2.4.2简单幂函数的图象和性质教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“简单幂函数的图象与性质”，从万安鱼头购买情境抽象出五个函数实例，关联初中函数基础与高中函数性质，构建学习后续基本初等函数的认知支架。 以生活情境驱动概念抽象（数学抽象），通过画图与小组讨论归纳性质（直观想象、逻辑推理），结合探究活动与例题应用。帮助学生掌握“背景-概念-性质-应用”的函数研究路径，为教师提供结构化教学方案，提升课堂效率与学生核心素养。

教学设计 课题 2.4.2简单幂函数的图象与性质 一、教学内容分析 本节课是北师大（2019）版普通高中数学必修第一册第二章第四节《函数的奇偶性与简单的幂函数》的内容，第二章已经初步掌握函数的概念和性质之后，以一类简单的基本初等函数为载体，使学生明确研究一类函数的基本构架（背景-概念-性质-应用）. 幂函数是基本初等函数之一，很多函数都是由幂函数及其它基本初等函数经过运算、复合得到的，它起着承前启后的作用。在初中我们曾经研究过三种幂函数。对于这节内容，是对初中的进一步的概括、归纳与拓展，是幂有关知识的升华。通过本节课的学习体会如何在一般函数的概念及基本性质的指导下展开研究。因此幂函数的学习既是对前面所学内容的巩固，也为后面学习指数函数、对数函数的学习打下基础。 二、学习者分析 学生在初中已经学习过一次函数、二次函数以及反比例函数，进入高中后学习了函数的概念、函数的单调性和奇偶性，初步掌握通过图象研究函数性质的一般方法。 高中阶段学习函数的要求与初中学习一次、二次和反比例函数的要求差别较大，作为高中第一个系统学习的基本初等函数，要求用函数图象和代数运算的方法研究幂函数的性质，并利用抽象的符号语言来表达，这对高一学生而言具有挑战性。 三、教学目标 1、通过生活实例抽象出5个简单幂函数，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽象出幂函数的一般形式，培养数学抽象的数学核心素养。 2、会画出五个具体幂函数的图象，能利用图象和代数运算的方法得到它们的性质，理解它们的变化规律，体会研究一类函数的基本能力，进而培养数学抽象与逻辑推理的数学核心素养。 四、教学重点、难点 教学重点：幂函数的概念以及5个简单幂函数的图象和性质； 教学难点：通过图象概括出幂函数的性质，理解简单幂函数的变化规律。 五、学习评价设计 1、诊断性评价： （1） 通过解析式形式特点找出哪些函数是幂函数以及过点求解析式，来判断学生是否对幂函数形式化定义理解； （2） 通过对比5个幂函数图象和性质，找出它们性质的共性，来判断学生数学抽象以及直观想象能力是否达到提升； （3） 通过课堂探究，判断学生是否能知道幂函数的变化规律； （4） 通过比较大小，判断学生是否会应用性质去解决问题。 2、形成性评价： 学生在课堂中的探究与回答教师及时给与纠错或鼓励；通过作业批改判断学生对本节课知识点掌握的情况。 六、教学过程 教师活动 学生活动 环节一：幂函数概念的抽象 问题1：我们知道函数可以来刻画现实世界中的实际问题，由万安闻名的万安鱼头作为导入，引发兴趣；并用作引例： 引例：某餐馆老板欲从万安湖购买万安鱼头的原材料鳙鱼： 现鳙鱼价格为1元/两，餐馆老板买了x两，需要支付的金额为y= ____（元），这里y是x的函数。 餐馆老板购买的鳙鱼用边长为a m的正方体水箱运输，则其在车上的占地面积S= ____m2，水箱容积为V= ____m3。 这里S、V是a的函数。 餐馆老板用三轮车将买好的活鱼运到1km外的餐馆，用时 t s，则其运送的速度是v= ____km/s。 这里v是t的函数。 餐馆老板买好的活鱼放回餐馆正方体面积为S m2的水池中养，边长为c=____m 。 这里S是c的函数。 回答问题1. (1)需要支付y=x元，这里y是x的函数； （2）占地的面积，容积V=a3，这里S、V是a的函数； （3）运送的平均速度，这里v是t的函数. （4）那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； 注意：可以表示为，这个转化会在后面学习. 活动意图： 从学生熟悉的情境引入，引导学生从这五个函数的底数、指数和幂前面的系数来观察，归纳抽象出幂函数的概念，培养学生数学抽象的核心素养 思考1.观察这些函数的解析式，他们在结构上有什么共同特征？ 根据学生的回答，教师进行必要的补充.最后指明：(1)这几个函数解析式都具有幂的形式；(2)幂的底数是自变量，指数是常数. 教师给出幂函数概念. 幂函数概念： 一般地，形如 （ 为常数）的函数 ，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数。 注：（1）都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数（2） 中前的系数为1，且后面没有其他项 课堂练习 例1：（1）下列函数中哪些函数是幂函数？ （2）已知幂函数的图象过点(2, ),求的解析式。 教师总结：幂的指数除了可以取整数之外，还可以取其他实数。但形式只能是 对于幂函数，我们以1，2，3，，1这五种函数为例研究幂函数 学生观察思考后回答问题，尝试归纳总结，抽象出幂函数的概念。 学生思考回答课堂练习，同时对学生在练习中出现的错误进行评价纠错。 活动意图：通过追问和练习的方式，引导学生抓住幂函数的结构特点。 环节二：幂函数的图象与性质 思考2：通过前面的学习应该如何研究函数呢？ 教师在学生回答基础上进行补充，根据函数的解析式画出函数图象，（画图的时候，可以借助初中学习的描点法画图），然后利用图象和解析式，讨论函数的定义域、单调性、奇偶性、值域等性质,并解决相关的应用问题. 活动意图：引导学生回顾已有经验，给出研究函数的路径. 学生探究活动1：回顾所学知识，填写表格 任务1：学生回顾所学知识，在导学案上画出y=x3、y=的图象。 任务2：观察函数图象5个函数的性质写在内. 活动意图：回顾研究函数的一般路径，为研究幂函数提供方法。这也是本节课一条明线，充分调动学生的思路。 学生探究活动2：将这五个函数y=x、y=x2、y=x−1、y=x3、y=的图象放在同一坐标系中进行研究，找寻共性。 思考3：观察函数图象并结合表格，总结这5个函数图象和性质有什么共性？ 过定点（1，1） 思考4：通过研究这五个函数，你能从中总结出幂函数更一般的特征吗？ 同学们可以从以下角度观察 （1）图象分布的区域，公共点； （2）函数的奇偶性； （3）函数的变化趋势. 幂函数的性质： （1）过定点（1,1）； （2）幂函数的图象在第一象限一定有，在第四象限一定没有； （3）为整数时：为奇数，为奇函数；为偶数时，为偶函数。 教师利用画图工具，展现所呈现出来的图象和性质。进而过渡到第一象限的一些性质和图象变化规律。 学生观察图象结合表格小组讨论，并派代表回答。 学生猜想并回答 活动意图：引导学生观察图象，用类比归纳的方法猜想一般幂函数的性质，培养学生直观想象的核心素养。对学生给出的结论进行补充和更正，提升学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生逻辑推理的核心素养。利用画图工具，加深学生对幂函数性质的理解，肯定学生的猜想能力，渗透数形结合思想。 例题与提升练习 例2 学生活动探究3：函数f（x）=x−2，f（x），求出函数的定义域,讨论函数的单调性、奇偶性,探究它们的图象。 学生独立完成，可找学生上台讲解。 学生讨论完成 小组间讨论完成. 活动意图： 例2和变式学生学以致用，幂函数解析式及图象与性质的应用； 通过这个探究培养学生知识应用能力，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养。 环节三 课堂小结 （1）这节课你学到了哪些知识？技能？ （2）你是通过什么研究路径获得的这些知识和技能的？ （3）在获得这些知识过程中利用了哪些数学思想和方法？ 学生梳理本节课导数知识结构图。 设计意图：引导学生进行课堂小结，通过研究函数的一般路径回顾本节课所学知识，也是对研究函数一般路径再一次掌握，之后遇到新函数时，可以类似研究。 板书设计 幂函数 一、幂函数的概念 二、幂函数的图象与性质 教学反思与改进 北师大2019版新教材充分体现了新课标的基本理念，通过创设合适的问题情境，引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动，感悟并获得数学知识与思想方法。因此，整个课堂设计的主要形式为问题情境-学生活动-意义建构-数学结论-数学运算-拓展延申，力图实现“入口浅，寓意深”。整个课堂还是以学生活动和探究总结为主题，教学过程中渗透函数的图像与性质，让学生感悟以形助数，以数解形，从而培养学生的思维能力和应用意识，提升学生的数学学科素养。 19 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $