D,∴∠ADC=90°, ∴∠CAD=90°-54°=36°. ∵∠CEA=70°,∴∠CAE=90°-70°=20°, ∴∠EAB=∠CAD-∠CAE=36°-20°=16°. 初中数学  　直角三角形斜边上的中线 5.(2025杭州萧山高桥教育集团月考)一技术人员用刻度尺(单 位:cm)测量某三角形部件的尺寸.如图所示,已知∠ACB=90°, 点D为边AB的中点,点A、B对应的刻度分别为1、7,则CD=  ( ) 　B     A.3.5 cm　　　    B.3 cm C.4.5 cm　　　    D.6 cm 初中数学 解析　∵点A、B对应的刻度分别为1、7, ∴AB=7-1=6(cm). ∵∠ACB=90°,点D为线段AB的中点, ∴CD= AB= ×6=3(cm).故选B. 初中数学 6.(2025宁波期中)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于 点D,∠ABD=3∠CBD,E是斜边AC的中点,则∠EBD的度数是 __________°.       45     初中数学 解析　∵∠ABD=3∠CBD,∠ABD+∠CBD=∠ABC=90°, ∴4∠CBD=90°,∴∠CBD=22.5°, ∴∠ABD=3×22.5°=67.5°. ∵BD⊥AC,∴∠A=90°-∠ABD=90°-67.5°=22.5°. ∵E是斜边AC的中点,∴BE=AE=CE, ∴∠EBA=∠A=22.5°, ∴∠EBD=∠DBA-∠EBA=67.5°-22.5°=45°. 初中数学 7.(2025嘉兴海宁期中)如图,线段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的 公共斜边,点E,F分别是AB,CD的中点. 求证:(1)CE=DE. (2)EF⊥CD.   初中数学 证明    (1)∵线段AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边,点E是 AB的中点,∴CE= AB,DE= AB,∴CE=DE. (2)∵CE=DE,点F是CD的中点,∴EF⊥CD. 初中数学   8.(2025温州期中,★★☆)如图,一根长为5米的梯子AB斜靠在 与地面OC垂直的墙上,点P为AB的中点,当梯子的一端A沿墙 面AO向下滑动,另一端B沿OC向右滑动时,OP的长 ( ) 　C     A.逐渐增大 B.逐渐减小 C.不变 D.先增大,后减小 初中数学 解析　连结OP(图略),∵OA⊥OC,点B在OC上,∴∠AOB=90°, ∵点P为AB的中点,∴OP= AB, ∴OP的长不变.故选C. 初中数学 9.(2025杭州滨江滨和中学期中,★★☆)如图,△ABC中,∠ACB =90°,点E为AB的中点,点D在BC上,且AD=BD,AD、CE相交于 点F,若∠B=20°,则∠DFE等于 ( )   A.70°　　　    B.60°　　　    C.50°　　　    D.40° 　B     初中数学 解析　∵∠ACB=90°,∠B=20°,∴∠BAC=70°,∵∠ACB=90°,E 是AB的中点,∴AE=CE=BE, ∴∠B=∠ECB=20°,∠ACE=∠EAC=70°, ∵BD=AD,∴∠BAD=∠B=20°, ∴∠CAD=70°-20°=50°,∴∠AFC=180°-70°-50°=60°, ∴∠DFE=∠AFC=60°.故选B. 初中数学 10.(2025杭州十三中月考,★★☆)如图,在Rt△ABC中,∠ACB= 90°,∠A=30°,CD⊥AB,E为AB中点.若BD=1,则CE=_________.       2     初中数学 解析　∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°, ∵CD⊥AB,∴∠BDC=90°,∴∠BCD+∠B=90°, ∴∠BCD=∠A=30°,∴BC=2BD=2,∴AB=2BC=4, ∵E为AB的中点,∴CE= AB=2. 初中数学 11.【学科特色·易错题】(2023青海西宁中考,★★☆) 在△ ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连结AD,若△ABD 为直角三角形,则∠ADB的度数是_______________.     90°或50°     初中数学 解析　∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°, ∴∠B=∠C= (180°-∠BAC)=40°, ∵△ABD为直角三角形,∴有以下两种情况: ①∠ADB=90°; ②∠BAD=90°,此时∠ADB=90°-∠B=90°-40°=50°. ∴若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是90°或50°. 初中数学 易错警示    当题目没有明确哪个角是直角时,要分情况讨论. 初中数学 12.(★★☆)如图,已知△ABC和△ABD,∠ACB=∠ADB=90°,点 E是AB的中点,连结CE,DE,CD,设∠DAB=α.则当∠ABC=_______ ______时,△DCE为等边三角形.(用含α的代数式表示) -α         60° 初中数学 解析 如图所示: ∵∠ACB=∠ADB=90°,点E是AB的中点, ∴CE= AB,DE= AB,∴CE=BE=DE=AE, ∴∠DAB=∠ADE=α,∠2=∠ABC, ∵△DCE为等边三角形, ∴∠1+∠2=60°,∠3+∠ADE=∠3+α=60°, ∴∠1=60°-∠ABC,∠3=60°-α, 初中数学 ∵∠1+∠3+∠CHD=∠DAB+∠ABC+∠AHB=180°,∠CHD= ∠AHB,∴∠1+∠3=∠DAB+∠ABC, ∴60°-∠ABC+60°-α=α+∠ABC, ∴120°-2α=2∠ABC,∴∠ABC=60°-α. 初中数学 13.(2025衢州江山期中,★★☆)如图,在△ABC中,AD是BC边 上的高线,CE是AB边上的中线,DG⊥CE于G,CD=AE.求证:CG =EG.   初中数学 证明　如图,连结DE,   ∵AD是BC边上的高线,CE是AB边上的中线, ∴DE= AB=AE=CD, ∵DG⊥CE于G,∴CG=EG. 初中数学   14.【新课标·推理能力】(2025杭州临平期中)如图,在△ABC 中,CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为BC的中点. (1)若EF=5,BC=11,求△EFM的周长. (2)设∠ABC+∠ACB=x°. ①若x=120,求∠EMF的度数. ②设∠EMF=y°,求x与y之间的数量关系. 初中数学 解析    (1)∵CF⊥AB,BE⊥AC,M为BC的中点,CD=AE, ∴EM=FM= BC, ∵EF=5,BC=11, ∴△EFM的周长=EF+EM+FM=EF+BC=5+11=16. (2)①∵EM=BM=FM=CM= BC, ∴∠ABC=∠BFM,∠ACB=∠CEM, ∵∠ABC+∠ACB=x°, ∴∠BFM+∠MEC=∠ABC+∠ACB=x°, 初中数学 ∴∠BMF+∠CME=360°-(∠BFM+∠MEC+∠ABC+∠ACB)= 360°-2x°, ∴∠EMF=180°-(∠BMF+∠CME)=180°-360°+2x°=2x°-180°, ∵x=120,∴∠EMF=2×120°-180°=240°-180°=60°. ②由①知,∠EMF=2x°-180°, ∵∠EMF=y°,∴y=2x-180. 初中数学 第2课时　直角三角形的判定 2.6　直角三角形 初中数学 1.在△ABC中,∠A=56°,∠B=34°,则△ABC是 ( ) A.锐角三角形　　　    B.直角三角形 C.钝角三角形　　　    D.锐角或钝角三角形 　B      　直角三角形的判定 解析　∵∠A+∠B=56°+34°=90°,∴△ABC是直角三角形.故 选B. 初中数学 2.(2025杭州临平信达外国语学校月考)具备下列条件的△ ABC中,不是直角三角形的是 ( ) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C 　D     初中数学 解析    A.∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠C=180°, ∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,不符合题意;B.∵∠A-∠B =∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴2∠A=180°,∴∠A=90°,∴△ABC 是直角三角形,不符合题意;C.∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,∴ ∠A+∠B=∠C,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,不符合题 意;D.∵∠A=∠B=3∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴7∠C=180°,∴ ∠C= ,∠A=∠B= ,∴△ABC不是直角三角形,符合 题意.故选D. 初中数学 3.【学科特色·教材变式】 如图,在△ABC中,CD是AB边上的 中线,CD= AB,则下列结论中错误的是 ( )   A.AD=BD B.△ABC为直角三角形 C.∠A=30° D.△ADC与△BCD的面积相等 　C     初中数学 解析　∵CD是AB边上的中线,CD= AB,∴AD=BD=CD,∴S△ ADC=S△BCD,∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,∵∠A+∠ACD+∠B+∠ BCD=180°,∴∠A+∠B=90°,∴△ABC是直角三角形,故选项A, B,D不符合题意;根据题意不能确定∠A=30°,故选项C符合题 意.故选C. 初中数学 4.如图,BD平分∠ABC,∠ADB=60°,∠BDC=80°,∠C=70°,则△ ABD是_______三角形.   　直角     初中数学 解析　∵∠DBC+∠BDC+∠C=180°, ∴∠DBC=180°-∠BDC-∠C=180°-80°-70°=30°, ∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=30°, ∵∠ADB=60°,∴∠A=180°-30°-60°=90°, ∴△ABD是直角三角形. 初中数学 5.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于E,与BC交于D,∠ C=15°,∠BAD=60°,则△ABC是_______三角形.   　直角     初中数学 解析　∵DE垂直平分AC,∴AD=CD, ∴∠C=∠DAC=15°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=30°. ∵∠BAD=60°,∴∠B=180°-∠BAD-∠ADB=90°, ∴△ABC是直角三角形. 初中数学 6.(2025福建莆田月考) 如图,CE⊥AD,垂足为E,∠A=∠C.求 证:△ABD是直角三角形.   初中数学 证明　∵CE⊥AD,∴∠CED=90°,∴∠C+∠D=90°. ∵∠A=∠C,∴∠A+∠D=90°, ∴△ABD是直角三角形. 初中数学 7.如图1,CD是△ABC的高,∠A=∠BCD. (1)求证:△ABC是直角三角形. (2)如图2,若AE是△ABC的角平分线,AE与CD相交于点F.请判 断△CEF是不是等腰三角形,并说明理由.   初中数学 解析    (1)证明:∵CD是△ABC的高, ∴∠CDA=90°,∴∠A+∠ACD=90°. ∵∠A=∠BCD, ∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠A=90°,∴△ABC是直角三角形. (2)△CEF是等腰三角形. 理由:∵AE是△ABC的角平分线,∴∠CAE=∠DAF. ∵∠CDA=∠BCA=90°, 初中数学 ∴在Rt△ADF中,∠DFA=90°-∠DAF,在Rt△ACE中,∠CEA=90°-∠CAE,∴∠CEF=∠DFA. ∵∠DFA=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF,∴CF=CE, ∴△CEF是等腰三角形. 初中数学 8.(2025山东淄博月考,★★☆) 有下列条件:①∠A+∠B+∠C= 180°;②∠A=2∠B=3∠C;③∠A= ∠B= ∠C;④∠A=∠B=2∠ C.其中,能判定△ABC为直角三角形的条件有 ( ) A.4个　　　    B.3个　　　    C.2个　　　    D.1个 　D     初中数学 解析　①当∠A+∠B+∠C=180°时,不能求出△ABC各角的大 小,不能判定△ABC是直角三角形; ②∵∠B= ∠A,∠C= ∠A,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=  ,∠B= ,∠C= ,∴△ABC不是直角三角形; ③设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴ ∠C=3x=90°,∴△ABC是直角三角形; ④设∠C=x,则∠A=∠B=2x,∴2x+2x+x=180°,解得x=36°,∴∠A =∠B=72°,∠C=36°,∴△ABC不是直角三角形. 初中数学 ∴能判定△ABC为直角三角形的条件有1个.故选D. 初中数学 9.(★★☆) 如图,在3×3的方格中,已知点A,B均为格点,若点C 也是格点,且使得△ABC为直角三角形,则满足条件的点C有 _________个.       3     初中数学 解析　如图, 以AB为直角三角形ABC的斜边时,满足条件的点C有2个;以 AB为直角三角形ABC的一条直角边时,满足条件的点C有1个, ∴满足条件的点C共有3个. 初中数学 10.(★★☆) 如图,已知∠AOD=30°,点C是射线OD上的一个动 点.在点C的运动过程中,当△AOC恰好是直角三角形时,∠A 所有可能的度数为_______________.       60°,90°     初中数学 解析　∵在△AOC中,∠AOC=30°, ∴△AOC恰好是直角三角形时,分两种情况讨论: ①如果∠A是直角,那么∠A=90°; ②如果∠ACO是直角,那么∠A=90°-∠AOC=60°. 故∠A所有可能的度数为60°,90°. 初中数学 11.(2025嘉兴海宁教育共同体期中,★★☆)如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别在边AC,AB上, 且AE=BF,连结DF,EF,DE.求证:△DEF为等腰直角三角形.   初中数学 证明　如图,连结AD, ∵在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,∴∠B=∠C=45°. ∵D是BC的中点,∴AD=BD=DC,AD⊥BC,AD平分∠BAC, ∴∠ADB=90°,∠B=∠BAD=∠DAE=45°, 在△DAE和△DBF中,  ∴△DAE≌△DBF(SAS),∴DE=DF,∠ADE=∠BDF. ∵∠BDF+∠ADF=∠ADB=90°,∴∠ADE+∠ADF=90°, ∴△DEF为等腰直角三角形. 初中数学 12.【新课标·推理能力】 【新考向·新定义题】定义:如果三 角形的两个内角α与β满足α+2β=100°,那么我们称这样的三角 形为“奇妙三角形”. (1)如图,△ABC中,∠ACB=80°,BD平分∠ABC.求证:△ABD为 “奇妙三角形”. (2)若△ABC为“奇妙三角形”,且∠C=80°. 求证:△ABC是直角三角形. 初中数学 证明    (1)∵BD平分∠ABC,∴∠ABC=2∠ABD. ∵在△ABC中,∠ACB=80°, ∴∠A+∠ABC=180°-∠ACB=180°-80°=100°, ∴∠A+2∠ABD=100°,∴△ABD为“奇妙三角形”. (2)∵在△ABC中,∠C=80°,∴∠A+∠B=100°, ∵△ABC为“奇妙三角形”,∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A= 100°,∴∠B=10°或∠A=10°, 当∠B=10°时,∠A=90°,∴△ABC是直角三角形. 当∠A=10°时,∠B=90°,∴△ABC是直角三角形. 初中数学 综上,△ABC是直角三角形. 初中数学 13.【新课标·推理能力】 如图,在直角△ABC中,D为斜边AB 的中点,DE⊥DF,而E,F分别在AC,BC上,连结EF.问AE,EF,BF 能不能组成直角三角形?写出你的结论并说明理由.   初中数学 解析    AE,EF,BF能组成直角三角形.理由如下: 如图,延长FD到F',使DF'=DF,连结AF'、EF', ∵D为斜边AB的中点,∴AD=BD, 在△ADF'和△BDF中,∵ , ∴△ADF'≌△BDF(SAS),∴AF'=BF,∠B=∠DAF', ∵∠BAC+∠B=90°,∴∠BAC+∠DAF'=90°,即∠EAF'=90°,∴ △EAF'是以EF'为斜边的直角三角形,∵DF'=DF,DE⊥DF,∴ EF'=EF,∴AE,EF,BF能组成直角三角形. 初中数学 方法归纳    找三条线段的等量关系时,除了用截长补短求解 以外,还常常用倍长(类)中线求解.若三条线段是分开的(不构 成图形),则可以通过倍长(类)中线构造8字全等模型将某条线 段转移,与另两条线段凑到一起得到特殊的几何图形求解. 初中数学 $