精品解析：吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

长春市第二实验中学2025～2026学年度上学期期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第二章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. π D. 不存在 2. 已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为（ ） A B. C. D. 3. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A B. C. D. 4. 一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） A. 2 B. 5 C. D. 6. 设直线与直线的方向向量共线，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 8. P是双曲线右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 已知椭圆与椭圆，则（ ） A. B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 10. 已知圆：和圆：交于两点，点P在圆上运动，点Q在圆上运动，则下列说法错误的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为_______________________． 13. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程. 16. 已知抛物线：的准线与轴相交于点， （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 18. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. （1）求点P的轨迹Ω的方程； （2）若直线为，证明：无论a为何值，直线与轨迹Ω恒有两个交点； （3）过点B作直线交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上.过点B作与直线垂直的直线交轨迹Ω于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，上顶点为C，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆交于E、F两点（点E在点F的左侧），证明：直线与的交点在定直线上； （3）过点的直线与椭圆交于M、N两点（点M在点N的上方），过点M作直线轴，分别与、交于点P，Q，证明：P是的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第二实验中学2025～2026学年度上学期期中考试 高二数学试卷 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教版选择性必修第一册第二章～第三章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. 0 B. C. π D. 不存在 【答案】B 【解析】 【分析】由给定直线的位置求出倾斜角即得. 【详解】直线垂直于x轴，所以直线的倾斜角是. 故选：B 2. 已知椭圆的面积等于，其中是椭圆长轴长与短轴长的乘积，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程求出后再代入椭圆的面积公式可得. 【详解】因为，，所以，， 所以椭圆的面积为. 故选：A. 3. 若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的性质结合题意列不等式组可得. 【详解】因方程表示焦点在y轴上的双曲线，则有，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 4. 一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度米，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合图形知抛物线经过，设出抛物线方程，求出即可. 【详解】由题意，结合图形可知，，由于该抛物线开口向右，可设，即，解得，于是. 故选：B 5. 若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） A. 2 B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线平分圆，得到a,b关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即， 所以(当且仅当时，取等号) 故选：C. 6. 设直线与直线的方向向量共线，则与之间的距离为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意知与的斜率相等，则，解得或2，再利用两平行直线的距离公式求解即可． 【详解】由与的方向向量共线可知与的斜率相等，故， 解得或2，代回得到或， 故与之间的距离或． 故选：B． 7. 三角形每条高的垂足向另两边所作垂线的垂足，共六个点，这六个点共圆，该圆称为三角形的泰勒圆，已知点、、，则的泰勒圆的标准方程为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定圆心和圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】因为点、、， 则，，， 所以，是正三角形，如下图所示： 设、、分别为边、、的中点，则、、， 则，，， 过点分别作、，垂足分别为点、， 因为，，则， 因为为的中点，则为的中点，同理可知，为的中点， 设的泰勒圆与各边的其它交点分别为、、、， 易得、、、、、， 由对称性知，等边的中心为其泰勒圆的圆心， 且， 同理可得， 因此，等边的泰勒圆的方程为， 故选：C. 8. P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为　　 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】可得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，由已知可得当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，可得答案. 【详解】解：易得双曲线的焦点分别为(-5，0)，(5，0)，且这两点刚好为两圆的圆心，由题意可得，当且仅当P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大，此时==6+3=9 【点睛】本题主要考查双曲线的定义及性质的应用，判断P与M、三点共线以及P与N、三点共线时所求的值最大是解题的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆与椭圆，则（ ） A. B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 【答案】AC 【解析】 【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论. 【详解】由题意，在中，有，，， ∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 中，有，，， ∴长半轴为，短半轴为，焦距为， ，解得：，离心率， ∴AC正确，BD错误. 故选：AC. 10. 已知圆：和圆：交于两点，点P在圆上运动，点Q在圆上运动，则下列说法错误的是（ ） A. 圆和圆关于直线对称 B. 圆和圆的公共弦长为 C. 的取值范围为 D. 若为直线上的动点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，分别求出两圆的圆心，由中点不在对称直线上可判断；对于B，先求出两圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式结合几何法求出弦长可得；对于C，由当点P和Q重合时，的值最小，当P，Q，，四点共线时的值最大可判断；对于D，求出关于直线的对称点，再由三点共线时可得. 【详解】对于A，：和圆：， 圆心和半径分别是，，，， 则两圆心中点为，若圆和圆关于直线对称， 则直线是的中垂线，但两圆心中点不在直线上，故A错误； 对于B，两圆相减可得和的公共弦所在直线为， 而到直线的距离， 故公共弦长为，故B错误； 对于C，圆心距为，当点P和Q重合时，的值最小， 当P，Q，，四点共线时，的值最大为， 可得的取值范围为，故C错误； 对于D，如图，设关于直线的对称点为， 则，解得， 即关于直线对称点为， 连接交直线于点M，此时最小， ， 即的最小值为，故D正确. 故选：ABC. 11. 到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（ ） A. 曲线的方程是 B. 曲线关于坐标轴对称 C. 曲线与轴没有交点 D. 的面积不大于 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线的一条渐近线过点，则的共轭双曲线的标准方程为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】先通过双曲线渐近线经过的点求出的方程为，即得解. 【详解】解：双曲线的渐近线方程为，一条渐近线过点，可得， ，故的方程为，即， 所以的共轭双曲线的标准方程为． 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，若，则线段中点的纵坐标为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设点，.易得抛物线的焦点为，准线方程为. 由抛物线定义得， 所以，故， 即线段中点的纵坐标为2. 故答案为：2. 14. 已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）求经过两条直线与的交点，且垂直于直线的直线方程. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）分直线过原点、直线不过原点讨论求解； （2）求出交点坐标和斜率，再根据点斜式方程求解. 【详解】（1）①当直线过原点时，所求直线方程为， ②当直线不过原点时，设方程为，将代入得， 故所求直线方程为， 综上，所求直线方程为或； （2）联立与，得交点坐标为， 又垂直于直线，则斜率为， 故所求直线的方程为，即. 16. 已知抛物线：的准线与轴相交于点， （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据准线与轴交点得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）分斜率不存在和存在两种情况，设出直线的方程，与抛物线联立，根据根的判别式得到方程，求出，求出切线方程. 【小问1详解】 抛物线：的准线与轴相交于点， 所以，则，抛物线方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，也抛物线无交点，不合要求， 当直线的斜率存在时，设为，与抛物线联立， 得，因为直线与抛物线相切， 所以，解得或， 所以切线方程为或. 17. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【小问1详解】 由题意，知，解得，故双曲线的方程为． 【小问2详解】 设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18. 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点P到的距离是点P到的距离的2倍. （1）求点P的轨迹Ω的方程； （2）若直线为，证明：无论a为何值，直线与轨迹Ω恒有两个交点； （3）过点B作直线交轨迹Ω于P，Q两点，P，Q不在y轴上.过点B作与直线垂直的直线交轨迹Ω于E，F两点，记四边形的面积为S，求S的最大值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）7 【解析】 【分析】（1）设点为所求轨迹的任意一点，由，列出方程化简，即可求解. （2）根据题意，求得直线过定点，结合点与圆的位置关系的判定方法，即可求解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，利用弦长公式，求得和，得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：设点为所求轨迹的任意一点， 因为点P到的距离是点P到的距离的2倍，即， 即，化简得， 所以点P的轨迹Ω的方程为. 【小问2详解】 证明：直线方程为，由，解得， 所以直线过定点， 因为，所以无论a为何值，直线与轨迹Ω恒有两个交点. 【小问3详解】 解：由题易知直线的斜率k存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 若，则直线的斜率不存在， 由，，则； 若，则直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以， 则 ， 当且仅当即时，取等号， 综上所述，因为，所以S的最大值为7. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，上顶点为C，且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作斜率不为0的直线与椭圆交于E、F两点（点E在点F的左侧），证明：直线与的交点在定直线上； （3）过点的直线与椭圆交于M、N两点（点M在点N的上方），过点M作直线轴，分别与、交于点P，Q，证明：P是的中点. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由，且，求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组得到，，由直线和的方程，得到，进而得到结论； （3）设直线的方程为和的方程为，联立方程组，求得和，，根据点在直线上，得到，再由直线的方程，求得，得到，进而求得，即可得到结论. 【小问1详解】 由椭圆：，可得，，， 因为，可得. 又因为，且，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题知，直线必存在斜率且斜率不为0，且，，， 设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 所以，解得， 设，，则，，所以， 由直线斜率不为0知：且， 则直线的方程为，直线的方程为， 令， 可得， 所以，所以直线与的交点在定直线上. 【小问3详解】 当直线与x轴平行时，此时直线方程为，不合题意， 则设直线的方程为，设，，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程组，可得，所以点， 联立方程组，整理得， ， 由韦达定理可得，， 因为点在直线上，所以，所以， 所以，， 由，得， 又因为，则直线的方程为， 令，则， 则 ， 所以， 又由，即， 所以， 因，则， 又点P，Q，M的纵坐标相同，所以P为的中点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $