5．1 任意角和弧度制（8大题型）训练-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．1 任意角和弧度制 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：角的概念 2 题型二：角终边相同的角的方法 2 题型三：等分角问题 3 题型四：象限角的判定 3 题型五：区域角问题 3 题型六：弧度制与角度制 4 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 5 题型八：最值问题 5 02 重难点拓展 6 题型一：角的概念 1．若将钟表调慢5min，则分针转动角为（   ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列命题为真命题的是（    ） A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 题型二：角终边相同的角的方法 4．已知集合． (1)集合中有几种终边不相同的角？ (2)集合中有几个大于且小于的角？ 5．已知． (1)把α写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且． 6．已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 题型三：等分角问题 7．（2025·高一·江西抚州·月考）已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 8．（2025·高一·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（2025·高一·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 题型四：象限角的判定 10．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 11．（2025·高一·全国·课前预习）若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 题型五：区域角问题 13．集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 14．（2025·高一·江西景德镇·期末）终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 15．（2025·高一·黑龙江·期中）已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 题型六：弧度制与角度制 16．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 17．将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 18．把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 19．（2025·高一·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 20．半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是 ． 21．（2025·高一·上海·期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于 . 题型八：最值问题 22．（2025·高一·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 23．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 24．（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 3．（2025·高一·江西景德镇·期中）如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（   ） A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米 C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米 4．（2025·高一·湖北荆州·开学考试）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 6．（多选题）若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·全国·课前预习）已知扇形的面积为，周长为，则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为 ． 8．（2025·高一·北京西城·期中）扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为 ． 9．（2025·高一·北京·期中）半径为4，圆心角为的扇形的弧长为 ． 10．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 11．（2025·高一·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 12．（2025·高一·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 13．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是 ． 14．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 15．若是第二象限角，试确定是第几象限角． 16．如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 17．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．1 任意角和弧度制 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：角的概念 2 题型二：角终边相同的角的方法 3 题型三：等分角问题 4 题型四：象限角的判定 5 题型五：区域角问题 5 题型六：弧度制与角度制 7 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 8 题型八：最值问题 8 02 重难点拓展 11 题型一：角的概念 1．若将钟表调慢5min，则分针转动角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分针转一圈60min共，将钟表的分针调慢5min，为逆时针， 则分针逆时针转过． 故选：B． 2．下列说法中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角；③第一象限角可能是负角；④小于的角都是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】对于①，终边相同的角可以相差360°的整数倍，不一定相等，①错误； 对于②，钝角是大于90°且小于180°的角，一定是第二象限角，②正确； 对于③，第一象限角可以是正角，也可以是负角，③正确； 对于④，小于90°的角可以是锐角，也可以是负角，④错误． 综上，正确的个数是2. 故选：B． 3．下列命题为真命题的是（    ） A．小于的角都是锐角 B．钝角一定是第二象限角 C．第二象限角大于第一象限角 D．若，则是第二或第三象限的角 【答案】B 【解析】对于A中，小于的角，例如，但不是锐角，所以A是假命题； 对于B中，因为钝角的范围是是第二象限角，所以B是真命题； 对于C中，例如：是第二象限角，是第一象限角，但，所以C是假命题； 对于D中，当时，，但不是第二或第三象限的角，所以D是假命题． 故选：B． 题型二：角终边相同的角的方法 4．已知集合． (1)集合中有几种终边不相同的角？ (2)集合中有几个大于且小于的角？ 【解析】（1）由于任意k值都可以写成或或或（）的形式， 所以集合中终边不相同的角共有4种． （2）由，得． 又，故． 所以集合中大于且小于的角共有8个． 5．已知． (1)把α写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α的终边相同，且． 【解析】（1），它是第三象限角． （2）令， 取就得到符合的角． 当时，； 当时，． 故或． 6．已知角的集合． (1)其中有几种终边不重合的角？ (2)写出落在–360°~360°之间的角； (3)写出其中是第二象限的角的一般表示方法． 【解析】（1）（1）当（）时，，与45°角的终边重合； 当（）时，，与135°角的终边重合； 当（）时，，与225°角的终边重合； 当（）时，，与315°角的终边重合， 故有4种终边不重合的角. （2）由，得． 又，故，–3，–2，–1，0，1，2，3． 所以，在给定的角的集合中落在–360°~360°之间的角是： –315°，–225°，–135°，–45°，45°，135°，225°，315°． （3）由（1）知，其中是第二象限的角可表示为，． 题型三：等分角问题 7．（2025·高一·江西抚州·月考）已知是钝角三角形中最大的角，则是（   ） A．第一象限角 B．第三象限角 C．第四象限角 D．小于的正角 【答案】A 【解析】因为是钝角三角形中最大的角，所以， 则，故是第一象限角． 故选：A 8．（2025·高一·河北石家庄·期中）如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】∵α为第三象限角，∴， ∴， 令，，时，，， 可得的终边在第一象限； 令，时，，， 可得的终边在第三象限， 令，时，，， ∴可得的终边在第四象限， 故选:B． 9．（2025·高一·北京·期中）设是第二象限角，则的终边在（    ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】D 【解析】因为是第二象限角， 所以 ， ， 当 时， ，在第一象限； 当 时， ，在第二象限； 当 时， ，在第四象限； 故选：D 题型四：象限角的判定 10．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）是第几象限角（    ） A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【解析】因为，所以与终边相同， 因为是第三象限角，所以是第三象限角. 故选：C. 11．（2025·高一·全国·课前预习）若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解析】由题知，则， 故角的终边所在的象限是第三象限． 故选：C 12．若与角的终边相同，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】因为与角的终边相同，所以， 则，所以是第三象限角． 故选：C 题型五：区域角问题 13．集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 故选：B. 14．（2025·高一·江西景德镇·期末）终边在第四象限的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】终边在第四象限的角的集合是或. 故选：C. 15．（2025·高一·黑龙江·期中）已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（　　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，故B选项符合. 故选：B 题型六：弧度制与角度制 16．（2025·高一·黑龙江齐齐哈尔·月考）弧度对应角化成角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解:根据角度制与弧度制的互化关系得 故选：B 17．将75°化为弧度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，可得. 故选：A. 18．把化成度的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C. 题型七：扇形的弧长及面积公式的应用 19．（2025·高一·四川泸州·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ． 【答案】 【解析】设扇形的半径为，弧长为的弧所对的圆心角为，所以，所以， 则该弧所在的扇形面积为. 故答案为：. 20．半径为4厘米、弧长为8厘米的弧所对的圆心角的弧度数是 ． 【答案】2 【解析】． 故答案为：2. 21．（2025·高一·上海·期中）扇形的半径等于2，面积等于6，则它的圆心角等于 . 【答案】 【解析】扇形的半径，它的圆心角为， 所以扇形面积，所以 故它的圆心角等弧度， 故答案为： 题型八：最值问题 22．（2025·高一·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为． (1)若，，求扇形的弧长； (2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角． 【解析】（1）， 扇形的弧长； （2）设扇形的弧长为，半径为， 则，， 则， 当时，，此时，， 的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角． 23．已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为； (1)若，求扇形的弧长； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径. 【解析】（1）， . （2）由已知得，， 所以，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，所以. 24．（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积; （2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大?并求出最大值? 【解析】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为， 因此，而扇形面积为， 所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是. （2）设扇形的半径为，则扇形弧长， 扇形面积，当且仅当时取等号， 所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值. 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：C. 2．（2025·高一·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接，设和的交点为， 因点是以为直径的半圆的三等分点，则， 因，则，即为等边三角形， 因，则， 因，则四边形为平行四边形， 因，则四边形为菱形，则， 设圆的半径为，则，， 则， 扇形的面积为，， 则图中阴影部分的面积为， 因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为. 故选：A 3．（2025·高一·江西景德镇·期中）如图所示，有一圆形图案，小红准备在扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）涂上颜色，已知厘米，厘米，扇形环面区域面积为100平方厘米，圆心角为弧度．记扇环的周长为厘米，的最小值为（   ） A．最小值为20厘米 B．最小值为40厘米 C．最小值为60厘米 D．最小值为80厘米 【答案】B 【解析】依题意可得弧长，弧长， 所以扇环的周长的长度， 因为扇形的面积公式可得，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以扇环的周长的最小值为40米. 故选：B. 4．（2025·高一·湖北荆州·开学考试）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ） ①；          ②的长等于； ③扇形的周长为； ④扇形的面积为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对于①，因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①正确； 对于②，由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以②正确 对于③，所以扇形的周长为，所以③正确； 对于④，由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④正确. 故选：D. 5．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 【答案】BCD 【解析】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角，B选项正确； 若是第三象限角，则，则 当时，，是第四象限角， 当时，，是第二象限角，故C选项正确； 终边在轴正半轴上的角的集合为，D选项正确. 故选：BCD. 6．（多选题）若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为与的终边相同，与的终边关于轴对称， 所以， 所以，所以AB正确； ①+②得，， 所以，所以C错误，D正确. 故选:ABD. 7．（2025·高一·全国·课前预习）已知扇形的面积为，周长为，则该扇形的面积与其所在圆的面积之比为 ． 【答案】/ 【解析】设扇形的半径为，弧长为，则，解得，则所求面积之比为． 故答案为：. 8．（2025·高一·北京西城·期中）扇形的弧长是，该扇形的中心角O是1弧度，则扇形的面积为 ． 【答案】 【解析】∵扇形的弧长，该扇形的中心角O记为弧度，设扇形的半径为， ∴，得， ∴扇形面积为． 故答案为：． 9．（2025·高一·北京·期中）半径为4，圆心角为的扇形的弧长为 ． 【答案】/ 【解析】. 故答案为：. 10．已知所有周长为x的扇形中面积最大的扇形面积为x，则该扇形周长为 . 【答案】 【解析】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，即 则， 所以，解得，即该扇形周长为. 故答案为：. 11．（2025·高一·上海·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ》中提到的由三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切．若圆弧所在圆的半径为2，点到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为 ． 【答案】; 【解析】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥， 则，所以，则， ， 故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为， 而， 所以该封闭图形的面积为. 故答案为：. 12．（2025·高一·上海·期中）如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 . 【答案】 【解析】 ， 所以在扇形中，弓形面积为， 在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为， 所以 所以阴影面积. 故答案为：. 13．如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”．如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是 ． 【答案】 【解析】设扇形的圆心角，，则， 由扇形面积公式可知，， 所以， 所以. 故答案为：. 14．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【解析】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 15．若是第二象限角，试确定是第几象限角． 【解析】因为是第二象限角，所以， 可得， 则， 所以可能是第一象限角、第二象限角或终边在轴非负半轴上的角． 法一：要判断终边所在的象限，可以把各象限三等分， 从轴非负半轴起，按逆时针方向， 依次将各区域标号一、二、三、四，一、二、…，如图所示， 由于是第二象限角，则由图可知，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 法二：因为， 所以， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 16．如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【解析】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米. （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 17．如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合． (1)终边落在射线上； (2)终边落在直线上； (3)终边落在阴影区域内（含边界）． 【解析】（1）终边落在射线上的一个角为，则终边落在射线上的角的集合为； （2）终边落在射线上的一个角为，则终边落在直线上的角的集合为； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为， 终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为 ， 因此，终边落在阴影区域内的角的集合为 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $