5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦“利用函数性质判定方程解的存在性”，核心知识点包括函数零点的概念及零点存在定理。课堂导入通过具体方程（如x²-x-6=0等）引导学生从已知可解方程过渡到难以直接求解的方程，搭建旧知（方程求解）与新知（零点存在性判定）的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于采用“独自走、结伴走、跟着走、往高走”分层活动设计，结合数形结合与函数方程思想。“结伴走”通过小组画图探究零点存在条件，培养推理能力；“跟着走”总结零点存在定理，渗透数学抽象；小结系统梳理知识与思想，助力学生构建体系。学生能提升直观想象与数学思维，教师可借助分层活动提高教学针对性。

北师大版（2019）必修第一册 5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性 授课人： 万安中学 王宇楠 判断下列方程有没有解？若有，求出下列方程的根。 （1）=0 （2）=0 （3）＋－2=0 -2，3 -1，1 ? 独 自 走 零点的定义：使得的数称为方程的解，也称为函数的零点． 的零点函数的图象与x轴的交点横坐标. 零点的概念 问：零点是一个点还是一个数？ 数 追问：在函数零点的定义中，蕴含着哪些等价关系？ 函数y=x2-x-6的零点就是方程x2-x-6=0的实数根 例如： 求函数 的零点. 数 形 理解概念 独 自 走 因此，对于的零点问题即可以转化为求解两个函数与函数图象交点问题 数形结合 例1 求下列函数的零点 方程与函数 图象法 小结：求函数零点的方法 1.求对应方程的根. 2.作出该函数的图象，观察图象与横轴交点的横坐标. 独 自 走 合作探究 已知以下的A，B两点，你能画出哪些可能的函数图象？ 结 伴 走 动手画一画 函数 在区间 的图象是连续曲线. 合作探究 依据小组画出的图象，探究以下的问题： 结 伴 走 探究1 满足f(a) f(b)<0，函数f(x)在(a,b)内一定有零点吗？ 探究2 若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内只有一个零点吗? 至少有一个 y o ( a,f(a) ) b ( b,f(b) ) 归纳定理 跟 着 走 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即有f(a)·f(b)<0，则在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个实数解. 函数零点存在定理 x y O x y O b a a b c c 思考辨析 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0， 则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点. 运用零点存在定理只能判断方程解的存在性，对于解的具体个数，还要结合函数的单调性等性质对函数做进一步研究． 追问：什么时候函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0函数f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点？ 结论：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续的曲线，并且有 f(a)·f(b)<0,且是单调函数，那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的零点。 跟 着 走 理解定理 x y O x y O b a a b c c 思考辨析 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 (2)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有零点，则f(a)·f(b)<0 (3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点. 若函数在闭区间上图象连续，则 方程在区间内有解 即是方程在区间内有解的充分不必要条件． 函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)>0,零点个数可能为0，1，2, ..., n 跟 着 走 理解定理 例 2 方程 在区间 内有没有解？为什么？ 解：设函数 在区间 有 又因为函数 的图象是一条连续的曲线,所以由零点存在性定理可知方程 在区间 内有解,即在区间 内有解，故方程 在区间 内有解. 跟 着 走 学以致用 思考：已知函数（或＋－2=0有无解？） （1）是否有零点? （2）它大概在哪个区间？ 有一个零点 f(0)=-1<0,f(1)=1>0其区间大致在（0，1）之间 学以致用 往 高 走 例3.已知函数 (1)判断零点个数 (2)找出零点所在的大致区间， 并用零点存在定理证明上述 区间有零点 数形结合 两个知识点 三个等价关系 四种数学思想 函数零点的概念 函数零点存在定理 方程的实数解 函数的零点 函数图象与x轴交点的横坐标 数形结合思想 函数与方程的思想 化归与转化的思想 特殊到一般的思想 课堂小结 三个数学核心素养： 三个解题方法 解出来 画出来 证出来 直观想象、数学抽象、数学运算 作业布置 教材第134页习题5-1A组第1、2题 一切问题都可以转化成数学问题， 一切数学问题都可转化成代数问题， 一切代数问题都可以转化成方程问题， ∴一旦解决了方程，所有问题迎刃而解。 ---法国数学家笛卡尔 志在四方 万里鹏程 Lavf57.62.100 [解题通法] 判断函数零点个数的方法 判断函数零点的个数主要有以下几种方法： 法一：直接求出函数的零点进行判断； 法二：结合函数图象进行判断； 法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示． $