精品解析：广东省深圳市福田区红岭中学2025-2026学年高一上学期第一学段考试数学试题

红岭中学2025-2026学年度第一学期第一学段考试 高一数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：蔡晓纯 林子铠 审题人：程武军 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若幂函数的图象不过原点，则（ ） A. B. 或 C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 6. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 7. 若实数，，且，则（ ） A. 的最小值为7 B. 的最大值为9 C. 的最小值为8 D. 的最小值为1 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 的图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，，都有 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 方程在上有2个不同实数解 D. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，，，，则的值可能是2026.（注：） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14小题的第一空2分，第二空3分. 12. 化简：__________. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 14. 已知定义在上的函数满足：，则__________；若，且对任意的，，都有，则不等式的解集为__________. 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 16. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 17. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 18. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求，； （2）判断在上的单调性，并用定义法予以证明； （3）函数，，若在上的值域是，求，的值. 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是无理数.已知函数，. （1）对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）已知，当时，记的最大值为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 红岭中学2025-2026学年度第一学期第一学段考试 高一数学试卷 （说明：本试卷考试时间为120分钟，满分为150分） 命题人：蔡晓纯 林子铠 审题人：程武军 一、选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）. 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题分析判断. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 2. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合待比较的三个数的指数，底数的特点，构造指数函数，幂函数，根据它们的单调性即可求解. 【详解】设，根据指数函数的单调性，在上单调递减，则，即； 设，根据幂函数的单调性，在上单调递增，则，即. 故. 故选：D 3. 若幂函数的图象不过原点，则（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及性质即得. 【详解】因为幂函数的图象不过原点， 所以， 解得或． 故选：B． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性排除B，C，利用函数的单调性排除A即可. 【详解】对于函数，定义域为， 因为， 所以函数为偶函数，故B，C错误， 当时，， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，故A错误，D正确． 故选：D． 5. 下列各组函数是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】函数相等的充要条件是对应法则、定义域相同，由此逐一判断各个选项即可得解. 【详解】对于选项A：由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 由函数可得，解得， 可知函数的定义域为； 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故A错误． 对于选项B：函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故B错误． 对于选项C：函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，因此不是同一个函数，故C错误． 对于选项D：函数、的定义域均为， 且，可知定义域与对应法则均相同，因此是同一个函数，故D正确． 故选：D. 6. 设，则关于的不等式有解的一个必要不充分条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的判别式求解“关于的不等式有解”的充要条件，再分析必要不充分条件即可. 【详解】有解，即对于方程的，则；可知D选项为一个必要不充分条件. 故选:D. 7. 若实数，，且，则（ ） A. 的最小值为7 B. 的最大值为9 C. 的最小值为8 D. 的最小值为1 【答案】D 【解析】 【分析】对于AD：整理可得，，代入结合基本不等式运算求解；对于BC：直接应用基本不等式解不等式即可判断. 【详解】对于选项A：由， 显然不符合上式，即，整理可得， 由，则，即，解得， 可得 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故A错误； 对于选项B：由，则， 整理可得，解得，即， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为9，故B错误； 对于选项C：由，则， 整理可得，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为6，故C错误； 对于选项D：由选项A可得，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为1，故D正确； 故选：D. 8. 设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例：，.已知函数，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，进而分析的单调性和值域，分类讨论的符号结合取整函数的定义运算求解即可. 【详解】因为， 可知在定义域内单调递减，且， 且，则，，可得， 若，则，可知，， 则，可得； 若，则； 若，则，可知，， 则，可得； 综上所述：函数的值域是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题意要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】特殊值判断A､C；作差法比较大小判断B；利用不等式性质求的范围判断D. 【详解】对于A，由，但，故A错； 对于B，，又， 所以，即，故B正确； 对于C，由，即，故C错； 对于D，由且，故，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的定义域为，则函数的定义域是 B. 的图象关于点成中心对称 C. 若函数，则 D. 若函数，则对任意，，都有 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A：先根据抽象函数定义域的求法可结合分式的意义运算求解即可；对于B：分离常数可得，结合函数图象的中心对称性与函数图象的平移法则，即可得解；对于C：采用换元法求函数的解析式即可，注意函数的定义域；对于D：根据幂函数图象的凹凸性，即可作出判断． 【解答】对于选项A：因为函数的定义域为， 则，解得， 所以函数的定义域是，故A错误； 对于选项B：， 因为的图象关于点对称，且的图象是由的图象先向左平移个单位，再向上平移个单位， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于选项C：令，则， 所以，其中， 所以，故C正确； 选项D，因为是上凸函数， 所以对任意，有，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的周期是4 C. 方程在上有2个不同实数解 D. 定义在上的函数满足，若函数与函数的图象有个交点，，，，则的值可能是2026.（注：） 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知条件确定的周期，从而判断AB，令，确定函数是偶函数，先求出时方程的解，然后由偶函数性质求得在实数集上的解的个数判断C，由与的图象都关于点对称，判断D． 【详解】对于选项AB：因为是奇函数，则的图象关于点对称，即， 又，所以， 即，所以， 可知是周期函数，周期为4， ，故A错误，B正确； 对于选项C：设，则，所以是偶函数， 当时，则， 因为，即， 整理可得，解得或， 即方程有2个解； 当时，，，即方程无解； 当，根据偶函数图象关于y轴对称可知，，， 即方程无解； 当时，根据偶函数图象关于y轴对称可知，，， 即方程无解； 所以方程在上有2个不同实数解，故C正确， 对于选项D：因为，可知的图象关于点对称， 又的图象也关于点对称， 因此与的图象交点也关于点对称， 且，即是它们图象的一个交点， 设与的图象在内有个交点， 可知它与的图象共有个交点， 则， 可知当时，， 所以的值可能是2026，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14小题的第一空2分，第二空3分. 12. 化简：__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意化根式为分数指数幂，结合指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：6. 13. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】若使在上单调递增，则； 若使在上单调递增，则． 若使函数在上单调递增， 则解得，故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛： 解决分段函数单调性问题，关键是分别分析各段函数的单调性，对于二次函数，根据对称轴与单调性的关系确定参数范围；对于一次函数，根据的系数与单调性的关系确定参数范围. 14. 已知定义在上的函数满足：，则__________；若，且对任意的，，都有，则不等式的解集为__________. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解；由构造函数，且在上单调递减，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】由，令得，解得； 设，则， 由，得，即， 设，则在上单调递减. 由，可得函数图象关于对称， 则的图像关于原点对称，即函数是奇函数， 则函数是偶函数，则在上单调递增， 当时，可得，即， 所以，解得； 当时，可得，即，即. 所以，解得； 综上，不等式的解集为. 故答案为：2； 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，． （1）当时，求与； （2）当时，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用交集和并集的定义可得出集合、； （2）分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时， 又因为， 所以，，. 【小问2详解】 解：因为，分以下两种情况讨论： 当时，，解得； 当时，由可得，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 16. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价为10元/千克，且供不应求.记该水果树的单株利润为（单位：元）. （1）求函数的解析式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元 【解析】 【分析】（1）利用，即可求解； （2）分、两种情况，结合二次函数性质以及基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 根据题意可得， 所以； 【小问2详解】 由（1）可得： 当时，因为的图象开口向上，对称轴为， 可得； 当时，可得 当且仅当时，即时等号成立， 因为，所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为380元. 17. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域. （2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. 【小问2详解】 当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增， 所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 18. 已知函数是定义域在上的奇函数. （1）求，； （2）判断在上的单调性，并用定义法予以证明； （3）函数，，若在上的值域是，求，的值. 【答案】（1）， （2） 由（1）可知：， 则在上为增函数，上为减函数，证明如下： 任取，不妨设， 则， 当，，，则， 即，所以在上为增函数， 当时，，则， 即，所以在上为减函数. （3）， 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组来求得的值. （2）根据函数单调性的定义证得的单调性. （3）根据题意结合二次函数最值可得，再函数的单调性、值域列方程组来求得的值. 【小问1详解】 因为函数是定义域在上的奇函数， 可得，即，解得， 当时，， 则， 可知为定义域在上的奇函数，符合题意， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为的图象开口向下，对称轴为， 因为，则， 若在上的值域是，则， 可知在上单调递增， 则，解得，， 所以，． 19. 著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是无理数.已知函数，. （1）对任意实数，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）已知，当时，记的最大值为，求的最小值. 【答案】（1）是，定值1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将两函数式代入计算即得； （2）分析可知为奇函数，在上单调递增，利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，进而求其最小值. 【小问1详解】 因为，， 可得， 所以 是定值，定值为1. 【小问2详解】 因为的定义域为，且， 可知为奇函数， 且是定义在上的增函数，可知是定义在上的增函数， 由不等式可得， 则，解得， 所以不等式的解集为. 【小问3详解】 令，因在上单调递增， 当时，；当时，，； 可得， 又因为，则， 可得， 构造，可知的图象开口向下，对称轴为， 且，可得： ①当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为， 则在内单调递增，则； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值， 则； 因为，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $