专题3.1生活中的立体图形（知识点总结+10大题型举一反三+练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版数学七年级上册

3.1生活中的立体图形 【题型1】生活实物“变身”记——立体图形抽象识别 1.核心知识点总结 立体图形定义：各部分不都在同一平面内的几何图形，包括柱体、锥体、球体三类。 常见实物对应关系：不锈钢漏斗→圆锥、易拉罐→圆柱、魔方→正方体、篮球→球。 2.高频考点梳理 从日常物品（如快递盒、台灯罩、金字塔模型）中抽象出对应立体图形。 选择题形式考查“某实物类似于哪种立体图形”。 3.易错点警示 混淆圆锥与圆柱：忽略圆锥“一个顶点+曲面侧面”的特征，误将漏斗归为圆柱。 误将棱柱归为圆柱：未注意棱柱底面是多边形、侧面是平面，圆柱底面是圆、侧面是曲面。 4.解题技巧拆解 第一步：观察实物的底面形状（圆/多边形），区分柱体/锥体的底面类型。 第二步：判断侧面类型（曲面/平面），确定具体几何体。 第三步：结合顶点数量（圆柱无顶点、圆锥1个顶点、棱柱有多个顶点）验证。 【例题1】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：、可以抽象为圆柱，故本选项不符合题意； 、可以抽象为圆锥，故本选项不符合题意； 、可以抽象为棱柱，故本选项符合题意； 、可以抽象为棱锥，故本选项不符合题意； 故选：． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）下列物体中，可以抽象成圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据每一个几何体的特征判断即可． 【详解】解：A、可抽象成球体，故不符合题意； B、可抽象成圆柱，故符合题意； C、可抽象成圆台，故不符合题意； D、可抽象成圆锥，故不符合题意； 故选：B． 【变式题1-2】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列不可以抽象为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：A．可以抽象为四棱柱，故该选项不符合题意， B．可以抽象为三棱锥，不是棱柱，故该选项符合题意， C．可以抽象为三棱柱，故该选项不符合题意， D．可以抽象为六棱柱，故该选项不符合题意， 故选：B． 【变式题1-3】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图的不锈钢漏斗的形状类似于（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【答案】D 【分析】本题主要考查了认识立体图形，关键是结合实物，认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等．根据图形直接得到答案． 【详解】解：如图的不锈钢漏斗的形状类似于圆锥． 故选：D． 【题型2】“分类达人”挑战——立体图形多维度归类 1.核心知识点总结 分类标准1：按类型分（柱体→圆柱+棱柱；锥体→圆锥+棱锥；球体）。 分类标准2：按面的类型分（有曲面→圆柱、圆锥、球；无曲面→棱柱、棱锥）。 分类标准3：按是否为多面体分（多面体→棱柱、棱锥；非多面体→圆柱、圆锥、球）。 2.高频考点梳理 给出3-5个几何体，要求按指定标准分类（如“按柱锥球划分”“按有无曲面划分”）。 开放题形式考查“自定义标准分类并说明理由”。 3.易错点警示 分类标准不统一：如同时按“类型”和“面的类型”分类，导致归类混乱。 遗漏几何体：分类时忽略球体或某类柱体/锥体。 4.解题技巧拆解 第一步：明确分类标准，优先选择题目指定标准（无指定时选最直观的“类型标准”）。 第二步：逐个分析几何体特征，对号入座，用“标记法”避免遗漏。 第三步：检查分类结果，确保同一类别下的几何体符合标准，不同类别无交叉。 【例题2】．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查曲面和平面的定义，熟练掌握并区分平面和曲面是解决本题的关键． 利用曲面和平面的定义区分即可． 【详解】解：球的表面是曲面，圆柱的侧面是曲面， 三棱柱由两个三角形和三个矩形组成，都是平面图形， 六棱柱由两个六边形和六个矩形组成，都是平面图形． ∴含有曲面的有2个． 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下列几何体中，柱体是 ，含曲面的有 无顶点的有 （填序号） 【答案】 ①③④⑤⑥⑧ ①②⑦ ①⑦ 【分析】本题考查对常见立体图形的识别及其基本特征的理解，熟知立体图形的特征是解题关键．根据立体图形的特征即可得到答案． 【详解】解：下列几何体中，柱体是①③④⑤⑥⑧，含曲面的有①②⑦，无顶点的有①⑦． 故答案为：①③④⑤⑥⑧；①②⑦；①⑦． 【变式题2-2】．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段练习）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【答案】(1)平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨ (2)柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥ (3)③⑨ 【分析】本题主要考查点、线、面、体的基本知识，可以根据平面图形、立体图形进行解答， （1）根据平面图形与立体图形的定义解答即可； （2）根据柱体、锥体、球的定义进行解答即可； （3） 结合立体图形的面的定义，即可解决． 【详解】（1）解：平面图形：②④⑦⑧，立体图形：①③⑤⑥⑨； （2）解：柱体：①③⑤；锥体：⑨；球体：⑥； （3）解：各面既有平面又有曲面的立体图形：③⑨． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】(1)①②④⑤⑥， ⑦， ③ (2)图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 【分析】此题主要考查了简单几何体，熟练掌握柱体、锥体、球体的概念是解决问题的关键． （1）根据柱体、锥体、球体划分即可； （2）根据棱柱和圆柱的特点可得出答案． 【详解】（1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类：①②④⑤⑥是柱体；⑦是锥体；③是球体． （2）解：图②和图⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）． 【题型3】“几何计数”入门——棱柱/棱锥的元素数量计算 1.核心知识点总结 棱柱特征：底面是边形，面数，棱数，顶点数。 棱锥特征：底面是边形，面数，棱数，顶点数。 特殊案例：正方体是四棱柱(面数6、棱数12、顶点数8)，三棱锥(面数4、棱数6、顶点数4)。 2.高频考点梳理 直接考查：“九棱柱有几个面/棱/顶点”“五棱锥有几条侧棱”。 逆向考查：“一个棱柱有18条棱，它是几棱柱”。 3.易错点警示 混淆棱柱与棱锥公式：误将棱柱棱数记为，棱锥棱数记为。 漏算底棱/侧棱：计算棱柱棱数时只算侧棱(条)，忽略上下底棱(各条)。 4.解题技巧拆解 第一步：先判断几何体是棱柱还是棱锥(看侧面是平行四边形还是三角形)。 第二步：代入对应公式，棱柱用“面、棱、顶点”，棱锥用“面、棱、顶点”。 第三步：验证结果，如棱柱棱数=侧棱数底棱数，确保计算无误。 【例题3】．（25-26七年级上·广东清远·期中）一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为（    ） A．16条 B．24条 C．12条 D．10条 【答案】C 【分析】本题考查棱柱，根据棱柱的性质，顶点数等于（n为底面边数），由此求出，再计算棱的条数为． 【详解】解：∵顶点数， ∴． ∵棱的条数， ∴棱数为． 故选：C． 【变式题3-1】．（25-26七年级上·甘肃白银·期中）一个三棱柱，面数是m，棱数是n，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查棱柱，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．三棱柱有5个面和9条棱，代入表达式计算即可． 【详解】解：∵ 三棱柱的面数，棱数， ∴． 故选：C． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）已知一个棱柱有36条棱，则这个n棱柱有（    ）个面， A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】根据棱柱的性质，n棱柱的棱数为，已知棱数为36，可求出n，再根据面数公式计算面数． 【详解】解：∵n棱柱的棱数为， ∴，解得． 又∵n棱柱的面数为， ∴面数． 因此，这个棱柱有14个面． 故选：D． 【变式题3-3】．（25-26七年级上·广东深圳·月考）一个正n棱柱有8个面，这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．七棱柱 【答案】C 【分析】本题考查了棱柱的特征，根据棱柱的特征即可得出答案，掌握棱柱的特征是解题的关键． 【详解】解：∵一个正n棱柱有8个面， ∴， ∴， ∵这个几何体是六棱柱， 故选：C． 【题型4】“平面vs曲面”辨析——多面体判断 1.核心知识点总结 多面体定义：由全部平面围成的立体图形，无任何曲面。 常见多面体：棱柱、棱锥(如正方体、长方体、三棱锥)。 非多面体：圆柱(1个曲面)、圆锥(1个曲面)、球(1个曲面)。 2.高频考点梳理 选择题形式考查“下列图形中是多面体的是”，给出圆柱、正方体、圆锥、球的选项。 结合面的数量判断多面体类型(如“六面体”包括长方体、五棱锥)。 3.易错点警示 误将“有平面+曲面”的几何体归为多面体：如认为圆柱有两个平面底面，属于多面体。 忽略“全部平面”条件：将侧面是曲面的棱台误判为多面体。 4.解题技巧拆解 第一步：逐个分析几何体的面，标记“平面”或“曲面”。 第二步：判断是否所有面都是平面，只要有1个曲面就不是多面体。 第三步：若为多面体，可根据面数命名(如4个面→四面体，6个面→六面体)。 【例题4】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列立体图形是多面体的是（   ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．五棱锥 【答案】D 【分析】本题考查了多面体的定义，根据多面体是指四个或四个以上多边形所围城的立体图形，逐项分析即可得解． 【详解】解：球是由曲面构成的，圆柱和圆锥的侧面都是曲面，只有五棱锥的每一个面都是平的，故五棱锥是多面体， 故选：D． 【变式题4-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列立体图形不属于多面体的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多面体．解题的关键在于熟练掌握：多面体是由四个或四个以上平面多边形所围成的几何体．根据多面体的定义即可求解。 【详解】解：A、C、D中的立体图形的每个面都是平面，是多面体，B中的立体图形有一个曲面，不是多面体． 故选：B． 【变式题4-2】．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列几何体中，不属于多面体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多面体的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，圆柱不是多面体， 故选：B． 【点睛】本题考查了多面体．解题的关键在于熟练掌握：多面体是由四个或四个以上多边形所围成的几何体． 16．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【答案】D 【分析】本题考查了立体几何图形的定义，旋转体的定义，理解棱柱、圆柱、圆锥、棱锥、旋转体的定义是解题的关键． 【详解】解：①长方体是四棱柱，四棱柱不一定是长方体，故此项错误； ②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体，此项正确； ③棱锥底面边数与侧棱数相等，此项正确； ④直角三角形绕斜边旋转一周得到的立体图形是两个圆锥的组合体，故此项错误； ⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形，此项正确； ⑥圆锥和圆柱的底面都是圆，此项正确； ⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，是旋转体，一定不是多面体，此项正确； ⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体，此项正确； 故选：D． 【题型5】“旋转魔法”——平面图形旋转成立体图形 1.核心知识点总结 旋转规律：“点动成线、线动成面、面动成体”。 常见旋转组合： 长方形绕一边旋转→圆柱； 直角三角形绕直角边旋转→圆锥； 半圆绕直径旋转→球； 直角梯形绕垂直腰旋转→圆台。 2.高频考点梳理 给出平面图形(如直角三角形、长方形、半圆)，判断绕指定直线旋转后的立体图形。 逆向考查：“某立体图形(如圆柱)可由哪个平面图形旋转得到”。 3.易错点警示 选错旋转轴：直角三角形绕斜边旋转，误判为圆锥(实际是两个同底圆锥组合体)。 混淆平面图形：将长方形绕对角线旋转，误判为圆柱(实际是不规则立体图形)。 4.解题技巧拆解 第一步：确定旋转轴(题目指定或隐含，如“绕长边所在直线”)。 第二步：分析平面图形各边与旋转轴的关系(平行/垂直/相交)。 第三步：根据关系判断立体图形，平行边旋转成圆柱侧面，垂直边旋转成底面圆，斜边旋转成圆锥侧面。 【例题5】．（25-26七年级上·江西吉安·月考）如图所示：将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了面动成体，根据平面为圆的绕轴旋转一周即可得出半个球面回答即可． 【详解】解：将平面图形绕轴旋转一周，可得出半个球面， 故选C 【变式题5-1】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）将一个长方形绕它的长所在的直线旋转一周，可以得到一个 （立体图形）． 【答案】圆柱 【分析】本题考查了圆柱的概念和面动成体，属于应知应会题型，熟练掌握基础知识是解题关键． 根据面动成体的原理，长方形绕其一边旋转一周可形成圆柱体，本题中旋转轴为长方形的长，因此长成为圆柱的高，宽成为圆柱的底面半径． 【详解】将一个长方形绕其长所在的直线旋转一周，旋转轴为长方形的长，旋转过程中长方形的宽形成圆柱的底面半径，长形成圆柱的高，因此得到的立体图形是圆柱． 故答案为：圆柱． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的几何体是 ． 【答案】圆锥 【分析】本题考查点、线、面、体的知识，运用空间想象思想，根据 “面动成体” 原理，关键是明确直角三角形绕直角边旋转的方式，易错点是对旋转形成的空间图形想象错误；依据直角三角形绕直角边旋转的规则，判断形成的几何体形状． 【详解】解：该图形是直角三角形绕其一条直角边（虚线）旋转一周，根据 “面动成体” 的原理，得到的几何体是圆锥． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）将下列平面图形绕直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形两端大小是相同的，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形上端大，下端小，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 【题型6】“棱长与面积”计算——棱柱的棱长和与侧面积(提升) 1.核心知识点总结 棱柱棱长和公式：棱柱棱长和底面周长侧棱长(底面为边形，侧棱长即高)。 直棱柱侧面积公式：侧面积底面周长侧棱长(侧面是长方形，长=底面边长，宽=侧棱长)。 特殊案例：正方体棱长和(为棱长)，侧面积。 2.高频考点梳理 已知正六棱柱底面边长和高，求棱长和与侧面积。 结合绝对值、平方数非负性求边长(如，得、)，再计算棱长和。 3.易错点警示 计算棱长和时漏算底面边长：只算侧棱长，忽略上下两个底面的边长。 侧面积公式误用：将正棱柱侧面积算成“底面面积×高”，混淆侧面积与体积公式。 4.解题技巧拆解 第一步：明确棱柱类型(正棱柱底面是正多边形，各边长相等)。 第二步：计算棱长和：先求底面周长(边长)，再算底面周长侧棱长。 第三步：计算侧面积：底面周长侧棱长(正棱柱侧面是个全等长方形，总面积长宽底面周长侧棱长)。 【例题6】．（25-26七年级上·甘肃白银·阶段练习）一个直六棱柱，侧棱长为，底面各边长均为，则它的棱长之和是 ． 【答案】84 【分析】本题主要考查了求六棱柱的棱长之和，六棱柱侧面有6条侧棱，上下底面各有6条棱，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴它的棱长之和是， 故答案为：84． 【变式题6-1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【答案】A 【分析】本题主要考查立体图形的认识，根据棱柱的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A、斜棱柱的侧面是平行四边形，不一定是长方形，故原说法错误，符合题意； B、正方体所有棱长都相等，原说法正确，不符合题意； C、棱柱的侧面可能是平行四边形，原说法正确，不符合题意； D、棱柱的上、下底面形状相同，原说法正确，不符合题意． 故选：A． 【变式题6-2】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 【答案】 140 91 【分析】本题考查了棱柱侧面积计算，熟练掌握几何体表面积计算是解题关键．七棱柱有7个面为侧面，然后按照棱柱的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵该棱柱是直七棱柱， ∴这个棱柱的所有侧面面积之和为：， 所有棱长和为， 故答案为：140，91． 【变式题6-3】．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）如图是一个直七棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是．观察这个棱柱，请回答下列问题： (1)这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状相同、面积相等？侧面的面积是多少？由此你可以猜想得出n棱柱有多少个面吗？ (2)这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)这个七棱柱一共有多少个顶点？ 【答案】(1)七棱柱共有9个面；上、下两个底面是七边形，侧面是长方形；上、下两个底面的形状相同，面积相等，7个侧面的形状相同，面积相等；侧面的面积等于；n棱柱有个面 (2)七棱柱有21条棱，它们的侧棱长都是，其余棱长都是 (3)一共有14个顶点 【分析】本题考查了认识直七棱柱，求解本题的关键是熟悉直七棱柱上下两个底面是七边形，侧面是七个矩形，我们可知得出直n棱柱上下两个底面是n边形，侧面是n个矩形， （1）根据直七棱柱的定义以及图形即可求出前三问，根据侧面特征计算出侧面积，根据七棱柱特征猜想n棱柱面数即可； （2）观察七棱柱图可知上下底面各有七条棱，侧棱有七条，进而可求出总棱数及其长度； （3）观察七棱柱可知上下底面各有七个顶点，进而可的总顶点数． 【详解】（1）解：这个七棱柱共有9个面，上、下两个底面是七边形，侧面是长方形， 上、下两个底面的形状相同，面积相等，7个侧面的形状相同，面积相等； 侧面的面积等于， 通过上面的分析可知，n棱柱有个面； （2）解：这个七棱柱有21条棱，它们的侧棱长都是，其余棱长都是． （3）解：这个七棱柱一共有14个顶点． 【题型7】“点线面”的联系——立体图形构成元素分析(提升) 1.核心知识点总结 构成元素：图形由点、线、面组成(点无大小，线无粗细，面无厚薄)。 关系：点动成线，线动成面，面动成体；面与面相交得线，线与线相交得点。 2.高频考点梳理 填空题考查“面与面相交成____，线与线相交成____”。 结合生活情境考查(如“笔尖在纸上滑动形成线”对应“点动成线”)。 3.易错点警示 混淆元素关系：误将“面动成体”记为“线动成体”，“线与线相交得面”记为“面与面相交得点”。 忽略“相交”条件：认为“线与线一定相交得点”，未考虑平行线不相交。 4.解题技巧拆解 第一步：牢记“点→线→面→体”的递进关系，及反向的“体→面→线→点”。 第二步：结合实例理解，如“汽车雨刷滑动形成面”对应“线动成面”，“旋转门旋转形成体”对应“面动成体”。 第三步：判断题可采用“反例法”，如判断“线与线相交得点”时，举“平行线”反例。 【例题7】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）把一枚硬币竖立在桌面上并用力一转，它形成的是一个球体，这种生活现象可以反映的数学原理是 ． 【答案】面动成体 【分析】此题主要考查了面与体的关系，关键把握点动成线，线动成面，面动成体． 根据面动成体的原理在现实中的具体表现即可求解． 【详解】解：把一枚硬币竖立在桌面上并用力一转，它形成的是一个球体，从运动的观点可知，这种现象说明面动成体． 故答案为：面动成体． 【变式题7-1】．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明 ．    【答案】面动成体 【分析】本题考查了点、线、面、体，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明面动成体． 【详解】解：直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明面动成体， 故答案为：面动成体 【变式题7-2】．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【答案】C 【分析】本题主要考查了面与体的关系，正确理解面与体的关系是解题的关键．根据面动成体的原理以及空间想象力可直接选出答案． 【详解】解：A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意； B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体，本选项正确，不符合题意； C．将直角三角形沿直角边旋转一周一定会得到一个圆锥，故本选项不正确，符合题意； D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱，本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式题7-3】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【答案】(1)圆锥；圆柱；面动成体 (2)小红的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了圆柱和圆锥的体积计算，面动成体： （1）由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体； （2）根据圆柱和圆锥的体积计算公式分别计算出甲、乙两个立体图形的体积即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，小红得到的立体图形可以看成是由圆锥和圆柱构成的，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆锥；圆柱；面动成体； （2）解：小红的说法正确，理由如下： 甲的体积为， 乙的体积为， ∴甲、乙两个立体图形的体积不相等， ∴小红的说法正确． 【题型8】“欧拉公式”应用——多面体元素数量关系(培优) 1.核心知识点总结 欧拉公式：对于简单多面体，顶点数面数棱数。 适用范围：所有凸多面体(如棱柱、棱锥、正多面体)，非多面体(圆柱、球)不适用。 2.高频考点梳理 已知多面体的两个元素数量(如面数，棱数)，求第三个元素(顶点数)。 结合方程考查(如“面数比顶点数大8，棱数=30，求面数”)。 3.易错点警示 公式记忆错误：误记为或。 应用范围混淆：将欧拉公式用于圆柱、圆锥等非多面体，导致计算错误。 4.解题技巧拆解 第一步：判断几何体是否为多面体(全平面围成)，确认欧拉公式适用。 第二步：明确已知量(中的两个)，设未知量为。 第三步：代入欧拉公式，解方程求未知量。 第四步：验证结果，结合棱柱/棱锥公式交叉核对(如棱柱、、，代入公式满足)。 【例题8】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）（1）观察下列几何体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 15 面数c 5 6 8 （2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； （3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面． 【答案】（1）8，18，7；（2）；（3）12 【分析】此题主要考查了图形规律题，几何体的点、线、面，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律得到是解题关键． （1）结合棱柱的特点，即可填表； （2）利用表格，得到规律即可得出，，之间的关系； （3）根据（2）中规律，列方程，即可解答． 【详解】解：（1）根据图形可得 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 8 10 12 棱数b 9 12 15 18 面数c 5 6 7 8 故答案为：8，18，7； （2）分别可得， ， ， ， 所以可得； （3）设这个几何体有个面，则这个几何体的顶点数为， 根据（2）中规律可得， 解得， 故答案为：． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段练习）（认识概念）简单的凸多面体是指由若干个平面多边形围成，这些多边形称为面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为顶点． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在关系，后人把三者关系等式称为欧拉公式． 结合你的知识积累，直接回答下列问题： 三棱锥的，，__（直接填出数据） 八面体的，，___（直接填出数据） （总结与应用） （1）欧拉公式：__________________．（用字母表示即可） （2）一个正二十面体有30条棱，直接回答它的顶点数是______． （深度探究） 下图是一个凸多面体，此多面体是由若干个黑色的正五边形和白色的正六边形围成的（它像不像一个足球，你会相信这是老师画出来的吗？）． 直接回答下列问题： 设黑色的正五边形有x块．则 （3）正六边形有______块（用含x的式子直接回答） （4）此凸多面体的棱数为______条．（用含x的式子直接回答） 【答案】[认识概念] ，，；，，；[总结与应用]（1）；（2） ；[深度探究]（3）（4） 【分析】本题考是一个找规律的题目，考查了欧拉公式，列代数式．由特殊到一般的思想在数学教学中常用到． [认识概念] 三棱锥（四面体）的顶点数，面数（个三角形面），棱数；正八面体由个等边三角形面组成，顶点数（每个顶点连接条棱），面数，棱数； [总结与应用] （1）根据前面的规律总结欧拉公式； （2）根据欧拉公式，即可求解； [深度探究]（3）设黑色的正五边形有x块，则正五边形的边数为，根据正六边形的边数的一半是正五边形的边，即可求解； （4）根据（3）可得此凸多面体的棱数为正六边形和正五边形的边数和的一半，即可求解． 【详解】[认识概念]解：三棱锥的，， 八面体的，， [总结与应用] （1）欧拉公式： （2）一个正二十面体有30条棱，则，， ∴ ∴， 故答案为：． [深度探究]（3）解：设黑色的正五边形有x块，则正五边形的边数为 正六边形的边数的一半是正五边形的边，即正六边形的总边数为 ∴正六边形有块， 故答案为：． （4）依题意，此凸多面体的棱数为， 故答案为：． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）问题背景： 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 —— 30 操作探究： 通过数上面图形中每个多面体的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)，填写表格中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉(L． Euler，1707-1783)证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (1)已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，求这个多面体的顶点数； (2)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数． 【答案】填空见解析；（1）顶点数12；（2）面数为6 【分析】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键． 操作探究：通过观察题目给的图形填空，然后得到数量关系； （1）设顶点数为V，则面数为，进而列出方程解方程即可； （2）由（1）得出的规律进行解答即可． 【详解】操作探究： 填表如下： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 六面体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是， 故答案为：； 操作探究： （1）解：设顶点数为V，面数， ∴， 解得． 故顶点数为12． （2）解：由题意得：棱的总条数为（条）， 由可得, 解得：， 故该多面体的面数为6． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 【答案】(1)表格见解析， (2)这个多面体的面数为14 【分析】本题是对欧拉公式的考查，观察图形准确数出各图形的顶点数、面数、棱数是解题的关键． （1）中根据图形数出顶点数，面数，棱数，填入表格即可；根据表格数据，由顶点数与面数的和减去棱数等于2进行解答； （2）中把顶点与棱数代入上步所得公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：所填数据如表所示： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 12 八面体 6 8 12 十二面体 20 12 30 二十面体 12 20 30 ， ， ； （2）解：由，得， 这个多面体的面数为14． 【题型9】“旋转体积”计算——平面图形旋转后的体积(培优) 1.核心知识点总结 旋转体积公式： 圆柱体积(为底面半径，为高)； 圆锥体积； 组合旋转体体积=各部分体积和/差。 常见旋转场景：长方形绕长/宽旋转(圆柱)、直角三角形绕直角边旋转(圆锥)。 2.高频考点梳理 已知长方形长、宽，求绕长/宽旋转后的圆柱体积，并比较大小。 直角三角形绕不同直角边旋转，求体积差，江苏常州溧阳期末常考。 3.易错点警示 混淆旋转后的半径和高：长方形绕长旋转时，长是高，宽是半径；误将长当半径。 圆锥体积漏乘：将直角三角形旋转后的体积按圆柱体积计算。 4.解题技巧拆解 第一步：确定旋转轴，明确旋转后立体图形的类型(圆柱/圆锥/组合体)。 第二步：找出半径和高(旋转轴对应的边为高，垂直于旋转轴的边为半径)。 第三步：代入对应体积公式计算，组合体需拆分后分别计算再求和/差。 第四步：单位统一(如长和宽单位为，体积单位为)。 【例题9】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）一个长为，宽为的长方形，以其长所在的直线为轴旋转一周将会得到一个几何体，这个几何体的体积是 （结果保留） 【答案】 【分析】本题考查旋转体的体积计算，知道圆柱体的体积公式是解决本题的关键． 当长方形绕其长边旋转时，形成圆柱体，其中长边作为高，宽边作为底面半径进行求解即可． 【详解】解：∵旋转后得到的几何体是圆柱体， ∴圆柱体的体积公式为，其中是底面半径，是高． 由题意得旋转轴是长边， ∴高，底面半径． 代入公式得， ． 故答案为：． 【变式题9-1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【答案】(1)圆锥，面动成体 (2)圆锥的体积为或 【分析】（1）根据圆锥的特征，面动成体即可解答； （2）分两种情况进行计算，即可解答． 本题考查了面动成体，圆锥的体积，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：这个几何体的名称为圆锥，这个现象用数学知识可以解释为面动成体， 故答案为：圆锥，面动成体； （2）解：①绕直角三角形较长的直角边旋转时，圆锥的体积为； ②绕直角三角形较短的直角边旋转时，圆锥的体积为． 综上所述，圆锥的体积为或． 【变式题9-2】．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体得到圆锥，然后分情况求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当以厘米的直角边为轴得到圆锥体，则这个圆锥体的高为厘米， 所以此时这个圆锥体的体积为：（立方厘米）， 当以厘米的直角边为轴得到圆锥体，则这个圆锥体的高为厘米， 所以此时这个圆锥体的体积为：（立方厘米）， 由， 故选：． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·陕西·期中）如图是一张长方形纸板，它的长和宽分别是和，将这张长方形纸板分别以它的长和宽所在直线为轴旋转一周，得到两个立体图形．（纸板厚度忽略不计） (1)这两个立体图形都是______；（填几何体的名称） (2)请判断以长和宽哪条边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积较大，并通过计算说明理由．（结果保留） 【答案】(1)圆柱体 (2)以的一组对边中点所在直线为轴旋转得到的几何体的体积较大，理由见详解 【分析】本题考查了面动成体，圆柱的体积公式，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据面动成体解答即可； （2）先分别求出两种旋转方式所得几何体的体积再比较大小即可． 【详解】（1）解：上述操作能形成的几何体是圆柱体； 故答案为：圆柱体； （2）解：以的一组对边中点所在直线为轴旋转，得到的几何体的体积为：， 以的一组对边中点所在直线为轴旋转，得到的几何体的体积为：， ∵， ∴以的一组对边中点所在直线为轴旋转得到的几何体的体积较大． 【题型10】“实际情境”创新——立体图形的实际应用(培优) 1.核心知识点总结 结合生活场景：快递打包带长度、旋转门旋转成的几何体、陶瓷花瓶的旋转形成、正方体涂色问题。 关键转化：将实际问题转化为立体图形的元素计算(棱长、体积、表面积)。 2.高频考点梳理 快递打包问题：已知长方体长、宽、高，求打包带长度(，需看打包方式)，渭南二模常考。 旋转门问题：三块长方形玻璃旋转一周形成的几何体(圆柱)。 正方体涂色问题：棱长的正方体表面涂色，求三面/两面/一面涂色的小正方体个数。 3.易错点警示 打包带长度漏算棱数：未根据打包方式(如“十字打包”“多圈打包”)确定棱的条数。 正方体涂色问题计数错误：三面涂色的小正方体只在顶点(8个)，误算为棱上所有小正方体。 4.解题技巧拆解 第一步：分析实际情境，转化为对应的立体图形(如打包带→长方体棱长，旋转门→圆柱)。 第二步：提取已知条件(如长方体的长、宽、高，正方体的棱长)。 第三步：针对性计算： 打包带：数清横向、纵向、竖向的棱数，分别乘以边长再求和； 旋转门：长方形绕轴旋转→圆柱，半径=长方形宽，高=长方形长； 正方体涂色：三面涂色(8个顶点)、两面涂色()、一面涂色()、无涂色()。 【例题10】．（24-25七年级上·广东·期末）综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量 【素材】某品牌卷筒纸，直尺 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如1图所示； 步骤2：如2图，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 (1)制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留） (2)根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（的值取3.14） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了立体图形，解题的关键是理解题意，正确计算． （1）直接根据圆柱的侧面积公式计算即可； （2）根据展开前后的体积不变的原理，先计算出卷筒纸的体积，再结合展开后纸的厚度和宽度，从而计算出展开后的总长度． 【详解】（1）解：根据题意，得纸轴的直径为，高度为， ∴纸轴至少需要硬纸板的面积为； （2）解：， ， 答：估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度为． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图①，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4cm，卷纸环的厚度是4cm，高度是10cm． (1)制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)如图②，纸箱里面三层正好可放入36卷卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方分米？ (3)此品牌卷纸还有一种无芯包装，如图③，如果图①的卷纸每包3元，图③的卷纸每包2.5元，它们的纸质相同，你觉得买哪一种包装的卷纸更划算？请通过计算说明． 【答案】(1)125.6平方厘米 (2)立方分米 (3)图①，理由见解析 【分析】本题主要考查圆柱体积、侧面积公式的应用． （1）利用圆柱的侧面积公式：计算即可； （2）根据图示可知，该纸箱的长是（厘米）、宽是（厘米）、高（厘米），利用长方体体积公式：计算其容积即可； （3）计算两种纸的体积，比较1元分别能买的数量，即可得出结论． 【详解】（1）（平方厘米） 答：制作中间的硬纸轴需要125.6平方厘米的硬纸板． （2） （立方厘米） 51840立方厘米立方分米． 答：这个纸箱的容积至少是51.84立方分米． （3）（厘米） （厘米） （立方厘米） （立方厘米） ，， ． 答：买图①包装的卷纸更划算． 【变式题10-1】．（25-26七年级上·广东佛山·期中）将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】此题主要考查了图形的变化类问题及立体图形的认识和用特殊归纳一般规律的方法．关键是通过正方体的特点来得到有关涂色情况的规律． （1）三面涂色的为8个角上的正方体，两面涂色的为八条棱上除去三面涂色的正方体的个数，没有涂色的用正方体总数减去三面、两面及一面涂色的正方体； （2）同理（1）可进行求解； （3）由（2）得将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：把正方体的棱四等分，然后沿等分线把正方体切开，得到64个小正方体．其中三面被涂色的有8个，两面涂色的有24个；各面都没有涂色的有8个； 故答案为． （2）解：根据正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，各面都没涂色内部是个． 正方体的棱五等分时三面被涂色的有8个，有27个是各个面都没有涂色的， 故答案为； （3）解：由（1）（2）可知：当把正方体的棱三等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱四等分时，没有涂色的小正方形有个，当把正方体的棱五等分时，没有涂色的小正方形有个， ∴将这个正方体的棱n等分，有个是各个面都没有涂色的， ， 解得：； ∴至少应该将此正方体的棱6等分， 故答案为6． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·山东青岛·月考）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2，这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积． (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求的取值范围． 【答案】(1)22 (2)52 (3) 【分析】本题考查长方体的表面积公式，考查学生审题能力，空间想象能力，理解题意是解题的关键． （1）根据表面积公式计算即可； （2）根据题意得出重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2，表面积最小，求解即可； （3）据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：，重叠的图形的四个面的面积分别为：，，然后得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：表面积为：； （2）解：要使长方体的表面积最小，使得面积最大的面重叠即可， ∴重叠后新的长方体的长是4，宽是3，高是2， 此时最小的表面积为：； （3）根据图形得，小长方体的3个不同的面的面积分别为：， ∵使得新长方体表面积最小， ∴重叠的四个面的面积要最大， 由图得：重叠的图形的四个面的面积分别为：，， ∴是最小的一个面， ∴， ∴， ∴． 同步练习 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点、线、面、体，根据面动成体分别判断各选项即可得到图中所示的立体图形，解题的关键是掌握面动成体． 【详解】解：、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆柱，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是圆台，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 、绕轴旋转一周，得到图中所示的立体图形，故符合题意； 、绕轴旋转一周，得到的立体图形是球体，得不到图中所示的立体图形，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 【答案】B 【分析】本题考查棱柱、圆锥等立体图形的特征，根据它们的定义和性质判断各选项的正确性． 【详解】A、棱柱的上下底面完全相同，正确，不符合题意； B、∵ 五棱柱的底面是五边形，有2个底面和5个侧面，∴ 总面数为7个； ∵ 上下底面各有5条棱，加上5条侧棱，∴ 总棱数为15条， 故原说法错误，符合题意； C、圆锥的底面是圆，正确，不符合题意； D：长方体与正方体都有六个面，正确，不符合题意 ∴ 不正确的是B， 故选：B． 4．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查棱柱，掌握相关知识是解决问题的关键．棱柱有两个互相平行且全等的多边形底面，侧面为四边形且相邻边平行，侧棱平行且相等，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据棱柱的定义第一个图形是四棱柱， 第四个图形是三棱柱， 第五个图形是五棱柱， 而第二个图形是圆柱，第三个图形是圆锥， ∴共有3个棱柱． 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）边长为的正方形绕一条边旋转一周，所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面积的计算方法．圆柱侧面积=底面周长×高． 【详解】解：边长为4的正方形绕一条边旋转一周，所得几何体是圆柱体，根据圆柱的侧面积公式可得， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川雅安·期中）六棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 【答案】 12 18 8 【分析】本题主要考查了对棱柱的认识，可以先从具体的简单的棱柱入手，找出对应的面的个数、棱的条数、顶点的个数，然后推广到一般：n棱柱有个顶点，条棱，个面． 棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的构造特点即可求解． 【详解】解：六棱柱上底面与下底面各有6个顶点，因此顶点总数为12个； 侧面有6个面，加上上下2个底面，共有8个面； 棱的数量为条． 故答案为：12；18；8． 7．（25-26七年级上·河北保定·期中）若一个棱柱有十八条棱，则它有 个面． 【答案】8 【分析】本题考查棱柱，熟知n棱柱的棱数和面数与n的关系是解答的关键． 根据棱柱的棱数与底面边数的关系，设棱柱的侧面棱数为n，则棱数为，由给定棱数求出n，再计算面数． 【详解】设棱柱的侧面棱数为n，则棱柱的棱数为．给定棱数为18， 因此， 解得． 棱柱的面数由两个底面和n个侧面组成， 故面数为． 故答案为8． 8．（25-26六年级上·山东东营·期中）一个棱柱共有24个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了棱柱的顶点数与底面边数的关系，熟练掌握棱柱顶点数底面边数是解题的关键． 先根据棱柱顶点数求出底面边数，进而确定侧棱数，再用侧棱长的和除以侧棱数得到每条侧棱的长． 【详解】解：设棱柱的底面边数为，则顶点数为． ， ， 侧棱数为条 每条侧棱的长为， 故答案为：． 9．（2025六年级上·全国·专题练习）一个圆柱的上下两个面是 ，它们的大小 ，周围的面是 ，两个底面之间的距离叫作圆柱的 ． 【答案】 圆形底面 完全相同 曲面（侧面） 高 【分析】本题考查圆柱的基本概念，根据圆柱的定义直接填写即可． 【详解】圆柱的上下两个面称为底面，它们是完全相同的圆形；圆柱的周围面称为侧面；两个底面之间的垂直距离称为高； 故答案为：圆形底面、完全相同、曲面（侧面）、高． 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面图形的旋转体和圆柱的体积，根据长方形旋转后得到圆柱体，分别求出两个圆柱体的体积，即可得出结果． 【详解】解：如图甲，圆柱的体积为， 如图乙，圆柱的体积为， 则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为． 故答案为： 三、解答题 11．（25-26七年级上·四川·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 【答案】(1)圆柱 (2)旋转之后的立体图形体积为． 【分析】本题考查的是点、线、面、体，根据图形确定出圆柱的底面半径和高的长是解题的关键． （1）根据面动成体解答即可； （2）根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，得到的立体图形的名称是圆柱． 故答案为：圆柱； （2）解：由题意可知，如图旋转的圆柱底面半径为，高为， ∴圆柱的体积为， 所以旋转之后的立体图形体积为． 12．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，有一长，宽的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____________； (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大； (3)若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的倍，则与之间的数量关系为_____________． 【答案】(1)圆柱体 (2)方案一，理由见解析； (3) 【分析】本题考查点，线，面，体，圆体的体积公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）矩形旋转可得圆柱； （2）分别算出两个圆柱体的体积，即可得到答案； （3）根据题意列式，化简即可． 【详解】（1）解：面动成体，矩形旋转一周得到圆柱体， 答案为：圆柱体 （2）解：方式①：， 方式②：， ， 方式①构造的圆柱的体积大． （3）解：按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的倍， 即， ， 故答案为：． 13．（2025六年级上·全国·专题练习）建筑工地上的圆柱形水泥柱，底面直径是，高是． (1)说明水泥柱如何体现圆柱的特征； (2)工人师傅要给水泥柱的侧面刷油漆，不刷上下底面，为什么？ (3)若要给水泥柱做一个长方体保护套（只罩侧面，上下底面留出），保护套的长和宽至少分别是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)保护套的长至少，宽至少（或长至少，宽至少）． 【分析】本题考查圆柱的特征、实际应用及周长计算，运用实际应用思想，结合圆柱特征和生活场景分析问题；解题关键是明确圆柱各部分特征及周长计算方法；易错点是对保护套长和宽与圆柱底面关系的错误理解； （1）根据圆柱特征说明水泥柱的体现； （2）结合实际场景分析刷漆范围； （3）根据圆柱底面周长和直径确定保护套的长和宽． 【详解】（1）水泥柱有两个完全相同的圆形底面（上下两个横截面），侧面是围绕底面的曲面，两个底面之间的距离（高）垂直于底面，完全符合圆柱的特征； （2）解：水泥柱的上下底面与地面或其他结构连接，刷油漆会影响连接稳定性，且侧面暴露在外需要防腐，因此不刷上下底面； （3）解：长方体保护套罩住圆柱侧面，长方体的一边需与圆柱底面的直径相等（才能包裹底面边缘），另一边需与圆柱的高相等（才能覆盖整个侧面）．圆柱底面直径、高，因此保护套的长和宽至少分别为和． 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 【答案】 3n 2n 2n 【分析】本题考查认识立体图形，能够通过由特殊到一般的归纳，得到顶点个数、棱数、面数之间满足的关系式是解题的关键． （1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳即可； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，从而得到三者的关系为． 【详解】（1）观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有个面，3n条棱，2n个顶点；n棱锥有个面，2n条棱，个顶点． 故答案为：，3n，2n，，2n，； （2）用表格分别列出三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱所对应的顶点的个数、棱的条数和面的个数，如下： 顶点数（V） 棱数（E） 面数（F） 三棱柱 6 9 5 四棱柱 8 12 6 五棱柱 10 15 7 六棱柱 12 18 8 根据上表总结出这个关系为． 故答案为：． 15．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 【答案】（1）12；10；（2）；（3）12 【分析】本题主要考查了几何体中点，棱和面的数量关系，正确理解题意是解题的关键． （1）根据所给几何体的形状即可得到答案； （2）根据表格中的数据即可得到答案； （3）根据（2）所求可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意得； （2）由表格中的数据可得． （3）∵多面体的面数比顶点数小8， ∴． ∴， ∵该多面体一共有有30条棱， ∴， ∴，即这个多面体的面数为12． 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1生活中的立体图形 【题型1】生活实物“变身”记——立体图形抽象识别 1.核心知识点总结 立体图形定义：各部分不都在同一平面内的几何图形，包括柱体、锥体、球体三类。 常见实物对应关系：不锈钢漏斗→圆锥、易拉罐→圆柱、魔方→正方体、篮球→球。 2.高频考点梳理 从日常物品（如快递盒、台灯罩、金字塔模型）中抽象出对应立体图形。 选择题形式考查“某实物类似于哪种立体图形”。 3.易错点警示 混淆圆锥与圆柱：忽略圆锥“一个顶点+曲面侧面”的特征，误将漏斗归为圆柱。 误将棱柱归为圆柱：未注意棱柱底面是多边形、侧面是平面，圆柱底面是圆、侧面是曲面。 4.解题技巧拆解 第一步：观察实物的底面形状（圆/多边形），区分柱体/锥体的底面类型。 第二步：判断侧面类型（曲面/平面），确定具体几何体。 第三步：结合顶点数量（圆柱无顶点、圆锥1个顶点、棱柱有多个顶点）验证。 【例题1】．（25-26七年级上·陕西西安·期中）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列可以抽象为棱柱的物体是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）下列物体中，可以抽象成圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列不可以抽象为棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）生活中的实物可以抽象出各种各样的几何图形，如图的不锈钢漏斗的形状类似于（   ） A．棱锥 B．棱柱 C．圆柱 D．圆锥 【题型2】“分类达人”挑战——立体图形多维度归类 1.核心知识点总结 分类标准1：按类型分（柱体→圆柱+棱柱；锥体→圆锥+棱锥；球体）。 分类标准2：按面的类型分（有曲面→圆柱、圆锥、球；无曲面→棱柱、棱锥）。 分类标准3：按是否为多面体分（多面体→棱柱、棱锥；非多面体→圆柱、圆锥、球）。 2.高频考点梳理 给出3-5个几何体，要求按指定标准分类（如“按柱锥球划分”“按有无曲面划分”）。 开放题形式考查“自定义标准分类并说明理由”。 3.易错点警示 分类标准不统一：如同时按“类型”和“面的类型”分类，导致归类混乱。 遗漏几何体：分类时忽略球体或某类柱体/锥体。 4.解题技巧拆解 第一步：明确分类标准，优先选择题目指定标准（无指定时选最直观的“类型标准”）。 第二步：逐个分析几何体特征，对号入座，用“标记法”避免遗漏。 第三步：检查分类结果，确保同一类别下的几何体符合标准，不同类别无交叉。 【例题2】．（25-26七年级上·河北保定·阶段练习）如图所示的几何体中，含有曲面的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题2-1】．（25-26七年级上·山东青岛·月考）下列几何体中，柱体是 ，含曲面的有 无顶点的有 （填序号） 【变式题2-2】．（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段练习）根据如图所示的图形，完成下列各题： (1)指出哪些是平面图形？哪些是立体图形？ (2)把立体图形按柱体、锥体、球分类； (3)指出立体图形中各面既有平面又有曲面图形． 【变式题2-3】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）观察图中的几何体，回答下列问题： (1)请将图中的几何体分类： 柱体： （填序号） 锥体： （填序号） 球体： （填序号） (2)请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【题型3】“几何计数”入门——棱柱/棱锥的元素数量计算 1.核心知识点总结 棱柱特征：底面是边形，面数，棱数，顶点数。 棱锥特征：底面是边形，面数，棱数，顶点数。 特殊案例：正方体是四棱柱(面数6、棱数12、顶点数8)，三棱锥(面数4、棱数6、顶点数4)。 2.高频考点梳理 直接考查：“九棱柱有几个面/棱/顶点”“五棱锥有几条侧棱”。 逆向考查：“一个棱柱有18条棱，它是几棱柱”。 3.易错点警示 混淆棱柱与棱锥公式：误将棱柱棱数记为，棱锥棱数记为。 漏算底棱/侧棱：计算棱柱棱数时只算侧棱(条)，忽略上下底棱(各条)。 4.解题技巧拆解 第一步：先判断几何体是棱柱还是棱锥(看侧面是平行四边形还是三角形)。 第二步：代入对应公式，棱柱用“面、棱、顶点”，棱锥用“面、棱、顶点”。 第三步：验证结果，如棱柱棱数=侧棱数底棱数，确保计算无误。 【例题3】．（25-26七年级上·广东清远·期中）一个棱柱有8个顶点，则棱的条数为（    ） A．16条 B．24条 C．12条 D．10条 【变式题3-1】．（25-26七年级上·甘肃白银·期中）一个三棱柱，面数是m，棱数是n，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【变式题3-2】．（25-26七年级上·内蒙古包头·期中）已知一个棱柱有36条棱，则这个n棱柱有（    ）个面， A．11 B．12 C．13 D．14 【变式题3-3】．（25-26七年级上·广东深圳·月考）一个正n棱柱有8个面，这个几何体是（   ） A．三棱柱 B．五棱柱 C．六棱柱 D．七棱柱 【题型4】“平面vs曲面”辨析——多面体判断 1.核心知识点总结 多面体定义：由全部平面围成的立体图形，无任何曲面。 常见多面体：棱柱、棱锥(如正方体、长方体、三棱锥)。 非多面体：圆柱(1个曲面)、圆锥(1个曲面)、球(1个曲面)。 2.高频考点梳理 选择题形式考查“下列图形中是多面体的是”，给出圆柱、正方体、圆锥、球的选项。 结合面的数量判断多面体类型(如“六面体”包括长方体、五棱锥)。 3.易错点警示 误将“有平面+曲面”的几何体归为多面体：如认为圆柱有两个平面底面，属于多面体。 忽略“全部平面”条件：将侧面是曲面的棱台误判为多面体。 4.解题技巧拆解 第一步：逐个分析几何体的面，标记“平面”或“曲面”。 第二步：判断是否所有面都是平面，只要有1个曲面就不是多面体。 第三步：若为多面体，可根据面数命名(如4个面→四面体，6个面→六面体)。 【例题4】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列立体图形是多面体的是（   ） A．球 B．圆柱 C．圆锥 D．五棱锥 【变式题4-1】．（2024七年级上·全国·专题练习）下列立体图形不属于多面体的是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列几何体中，不属于多面体的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】．（24-25六年级上·山东东营·阶段练习）下列说法中，①长方体是四棱柱，四棱柱是长方体；②长方形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆柱体；③棱锥底面边数与侧棱数相等；④直角三角形绕其一边旋转一周得到的立体图形是圆锥；⑤棱柱的上、下底面是形状，大小相同的多边形；⑥圆锥和圆柱的底面都是圆；⑦由某一图形绕着一条直线旋转一周所得到的几何体，一定不是多面体；⑧将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球体；其中正确的个数是（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．6个 【题型5】“旋转魔法”——平面图形旋转成立体图形 1.核心知识点总结 旋转规律：“点动成线、线动成面、面动成体”。 常见旋转组合： 长方形绕一边旋转→圆柱； 直角三角形绕直角边旋转→圆锥； 半圆绕直径旋转→球； 直角梯形绕垂直腰旋转→圆台。 2.高频考点梳理 给出平面图形(如直角三角形、长方形、半圆)，判断绕指定直线旋转后的立体图形。 逆向考查：“某立体图形(如圆柱)可由哪个平面图形旋转得到”。 3.易错点警示 选错旋转轴：直角三角形绕斜边旋转，误判为圆锥(实际是两个同底圆锥组合体)。 混淆平面图形：将长方形绕对角线旋转，误判为圆柱(实际是不规则立体图形)。 4.解题技巧拆解 第一步：确定旋转轴(题目指定或隐含，如“绕长边所在直线”)。 第二步：分析平面图形各边与旋转轴的关系(平行/垂直/相交)。 第三步：根据关系判断立体图形，平行边旋转成圆柱侧面，垂直边旋转成底面圆，斜边旋转成圆锥侧面。 【例题5】．（25-26七年级上·江西吉安·月考）如图所示：将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·山东临沂·期中）将一个长方形绕它的长所在的直线旋转一周，可以得到一个 （立体图形）． 【变式题5-2】．（25-26七年级上·广东深圳·期中）将如图所示的图形绕虚线旋转一周，得到的几何体是 ． 【变式题5-3】．（25-26七年级上·山东枣庄·月考）将下列平面图形绕直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（　　） A． B． C． D． 【题型6】“棱长与面积”计算——棱柱的棱长和与侧面积(提升) 1.核心知识点总结 棱柱棱长和公式：棱柱棱长和底面周长侧棱长(底面为边形，侧棱长即高)。 直棱柱侧面积公式：侧面积底面周长侧棱长(侧面是长方形，长=底面边长，宽=侧棱长)。 特殊案例：正方体棱长和(为棱长)，侧面积。 2.高频考点梳理 已知正六棱柱底面边长和高，求棱长和与侧面积。 结合绝对值、平方数非负性求边长(如，得、)，再计算棱长和。 3.易错点警示 计算棱长和时漏算底面边长：只算侧棱长，忽略上下两个底面的边长。 侧面积公式误用：将正棱柱侧面积算成“底面面积×高”，混淆侧面积与体积公式。 4.解题技巧拆解 第一步：明确棱柱类型(正棱柱底面是正多边形，各边长相等)。 第二步：计算棱长和：先求底面周长(边长)，再算底面周长侧棱长。 第三步：计算侧面积：底面周长侧棱长(正棱柱侧面是个全等长方形，总面积长宽底面周长侧棱长)。 【例题6】．（25-26七年级上·甘肃白银·阶段练习）一个直六棱柱，侧棱长为，底面各边长均为，则它的棱长之和是 ． 【变式题6-1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）下列说法错误的是（    ） A．棱柱的侧面都是长方形 B．正方体所有棱长都相等 C．棱柱的侧面可能是平行四边形 D．棱柱的上、下底面形状相同 【变式题6-2】．（25-26七年级上·山东·阶段练习）一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长，则这个棱柱的所有侧面面积之和为 ，所有棱长和为 ． 【变式题6-3】．（25-26六年级上·山东淄博·阶段练习）如图是一个直七棱柱，它的底面边长都是，侧棱长是．观察这个棱柱，请回答下列问题： (1)这个七棱柱共有多少个面？它们分别是什么形状？哪些面的形状相同、面积相等？侧面的面积是多少？由此你可以猜想得出n棱柱有多少个面吗？ (2)这个七棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？ (3)这个七棱柱一共有多少个顶点？ 【题型7】“点线面”的联系——立体图形构成元素分析(提升) 1.核心知识点总结 构成元素：图形由点、线、面组成(点无大小，线无粗细，面无厚薄)。 关系：点动成线，线动成面，面动成体；面与面相交得线，线与线相交得点。 2.高频考点梳理 填空题考查“面与面相交成____，线与线相交成____”。 结合生活情境考查(如“笔尖在纸上滑动形成线”对应“点动成线”)。 3.易错点警示 混淆元素关系：误将“面动成体”记为“线动成体”，“线与线相交得面”记为“面与面相交得点”。 忽略“相交”条件：认为“线与线一定相交得点”，未考虑平行线不相交。 4.解题技巧拆解 第一步：牢记“点→线→面→体”的递进关系，及反向的“体→面→线→点”。 第二步：结合实例理解，如“汽车雨刷滑动形成面”对应“线动成面”，“旋转门旋转形成体”对应“面动成体”。 第三步：判断题可采用“反例法”，如判断“线与线相交得点”时，举“平行线”反例。 【例题7】．（25-26七年级上·安徽宿州·阶段练习）把一枚硬币竖立在桌面上并用力一转，它形成的是一个球体，这种生活现象可以反映的数学原理是 ． 【变式题7-1】．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，直角三角形绕其一条直角边旋转一周后，得到几何体圆锥，这一现象说明 ．    【变式题7-2】．（24-25七年级上·广东清远·期中）学习了“点动成线，线动成面，面动成体”，下列说法不正确的是（   ） A．将长方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 B．将半圆形沿直径旋转一周一定会得到一个球体 C．将直角三角形沿一边旋转一周一定会得到一个圆锥 D．将正方形沿一边旋转一周一定会得到一个圆柱 【变式题7-3】．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）小军和小红分别以直角梯形的上底和下底为轴，将梯形旋转一周，得到的两个立体图形．我们旋转的平面图形是完全一样的，所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等． (1)小红得到的立体图形可以看成是由_______和_______构成的，这个现象用数学知识解释为_______ (2)你认为谁的说法正确？请通过计算说明理由． 【题型8】“欧拉公式”应用——多面体元素数量关系(培优) 1.核心知识点总结 欧拉公式：对于简单多面体，顶点数面数棱数。 适用范围：所有凸多面体(如棱柱、棱锥、正多面体)，非多面体(圆柱、球)不适用。 2.高频考点梳理 已知多面体的两个元素数量(如面数，棱数)，求第三个元素(顶点数)。 结合方程考查(如“面数比顶点数大8，棱数=30，求面数”)。 3.易错点警示 公式记忆错误：误记为或。 应用范围混淆：将欧拉公式用于圆柱、圆锥等非多面体，导致计算错误。 4.解题技巧拆解 第一步：判断几何体是否为多面体(全平面围成)，确认欧拉公式适用。 第二步：明确已知量(中的两个)，设未知量为。 第三步：代入欧拉公式，解方程求未知量。 第四步：验证结果，结合棱柱/棱锥公式交叉核对(如棱柱、、，代入公式满足)。 【例题8】．（25-26七年级上·山西太原·阶段练习）（1）观察下列几何体，并把下表补充完整． 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 10 12 棱数b 9 12 15 面数c 5 6 8 （2）观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； （3）一个几何体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个几何体有 个面． 【变式题8-1】．（25-26七年级上·辽宁阜新·阶段练习）（认识概念）简单的凸多面体是指由若干个平面多边形围成，这些多边形称为面，相邻面的公共边称为多面体的棱，棱与棱的交点称为顶点． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在关系，后人把三者关系等式称为欧拉公式． 结合你的知识积累，直接回答下列问题： 三棱锥的，，__（直接填出数据） 八面体的，，___（直接填出数据） （总结与应用） （1）欧拉公式：__________________．（用字母表示即可） （2）一个正二十面体有30条棱，直接回答它的顶点数是______． （深度探究） 下图是一个凸多面体，此多面体是由若干个黑色的正五边形和白色的正六边形围成的（它像不像一个足球，你会相信这是老师画出来的吗？）． 直接回答下列问题： 设黑色的正五边形有x块．则 （3）正六边形有______块（用含x的式子直接回答） （4）此凸多面体的棱数为______条．（用含x的式子直接回答） 【变式题8-2】．（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）问题背景： 新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体： 多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E) 四面体 4 六面体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 —— 30 操作探究： 通过数上面图形中每个多面体的顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)，填写表格中空缺的部分： 通过填表发现：顶点数(V)、面数(F)和棱数(E)之间的数量关系是 ，这就是伟大的数学家欧拉(L． Euler，1707-1783)证明的一个关系式，我们把它称为欧拉公式； 探究应用： (1)已知一个多面体的面数比顶点数大8，且有30 条棱，求这个多面体的顶点数； (2)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3 条棱，求这个多面体的面数． 【变式题8-3】．（25-26七年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图所示是一些常见的多面体． (1)数一下每一个多面体具有的顶点数、面数和棱数，并且把结果记入表中： 多面体 顶点数（） 面数（） 棱数（） 四面体 4 4 6 正方体 6 八面体 6 12 十二面体 20 12 二十面体 12 20 30 观察表中数据，猜想多面体的顶点数和面数的和与棱数之间的关系为_______； (2)若已知一个多面体的顶点数，棱数，请你用（1）中的结果求这个多面体的面数． 【题型9】“旋转体积”计算——平面图形旋转后的体积(培优) 1.核心知识点总结 旋转体积公式： 圆柱体积(为底面半径，为高)； 圆锥体积； 组合旋转体体积=各部分体积和/差。 常见旋转场景：长方形绕长/宽旋转(圆柱)、直角三角形绕直角边旋转(圆锥)。 2.高频考点梳理 已知长方形长、宽，求绕长/宽旋转后的圆柱体积，并比较大小。 直角三角形绕不同直角边旋转，求体积差，江苏常州溧阳期末常考。 3.易错点警示 混淆旋转后的半径和高：长方形绕长旋转时，长是高，宽是半径；误将长当半径。 圆锥体积漏乘：将直角三角形旋转后的体积按圆柱体积计算。 4.解题技巧拆解 第一步：确定旋转轴，明确旋转后立体图形的类型(圆柱/圆锥/组合体)。 第二步：找出半径和高(旋转轴对应的边为高，垂直于旋转轴的边为半径)。 第三步：代入对应体积公式计算，组合体需拆分后分别计算再求和/差。 第四步：单位统一(如长和宽单位为，体积单位为)。 【例题9】．（25-26七年级上·宁夏银川·期中）一个长为，宽为的长方形，以其长所在的直线为轴旋转一周将会得到一个几何体，这个几何体的体积是 （结果保留） 【变式题9-1】．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，将直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周可以得到一个几何体． (1)这个几何体的名称为______，这个现象用数学知识可以解释为______； (2)求这个几何体的体积．（结果保留） 【变式题9-2】．（25-26七年级上·四川达州·阶段练习）如图，如果以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，这个圆锥的体积最大是（    ）立方厘米． A． B． C． D． 【变式题9-3】．（25-26七年级上·陕西·期中）如图是一张长方形纸板，它的长和宽分别是和，将这张长方形纸板分别以它的长和宽所在直线为轴旋转一周，得到两个立体图形．（纸板厚度忽略不计） (1)这两个立体图形都是______；（填几何体的名称） (2)请判断以长和宽哪条边所在直线为轴旋转一周，得到的立体图形的体积较大，并通过计算说明理由．（结果保留） 【题型10】“实际情境”创新——立体图形的实际应用(培优) 1.核心知识点总结 结合生活场景：快递打包带长度、旋转门旋转成的几何体、陶瓷花瓶的旋转形成、正方体涂色问题。 关键转化：将实际问题转化为立体图形的元素计算(棱长、体积、表面积)。 2.高频考点梳理 快递打包问题：已知长方体长、宽、高，求打包带长度(，需看打包方式)，渭南二模常考。 旋转门问题：三块长方形玻璃旋转一周形成的几何体(圆柱)。 正方体涂色问题：棱长的正方体表面涂色，求三面/两面/一面涂色的小正方体个数。 3.易错点警示 打包带长度漏算棱数：未根据打包方式(如“十字打包”“多圈打包”)确定棱的条数。 正方体涂色问题计数错误：三面涂色的小正方体只在顶点(8个)，误算为棱上所有小正方体。 4.解题技巧拆解 第一步：分析实际情境，转化为对应的立体图形(如打包带→长方体棱长，旋转门→圆柱)。 第二步：提取已知条件(如长方体的长、宽、高，正方体的棱长)。 第三步：针对性计算： 打包带：数清横向、纵向、竖向的棱数，分别乘以边长再求和； 旋转门：长方形绕轴旋转→圆柱，半径=长方形宽，高=长方形长； 正方体涂色：三面涂色(8个顶点)、两面涂色()、一面涂色()、无涂色()。 【例题10】．（24-25七年级上·广东·期末）综合与实践 【主题】卷筒纸的设计与测量 【素材】某品牌卷筒纸，直尺 【实践操作】 步骤1：使用直尺测量卷筒纸的高度，中间空心硬纸轴的直径和外层的直径，记录数据如1图所示； 步骤2：如2图，把展开的纸巾折叠多层后再测量，通过计算得到每层纸巾厚度为0.02厘米． 【实践探索】 (1)制作这个中间的纸轴至少需要多少平方厘米的硬纸板？（结果保留） (2)根据以上数据，设计一个方案，估计这种规格的一卷空心卷筒纸展开后的总长度．（的值取3.14） 【变式题10-1】．（25-26七年级上·四川成都·阶段练习）如图①，一种卷纸中间硬纸轴的直径是4cm，卷纸环的厚度是4cm，高度是10cm． (1)制作中间的硬纸轴需要多少平方厘米的硬纸板？ (2)如图②，纸箱里面三层正好可放入36卷卷纸，这个纸箱的容积至少是多少立方分米？ (3)此品牌卷纸还有一种无芯包装，如图③，如果图①的卷纸每包3元，图③的卷纸每包2.5元，它们的纸质相同，你觉得买哪一种包装的卷纸更划算？请通过计算说明． 【变式题10-2】．（25-26七年级上·广东佛山·期中）将一个正方体木块涂成红色，然后如图把它的棱四等分，再沿等分线把正方体切开，可以得到64个小正方体．观察并回答下列问题： (1)其中三面涂色的小正方体有________个，两面涂色的小正方体有________个，各面都没有涂色的小正方体有________个； (2)如果将这个正方体的棱五等分，所得的小正方体中三面涂色的有________个，各面都没有涂色的有________个； (3)如果要得到各面都没有涂色的小正方体64个，那么应该将此正方体的棱________等分． 【变式题10-3】．（25-26七年级上·山东青岛·月考）值得探究的“叠放”！ 问题提出：把八个一样大小的正方体（棱长为1）叠放在一起，形成一个长方体（或正方体），这样的长方体（或正方体）表面积最小是多少？ 方法探究： 第一步，取两个正方体叠放成一个长方体（如图①），由此可知新长方体的长、宽、高分别为1，1，2．第二步，将新长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是2，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个较大的长方体（如图②），该长方体的长、宽、高分别为2，1，2． 第三步，将较大的长方体看成一个整体，六个面中面积最大的是4，取相同的长方体，紧挨最大面积的面进行“叠放”，可形成一个大的正方体（如图③），该正方体的长、宽、高分别为2，2，2，这样，八个大小一样的正方体所叠放成的大正方体的最小表面积为． 仔细阅读上述文字，利用其中思想方法解决下列问题： (1)如图④，长方体的长、宽、高分别为2，3，1，请计算这个长方体的表面积． (2)取如图④的长方体四个进行叠放，形成一个新的长方体，那么，新的长方体的表面积最小是多少？ (3)取四个长、宽、高分别为2，3，的长方体进行叠放如图⑤，此时，形成一个新的长方体表面积最小，求的取值范围． 同步练习 一、单选题 1．（2025·陕西·中考真题）将下列平面图形绕轴旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期中）小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 3．（25-26七年级上·甘肃兰州·期中）下列说法不正确的是（    ） A．棱柱的上下底面是完全相同的图形 B．五棱柱有5个面、5条棱 C．圆锥的底面是圆 D．长方体与正方体都有六个面 4．（25-26七年级上·山东青岛·期中）下列图形属于棱柱的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）边长为的正方形绕一条边旋转一周，所得几何体的侧面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（25-26七年级上·四川雅安·期中）六棱柱有 个顶点，有 条棱，有 个面． 7．（25-26七年级上·河北保定·期中）若一个棱柱有十八条棱，则它有 个面． 8．（25-26六年级上·山东东营·期中）一个棱柱共有24个顶点，所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是 ． 9．（2025六年级上·全国·专题练习）一个圆柱的上下两个面是 ，它们的大小 ，周围的面是 ，两个底面之间的距离叫作圆柱的 ． 10．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，将这个长方形分别绕它的长和宽所在直线旋转一周，得到两个圆柱甲、乙，则甲圆柱体与乙圆柱体的体积比为 ． 三、解答题 11．（25-26七年级上·四川·期中）如图，已知长方形的长为，宽为，以边所在直线旋转一周，得到一个立体图形． (1)这个立体图形名称为_________． (2)求此立体图形的体积．（结果保留 ） 12．（25-26七年级上·山东青岛·期中）如图，有一长，宽的长方形纸板，将它分别绕其两条对称轴旋转半周，得到两个几何体． (1)按这两种方式得到的几何体是_____________； (2)当，时，请通过计算说明哪种方式得到的几何体体积大； (3)若按照方式①得到几何体的体积是按照方式②得到几何体的体积的倍，则与之间的数量关系为_____________． 13．（2025六年级上·全国·专题练习）建筑工地上的圆柱形水泥柱，底面直径是，高是． (1)说明水泥柱如何体现圆柱的特征； (2)工人师傅要给水泥柱的侧面刷油漆，不刷上下底面，为什么？ (3)若要给水泥柱做一个长方体保护套（只罩侧面，上下底面留出），保护套的长和宽至少分别是多少米？ 14．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，观察下列几何体并回答问题． （1）请观察所给几何体的面、棱、顶点的数量并归纳出n棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；n棱锥有 个面， 条棱， 个顶点； （2）所有像三棱柱、四棱柱、六棱柱、三棱锥等这样由四个或四个以上多边形所围成的立体图形叫作多面体，经过前人们归纳总结发现，多面体的面数F，顶点个数V以及棱的条数E存在着一定的关系，请根据（1）总结出这个关系为 ． 15．（25-26七年级上·山西运城·期中）综合与实践 问题情境：我们把四个或四个以上多边形（三角形、四边形、五边形．．．）围成的立体图形称为多面体，所有的棱柱都是多面体，一个多面体有几个面就说这个多面体是几面体，长方体和正方体都是六面体．把一个多面体的面数记作，顶点数记作，棱数记作． 下表是一些多面体的面数、棱数和顶点数： 多面体 面数 5 6 7 8 顶点数 6 8 b 12 棱数 9 a 15 18 初步探究：（1）填空：_____，_____． （2）根据表中的数据，我们发现多面体的棱数、面数与顶点数之间存在一定的关系，这个关系是_____．（用含，的代数式表示） 深入探究：（3）若一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，求这个多面体的面数． 学科网（北京）股份有限公司 $