精品解析：四川省成都市实外西区学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

成都市实外西区学校 2025−2026学年度上期九年级数学学科期中测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 A卷 一、选择题（共大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行判断，即可解答． 【详解】解：A、，有2个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，等号左边不是整式，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、，是一元一次方程，故不符合题意； 故选：C． 2. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立，最后转化成解的一元一次方程． 【详解】解：把代入方程可得， 解得， 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式得到，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 4. 两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．先利用“相似三角形的周长比等于相似比”，求出相似比，再利用“相似三角形的对应高的比等于相似比”，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是， ∴两个相似三角形的相似比是， ∴两个相似三角形的对应高的比是， 故选：A． 5. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例可得，进而可求解． 【详解】解：五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成， ， 即， 解得：， 故选：C 6. 下列性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质和矩形的性质，它们都具有平行四边形的性质，且各具有自己的特点．根据菱形和矩形性质，可知菱形和矩形的不同是：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 【详解】解：根据菱形和矩形都是平行四边形，所以对边平行且相等，对角相等；菱形和矩形不同：菱形的四边相等，对角线互相垂直，矩形是四个角都是直角，对角线相等． 故选：B． 7. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活利用相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定定理逐项即可． 【详解】解：∵是公共角，∴再加上或都可判定，不符合题意，即A、B都不符合题意； ∵是公共角，再加上，即可判定，则选项D不符合题意；选项C中的对两边成比例，但不是相应的夹角相等，不能，符合题意． 故选C． 8. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意得出，，，，得到，可证，得到，计算即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的顶点在正方形的边上， ∴，，，， ，， ， ， ， ， 故选：D ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，对原式进行变形是解题的关键． 根据已知条件可得，再代入即可． 【详解】解：， ， 原式． 故答案为：． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】根据题意得，， 解得， 故答案为：． 11. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故答案为：． 12. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键．根据简单概率公式计算概率即可． 【详解】解∶∵在单词“”中，一共有11个字母，其中字母“”有2个， ∴字母“”出现的概率是， 故答案为∶． 13. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键． 根据题意得平分，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ； 故答案为：． 三、解答题（本大题共5个小题，共计48分） 14. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． 【小问1详解】 ， ， ， ，， ，； 【小问2详解】 ， ， ，， ，． 15. 某学校为积极落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，在七年级试点开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课 程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程） 将调查结果绘制成如图两幅统计图（不完整）： （1）本次随机调查的学生人数为 人，电工类所在扇形的圆心角的度数是 ，在图中补全条形统计图； （2）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”类劳动课程中任选两类参加学校阶段展示活动，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 【答案】（1）60，54， 补图如下： ． （2）200人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量后，利用扇形的知识计算求解可得到结论，计算解答，补图即可． （2）利用样本估计总体思想解答即可． （3）利用画树状图计算即可． 本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图是解题的关键． 【小问1详解】 ∵(人)， 故答案为：． 电工类所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：． ∴编织人数为：（人）， 【小问2详解】 根据题意，得（人）． 【小问3详解】 设“园艺、电工、木工、编织”分别为甲，乙，丙，丁，画树状图如下： 一共有12种等可能性，恰好是甲丁的可能性有2种， ∴恰好园艺和编织的概率是． 16. 已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，连接和． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得出，，，根据全等三角形的判定推出，根据全等三角形的性质得出，推出，根据菱形的判定得出即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理列方程，求出方程的解，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形为菱形； 【小问2详解】 设，则， 四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ， 菱形的面积为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次根的判别式和根与系数关系等知识． （1）根据关于的一元二次方程有实数根得到，即可求出的取值范围； （2）由根与系数关系和得到，解方程得到，又由（1）中求得的即可得到答案． 【小问1详解】 ∵关于的一元二次方程有实数根． ∴ ． 【小问2详解】 由题意可得，，． 解得 ∵ ． 18. 和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． 【答案】（1），； （2）数量关系：，位置关系：， 理由如下： ， ，即， 又， ， ，， ，， ， 则， 即； （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则，，再由对顶角结合互余的性质证明； （2）证明，则，，，再由对顶角结合互余的性质证明； （3）先求出，，过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点，证明，则，求出，即可证明，则，证明，则，求出，，则，那么由勾股定理得，再对运用面积法求解，最后由求解即可． 【详解】（1）解：如图， ， ，， 又， ， 即， 在△和△中， ， ， ，， 设与交于点， ，， ， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）略 （3）解：∵，， ∴，， 过点作平行线交延长线于点，则，过点作延长线的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则在中，由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，解题的关键是正确运用类比的思想条件并添加辅助线求解． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，准确的计算是解决本题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 故答案为：7． 20. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， ∵一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵菱形面积为12， ∴， 解得：， ∴菱形的边长为 故答案为：． 21. 如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，解决的关键是证明．根据矩形的性质证明，得，证明，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得，利用勾股定理求出，进而可以解决问题． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 22. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，……在轴上，已知正方形的边长为1，，……则正方形的边长是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案． 【详解】解：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3， ∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°， ∴D1E1=C1D1sin30°=， 则B2C2 ， 同理可得：B3C3， 故正方形AnBnCnDn的边长是：， 则正方形A2021B2021C2021D2021的边长为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键． 23. 如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ________ ． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于．设，则．由勾股定理得到，欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如下图），作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值． 【详解】解：如图，过点作于．设，则． 四边形是矩形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到，和的距离之和最小（如下图）， 作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，最小值， ，， ， 的最小值为， 故答案为． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒 （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下．第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？ 【答案】（1）20% （2）降价6元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意假设未知数，构建方程是解题的关键． （1）周平均增长率为，根据第一周和第三周的销售关系，利用增长后的量=增长前的量，列方程求解即可； （2）设每盒降价元，根据利润=（售价-成本）销售量，结合条件列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率为20%． 【小问2详解】 设该口味月饼每盒降价元，则每盒的销售利润为元，周销售量为盒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：当该口味月饼每盒降价6元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元． 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． （1）求直线的解析式； （2）设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； （3）在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）当最小时的坐标为，的值为 （3）， 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据点的坐标得出，根据题意得出当时，的最小值为：，即可求解； （3）根据点在轴上，点在轴的右侧，设，根据勾股定理求得，分为边时，为对角线两种情况，根据菱形的性质求得点的坐标，进而根据中点坐标公式，即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标为，点的坐标为，代入得， 解得： ∴ 【小问2详解】 解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴ ∴ ∴ ∵点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． ∴ 当时，等于号成立， 又∵点的坐标为， ∴，此时的横坐标为 ∴的纵坐标为 ∴当最小时的坐标为，的值为 【小问3详解】 解：设， ∵点的坐标为，点的坐标为 ∴ 设， 当为边时， ∴ ∴或 ∴或 ∴或 ∴ 当为对角线时， ∴ 解得： ∴， ∴， 解得： ∴ 综上所述，， 【点睛】本题考查了解直角三角形，待定系数法求一次函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. （1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 【答案】 （1）证明：正方形中，； 由折叠性质得，； ，； ， ， ； ； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）由折叠性质得，再证明即可； （2）连接，过N作于G，依题意得四边形是矩形；首先证明四边形是平行四边形，从而得；设，由面积关系得，从而由勾股定理得；依题意得四边形是矩形，则有，在直角三角形中由勾股定理求得，即可求得结果； （3）分两种情况考虑：①时；②时，分别利用勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）如图，连接，过N作于G，则， 在矩形中， ，，； 则四边形是矩形， ； ， ， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ； 由折叠知，， 设，由于的面积与的面积比为， 即， ； ，，； 由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理求得， ； （3）由于四边形是菱形， 则； ①如图，当时； 延长交于点Q，过点Q作于点H，过点E作于M，于N，过点A作于R； 设，则； ， ， ， 则； 由折叠知：，， 平分， ； ，， 上两式相比并化简得：， 即，故有：； ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：（舍去）， ； ②当时， 如图，延长交延长线于点，过点作于， 则； 设，则； ， ， ， ； 由折叠性质得：，； 与前一情况同理，得：， 即， ； ， ， ； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ； 综上，的长为或． 【点睛】本题是相似三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，正方形的性质，矩形及菱形的性质，平行四边形的性质等知识，涉及分类讨论思想，综合性强，难度大，正确作出辅助线，熟练掌握折叠的性质、相似三角形的判定与性质是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市实外西区学校 2025−2026学年度上期九年级数学学科期中测试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 A卷 一、选择题（共大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若一元二次方程的一个根为1，则a的值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 3. 一元二次方程的根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 4. 两个相似三角形的周长比是，那么对应高的比是（ ） A. B. C. D. 5. 五线谱是世界上通用的一种记谱法，由等距离等长度的五条平行横线组成．如图，同一条直线l上的三个点A，B，C都在五线谱上．若线段，则线段的长是（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 下列性质中菱形有而矩形没有的是（ ） A. 对角相等 B. 对角线互相垂直 C. 对边平行且相等 D. 对角线相等 7. 如图，是的边上的一点，那么下列四个条件不能单独判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的顶点在正方形的边上，与交于点，若，则的长为（　　） A. 2 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 已知，则的值等于______． 10. 若关于的方程有两个相等的实数根，则实数的取值为______． 11. 如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 12. 从单词“”中随机抽取一个字母，字母“”出现的概率是_____． 13. 如图，在中，以点为圆心，适当的长度为半径画弧分别交、边于点、，再分别以点、为圆心，以大于半径画弧，两弧交于点，连接交于点，过点作交于点，若，，则的周长为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共计48分） 14. 解方程 （1）； （2）． 15. 某学校为积极落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，在七年级试点开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织”五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课 程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每人只选一类最喜欢的课程） 将调查结果绘制成如图两幅统计图（不完整）： （1）本次随机调查的学生人数为 人，电工类所在扇形的圆心角的度数是 ，在图中补全条形统计图； （2）若该校七年级共有800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （3）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”类劳动课程中任选两类参加学校阶段展示活动，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 16. 已知：如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别与、、交于点、、，连接和． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求菱形的面积． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围． （2）若方程的两个实数根为，且，求的值． 18. 和中，，． 【初步感知】 （1）如图1，若，连接，则与之间的数量关系是____，位置关系是_____；（直接写出结论，不写推理过程） 【深入探究】 （2）如图2，若，将绕点C旋转，设直线与交于点M，与交于点N，试确定与之间的数量关系和位置关系，并说明理由； 【迁移应用】 （3）如图3，当点D在内部，且时，若，，连接，作于点F，交于点G，求的长． B卷 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 20. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为，则该菱形的边长为________． 21. 如图，在矩形中，，，点，分别在，边上，且，，与相交于点，若为的中线，则的长为_____． 22. 一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，……在轴上，已知正方形的边长为1，，……则正方形的边长是______． 23. 如图，M为矩形ABCD中AD边中点，E、F分别为BC、CD上的动点，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，则ME+2AF的最小值为 ________ ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节前推出一种新口味的月饼，以80元/盒的价格售出这种月饼，第一周销售50盒，第二、三周该口味月饼十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，第三周的销售量达到72盒 （1）求第二、三周该口味月饼销售量的周平均增长率； （2）经市场预测，在售价不变的情况下．第四周的销售量将与第三周持平，现甜品店为了回馈顾客，采用降价促销方式（售价低于80元/盒），经过调查发现，该口味月饼每盒每降价1元，周销售量就增加3盒已知该口味月饼的成本价为50元/盒，当该口味月饼每盒降价多少元时，该店铺第四周销售这种口味月饼可获利2160元？ 25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与，轴分别交于、两点．点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上．动点从点出发，沿运动，当点运动到点时，停止运动．已知点在上的速度为个单位长度每秒，在上的速度为个单位长度每秒． （1）求直线的解析式； （2）设点的运动时间为，求当最小时的坐标及的值； （3）在（2）的条件下，点在轴上，点在轴的右侧，是否存在点使得以点，，，为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 26. （1）发现：如图1，正方形中，点E在边上，将沿对折得到，延长交BC边于点G，连接．证明：． （2）探究：如图2，矩形中，O是对角线的交点，过O任作一直线分别交于点M、N，四边形是四边形沿翻折得到的，连接，若的面积与的面积比为，求的值． （3）拓展：如图3，在菱形中，，E为边上的三等分点，，将沿AE翻折得到，直线交于点P，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $