河南省九师联盟2025-2026学年高二上学期11月质量检测数学试题（人教A版）

高二数学 考生注意： 1,本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2,答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择题访用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章第三章第2节3.2.1。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知向量a=(一1,1,2)，b=(x,2,2x),若a⊥b,则x= A号 R-号 c-号 D.-是 2.直线3x一√3y一10=0的倾斜角为 A晋 B号 c n等 3.已知直线l的方向向量m=(1,一2,3)，平面a的法向量n=(2,1,2),则1与a的位置关系是 A平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.直线在平面内 4.已知方程2-3千3二m ,之=1表示椭圆，则实数m的取值范围是 A(侵3) B.(2,3) C.(1,2)U(2,3) D.(停，2U(2,3) 5.已知双曲线C:专-若=1(a>0)的两个焦点分别是R,R,焦距为10，A是双曲线C上的一点，且 |AF=7,则|AF2l的值为 A.13 B.14 C.13或1 D.14或1 6,知A,B,C三点不共线，点O在平面ABC外，点P满足A泸=xO耐+}O+O元，则当点P,A,B, C四点共面时，实数x= A B-克 c-方 【高二11月质量检测·数学第1页（共4页）】 HN 7.已知直线y=x一m与曲线y=√2x一x恰有两个公共点，则实数m的取值范围为 A.[0,W2-1) B.(1一√2,1) C.(1-√2,0] D.(-1,0] 8.已知四面体ABCD的四个顶点的坐标分别为A(0,2,0),B(4,0,0),C(3,1,0),D(0,0,一2)，则该四面 体外接球的表面积为 A,136π B.128π C.112x D.108x 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆C:号+盖-1的焦距为2，则m的值可能是 A.4 B.3 C.2 D.1 10.已知圆C:x2+y2=4和圆C2:(x一3)2+(y一5)2=16相交于A,B两点，则 A.直线AB的方程为3x十5y一11=0 B1AB1=Y510 17 C.四边形ACBC2的面积为5√34 D.圆C:(x一3)2+y2=1与圆C和圆C2都相切 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1CD1中，P是棱AD上的动点（包括端点），则 A.B1P⊥CD1 D B点P到平面B,CD,的距离的取值范園为[停，】 C直线PD,与直线CB,所成角的取值范围为[晋，登] D.直线PB;与平面B1CD1所成角的正弦值的取值范围 [] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.如图，在三棱柱ABC-A1B1C中，D,E分别是AC,A1B1的中点，若D克=xAB+yAC+zAAi,则 2x十y一z= 第12题图 第14题图 13.直线41：3mx十2y+4一m=0与2：6x十my十2=0平行，则4与l2之间的距离为 14如图，点，R,是椭圆C若+芳=1(@>6>0)的左右焦点，A,B是C上两点，可A=2成，且 ∠FAF=号，则C的离心率为 【高二11月质量检测·数学第2页（共4页）】 HN 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 求适合下列条件的双曲线的标准方程， (1)焦点为F1(一2√E,0),F2(2√2,0)，且经过点T(一√，√5)； (2)焦点在y轴上，经过点P(W2,3),Q(1,一√6)， 16.(本小题满分15分) 已知直线l1:2x一y-1=0,l2:x十3y一4=0， (1)求经过直线1,2的交点，且与直线2垂直的直线方程； (2)求经过直线1,2的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程. 17.（本小题满分15分) 已知圆C经过点A(一2,0)，B(1,3),且圆心C在直线y=x一1上 (1)求圆C的标准方程； (2)求过点P(一2,1)，且与圆C相切的直线方程： (3)过点Q(0,一2)的直线与圆C相交于M,N两点，若MCLCN,求直线MN的方程. 【高二11月质量检测·数学第3页（共4页）】 HN 18.(本小题满分17分) 如图，在圆锥PO中，P是圆锥的顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB是圆锥底面圆的直径，OA=OP, T是圆O上的动点（异于点A,B),C是劣弧TB的中点，D是BP的中点. (1)证明：CD∥平面APT; (2)若AT=TC=CB,求直线BT与平面PAT所成角的正弦值； (3)若平面APT和平面BPT的夹角为0，求cos0的最大值. 19.(本小题满分17分) 设横圆C差+芳=1(o>6>0)的左，右焦点分别为乃，，A是C的右顶点，点B(Y罗，3平)在C 上，且|AF1|=3|AF2. (1)求C的方程； (2)若不过点A的直线L与椭圆C相交于P,Q两点，且AP⊥AQ ()证明：直线过定点； ()求△APQ面积的最大值. 【高二11月质量检测·数学第4页（共4页）】 HN 高二数学参考答案、提示及评分细则 1.C由alb,得a·b=一x+2+4=3x+2=0,解得=-号故选C 2.B直线3.x一√3y-10=0的斜率为V3,所以直线3.x一√3y-10=0的倾斜角为5.故选B 3.C因为号≠2≠号，所以n与m不平行，所以1与a不垂直：因为n·m=2X1+1×(一2)十2X3=6≠0所以n与m 不垂直，所以l与a不平行，l也不在平面α内.所以1与a相交但不垂直.故选C. 2m-3>0, 4D若方程产写兰1表示椭阴哪8w心>0， 解得号<m<3且m≠2.故选D, 2m-3≠3-m, 5.A由题知2=16,2c=10,所以a2=c2-2=9,a=3.由双曲线的定义，知|AF1|-|AF21|=2a=6,解得AF2|=13 或AF2=1.又AF2|≥c-a=2,所以AF2=1舍去，所以|AF2|=13.故选A. 6.D由A市-O市-OA,得(x+1)O+O成+号元-O市=0.又点卫，A,B,C四点共面，所以(x十1)+4+号-1=0， 解得x=一2故选D 7.C曲线y=√2x一x2可化为(x一1)2+y2=1(y≥0)，所以曲线y=√2x一x是以点(1,0)为圆心，1为半径的圆在x轴 上方的部分.直线y=x一m与曲线y=√2x一元相切时，有1m=1,解得m=1士2，结合图象可知0≤一m< √2 一(1-√2)，所以1-√2<n≤0.故选C. 8.A设四面体ABCD的外接球的球心为M(a,b,c),由MA=MB=MC=MD,知√a+(b-2)+c2= √(a-4)2+6+c2=√(a-3)2+(b-1)2+c2=√a2+b+(c+2)产，解得a=0,b=-3,c=3,所以四面体ABCD外接 球的半径为√0十（一3）2+(3+2)=√34，所以四面体ABCD外接球的表面积为4π×（√34）=136元.故选A 9.CD①当0<2m<3时，由√3-2m=1,解得m=1;②当2m>3时，由√2m-3=1,解得m=2.故选CD. 10.ABD圆C2可化为x2+y2一6.x一10y十18=0，圆G和圆C2的方程作差可得AB的方程为3x十5y-11=0,A正确； 风心C0.0到直线3x+5》一1=0的距离为片所以1AB1=2√4（货） √32+5√341 -610 ,B正确：由题 知CC=√0-3)+(0-5=√34，CC⊥AB,所以四边形ACBC,的面积为21CC1·AB1=√5，C错误； 由|CC=3=2+1,|CC3|=5=4十1，得圆C与圆C和圆C2都相切，D正确.故选ABD. 11.ACD如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，之轴建立空间直 角坐标系，则D0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,1),D(0,0,1),设点P的坐标为(a,0,0)(0≤ a≤1)，则PB=(1-a,1,1),CD=(0,-1,1),所以PB.CD=(1-a)×0+1×(-1)+1 ×1=0,所以BP⊥CD,A正确：设平面BCD的法向量为m=(x,y,z),DB= (1,1,0),CB=(1,0,1),则 D成·m=1十)=0取=1，得y=-1=-1,所以平面 CB·m=x十z=0, BCD的一个法向量为m=(1,一1，-1).又PC=(-a,1,0),所以点P到平面BCD,的距( 离为元m_-01_∈每，2，B错误：由PD=(一a,0,1D.CB=1,0,1),得osPD,C)= L3’3 1-a 1-2a+a2 Va2+IX/2 √20+号=√号a4当a=0时，os(P元，C成》=号；当0<a≤1时，s(P元，C成》 1 1 2 ,由函数)一x+(0<<1)单调递减，得a十>≥2.所以cas《p币.C成)∈[0，号)，故aos《P元，C成)∈ x 0 [o,],所以直线PD与直线CB所成角的取值范围为[子·]，C正确：设直线PB与平面BCD所成角为8，则 【高二11月质量检测·数学参考答案第1页（共4页）】 HN sin0=|cos〈PBi,m）1= PB·m -a-1 a+1 ,令a+1=t(1≤t≤2)，则sin0 PB1·ml√3×√a-2a+3 3(a2-2a+3) 1 1 √3L(t-1)-2(t-1)+3JV√3(-4t+6) √3(-4+1)√18(：-)+1 又3<}<1，所以号≤ Sn长，D正确故选AD 12.-号D庞=Di+AA+A龙=A店-AC+AA,得x=y=-号，=1，所以2x+y-=2× 2 13.20 5 因为/，所以号-品≠号，解得m=-2.所以4：6x-2y一6=0与：6x-2y+2=0间的距离d 12+6L=20 √62+(-2)2 5 14.② 9 如图，延长AF交C于另一点P,连接PF2,由椭圆的对称性，得P下=FB.设 |PF1|=m,则|AF1|=2,1AF2|=2a-2m,|PF2|=2a-m.在△APF2中，|PF2|2= |AP2+|AF22-|AP1·|AF2|,即(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-3m(2a-2m),解得 m=号，所以AF=g,AE=号在△AFR中，FP=AE+ASP- 1A5·AF1,即42=(g2)°+（号）-号×1g,化简得27c=7a,所以C的离心率 e-C=②I a 91 15.解：①由双曲线的熊点在z轴上，设双曲线的标准方程为后一盖-1a>0,>0》 1a2十=8， 由双曲线的焦点为（二22,0)，5(22.0)，且经过点T-65,得8 …2分 解得 d=3或 1a2=16, =5 b2=-8 (舍去). …4分 放双前线的标准方程为号一号 =1. …6分 (2)由双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为立一 =1(a>0,b>0). …8分 9-2=1, a2 由双曲线经过点P,Q,得 …10分 解得{ a2=3, =1. 12分 故双曲线的标准方程为苓一2=1。 …13分 16解：1)联立方程21一-1=0， …1分 1x+3y-4=0, 解得/1， …4分 y=1. 由题知直线6的斜率为一号，所以经过直线4,6的交点，且与直线6垂直的直线方程为y一1=3(x一1D,即y=3x一2， 故经过直线1，l2的交点，且与直线2垂直的直线方程为y=3.x一2. …7分 (2)由(1)知，直线1，l2的交点为(1,1). ①若所求直线经过原点，则直线的方程为y=x… …10分 ②若所求直线不经过原点，设直线方程为后十义-1， 【高二11月质量检测·数学参考答案第2页（共4页）】 HN 代入点(1,1)，得1十1=1，解得a=2, 所求方程为受十立=1，整理得y=2- …14分 故经过直线，2的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为y=x或y=2一x.…15分 17.解：(1)设圆C的圆心C(a,a-1), …1分 由CA=|CB,得√(a+2)+(a-1)=√(a-1)+[(a-1)-3,… …2分 解得a=l,故圆心C(们，0).…3分 圆C的半径为√/(1+2)2十(0一0)2=3，… …4分 所以圆C的标准方程为(x一1)十y=9.…5分 (2)①当切线的斜率不存在时，切线方程为x=一2.。 …6分 ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y一1=k1(x十2)，整理得k1x一y十2k,十1=0.…7分 由圆C与切线相切，得6士-3，解得一青， …9分 √k+1 故所求切线方程为号。一y叶号-=0，整理得4红一3y十1=0， 故过点P(一2,1)，且与圆C相切的直线方程为x=一2或4x一3y十11=0.…10分 (3)由MCLCN,MC三CN,得圆心C到直线MN的距离为32，…1分 当直线MN的斜率不存在时，圆心C到直线MN的距离为1，不合题意； 当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k2x一2，… …12分 庙圆心C到直线MN的距离为3，得k二2.3解得三プ或1，…14分 √+I 可得直线MN的方程为y=一x一2或y=一7x一2. …15分 18.(1)证明：如图，连接OC,交BT于点E,连接DE,…1分 因为C是TB的中点，所以TE=BE. 又BD=PD,所以DE∥PT,…2分 因为PTC平面PAT,DE过平面PAT,所以DE∥平面PAT. 同理OE∥平面PAT.…3分 因为OE∩DE=E,OE,DEC平面OED,所以平面ODE∥平面PAT 因为CDC平面OED,所以CD∥平面APT.…4分 (2)解：以O为坐标原点，过点O在底面作AB的垂线为x轴，OB为y轴，OP为之轴建立如图所示空间直角坐标系，设 OA=OP=1,则O(0,0,0),A(0,-1,0),B(0,1,0),P(0,0,1),…5分 因为A-元-B.所以T(停，-0所以i-(0,11,Ai-(停，0），前-（停-号）， AP·s=y十x=0, 设平面PAT的法向量为s=(x,y,z),则 AT.s-5+1 取x=1,得y=一√3，x=√3，所以平面PAT的一个 2x+2y=0 法向量S=（1,一√3，√3)，… …7分 设直线BT与平面PAT所成角为a,则sina= IBT.s_23_27 B1·s3X√77， 即直线BT与平面PAT所成角的正弦值为 …9分 (3)解：设点T的坐标为(a,b,0)(a≠0)，由OT=1,得a2+=1. 设平面PAT的法向量为m=(M,≈)，则A沪=(0,1,1)，A7=(a,b+1,0), AP·m=y十x=0, AT.m=a.x+(b+1)y1=0, 取x1=b十1，得y=一a,名=a,所以平面PAT的一个法向量m=(b十1，一a,a), ............ …1分 设平面PBT的法向量为n=(2,,),则B驴=(0，-1,1)，BT-(a,b-1,0), 【高二11月质量检测·数学参考答案第3页（共4页）】 HN B驴.n=-y十2=0， B7.n=a.+(b-1)y=0 取x2=b-1,得2=一a,2=一a,所以平面PBT的一个法向量n=(b-1,一a,一a). …13分 m·n |-1 则os0=m·n√0+D+2a×V0)+2元Va+2h+2·Va-2+2√a+2-w +际√干8√年8 a a …15分 又0<G≤1，所以0<1-g≤号放0<s号，当且仅当a=士1,60时.s0=子 所以c0s0的最大值为了 17分 19.(1)解：设椭圆C的焦距为2c,则|AF=a十c,AF2=a一c. 由AF=3AF2|,知a十c=3(a-c),所以a=2c,… …1分 所以气=VR-一-C的为程为后+装=1， …2分 代入点B(,3)的坐标，得是+ =1,解得c=1,所以a=2,b=√5， 所以C的方程为号+ =1. …3分 (2)(1)证明：由(1)知A(2,0),直线1的斜率不为0，设直线1的方程为y=x+n,点P,Q的坐标分别为(x1,y), (2y2), 联立方程 '消去后整理得3十y=6mvy十3-12=0,436m一43m十3物 my=x+n, 所以十=为- 6mn …5分 所以十=m0十为)一2-0一2n=3 8n =(my-)(om%-0）=my-m0y+)+r=心(312-6r华+r=r12t 3m2+4 3m2+4 3m2+4· …6分 又AP=(-2,y),AQ=(m-2),AP⊥AQ, 所以Ap.A0=(1-2)(2一2)十h2=x12-2(十2)十1y十4=0，…7分 即7+十需号+-0，整理得70+16+-0，解得”-2或 2 3n2+4 …9分 由直线1不过点A,知”=一2不符合题意，所以n=一号，满足△>0， 所以直线1的方程为y=x 号，即直线1过定点（号0）， …10分 (1)解：△APQ的面积为S=2×(2-号)×y一n=号V+n)-4n边 4(3m2-12)=24√9m2-3n2+12 7V（3m2+4 3n2+4 7(3n2+4) …12分 由(1)知n=- 号，代入上式可得S- 24V9m+ 72Vm+ 72m+ 7(3m2+4) 7(3m2+4) …14分 73(m+)+】 令1√m+(号)，则s= 721 72 (r+)(3+) 又函数)一3江+，在区间(o,票)上单调递减，在区间(，+)上单调递增，且号>2源， 21 所以当=号，即m=0时，△APQ的面积最大，最大值为 72 144 …17分 4 49 7 3× 8 49X7 【高二11月质量检测·数学参考答案第4页（共4页）】 HN