精品解析：广东省广州市第六中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

2025级高一上学期数学期中考试 本试卷共4页，19题 ， 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A B. C. D. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均真命题 D. 和均为真命题 3. 函数图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，且则下列命题正确的是（ ） A. B. C D. 若，则 6. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的增函数，且，定义在上的奇函数在上为增函数且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设，则“，且”是的必要不充分条件 D. 已知关于的不等式 的解集为，其中为常数，则不等式的解集为 10. 下列选项正确的有（ ） A. 函数 的最大值为5 B. 若，则函数的最大值为 C. 当，时，若，则的最小值为 D. 函数的最小值为 11. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 的值域是 B. 对任意，且，都有 C. 对任意，都有 D. 若规定，其中，则 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 13. 已知是定义在上的偶函数，则________. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.则函数图象的对称中心为____________ ；若函数关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围为__________________. 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集为，集合，. （1）若，求： ； （2）若，求实数取值范围. 16. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集. 17. 如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且. （1）若，求关于的解析式； （2）求面积的最大值及相应的值. 18. 已知函数是定义在上的奇函数且． （1）求函数的解析式; （2）判断并用定义证明函数在上的单调性; （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期数学期中考试 本试卷共4页，19题 ， 满分150分，考试时间120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解绝对值不等式，再利用交集的定义即可求得. 【详解】由可得，，解得，，故, 因，故. 故选：B. 2. 已知命题，命题，则（ ） A. 和均为真命题 B. 和均为真命题 C. 和均为真命题 D. 和均为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】分解因式可判断为真命题，由存在命题可判断，再得出结果即可. 【详解】，所以当时，命题不成立，故为假命题，则为真命题； 令，则满足，故为真命题， 综上和均为真命题. 故选：B. 3. 函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调区间分别是 A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断. 【详解】定义域是函数自变量的取值范围，为， 函数的单调递增区间有2个，不能用并集，并且单调区间是定义域的子集，即. 故选：D 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题. 5. 若，且则下列命题正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】运用特殊值，结合作差法逐个判断即可. 【详解】由于 对于A，设则，故A错误； 对于B，设则，故B错误； 对于C，，由于，则.， 则则.故C正确. 对于D，设，则，故D错误； 故选：C. 6. 已知函数，且对任意，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、反比例函数的单调性可得不等式组，解出即可得. 【详解】由对任意，都有，故函数在上单调递增， 故有，解得. 故选：D. 7. 已知函数是上的增函数，且，定义在上的奇函数在上为增函数且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的单调性，结合已知求出函数的解析式，结合的单调性、奇偶性进行求解即可. 【详解】对于，若，则与矛盾； 若，则与矛盾；， 当时，，当时， 对于，为奇函数且在上为增函数 在上也为增函数，又， 当或时，，当或时，， 即， 或 解得或， 故选：C 【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力. 8. 函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把转化为分段函数的形式，再结合一元二次函数的对称轴，对进行分类讨论，结合图像，写出要使函数在区间上既有最大值又有最小值的条件即可求得a的取值范围. 【详解】易得函数， 若，则，且函数在上单调递增，所以函数在上无最值． 若，作出函数的大致图像，如图1所示，易得函数在区间上无最值． 若，作出函数的大致图像，如图2所示，要使函数在区间上既有最大值又有最小值，则，即，解得:． 综上，实数a的取值范围是． 故选: D. 二.选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列叙述正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“，”的否定是“，” C. 设，则“，且”是的必要不充分条件 D. 已知关于的不等式 的解集为，其中为常数，则不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由充分性和举反例可判断A；由特称命题的否定可判断B；由基本不等式结合充分性可判断C；由一元二次不等式的解法可判断D. 【详解】对于A，因为，所以“”是“”的充分条件； 取，则，但不成立，故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，命题“，”的否定是“，”，故B正确； 对于C，当且时，且，所以，充分性成立； 当时，，但不成立，所以必要性不成立. 故“且”是“”的充分不必要条件，故C错误; 对于D，由一元二次不等式的解集可确定为方程的两个根，且， 由韦达定理可得，解得， 所以不等式， 所以解集为，故D正确. 故选：ABD 10. 下列选项正确的有（ ） A. 函数 的最大值为5 B. 若，则函数的最大值为 C. 当，时，若，则的最小值为 D. 函数最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】由基本不等式可得即可对A判断求解；由可对B判断求解；由，则，再利用"1"的代换即可对C求解判断；由基本不等式取等条件可对D判断求解. 【详解】A：由题可得函数 的定义域为，由， 当且仅当，即时取等号，所以函数 的最大值为，故A正确； B：当，则函数， 当且仅当，即时取等号，故B错误； C：当，时，若，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，故C正确； D：函数， 但时无解，故函数取不到最小值，故D错误. 故选：AC. 11. 已知函数，则以下结论正确是（ ） A. 的值域是 B. 对任意，且，都有 C. 对任意，都有 D. 若规定，其中，则 【答案】BD 【解析】 【分析】A：求出函数的解析式，根据单调性求值域；B C：作出函数图像，根据凸函数性质判断，根据单调性判断； D：代入化简，然后求解． 【详解】A：由，则函数是奇函数， 当时，， 当时，；当时，， 所以，即函数的值域为，故A错误； B，C：，作出图像： 根据图像可知，在，满足，， 在，由对称性可得：满足，故C错误； 若对任意，都有，则等价为函数为增函数， 因为当时，则为减函数，为减函数， 则为增函数，又因为是奇函数，所以在上为增函数，故B正确； D：规定， ， ， ， ， ， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知幂函数的图象过点，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值 【详解】解：由题意令，由于图象过点， 得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值，属于基础题． 13. 已知是定义在上的偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由偶函数的定义域关于原点对称求出a的值，由偶函数的定义求出b的值，从而可得的值． 【详解】∵函数是定义在上的偶函数， ∴定义域关于原点对称，得，即， ∴，又函数是偶函数， ∴，即，即，可得． 故 故答案为：． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数是奇函数.已知函数.则函数图象的对称中心为____________ ；若函数关于点对称，且当时，.若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围为__________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用奇函数定义构造函数即可得第一空；将问题化为函数值域的包含关系，结合二次函数的性质，分类讨论计算参数即可. 【详解】由可得， 易知，即为奇函数， 则的图象关于中心对称； 易知在上单调递增，则时，有， 根据题意可知时，的值域是的子集， 而，即过点， ①若，即， 则在上单调递增，结合中心对称性，所以在上单调递增， 有，此时要满足题意需，解得 ②若，即， 则在上单调递减，结合中心对称性，所以在上单调递减， 同上有，此时要满足题意需，解得 ③若，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 结合中心对称性，所以在上单调递减， 在上单调递增， 则 又， ， 要符合题意需，解之得， 综上所述： 四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知全集为，集合，. （1）若，求： ； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先由分式不等式的解法得到集合，再由集合的运算可得答案； （2）先由已知得到，再分集合是否为空集讨论可得. 【小问1详解】 若，则， 由，可得， 解得， 则， 则， 则； 【小问2详解】 由题意知， 当，即时，∅，符合题意； 当，即时，∅，要满足，可得，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知函数. （1）当时，求不等式的解集； （2）求关于不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）直接解一元二次不等式可得； （2）分参数，，，，五种情况结合一元二次不等式的解法可得. 【小问1详解】 当时，， 由得，即， 所以，解得或， 故不等式的解集为. 【小问2详解】 由，即， 当时，的解为 当时，的解为 当时，，，，无解； 当时，，的解为； 当时，，的解为. 综上所述： 当时，不等式解集 当时，不等式解集为 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 17. 如图，已知矩形的周长为24cm，把沿AC向折叠，得到.设线段与线段DC交于点，且. （1）若，求关于的解析式； （2）求面积的最大值及相应的值. 【答案】（1） （2）， 【解析】 分析】（1）由全等三角形性质、勾股定理列方程即可求解； （2）由基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由已知得，易得和全等，所以， 由勾股定理得，即，其中； 【小问2详解】 ， 当且仅当时取等，面积最大值为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数且． （1）求函数的解析式; （2）判断并用定义证明函数在上的单调性; （3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上为增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据恒成立求出，再根据求出，故可求函数解析式； （2）利用单调性定义结合函数为奇函数可证得在上为增函数. （3）根据函数单调性结合定义域可得在上恒成立，利用特征法可得，结合判别式可求参数的范围. 【小问1详解】 因为为上的奇函数，故， 故即， 而，故，故，故. 【小问2详解】 在上为增函数，证明如下： 设，则， 因为，故， 所以即即在上为增函数， 而在上为奇函数，故在上为增函数. 【小问3详解】 不等式即为， 故在上恒成立， 所以取，则， 故在上恒成立且， 所以即. 19. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义判断； （2）列出满足，，的所有情况最多个数即可证明结论； （3）列出、、、的所有情况，并说明其错误性，再时举出复合题意的例子，即可说明的最小值. 【小问1详解】 由于对，，有，，，，. 故是“可表集合”. 【小问2详解】 欲找寻的最大值，即中的元素尽可能地多， 则由运算后的所有情况为：， 共20个，故. 【小问3详解】 若，则中元素至多有，个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，不妨设，则由构成的数有 共20个， 因为最大数且为偶数，故不可能是中的元素， 故其余19个数刚好构成集合， 这19个数之和为，且， 故， 因，则，又均为正整数，经检验不存在这样的正整数， 故无法构成集合； 若，经过运算可构成集合， 故若为“可表集合”时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $