第2章对称图形-圆过关练习卷-2025-2026学年苏科版数学九年级上册

第2章对称图形-圆过关练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版 一、单选题 1．下列命题正确的是（   ） A．平分弦的直线必垂直于弦 B．平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧 C．平分弦的直线必平分弦所对的两条弧 D．垂直于弦的直线平分弦 2．已知⊙O的半径为，为平面内一点，若，，则点A与⊙O的位置关系是（   ） A．点A在内 B．点A在外 C．点A在上 D．不能确定 3．如图，已知A，B，C，D是上依逆时针顺序排列的四个点，且满足，设弦，，若的半径为10，则在，值的变化过程中，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 4．在半径为的中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在的内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，C，D，E是上三点，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，为原点，已知点，，的半径为5，是上的动点，是的中点，则长的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．如图，内接于，于，交于，为的中点，交于，的直径为．下列结论：；的值为定值；；，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 10．当宽为的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数是2和8，则该圆的半径为 ． 11．已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4，它的内切圆半径为 12．如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为 ． 13．如图，中，，是内部的一个动点，且满足，则线段的最小值为 ． 14．如图，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦所在直线的距离是 ． 15．如图，已知的内接为等边三角形，，点为的中点，则阴影部分的面积为 ． 16．如图，四边形内接于，延长交于点，连接，若，，则的大小为 17．如图，已知中，，，，，点在射线上运动，连接，过点，，三点的圆交于点，则的最小值 ． 三、解答题 18．如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 19．如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， (1)求证：． (2)若的半径为，，求四边形的面积． 20．如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点．求证：是的切线． 21．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心为圆心的圆，已知圆心始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． (1)求该圆的半径； (2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 22．如图，A，B，C，D在上，，经过圆心O的线段于点F，与交于点E． (1)如图1，当半径为5，，若，求弦的长； (2)如图2，当半径为，，若，求弦的长． 23．如图1，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)若，，求的长； (2)如图2，在中，，D为外一点，且，线段之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论： (3)如图3，已知是的直径，点C，D是上的点，且，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第2章对称图形-圆过关练习卷-2025-2026学年数学九年级上册苏科版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B C C C D C C D 1．B 【分析】本题考查垂径定理及其推论． 根据垂径定理，平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧． 【详解】A． 平分弦的直线不一定垂直于弦，原命题错误； B． 平分弦（不是直径）的直径必平分弦所对的两条弧，原命题正确； C． 平分弦的直线不一定平分弦所对的两条弧，原命题错误； D． 垂直于弦的直线不一定平分弦，原命题错误； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．若圆半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：，即点到圆心的距离大于圆的半径， 点在外． 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识点理解圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理是解题的关键． 如图：过点A作直径，过点B作的直径，连接、，依题意得，则，由此可依据“”判定和全等，则，然后在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点A作直径，过点B作的直径，连接、， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径，的半径是10， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：，即． ∴在x，y值的变化过程中，代数式的值不变． 故选：C． 4．C 【分析】本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．直接使用弧长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，半径为的中，的圆心角所对的弧长为 ：． 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理．由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握直角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等． 连接，由圆周角定理得到，再由圆周角定理得到，以及，然后直角三角形锐角互余求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了点与圆的最值问题、中位线定理以及勾股定理，是一道有关圆的动点问题，确定点的运动轨迹是解题的关键．连接，，取的中点，连接，，构造的中位线，再利用中位线定理和勾股定理确定点的运动轨迹为圆，最后根据点圆距离的最值知识，得到的最大值和最小值，从而得到长的取值范围． 【详解】解：如图，连接，，取的中点，连接，， ，， ，， ， ， ， 的半径为5， ， ,分别为，的中点，， 为的中位线， ， 点的运动轨迹为以点为圆心，以为半径的圆， ， ， 的取值范围为． 故选C． 9．D 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质等知识，先利用为的斜边上的中线得到，则，再根据对顶角相等得，根据圆周角相等得，于是有，则可对进行判断；作于，连接，利用等腰三角形的性质和圆周角定理可得，，由于，则，然后根据等角的余角相等得到，于是可根据“”证明，得到，再根据垂径定理由得到，所以，则可对进行判断；在中，利用勾股定理得，加上，，则，于是可对进行判断；利用和三角形面积公式可对进行判断，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点，即为的斜边上的中线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故正确； 作于，连接，如图， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 在中，∵，，， ∴， ∵为圆的半径，为定值， ∴的值为定值，故正确； ∵， ∴，故正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 10． 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，首先连接，交于点D，连接，由切线的性质与垂径定理可求得的长，然后设该圆的半径为，由勾股定理即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：如图，设与刻度尺的下边缘相切于点C，连接，交于点D，连接， 则与刻度尺下边缘垂直， ∵刻度尺上下边缘平行， ∴， ∴， 设， 刻度尺的宽为， 即 则， 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 11．1 【分析】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，正方形的性质与判定，由勾股定理可得，证明四边形是正方形，设，则，由切线长定理可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在中，，是的内切圆，且与分别切于点D，点E，点F， 由勾股定理得； 由切线的性质可得， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴矩形是正方形， ∴， 设，则， 由切线长定理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该圆的内切圆半径为1， 故答案为：1． 12． 【分析】此题考查了圆内接四边形．利用圆内接四边形的对角和为求解即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 13．2 【分析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据，得到点P在以为直径的圆上，以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒根据勾股定理求出，即可求出有最小值为2﹒ 【详解】解：如图，∵是内部的一个动点，且满足， ∴点P在以为直径的圆上， 以为直径作圆O，连接交圆O于点P，此时有最小值﹒ ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴﹒ 故答案为：2 14．米 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 如图：连接交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得，然后求出的长即可． 【详解】解：如图：连接交于D， 由题意得：（米），， ∴（米），， 在中，（米）， 米，即点C到弦所在直线的距离是米． 故答案为米． 15． 【分析】过点作于点，连接，先求出，再证出，根据全等三角形的性质可得，则可得阴影部分的面积等于，利用扇形的面积公式计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ∵为等边三角形，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、等边三角形的性质、扇形的面积公式等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键． 16． 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查三角形的外接圆、圆周角定理、勾股定理、定弦对定角模型等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．要想求最小值，则需知道点的轨迹，由题易得，根据定弦对定角模型，可知点在以为弦的圆上运动，且，三点共线取最小值，进而求解即可． 【详解】解∶连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为弦的圆上运动， 当、、三点共线时，即运动到位置时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即最小值为， 故答案为∶． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 19．(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意得，由圆周角定理得；根据平行线性质得，可得 （2）连结，求得，设，则，由勾股定理得，求出，可得，最后根据四边形的面积的面积的面积解答即可． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∴，又， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∵，，， ∴，， ∴四边形的面积的面积的面积=． 20．见解析 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，添加辅助线是解题的关键．要证明是的切线，所以连接，求出即可，根据已知，可得，所以只要证明即可解答． 【详解】证明：连接， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线． 21．(1)该圆的半径为5米 (2)水面下盛水筒的最大深度为2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，求圆的半径． （1）作于点，交圆于点，设圆的半径为米，根据勾股定理求解即可； （2）当米时，米，根据勾股定理求出米，即可求出最大深度． 【详解】（1）解：如图，作于点，交圆于点， 则米，米， 设圆的半径为米， 在中，， ， 解得， 该圆的半径为5米； （2）解：如图，当米时，米， 在中，， ， 米， （米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 22．(1)8 (2) 【分析】（1）连接，根据垂径定理求出，根据勾股定理得，设，根据勾股定理得方程，解方程即可求出； （2）如图2中，作于H．先证明是等腰直角三角形，得到．再证明四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，即可求出． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ∵过圆心O的线段于点F，， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理得， 设，则， ∵经过圆心O的线段 ∴， 在中，根据勾股定理得， ∴（不合题意，舍去）， ∴； （2）解：如图2中，作于H． ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵． ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质等，熟知各知识点，根据题意添加适当辅助线是解题关键． 23．(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质得到条件证明，则，，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案； （2）将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，同（1）的方法得，，则，求出，证明，进一步根据勾股定理即可得到答案； （3）过点作交的延长线于，证明，根据勾股定理得，连接，证明，得到，则，证明，得到，则，根据勾股定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：由旋转知，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图2，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接， 同（1）的方法得，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得，， 即； （3）解：如图3，过点作交的延长线于， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据勾股定理得，， 连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 则， ∴， 【点睛】此题考查了旋转的性质、圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线和正确推理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $