5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数零点概念及零点存在定理，通过导弹拦截视频导入函数交点问题，衔接方程解与函数零点的关联，构建从定义理解到定理探究的学习支架。 特色在于视频导入联系现实激发兴趣，小组合作画图探究定理条件培养数学思维，思考辨析结合反例深化理解。通过数学眼光发现问题，数学思维推理定理，提升学生抽象与运算素养，为教师提供直观教学实例和结构化流程。

第五章 函数应用 5.1 方程解的存在性及方程的近似解 5.1.1 利用函数性质判断方程解的存在性 · 教学目标 1. 理解求方程的实数解就是求函数的零点，体会函数的作用。 2. 理解和掌握零点存在定理。 3. 通过结合图象与解函数零点问题，培养数学抽象、数学运算等素养。 · 教学重难点 · 重点：理解零点存在定理． 难点：理解零点存在定理的条件． · 教学过程 1、 视频导入 以导弹拦截的视频导入两个函数交点问题，从而引出课题。 2、 新知探究 （一）零点的定义 问题1：判断下列方程有没有解？若有，求出下列方程的根。 （1）x2-x-6=0 （2）x−=0 （3）2x＋x－2=0 零点的定义：使得的数称为方程的解，也称为函数的零点．的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标． 问：函数的零点是点吗？ 答案：由函数零点的定义可知，函数的零点是使得的数，故函数的零点是数，不是点． 追问：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？ 答案：方程有实数解⇔函数有零点⇔函数的图象与轴有公共点．因此，对于y=f(x)−g(x)的零点个数即可以转化为求解两个函数y=f（x)与函数y=g（x)图象交点个数。例1 求下列函数的零点 （2） 零点存在定理 合作探究 已知y=f（x）过A，B两点，你能画出哪些可能的函数图象？（小组合作动手画一画） 依据小组画出的图象，探究以下的问题： 探究1：满足，函数f(x)在(a,b)内一定有零点？ 答：不一定。函数在区间的图象是连续曲线。 探究2：如果函数在区间上连续且满足，则函数在区间内只有一个零点吗？ 答案：不一定，可以是一个也可以是多个。至少有一个！ 由此，我们得到了一种判断方程的解的存在性的方法： 零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解． 问：函数零点存在定理的结论是什么？条件是什么？ 答案：零点存在定理的结论是“在区间内方程至少有一个解”。 两个条件：①在闭区间上的图象是一条连续的曲线②，缺一不可。 思考辨析：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 (1) 函数在区间[a,b]上连续，且满足<0，则函数在区间(a,b)上只有一个零点. 答案：错误，至少有一个。 追问：什么时候函数在区间[a,b]上连续，且满足<0函数在区间(a,b)内有唯一的零点？ 结论：如果函数在闭区间[a,b]上的图象是连续的曲线，并且有 <0,且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的零点。 （2） 函数在区间[a,b]上连续，且有零点，则<0。 答案：错误，满足>0也有零点。 （3） 函数在区间[a,b]上连续，且满足>0，则函数在区间(a,b)上没有零点. 答：错误。函数在区间[a,b]上连续，且满足>0,零点个数可能为0，1，2, ..., n 结论：若函数在闭区间[a，b]上图象连续，则<0是方程=0在区间(a，b)内有解的充分条件而非必要条件． 三、应用举例 例2: 方程在区间内有没有解？为什么？ 解：设函数，在区间上有 ， ． 又因为函数的图象是一条连续的曲线，所以由零点存在定理可知方程在区间内有解，即在区间内有解，故方程在区间内有解． 回归课前：思考：已知函数y=+x−2 （1）是否有零点?（2）零点所在区间？ 答案：（1）有一个零点（2）f(0)=-1<0,f(1)=1>0其区间大致在（0，1）之间 例3. 已知函数 （1）判断零点个数（2）找出其零点所在区间（3）证明上述区间有零点 解:把零点问题转化为两个函数图象交点问题。 分别画出g(x)=3−和的函数图象。观察图象可知，函数f(x)的零点个数为2个，分别为x1∈（−1，0）,x2∈(1,2) 用零点存在定理证明零点所在区间。 总结：判断函数零点个数的三种方法： (1)方程法：若方程的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)定理法：函数的图像在区间上是一条连续不断的曲线，由即可判断函数在区间内至少有一个零点．若函数在区间上是单调函数，则函数在区间内只有一个零点． (3)图象法：由，得，在同一平面直角坐标系内作出和的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数． 5、 课堂小结 两个知识点、三个等价关系、三个解题方法、四种数学思想、三个数学核心素养 六、布置作业 教材第4页习题5-1A组第1，2题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $