5.2.1三角函数的概念（5大题型）训练-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．2．1 三角函数的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：利用三角函数的定义求值 2 题型二：判断三角函数值在各象限内的符号 3 题型三：角所在象限问题 4 题型四：利用诱导公式（一）化简或求值 4 题型五：圆上的动点与旋转点 5 02 重难点拓展 8 题型一：利用三角函数的定义求值 1．已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由三角函数的定义知: ， 所以. 故选：A. 2．（2025·高二·云南大理·开学考试）已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设直线上任意一点P的坐标为（）， 则（O为坐标原点）， 根据正弦函数的定义得：， 时，； 时，， 所以选项D正确，选项A，B，C错误， 故选：D. 3．（2025·高一·四川眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，由三角函数的定义可知，点为角的终边与单位圆的交点，所以：. 故选：B. 题型二：判断三角函数值在各象限内的符号 4．（2025·高一·河南南阳·开学考试）的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 【答案】B 【解析】因为，所以， 所以，，， 故选：B 5．（2025·高一·河南开封·期末）已知是第一象限角，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为是第一象限角， ∴，所以 则角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上， ，A不正确；，B不正确； 由，角的终边在第一象限或第三象限， 所以 ，D正确； 角的终边在第三象限时，，C不正确； 故选：D． 6．（2025·高一·山西太原·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】易知“”可以推出“”，即充分性成立； 而当时，，此时推不出“”，即必要性不成立， 因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 题型三：角所在象限问题 7．（2025·高一·四川达州·期末）是角为第三象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】可得或，即为第三象限角或第二象限角， 所以是角为第三象限角的必要不充分条件. 故选：B. 8．若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】要使，必须，，即，，所以是第二象限角. 故选：B. 9．（2025·高一·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角. 根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以. 根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以. 在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限， 因为点中，，所以点在第三象限. 即点在平面直角坐标系中位于第三象限. 故选：. 题型四：利用诱导公式（一）化简或求值 10．的值为 ． 【答案】 【解析】， 则原式． 故答案为： 11．（2025·高一·宁夏银川·期末）的值为 . 【答案】 【解析】. 故答案为：. 12．求的值 . 【答案】/ 【解析】. 故答案为：. 题型五：圆上的动点与旋转点 13．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设当质点Q与P第二次相遇时，用了时间，依题意有， 解得，此时质点Q转过角度为，因为是顺时针作匀速圆周运动，质点Q转在角的终边上，圆的半径为1，Q的坐标为. 故选：C 14．（2025·高一·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意可知，作出图示如下： 根据题意可得，，作轴且垂足为； 利用三角函数定义可得，； 又点在第四象限，所以点的坐标为. 故选：C 15．（2025·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由题意可知，一个质点在圆O上每逆时针方向转一圈，那么后，到达P点，所以，而在中，且为圆的半径，取的中点T，如图，则，所以，则，所以 故选：C 1．已知 是第二象限角，则下列说法一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题，可得，，则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，由，则，故B错误； 对于C，由，则正负不确定，故C错误； 对于D，因为是第二象限角，所以，故D错误. 故选：A. 2．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设点的坐标为，所以由三角函数的定义可得 ， 因为，即， 由图知，对于A，在第一象限，且，不满足题意，故A错； 对于B，在第三象限，且，不满足题意，故B错； 对于C，在第三象限，且，满足题意，故C正确； 对于D，在第四象限，且，不满足题意，故D错. 故选：C. 3．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知，角的终边与单位圆交点的纵坐标为，代入单位圆， 可得，或． ①若角的终边在第一象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点， 此时； ②若角的终边在第二象限，则， 关于对称点是角的终边与单位圆的交点，， 此时． 故选：B 4．（2025·高一·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为角的终边经过点， 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，； 当时，由三角函数的定义可得， ，此时，． 综上，． 故选：B． 5．（2025·高一·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【解析】当时，，故充分性成立； 当时，，故必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 6．已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题知圆的半径为1，点位于第二象限，且，则点的纵坐标为，横坐标为. 故选：A. 7．（2025·高一·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知可得，因为角的终边过点， 所以. 故选：. 8．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若角的终边在第一象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时； 若角的终边在第二象限，设终边上一点，则关于对称点在终边上， 此时. 故选：B 9．（2025·高一·天津滨海新·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 【答案】D 【解析】由题意可得， 因为点A在角的终边上，所以， 所以. 故选：D. 10．（2025·高一·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在单位圆上，， 又终边在第三象限，，，， . 故选：C. 11．（多选题）（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）下列选项正确的是（    ） A．若则 B． C．时针经过3小时，那么它旋转形成的角为 D．一扇形弧长为4，圆心角为则扇形的面积为 【答案】BD 【解析】当，时，则，A选项错误； ，B选项正确； 时针经过3小时，那么它旋转形成的角为，C选项错误； 一扇形弧长为4，圆心角为，则，所以，则扇形的面积为，D选项正确； 故选：BD. 12．（多选题）若角是第二象限角，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为角是第二象限角， 所以，， 所以，，，， 所以当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 是第三象限角或是第四象限角或终边位于轴的非正半轴， 所以，，BC正确； 又当是第三象限角时，，A错误；当是第四象限角时，，D错误. 故选：BC. 13．（2025·高一·河北保定·期末）德国数学家高斯用取整符号定义了取整运算，对于任意的实数，表示不超过实数的最大整数，例如，则 ． 【答案】 【解析】根据正弦函数的周期为， 在一个周期内有 当时，， 当时，， 所以， 根据三角函数的周期性可知 . 故答案为：. 14．（2025·高一·上海·开学考试）已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 . 【答案】0 【解析】由可知，都存在， 因为角的终边上的点与关于轴对称， 所以，则， 而角的终边上的点与A关于直线对称， 所以，则，， 则 . 故答案为：0. 15．（2025·高一·上海杨浦·开学考试）函数的值域的真子集的个数为 【答案】 【解析】当是第一象限角，，此时， 当是第二象限角，，此时， 当是第三象限角，，此时， 当是第四象限角，，此时， 所以，值域为，所以有个真子集， 故答案为：. 16．（2025·高一·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，若，则符合条件的点的坐标可以是 . 【答案】或（写出一个即可） 【解析】由三角函数的定义可知，角的终边与单位圆相交于点， 当时，，则的坐标满足， 当时，，则的坐标满足， 故符合条件的点的坐标是和. 故答案为：或（写出一个即可）. 17．（2025·高一·天津和平·期末）若角的终边经过点（其中且），则 . 【答案】 【解析】∵，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．2．1 三角函数的概念 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：利用三角函数的定义求值 2 题型二：判断三角函数值在各象限内的符号 2 题型三：角所在象限问题 2 题型四：利用诱导公式（一）化简或求值 3 题型五：圆上的动点与旋转点 3 02 重难点拓展 4 题型一：利用三角函数的定义求值 1．已知是角的终边上一点，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高二·云南大理·开学考试）已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·高一·四川眉山·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：判断三角函数值在各象限内的符号 4．（2025·高一·河南南阳·开学考试）的值（    ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定 5．（2025·高一·河南开封·期末）已知是第一象限角，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·山西太原·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：角所在象限问题 7．（2025·高一·四川达州·期末）是角为第三象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若，则的终边位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·高一·辽宁大连·期中）点在平面直角坐标系中位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四：利用诱导公式（一）化简或求值 10．的值为 ． 11．（2025·高一·宁夏银川·期末）的值为 . 12．求的值 . 题型五：圆上的动点与旋转点 13．质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·高一·山西忻州·开学考试）在直角坐标系中，若点从点出发，沿圆心在原点，半径为3的圆按逆时针方向运动到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 15．（2025·高一·湖南益阳·期末）在直角坐标系中，一个质点在半径为2的圆O上，以圆O与x正半轴的交点为起点，沿逆时针方向匀速运动到P点，每转一圈，则后的长为（    ） A． B． C． D． 1．已知 是第二象限角，则下列说法一定正确的是 （    ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，分别是单位圆上的四段弧（不含与坐标轴的交点），点P在其中一段上，角以为始边，为终边，若，则P所在的圆弧是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若角的终边与单位圆交点的纵坐标为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高一·河南南阳·期中）若角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·高一·上海·期中）“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 6．已知曲线是以原点为圆心的单位圆，，将点沿曲线按逆时针方向运动后到达点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·安徽亳州·开学考试）若角的终边过点，则的值等于（    ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽马鞍山·一模）在平面直角坐标系中，角与角均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于直线对称．若，则（   ） A． B． C． D． 9．（2025·高一·天津滨海新·期末）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角的终边上，则（   ） A． B．0 C．7 D． 10．（2025·高一·北京通州·期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边在第三象限且与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）下列选项正确的是（    ） A．若则 B． C．时针经过3小时，那么它旋转形成的角为 D．一扇形弧长为4，圆心角为则扇形的面积为 12．（多选题）若角是第二象限角，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 13．（2025·高一·河北保定·期末）德国数学家高斯用取整符号定义了取整运算，对于任意的实数，表示不超过实数的最大整数，例如，则 ． 14．（2025·高一·上海·开学考试）已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 . 15．（2025·高一·上海杨浦·开学考试）函数的值域的真子集的个数为 16．（2025·高一·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，若，则符合条件的点的坐标可以是 . 17．（2025·高一·天津和平·期末）若角的终边经过点（其中且），则 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $