2.4二次函数的应用—面积问题和相似三角形综合解答题专题提升训练2025-2026学年北师大版九年级数学下册

2.4二次函数的应用—面积问题和相似三角形 综合解答题专题提升训练 2025-2026学年北师大版九年级数学下册 1．如图，已知抛物线经过点，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)在轴下方的抛物线上，是否存在点，使得？若存在求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 2．如图，二次函数的图象与轴交于点，（在的左侧）．与一次函数的图象交于，两点． (1)求的面积； (2)根据图象，直接写出当时的取值范围． 3．如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)点C为抛物线与y轴的交点，点P在抛物线上，且，求点P的坐标； 4．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值为_____． (3)如图，设点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，求的最大值，并直接写出此时的面积． 5．如图，已知直线分别交轴，轴于，两点，抛物线两点，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合），点是抛物线的顶点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出的面积． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点． (1)求拋物线的解析式； (2)抛物线的顶点为C，求． 7．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求出点的坐标； (3)若点是线段上的一动点（不与，重合），轴，且交抛物线于点，交轴于点，求的面积最大值及此时点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线顶点为，、两点关于抛物线的对称轴对称，直线恰好经过、两点． (1)求抛物线和直线的函数解析式； (2)设点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为． ①用含的代数式表示线段的长，并求线段的最大值； ②当的面积为时，求点的横坐标及的值． 9．如图，对称轴为的抛物线与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为，C为抛物线与y轴的交点． (1)点B的坐标为________． (2)直线过点A、C两点，则当x满足条件________时，． (3)已知． ①设点Q抛物线的顶点，连接，求四边形的面积； ②点P在抛物线上，且，求点P的坐标． 10．如图，抛物线经过点，与轴正半轴交于点，且，抛物线的顶点为，直线经过两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是直线上方的抛物线上的一动点，是否存在点，使的面积最大．若存在，请求出面积的最大值；若不存在，试说明理由； (3)若是抛物线上一点，且，请直接写出点的坐标． 11．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数解析式； (3)若点是抛物线上的一动点且在直线下方，连接，设的面积为，求的最大值，并求出此时点的坐标． 12．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点D为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点D作y轴的平行线，交于点P，小明认为当点D为抛物线顶点时，此时最大，试判断小明的说法是否正确，并说明理由． (3)求三角形面积的最大值． 13．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．抛物线图像如图所示，点，点，抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线解析式； (2)若点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，求面积最大值及此时点的坐标； (3)若点是轴上的动点，点是抛物线上的动点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)， 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法、三角形的面积等知识，解题的关键是熟练求得二次函数解析式． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）设存在点，列出方程求出的值，再利用待定系数法求出点坐标即可 【详解】（1）解：设抛物线方程为将，，三点代入可得： ， 解得， 所以抛物线的解析式为； （2）解：设存在点，由题意可知，以为底，则高为， ， 在中，以为底，则高为， ， 点在轴的下方， ， ， 在抛物线上，所以满足抛物线方程．代入得：， 解得，， 所以点的坐标为：，． 2．(1)； (2)或． 【分析】该题主要考查二次函数与坐标轴交点，待定系数法确定一次函数解析式，结合图象求不等式解集等． （1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定b的值，求两个函数的交点C的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点C的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （2）根据，，结合图象，即可确定x的取值范围． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； ∴， 联立得：， 整理得， 解得：（舍），， 把代入，得， ∴， ∴； （2）解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． 3．(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质． （1）因为抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答； （2）先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标； 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为点坐标为与在抛物线上， 则 解得∶． 所以抛物线的解析式为∶． （2）解：抛物线的解析式为， 抛物线与y轴交点坐标为， ， 设点坐标为， ∵ ， ． 当时，， 当时，． 点的坐标为或， 4．(1) (2) (3)的最大值为，此时的面积为 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出点B坐标，进而求出线段的长；，连接，由抛物线的对称性可得，则可推出当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）求出直线解析式为；设，则，则，据此求出的最大值，再根据求出对应的面积即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线交轴于点和点，交轴于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∴； 如图所示，连接， 由抛物线的对称性可得， ∴的周长， ∴当P、A、C三点共线时有最小值，且最小值为线段，即此时的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴的周长的最小值为； （3）解：设直线解析式为， 则， ∴， ∴直线解析式为； 设，则， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， ∴此时 ． 5．(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式求法、二次函数的图象与性质以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和面积割补法是解题的关键． （1）先求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再将其代入抛物线解析式，通过解方程组求出抛物线的系数，从而得到解析式． （2）先求出抛物线与轴的另一个交点的坐标和顶点的坐标，然后通过割补法（如利用梯形、三角形面积公式）计算出的面积． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 将、代入抛物线得 ， 将代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴． 又， ∴顶点． 过作轴于， ． 6．(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、抛物线的对称性及三角形面积计算；解题的关键是利用抛物线对称轴求出点A坐标，选择合适的解析式形式代入已知点求解，再结合顶点坐标计算三角形面积． （1）根据抛物线对称轴和点，利用对称性求出点A坐标；设抛物线的两点式解析式，代入点求出系数，进而得到解析式． （2）将对称轴代入解析式求出顶点C的纵坐标，确定C点坐标；计算线段AB的长度，以AB为底、C点纵坐标的绝对值为高，用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵ 抛物线对称轴为，与x轴交于、， ∴ 点与关于对称，的横坐标为，即 设抛物线解析式为， ∵ 抛物线过， ∴ 代入得， 即，解得． ∴ 抛物线解析式为． （2）解：∵ 顶点在对称轴上， ∴ 代入解析式得，即． ∵ ，， ∴ ，的高为点纵坐标的绝对值， ∴ ． 7．(1)抛物线解析式为 (2) (3)的面积最大值为， 【分析】此题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识． （1）根据待定系数法即可求解； （2）先确定直线与抛物线对称轴的交点即为D，求出直线解析式为，进而求出结论； （3）设，则可表示出与，根据题意，列式求解得，则可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵D是抛物线的对称轴上一点， ∴， ∴的最小值即为的最小值， ∴直线与抛物线对称轴的交点即为D，如下图： ∵抛物线解析式为的对称轴为直线， 令，则， ∴， ∵， 设所在的直线函数解析式为，把点和点代入解析式， 得：， 解得：， ∴直线解析式为， 把代入得：， ∴； （3）解：设， 又∵点和点， ∴， 由题意得： ， ， 当时，有最大值为， 当时，， ． 8．(1)， (2)①，的最大值为；② 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图像及性质，一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据抛物线过点，，运用待定系数法即可求出抛物线解析式．令，得到抛物线与y轴的交点D的坐标为，根据点C与点关于对称轴对称得到点C坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式； （2）①用x分别表示点P、H的坐标，用点P的纵坐标减去点H的纵坐标即可得到的长，再根据二次函数是性质即可解答； ②根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． ∵当时，， ∴抛物线与y轴的交点D的坐标为， ∵抛物线的对称轴为， 点C与点关于对称轴对称， ∴， 设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：①∵点的横坐标为x，点P在抛物线上，轴，点H在直线上， ∴，，其中， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为． ②∵轴， ∴， ∴当的面积为时，， 解得， ∴点P的横坐标为． 9．(1) (2)或 (3)①9；②或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）对称性求出点坐标即可； （2）直接利用图象法进行求解即可； （3）①求出点坐标，分割法求出四边形的面积即可；②根据，列出方程求出点的横坐标，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于A、B两点， ∴A、B两点关于对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线，点A的坐标为， ∴点坐标为， 故答案为：； （2）由图象可知，当或时，； 故答案为：或； （3）①∵，点A的坐标为，点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，，当时，， ∴， 设对称轴与轴的交点为，连接， 则， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ 当时，；当时，， 故或． 10．(1) (2)存在点，使的面积最大，面积的最大值为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，等角对等边，两点距离计算公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据点A的坐标可得的长，则可得到的长，进而得到点C的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）可求出直线的解析式为；过点P作交于E，设，则，可求出，，据此求解即可； （3）分点M在点B上方和点M在点B下方两种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点C在y轴的正半轴， ∴； ∵抛物线经过点，与轴正半轴交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； 如图所示，过点P作交于E，设，则， ∴； ∵ ， ∵， ∴当，即时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：如图所示，当点M在B上方时， ∵， ∴，即轴， ∴点M的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在点B下方时，设直线交x轴于F， 设， ∵， ∴，即， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 11．(1) (2) (3)的最大值为4， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，与面积的综合问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴的另一个交点B，再由待定系数法求解； （3）过点作轴交于点，设，则，则，由建立起二次函数关系式，再由二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点 ∴，解得， ∴函数表达式为； （2）解：对于，当时，则， 解得或 ∴, 设直线， 则，解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：过点作轴交于点， 设，则， ∴ ∵ ∴ ， ∵， ∵， ∴当时，取得最大值为4， 此时． 12．(1) (2)不正确，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数表达式，二次函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）根据求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴抛物线解析式可设为， 即， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：小明的说法不正确． 理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，分别代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴当，最大， 而抛物线的顶点坐标为， ∴小明的说法不正确． （3）解：由（2）知， ∴ ， ∴当，最大，最大值为． 13．(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 14．(1)； (2)面积最大值，； (3)存在，，，，． 【分析】设抛物线的解析式为，根据抛物线的对称轴为直线，可得：，则抛物线的解析式为，把点和点的坐标代入解析式，利用待定系数法求二次函数的解析式即可； 过点作轴于点，交于点，用待定系数法求出直线的解析式：，设，，则，则，利用二次函数的图象与性质可得：点的坐标是时的面积最大，最大值是； 设点的坐标是，点的坐标是，根据平行四边形的对角线互相平分，可分三种情况求解，当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时；当为平行四边形的对角线时． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， ， 抛物线的解析式是； （2）解：如下图所示，过点作轴于点，交于点， 当时， 可得：，， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式：， 设，， 则， ， 当时，的面积有最大值， 当时，， 点的坐标是； （3）解： 设点的坐标是，点的坐标是， 当为平行四边形的对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， ，， 整理可得： ， 得，(不符合题意，舍去)， 点的坐标是； 当为平行四边形的对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 可得： ， 解得：或， 点的坐标是或； 当为平行四边形的对角线时， 平行四边形的对角线互相平分， 可得： ， 解得：或， 点的坐标为； 综上所述，点的坐标为：或或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $