精品解析：新疆伊犁哈萨克自治州伊宁县2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

伊宁县2025-2026学年第一学期期中学科素养调研试卷 九年级数学 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的识别，解题的关键是熟知一元二次方程的定义； 根据根据只含有一个未知数，且含未知数的最高项的次数为2的整式方程是一元二次方程进行判断即可． 【详解】A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、含有两个未知数，不一元二次方程，故本选项不符合题意； D、仅含未知数，最高次数为2，且为整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 已知关于x的一元二次方程有一个解为，则c的值为（     ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程解的概念：使一元二次方程两边相等的未知数的值，掌握这个概念是关键；把方程解代入一元二次方程中，即可求得c的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解， ∴， 解得：， 故选：B． 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，先把移到方程右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得出答案． 【详解】解： 故选：B． 5. 抛物线y＝﹣2x2经过平移得到y＝﹣2（x-1）2+5，平移方法是（　） A. 向左平移1个单位，再向下平移5个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移5个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移5个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移5个单位 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线y=-2x2得到顶点坐标为（0，0），而平移后抛物线y=-2（x-1）2+5的顶点坐标为（1，5），根据顶点坐标的变化寻找平移方法． 【详解】解：∵抛物线y=-2x2得到顶点坐标（0，0）， 而平移后抛物线y=-2（x-1）2+5的顶点坐标为（1，5）， ∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移5个单位． 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 6. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 【答案】A 【解析】 【分析】先求出方程的解，分为两种情况：①当2为底，5为腰时，②当5为底，2为腰时，看看能否组成三角形，若能，求出三角形的周长即可． 【详解】解：因式分解可得：(x－2)(x－5)=0 解得：， 当2为底，5为腰时，则三角形的周长为2+5+5=12； 当5为底，2为腰时，则无法构成三角形， 故选：A 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 7. 方程2x2﹣5x＋3＝0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】计算出判别式的值即可作出判断． 【详解】∵a=2，b=-5，c=3， ∴Δ=（-5）2-4×2×3=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 8. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线，根据时，y随x的增大而增大，即可得出答案． 【详解】解∶ 中 抛物线开口向上，有最小值． 关于直线的对称点是，当时，y随x的增大而增大， ， 故选：A． 9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②a-b+c=0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可． 【详解】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴， ∴a> 0，c< 0 ∴ac<0 故结论①正确； ②从图中可以看出，抛物线经过点(-1，0)， 当x=-1时，y=0， ∴a-b+c=0，故②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点 ∴b2- 4ac> 0 即4ac- b2< 0 故结论③正确； ④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x =1 所以当x < 1时，y随x的增大而减小 故结论④错误 故正确的结论有①②③共3个； 故选：B． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系． 10. 对于抛物线，下列判断正确的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下． 根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵抛物线， ∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意； 当时，，故D不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 抛物线开口______，对称轴是______，顶点坐标是______． 【答案】 ①. 向上 ②. 直线 ③. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，顶点坐标为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，二次项系数为1， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 故答案为：向上；直线；． 12. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．根据方程的系数结合根与系数的关系，可得出，，再将其代入，即可求出结论． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ． 故答案为： 13. 将一元二次方程化为一般形式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据一元二次方程的一般形式：，，为常数且，即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为： 15. 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行28场比赛，则参加选拔赛的人数为________人． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设有x人参加了选拔赛，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设有x人参加了选拔赛， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 即有8人参加了选拔赛， 故答案为：8． 16. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 17. 定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 18. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（共5小题，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解法是解题的关键． （）利用因式分解法求解； （）利用因式分解法求解； （）利用直接开平方法求解； （）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ∴，； 小问3详解】 解：， ， 开平方得 ， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， 即， ∴，． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向下平移6个单位长度后得到的；并写出点B的对应点的坐标为____________； （2）请画出关于点成中心对称的；并写出点B的对应点的坐标为____________． 【答案】（1）图见解析，； （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题考查作图：原点对称变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求， 点的坐标为：； 【小问2详解】 解：如图：即为所求， 点的坐标为：． 21. 二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标． 【答案】（1） （2），顶点坐标为，点的坐标是 【解析】 【分析】（1）把点、、的坐标代入函数表达式，然后根据三元一次方程组的解法求出、、的值，即可得到二次函数的解析式； （2）利用配方法整理，然后根据顶点式写出顶点坐标，再根据抛物线的对称轴与点的坐标求出与轴的另一交点坐标． 【小问1详解】 根据题意得，， 分别代入、得， ， ， 得，， 解得， 把代入得，， 解得， 方程组的解是， 此二次函数的解析式为； 【小问2详解】 ， 二次函数的解析式为， 顶点坐标为， 对称轴为， 设另一点坐标为， 则， 解得， 点的坐标是． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点的坐标代入函数表达式，然后解三元一次方程组即可，熟练掌握二次函数的性质以及三种形式的相互转化也很重要． 22. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出一元二次方程及二次函数关系式是解题的关键． （1）依据题意，设每次上涨的百分率为x，再由题意列出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）依据题意，设每个降价为a元，可列出关于a的二次函数，再由二次函数的性质进行判断计算可以得解． 【小问1详解】 解：设每次上涨的百分率为，列方程为： ， 解得：，（舍去）， 答：每次上涨的百分率为； 【小问2详解】 解：设销售单价降低元，销售利润元， ， ∴当销售单价降低元，所获销售利润最大，最大为元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． (3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)C点坐标为，，，， 【解析】 【分析】(1)直接把A、B坐标代入抛物线解析式求解即可； (2)先求出直线AB的解析式为y=x-1，设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)，PQ=-a2-3a，可得，利用二次函数的性质求解即可； (3)分当AB=BC时，当AB=AC时，当BC=AC时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：(1)将A(-3，-4)，B(0，-1)代入y=x2+bx+c， 得， 解得， ∴抛物线解析式为y=x2+4x-1； (2)设直线AB的解析式为y=kx+b， 则， 解得， ∴直线AB的解析式为y=x-1， 设P(a，a2+4a-1)，则Q(a，a-1)， ∴PQ=-a2-3a， ∴， ∵， ∴当a=时，△PAB的面积有最大值； (3)∵抛物线解析式为y=x2+4x-1， ∴抛物线的对称轴为， 设点C(-2，y)， ∵B(0，-1)，A(-3，-4)， ∴AB2=32+32=18，BC2=22+(y+1)2，AC2=12+(y+4)2， ①当AB=BC时， ∴22+(y+1)2=18， 解得， ∴，； ②当AB=AC时， ∴12+(y+4)2=18， 解得， ∴，； ③当BC=AC时， ∴， 解得， ∴； 综上所述：C点坐标为，，，，． 【点睛】本题主要考查了一次函数综合，二次函数综合，待定系数法求函数解析式，两点距离公式，等腰三角形的性质等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊宁县2025-2026学年第一学期期中学科素养调研试卷 九年级数学 满分120分 时间120分钟 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知关于x的一元二次方程有一个解为，则c的值为（     ） A. B. C. 1 D. 2 4. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线y＝﹣2x2经过平移得到y＝﹣2（x-1）2+5，平移方法是（　） A. 向左平移1个单位，再向下平移5个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移5个单位 C 向右平移1个单位，再向下平移5个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移5个单位 6. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是（ ） A. 12 B. 9 C. 13 D. 12或9 7. 方程2x2﹣5x＋3＝0的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根 8. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②a-b+c=0；③4ac－b2＜0；④当x＞－1时，y随x的增大而减小，其中正确的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 对于抛物线，下列判断正确是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标是 C. 对称轴为直线 D. 当时， 二、填空题（共8小题，每题3分，共24分） 11. 抛物线的开口______，对称轴是______，顶点坐标是______． 12. 若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于________． 13. 将一元二次方程化为一般形式是_____． 14. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是________． 15. 学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行28场比赛，则参加选拔赛人数为________人． 16. 若函数y=mx2+2x+1图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 17. 定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 18. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 三、解答题（共5小题，共66分） 19. 解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 20. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出向下平移6个单位长度后得到的；并写出点B的对应点的坐标为____________； （2）请画出关于点成中心对称的；并写出点B的对应点的坐标为____________． 21. 二次函数的部分图象如图所示，其中图象与轴交于点，与轴交于点，且经过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与轴的另一个交点的坐标． 22. 2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素饰品深受大众喜爱．商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出．由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个． （1）若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率； （2）市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个．那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两点，其中A(-3,-4)，B(0,-1)． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值． (3)在二次函数的对称轴上找一点C，使得△ABC是等腰三角形，求满足条件的点C的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $