精品解析：福建省漳州市第三中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

漳州三中2025-2026学年上学期期中考高二数学试卷 命卷人：洪云 审核人：王晓娟 李小权 本试卷共4页．满分150分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 2. 点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 3. 数列为等差数列，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 已知直线：，：，则与的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（ ）米. A. 29 B. 45 C. 61 D. 77 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：； 纵坐标： A. B. C. D. 7. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：（）和直线：，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线的斜率为 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 3 11. 被誉为“闽南第一山”的风景文化名胜——漳州平和灵通山，主峰海拔1287米，以险峻地貌和独特自然景观著称．灵通山有一段被称为“天梯”的阶梯蜿蜒直上几乎呈70度倾斜，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出与圆和都相切的一条直线方程____________． 13. 已知数列满足，则______． 14. 无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则______；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和______ 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等比数列的公比为2，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式： （2）若，求数列的前n项和． 16. 已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点． （1）求k的取值范围； （2）若，求直线l的方程． 17. 已知椭圆：（），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）判断椭圆是否是“圆椭圆”？并证明你的结论． 18. 数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，数列的前n项和为，求的最小值． 19. 已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； （3）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州三中2025-2026学年上学期期中考高二数学试卷 命卷人：洪云 审核人：王晓娟 李小权 本试卷共4页．满分150分． 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后．用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数列的通项公式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】观察数列的特点，即可得到其通项公式. 【详解】根据题意数列其中，，， ，则其通项公式可以为 故选:B. 2. 点在椭圆上，是的两个焦点，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】首先得出椭圆得标准方程，计算出，再由由椭圆定义可知：，代入即可求得. 【详解】椭圆，即， 其中 由椭圆定义可知： 得， 故选：A. 3. 数列为等差数列，若，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差中项的性质求解即可． 【详解】由数列为等差数列， 则，解得． 故选：C． 4. 已知直线：，：，则与的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的距离公式求解即可． 【详解】直线：，：， 则与的距离． 故选：A． 5. 一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟上升高度的80%，该热气球在前3分钟里上升的总高度为（ ）米. A. 29 B. 45 C. 61 D. 77 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题意可知，热气球每分钟上升的高度构成等比数列，且首项，公比， 则该热气球在前3分钟里上升的总高度为米. 故选：C 6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）．注：重心坐标公式为横坐标：； 纵坐标： A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由重心坐标公式得重心的坐标，根据垂直平分线的性质设出外心的坐标为，再由求出，然后求出欧拉线的斜率，点斜式就可求得其方程. 【详解】设的重点为，外心为，则由重心坐标公式得 ，并设的坐标为， 解得，即 欧拉方程为：，即： 故选：D 【点睛】本题考查直线方程，两点之间的距离公式，三角形的重心、垂心、外心的性质，考查了理解辨析能力及运算能力. 7. 若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程化为标准式即可计算求解. 【详解】解：方程可变形为， 因为方程表示圆，则，所以. 故选：D. 8. 设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点P，点P不与点A，B重合，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线方程求出坐标，再根据两直线垂直得出，进而利用基本不等式即可． 【详解】由以及得，， 因，则两条直线垂直， 则， 则 ， 当且仅当，结合，即时等号成立， 故的最小值是． 故选：B． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线：（）和直线：，则（ ） A. 直线过定点 B. 直线的斜率为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】令可得A错误；由直线的斜率可得B错误；由两直线平行充要条件可得C正确；由两直线垂直的充要条件可得D正确． 【详解】令，则，所以直线过定点，故A错误； 直线 的斜率为2，故B错误； 若 ，则，解得，经检验符合题意，故C正确； 若 ，则，故D正确； 故选：CD． 10. 已知点，若斜率为1的直线l与椭圆C：（）交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，点P在椭圆C上，则的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先利用点差法求出，然后设，写出的表达式，利用二次函数的性质即可求解. 【详解】设，因为直线的斜率为1，的中点坐标为， 所以，，， 把代入椭圆方程得，两式相减得， 整理得，即，所以， 所以椭圆方程为， 设， 则， 由二次函数性质可知当时，，当时，， 所以的取值范围为，适合题意的有BCD中的数值， 故选：BCD 11. 被誉为“闽南第一山”的风景文化名胜——漳州平和灵通山，主峰海拔1287米，以险峻地貌和独特自然景观著称．灵通山有一段被称为“天梯”的阶梯蜿蜒直上几乎呈70度倾斜，十分惊险．某游客爬天梯，一次上1个或2个台阶，设爬上第n个台阶的方法数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可得，结合数列的性质和选项计算，依次判断即可． 【详解】A：一次上1个或2个台阶，则，… 设爬上第个台阶的方法数为，由上观察可得，故A正确； B：，故B正确； C：结合A分析知：，故C错误； D：，， 可得，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 写出与圆和都相切的一条直线方程____________． 【答案】或中任何一个答案均可 【解析】 【分析】先判断两圆的位置关系，可知公切线斜率存在，方程可设为，根据圆心到直线的距离等于半径列出方程组，解之即可得出答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则， 所以两圆外离， 由两圆的圆心都在轴上，则公切线的斜率一定存在， 设公切线方程为，即， 则有， 解得或或或 所以公切线方程为或. 故答案为：.（答案不唯一，写其它三条均可） 13. 已知数列满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 14. 无穷数列满足：对于，，其中p为常数，则称数列为P数列．若一个公比为的等比数列为“P数列”，则______；若，，是首项为1，公比为3的等比数列，在与之间依次插入数列中的k项构成新数列：，，，，，，，，，，…，则数列前30项的和______ 【答案】 ①. ②. 1622 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的通项公式，列出“数列”的式子，变形后得，与无关，即可求解； （2）由题意确定数列中前30项含有的前7项和数列的前23项，结合等差和等比数列的前项和公式，即可求解． 【详解】数列是等比数列，则，， 则， 因为与无关，所以，即； 由题意可知，，而，所以， 是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项（含）前共有项， 令，结合，解得：， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 故答案为：；1622． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等比数列的公比为2，且，，成等差数列． （1）求数列的通项公式： （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（１）由等比数列基本量的计算以及等差中项即可求解； （2）由错位相减法求和即可． 【小问1详解】 已知等比数列的公比为2，且成等差数列， ， ,解得， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， 解得． 16. 已知过点且斜率为k的直线l与圆C：交于M，N两点． （1）求k的取值范围； （2）若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线和圆相交时，圆心到直线的距离小于半径即可求解； （2）利用几何关系求出圆心到直线的距离，根据点到直线距离公式即可求出方程． 【小问1详解】 设直线的方程为，即， 圆，圆心，半径， 圆心到直线的距离，因为直线与圆相交，所以， 即，整理得，解得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为，，所以到直线的距离为，即， 整理得，解得或， 所以直线的方程为或 . 17. 已知椭圆：（），点A为椭圆短轴的上端点，P为椭圆上异于A点的任一点，若P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知，椭圆的离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）判断椭圆是否是“圆椭圆”？并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 椭圆是“圆椭圆”，理由如下， 由（1）知，，设，则， 于是， 而，因此当且仅当时，，此时点， 即P点到A点距离的最大值仅在P点为短轴的另一端点时取到， 所以椭圆是“圆椭圆”． 【解析】 【分析】（1）由给定的离心率及短半轴长求出即可； （2）设点，利用两点间距离公式，结合椭圆方程求出取得最大值的点位置即可推理得证． 【小问1详解】 根据题意，，解得， 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，，数列的前n项和为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列的形式结合等比数列通项计算求解； （2）利用（1）的结论计算，利用裂项相消法计算，根据指数函数的单调性，求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 而，所以， 所以是以2为首项，为公比的等比数列； 所以，则； 【小问2详解】 由上可知， 则， 因为单调递增，所以， 所以的最小值为. 19. 已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程，并说明其形状； （2）若过点的直线与曲线交于两点，求的取值范围； （3）已知，过直线上的动点分别作曲线的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 【答案】（1），曲线是以为圆心，2为半径的圆． （2） （3）如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线： ②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点． 【解析】 【分析】（1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线QR的方程为，即可求解. 【小问1详解】 设，由，得， 化简得，即， 故曲线是以为圆心，为半径的圆． 【小问2详解】 设圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，，所以，所以， 当直线过圆心时，，此时最大， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $