精品解析：辽宁省营口市普通高中2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

高二考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章到第二章2.6.2（双曲线的几何性质）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中，倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 3. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 4. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 当时，圆与圆的位置关系不可能是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外离 D. 外切 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 13. 若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是___________，的离心率的取值范围是___________. 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 16. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值. 17. 在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 18. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章到第二章2.6.2（双曲线的几何性质）. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中，倾斜角为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由倾斜角为，则该直线的斜率为，逐项判断即可. 【详解】若直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 所以这四条直线中，倾斜角为的是. 故选：C 2. 若点在双曲线上，则到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为（ ） A. B. C. D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程求得，根据双曲线定义可得答案. 【详解】由双曲线，得. 由双曲线的定义可知，到该双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为. 故选：A 3. 设空间向量，则（ ） A. 6 B. 9 C. -6 D. -9 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行，列等式求解即可. 【详解】因为，所以，解得 故选：B. 4. 设是圆上的动点，点在轴上，的横坐标与的横坐标相等，且，则动点的轨迹为（ ） A. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 B. 长轴长为，短轴长为4，焦点在轴上的椭圆 C. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 D. 长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆 【答案】C 【解析】 【分析】设点的坐标，然后根据列出等式，代入圆的方程中即可得到的轨迹为椭圆. 【详解】设，则， 所以. 因为，所以 代入，得，即， 则动点的轨迹是长轴长为，短轴长为，焦点在轴上的椭圆. 故选：C. 5. 在空间直角坐标系中，已知点，，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 故选：A . 6. 若双曲线的焦距为4，直线与交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦距为4，求得m的值，利用点差法，结合中点坐标，求得直线的斜率. 【详解】由题可知，解得. 所以双曲线. 若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性知，线段的中点均在轴上，不合题意，所以直线的斜率存在. 设，则，整理得. 因为线段的中点为，所以. 所以. 直线的斜率为2. 故选：D. 7. 当时，圆与圆的位置关系不可能是（ ） A. 内含 B. 相交 C. 外离 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆圆心距离，然后与半径的和、差比较大小，即可判断. 【详解】由题意圆，圆的圆心分别为，则， 又圆，圆的半径分别为， 两圆的圆心距，因为， 所以两圆半径之和.即. 而两圆外离的条件是，故两圆的位置关系不可能是外离. 故选：C. 8. 如图，若平行光线与平面所成的角，其照射在球上，在平面上形成的投影呈椭圆形，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由几何图形分析椭圆的长半轴及短半轴长，结合椭圆离心率公式进行求解. 【详解】设球的半径为， 球的大圆在光线照射下形成椭圆形，易知椭圆的长半轴长，短半轴长， 因为，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四面体PABC中，分别为棱PB，AC的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断A、C，由空间向量数量积的运算判断B、D． 【详解】因为D，E分别为棱PB，AC的中点， 所以，A正确，C错误. 因为，且，， 所以，B正确. ，D错误. 故选：AB． 10. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的距离，再由，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 依题意得，即， 解得，. 故选：BCD 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为0 B. 的最大值为 C. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 D. 若存在点，使得的斜率分别为，则的离心率可能为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据椭圆的性质，结合向量的数量积公式、直线的斜率公式以及椭圆的离心率范围逐一分析选项 【详解】由题意知，设，则， 对于A，， 则， 当时，取最大值，所以的最大值为正确. 对于B，， 所以，当时，取最大值， 所以的最大值为，B正确； 对于C、D，设，因为，所以，得，又，所以，C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 两条平行直线之间的距离为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两平行线间的距离公式求解. 【详解】 之间的距离， 即直线之间的距离为. 故答案为：. 13. 若双曲线与椭圆有公共点，则的实轴长的取值范围是___________，的离心率的取值范围是___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由双曲线方程写出，即可表示出离心率，由双曲线与椭圆有公共点得不等式，然后解得双曲线中的范围，即得实轴长的取值范围，由不等式可以解得的取值范围，可得的离心率的取值范围. 【详解】由，得，则，所以. 因为的上顶点的坐标为的上顶点的坐标为，则， 即，，所以的实轴长的取值范围为. 且，所以. 故答案为：；. 14. 在正方体中，为线段的中点，为侧面上的动点.若，且，则点的轨迹长度为___________. 【答案】6 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，利用得到的关系式，再判断轨迹形状即可求解. 【详解】 以为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，， 设， 则，， ，， 即，， 当时，，此时为棱的中点； 当时，，此时为棱的中点， 设棱的中点为，棱的中点为，连接MN，则点的轨迹是线段MN， ，点的轨迹长度为6. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）分别求直线在轴、轴上的截距； （2）求过点，且与直线垂直的直线方程； （3）若直线的倾斜角为，求直线的倾斜角. 【答案】（1）在轴、轴上的截距分别为；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）法一：方程转化成截距式，即可求解；法二：分别令和求解即可； （2）法一：由垂直设直线方程，代入点即可求解，法二：通过垂直先求得斜率，再由点斜式即可求解； （3）法一：由倾斜角得到，进而可求解；法二：由两直线斜率互为相反数，得到这两条直线的倾斜角互补， 即可求解 【详解】解：（1）（方法一）由，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （方法二）令，得， 令，得， 所以直线在轴、轴上的截距分别为. （2）（方法一）依题意设所求直线方程为， 将点的坐标代入得， 解得， 所以所求直线的方程为. （方法二）因为直线的斜率为， 所以所求直线的斜率为2， 所以所求直线的方程为， 即（或）. （3）（方法一）因为直线的倾斜角为， 所以， 又直线的斜率为， 所以， 所以直线的倾斜角为. （方法二）因为直线的斜率与直线的斜率互为相反数， 所以这两条直线的倾斜角互补， 所以直线的倾斜角为. 16. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，虚轴长为4，且渐近线方程为. （1）求的标准方程； （2）设为上异于顶点，的动点，证明直线与的斜率之积为定值，并求该定值. 【答案】（1）； （2）证明见解析，定值为4. 【解析】 【分析】（1）由焦点在轴上，设的方程为，由虚轴长和渐近线方程得到和的等式，计算求解； （2）设，写出和的坐标，求出和，计算即可得解. 【小问1详解】 依题意可设的方程为， 则 解得，， 所以的标准方程为. 【小问2详解】 证明：设，则，即， 不妨设为左顶点，则，， 则 ， 所以直线与的斜率之积为定值，且该定值为4. 17. 在四棱锥中，底面. （1）证明：平面CDE. （2）设. （i）求直线AD与平面BCE所成角的正弦值； （ii）证明：平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接运用线面平行的判定定理证明即可. （2）（i）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，进而找到向量坐标，再利用直线与平面所成角的向量公式求解； （ii）求出两个平面的法向量，再利用两平面夹角的向量公式求出夹角的余弦值，再比较大小. 【小问1详解】 证明：因为平面平面CDE， 所以平面CDE. 【小问2详解】 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，, 则. 设平面BCE的法向量为，则， 令，得. （i）设直线AD与平面BCE所成角为 ， 因为，所以， 所以直线AD与平面BCE所成角的正弦值为. （ii）证明：设平面CDE的法向量为， 则,令，得. 设平面CDE与平面BCE的夹角为， 由， 所以平面CDE与平面BCE的夹角的余弦值小于 . 18. 已知点，O为坐标原点，动点满足，记点的轨迹为曲线. （1）求的标准方程. （2）若直线与交于，两点，求的最大值. （3）过点的动直线与交于，两点，试问轴上是否存在点，使得为定值?若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）根据题目条件直接列等式，即可求出轨迹方程； （2）利用弦长公式表示，结合函数单调性求解； （3）先设坐标为，联立韦达定理，通过为定值写出方程，化简求解即可. 【小问1详解】 设动点，则，， 而，故，化简得：， 故的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 联立得：， 故， 根据弦长公式得： ， 令，， 故， 设，易知在上单调递减，故当，最大， 即 最大，此时，故（舍）或， 故最大值为. 【小问3详解】 设点坐标为，，，过点的动直线为：. 联立得：， 故， ，， 又，位于过点的动直线： 上， 故，. 则， 将代入上式， 得：， 若使为定值，则必须为常数， 而且与无关，故此时只能为. 当直线的方程为时，也成立， 故存在点，使得，此时点坐标为. 19. 已知椭圆的右顶点为，的两个焦点为，且. （1）求的方程. （2）设直线与相交于A，B两点，关于轴的对称点为. （i）若，的横坐标大于的横坐标，求直线AD的斜率. （ii）试问直线AD是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）直线AD过定点，且定点的坐标为 【解析】 【分析】（1）在中利用正弦定理可得：，结合椭圆的定义和右顶点坐标即可解得a，b，c，从而写出椭圆方程·； （2）（i）联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，求出A，D两点坐标，进而求直线AD的斜率； （ii）通过对称性可知，该定点必在轴上，使，结合韦达定理，去解y的具体值即可. 【小问1详解】 因为， 所以由正弦定理得， 则， \ 则，又因为椭圆C的右顶点为，故， 所以，所以的方程为. 【小问2详解】 设，将代入， 得， 则恒成立， . （i）若，则有，解得或. 依题意得，则， 因为点关于轴的对称点为，所以， 则. （ii）当时，重合，与条件矛盾， 直线AD的方程为， 假设直线AD过定点，根据对称性可知，定点必在轴上， 令，得 ， 所以直线AD过定点，且定点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $