专题03 不等式 【基础提升练+综合重点练】-2026届高三数学一轮复习（上海专用）

2026届高三数学一轮复习专项训练（基础提升） 专题03 不等式 一、填空题 1. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）不等式的解集为___________． 2. （2025复旦大学附属中学高三6月检测） 解集为 ，则 的解集为 ______． 3. （2025上海市金山中学高三三模）不等式的解集为______________． 3. （2025华东师范二附中高三三模）不等式的解集是________. 4. （2025杨浦区高三5月质量检测）不等式的解集为 ____________ ． 5. （2025行知中学高三6月模拟）不等式：的解集是_________. 6. （2025上海市格致中学高三三模）不等式的解集为________． 7. （2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）不等式 的解集为 __________________． 8. （2025上海市徐汇中学高三三模）不等式的解集是__________． 9. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）不等式的解集为______． 10.（2025七宝中学高三三模） 对于实数，若，则的最大值为__________. 11. （2025华东师大三附中高三三模）若，，且，则的最小值为______． 12.（2025建平中高三下学期三模） 若，，且，则的最小值为__________. 13. （2025上海市金山中学高三三模）若正数满足，则的最大值为_________. 14. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数、满足，则的最小值为________． 15. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）若正数满足，则的最小值为______. 16. （2025杨浦区高三5月质量检测）设，，则满足______________条件 17. （2025上海市育才中学高三三模）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是___________． 18. （2025杨浦区高三5月质量检测）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 二、选择题 19（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 20.（2025上海市崇明区高三三模） 已知，则（ ） A. B. C. D. 21. （2025华东师大三附中高三三模）已知，且，则（ ） A. B. C. D. 22. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模），且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ） A B. C. D. 23．（2024秋·河南郑州·高三校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 24．（2024·上海静安·二模（理））下列不等式一定成立的是（    ） A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C． D．>1(x∈R) 一、填空题 25. （2025上海市崇明中学高三三模）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 26.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 恒成立，求 范围__________ 27.已知实数满足，则的最小值为 ． 28.若正实数a，b满足，则的最小值为_______． 29.已知实数，，且，则的最小值是___________. 30. （2025七宝中学高三三模）若正数，满足，则的最大值为_______. 31.已知，，且，则的取值范围是 . 32．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________. 33．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________. 二、选择题 34．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 35．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 36．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 38.设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学一轮复习专项训练（基础提升） 专题03 不等式 一、填空题 1. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可． 【详解】， 即， 所以. 故答案为：． 2. （2025复旦大学附属中学高三6月检测） 解集为 ，则 的解集为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】由不等式  的解集为 ，可得到且,代入一元二次不等式求解即可. 【详解】由题干知，不等式  的解集为 ， 可得到，代入一元二次不等式得 ， 由于，所以，即 . 故答案为： 【点睛】 3. （2025上海市金山中学高三三模）不等式的解集为______________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式等价转化为，然后解该二次不等式可得出结果. 【详解】不等式等价于，解得， 因此，不等式的解集为，故答案为. 【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3. （2025华东师范二附中高三三模）不等式的解集是________. 【答案】 【解析】 【分析】将分式不等式等价变形为，解此不等式即可. 【详解】不等式等价于，解得， 因此，不等式的解集是. 故答案为. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4. （2025杨浦区高三5月质量检测）不等式的解集为 ____________ ． 【答案】或. 【解析】 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 5. （2025行知中学高三6月模拟）不等式：的解集是_________. 【答案】 【解析】 【分析】移项通分，利用因式分解法求解不等式. 【详解】不等式， 而恒成立，解得，且， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 6. （2025上海市格致中学高三三模）不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】应用分式不等式的解法得，解一元二次不等式求解集. 【详解】由题设，而， 所以，则，即解集为. 故答案为： 7. （2025上海外国语大学附属大境中学高三阶段练习）不等式 的解集为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】去绝对值直接求解即可. 【详解】由， 可得：， 解得：， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 8. （2025上海市徐汇中学高三三模）不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 分析】零点分段法求解绝对值不等式. 【详解】当时，，解得，此时解集为空集， 当时，，即，符合要求，此时解集为， 当时，，解得，此时解集为空集， 综上：不等式的解集为. 故答案为： 9. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 故答案为：. 10.（2025七宝中学高三三模） 对于实数，若，则的最大值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】解绝对值不等式得出，，再利用不等式的性质求出即可求出最值. 详解】由题意可得，，， 则，，则，得， 故，则的最大值为. 故答案为：. 11. （2025华东师大三附中高三三模）若，，且，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由基本不等式计算即可求解. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最小值为2. 故答案为：2 12.（2025建平中高三下学期三模） 若，，且，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式，可得答案. 【详解】由，则，当且仅当，即，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为：. 13. （2025上海市金山中学高三三模）若正数满足，则的最大值为_________. 【答案】. 【解析】 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 14. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数、满足，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算公式，求出实数、满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意得，可得， 由对数性质可知，根据基本不等式可知，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4. 故答案为：4. 15. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）若正数满足，则的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 16. （2025杨浦区高三5月质量检测）设，，则满足______________条件 【答案】 【解析】 【分析】将不等式两边平方即可求解. 【详解】由，得， 所以，即， 所以. 故答案为:. 17. （2025上海市育才中学高三三模）若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则实数a的最大值是___________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解. 【详解】因为，当且仅当时，等号成立， 若关于x的不等式对任意实数x恒成立，则， 所以实数a的最大值是3. 故答案为：3. 18. （2025杨浦区高三5月质量检测）不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可. 【详解】表示到的距离，表示到的距离，它们的和为到和到的距离之和， 根据三角不等式，当位于和之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为， 所以不等式对一切实数恒成立等价于若最小值，则原式对所有恒成立， 所以或，解得或. 故答案为：. 二、选择题 19（2024·辽宁·模拟预测）若，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C. 【详解】对于A：当、，满足，但是，故A错误； 对于B：当、，满足，但是，故B错误； 对于C：因为在定义域上单调递增，若，则，故C正确 对于D：当、，满足，但是，故D错误. 故选：C 20.（2025上海市崇明区高三三模） 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】选项A，利用不等式的传递性分析即可；选项BCD均可通过取特殊值进行否定. 【详解】选项A，由已知，则，，即，所以A正确； 选项B，当时，，则，所以B错误； 选项C，当时，，则，所以C错误； 选项D，当时，，则，所以D错误. 故选：A. 21. （2025华东师大三附中高三三模）已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐一判断，不正确的举反例，正确的加以说明即可． 【详解】对于A选项：举反例可知不成立； 对于B选项： 举反例可知不成立； 对于C选项：， 因为，所以，而且不同时为0， 故，即，正确； 对于D选项： 举反例可知不成立； 故选：C． 22. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模），且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，所以选项A错误， 对于选项B，易知，因， 当且仅当，即时取等号，所以选项B正确， 对于选项C，易知，所以，则， 当且仅当，即时取等号，所以选项C错误， 对于选项D，易知，又， 当且仅当取等号，但无解， 所以，故选项D错误， 故选：B. 23．（2024秋·河南郑州·高三校考阶段练习）若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件利用基本不等式直接得出，再结合可得出结果. 【详解】由已知，利用基本不等式得出， 因为，则，， 所以，， ∴. 故选：C. 24．（2024·上海静安·二模（理））下列不等式一定成立的是（    ） A．lg(x2＋)>lgx(x>0) B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z) C． D．>1(x∈R) 【答案】C 【分析】应用基本不等式：x，y>0，≥ (当且仅当x＝y时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件． 【解析】当x>0时，x2＋≥2·x·＝x，所以lg(x2＋)≥lgx(x>0)，故选项A不正确； 当x≠kπ，k∈Z时，sinx的正负不能确定，故选项B不正确； 因为，所以选项C正确； 当x＝0时，有＝1，故选项D不正确． 故选：C. 【点睛】本题考查基本不等式的运用，在运用基本不等式时需保证“一正，二定，三相等”，属于基础题. 一、填空题 25. （2025上海市崇明中学高三三模）若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误. 【详解】因为，则，故，A对B错； ，即， 当且仅当时，即当时，等号成立，CD都错. 故选：A. 26.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 恒成立，求 范围__________ 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值不等式可求出绝对值之和函数的最小值，代入，得到关于的一元二次不等式，解之可得到答案. 【详解】由绝对值不等式可得到： ，当时取“=”； 所以, 不等式  对所有  恒成立， 等价于 ， 即：，解此不等式：. 故答案为： 27.已知实数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】将目标式配凑为，再根据基本不等式由，求得的最大值，再求目标式的最小值即可. 【详解】由可得，当且仅当时取得等号； ，当且仅当时取得等号； 故的最小值为. 故答案为：. 28.若正实数a，b满足，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】由①，由①得，②，故由①和②，可得 ，当且仅当时，等号成立， 即时，的最小值为. 故答案为： 29.已知实数，，且，则的最小值是___________. 【答案】 【解析】因为实数，，且，则， 所以， . 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 30. （2025七宝中学高三三模）若正数，满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 31.已知，，且，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】由已知得出，令，可得出，再由基本不等式得出，整理得出，综合可解得的取值范围. 【详解】因为，，则， 则， 设，则， 所以，，解得或， 又因为，则有或， 若，则必有，， 所以，，矛盾，故应舍去， 所以，， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，整理可得， 因为，解得， 故，即， 所以，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于设，根据已知等式变形，结合基本不等式得出关于的不等式求解. 32．（2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】先解带有参数的一元二次不等式，再对进行分类讨论，使得恰有1个正整数解，最后求出的取值范围 【详解】不等式等价于.令，解得或. 当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则； 当时，不等式无解，所以不符合题意； 当时，不等式的解集为，则. 综上，的取值范围是. 故答案为： 33．（2023·全国·高三专题练习）若存在，使成立，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】依题意，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解：依题意存在，使成立，即存在，使得，即，因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为，所以，即； 故答案为： 二、选择题 34．（2024·北京·三模）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，，其中，但的符号不确定，所以A不正确； 对于B中，例如，此时，所以B不正确； 对于C中，由函数在上为单调递减函数， 因为，所以，可得，所以C正确； 对于D中，例如，此时，所以D不正确. 故选：C. 35．（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解分式不等式可求得集合；根据充分不必要条件的定义可知；解一元二次不等式，分别讨论，和的情况，根据包含关系可求得结果. 【详解】由得：，，解得：，； 由得：； “”是“”的充分不必要条件，， 当时，，不满足；当时，，不满足； 当时，，若，则需； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 36．（2023·全国·高三专题练习）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在、和的情况下，结合二次函数的性质讨论得到结果. 【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 37.若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的最小值为（   ） A．9 B．6 C． D．5 【答案】D 【解析】关于x的不等式在区间上有解， 等价于在区间上有解，即在区间上有解， 又，当且仅当时，取最小值6. 故，可得. 故选：D 38.设函数． (1)命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)求不等式的解集． 【解析】（1）为假命题， ，为真命题，即不等式在R上恒成立， 当时，恒成立，则满足题意； 当时，需满足，解得， 综上，实数a的取值范围． （2）不等式等价于． 当时，不等式可化为，解得； 当时，，由不等式解得； 当时，则，原不等式即为，解得； 当时，则，解得或； 当时，则，解得或； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $