第四章 数列（单元测试·培优卷）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 2．已知等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如果数列是等比数列，且，，则数列是（    ） A．等比数列 B．等差数列 C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．【创新题·知识交汇】已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．【创新题·新情境】现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 8．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前4项分别为，，，，则下列各式中，可以作为数列的通项公式的是（   ）． A． B． C． D． 10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 11．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．成等比数列 B．当为奇数时， C．中不存在连续三项成等差数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前项和为，则 ． 13．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 14．【创新题·数学文化】在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了一个与数列有关的表，我们称这个表为杨辉三角，如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16.(15分) 在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．(15分) 已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 18．（17分） 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 19．(17分) 【创新题·新定义题】若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为数列为等差数列， 所以， 所以. 故选：D. 2．已知等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，故. 故选：B. 3．如果数列是等比数列，且，，则数列是（    ） A．等比数列 B．等差数列 C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列 【答案】B 【解析】设，则，则，则数列是等差数列，公差为 故选B 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意：，，，，… 依次类推：. 所以. 故选：C 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】数列满足，则， ， 则 ， 故选：A. 6．【创新题·知识交汇】已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据等差数列前项和公式的二次函数特性，且， 不妨设， 则， 又三点共线，则， 所以.故选：A 7．【创新题·新情境】现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 【答案】C 【解析】记第n小时后细胞的个数为，则， ，故是首项为，公比为的等比数列， 故， 令，得， 则，故， 又为整数，故当细胞总数超过小时，所需时间至少为40小时. 故选：C 8．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，，表示点到原点的距离，表示点到点的距离，表示点到点的距离； 已知， 根据绝对值的几何意义可知，数列中的项应满足，， 因为，由，可得，所以的最小值为， 当时，，， 解不等式可得；解不等式可得，所以. 故选:C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前4项分别为，，，，则下列各式中，可以作为数列的通项公式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，，故A符合； 对于B，，故B符合； 对于C， ，不满足题意； 对于D，，故D符合. 故选ABD. 10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 【答案】BD 【解析】因为， 当时，，解得； 当时，，则， 整理得，则， 所以是以1为首项，3为公比的等比数列，故A错误， 则数列是递增数列，故B正确， 且，，故C错误D正确. 故选：BCD. 11．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．成等比数列 B．当为奇数时， C．中不存在连续三项成等差数列 D． 【答案】ABC 【解析】由题意可得，即. 又，所以. 故是以1为首项，为公比的等比数列，所以选项A正确； 则， 以上各式相加可得， 即. . 当为奇数时，，即，所以选项B正确； 由， 令，无解，故中不存在连续三项成等差数列，所以选项C正确； 由前面的计算得， 所以，所以选项D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前项和为，则 ． 【答案】12 【解析】法一：设等比数列的公比为，由，得， 而，于是， 所以． 法二：因为为等比数列，所以也成等比数列， 即成等比数列，即. 13．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】因为是奇函数，则， 整理得，所以的对称中心为； 由， 则， 因为，所以， 所以，即， 14．【创新题·数学文化】在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了一个与数列有关的表，我们称这个表为杨辉三角，如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则 ． 【答案】361 【解析】解法一：根据杨辉三角形的生成过程， 当为偶数时，， 当为奇数时，，，， ，，，， 解法二：当时，， 当时，， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】(1)设等比数列的公比为， 则，所以，（3分） 又，所以，所以，（5分） 所以数列的通项公式为.(7分) （2）由（1）得，，（8分） 所以，（10分） 所以.（13分） 16.(15分) 在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【解析】（1），故，（2分） 又，故，（4分） 所以；（5分） （2）其中， 设，的前项和为，其中， 故，（8分） 当时，，故；（10分） 当时，， 故，（13分） 综上，.（15分） 17．(15分) 已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 【解析】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，（2分） 而，解得，则，（3分） 所以是首项为3，公比为3的等比数列.(4分) （2）由（1）得，，（6分） 则，， 因此，（9分） 所以.（10分） （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此，（13分） 所以.（15分） 18．（17分） 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 18．（17分） 【解析】（1）设的公差为， 令，得，故即，(1分) 令，得，故，即，(3分) 由于，则解得，(5分) 故，(6分) （2）（i）当，故，（7分） 时，，（9分） 所以，（10分） （ii）由题意可知：， 当时，，则，（11分） 当，，则，，（12分） 当，，则，，（13分） 所以 - ,（16分） 因此.(17分) 19．(17分) 【创新题·新定义题】若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 19.(17分) 【解析】（1）数列是“可拆数列”.(1分) 理由如下：假设数列是“可拆数列”. 设，当，取， 则，（3分） 即存在，使得， 则数列是“可拆数列”.（4分） （2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 于是即， 又，所以， 解得或，（7分） 当或时，，即， 于是对任意，总存在， 使得， 所以数列的通项公式为或.(10分) （3）因为数列是“可拆数列”，则对任意， 当时， 当或时，因为数列为递增数列，所以 综上，对任意，都有，（12分） 又，所以，， ，，， ，， ，. 又，又数列为递增数列，所以， 当以上格式等号同时成立时，故.(14分) 因为数列是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 而，所以对任意的，必存在，使得， 又数列为递增数列，， 则， 解得，由，得， 当时取等号，故 综上所述，使成立的的最小值为，最大值为.（17分） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·培优卷 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等差数列满足，则（　　） A． B． C． D． 2．已知等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如果数列是等比数列，且，，则数列是（    ） A．等比数列 B．等差数列 C．不是等差也不是等比数列 D．不能确定是等差或等比数列 4．已知数列满足，且，则（   ） A． B． C． D．2 5．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 6．【创新题·知识交汇】已知，分别为等差数列，的前n项和，，设点A是直线外一点，点P是直线上一点，满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．【创新题·新情境】现有某种细胞1千个，其中约有占总数一半的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律，1小时后，细胞总数约为，2小时后，细胞总数约为，问当细胞总数超过个时，所需时间至少为（　　）（参考数据：） A．36小时 B．38小时 C．40小时 D．42小时 8．单调递增的等差数列满足，当公差取最小值时，（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知数列的前4项分别为，，，，则下列各式中，可以作为数列的通项公式的是（   ）． A． B． C． D． 10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是等差数列 B．数列是递增数列 C． D． 11．记为数列的前项和，已知，则（    ） A．成等比数列 B．当为奇数时， C．中不存在连续三项成等差数列 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知等比数列的前项和为，则 ． 13．定义在上的函数满足是奇函数，则的对称中心为 ；若，则数列的通项公式为 . 14．【创新题·数学文化】在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中，出现了一个与数列有关的表，我们称这个表为杨辉三角，如图，在杨辉三角形中，斜线1的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知是等比数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16.(15分) 在数列中，，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 17．(15分) 已知数列的前n项和为，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． (3)若，数列的前n项和为，求证：． 18．（17分） 已知数列是公差大于0的等差数列，数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)设. （i）试写出，，的值； （ii）求数列的前20项和. 19．(17分) 【创新题·新定义题】若数列满足：对任意，总存在，使得，则称数列是“可拆数列”. (1)判断数列是否为“可拆数列”？并说明理由； (2)若首项为1的等比数列是“可拆数列”，求数列的通项公式； (3)若“可拆数列”是递增数列，，求使成立的的最值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·培优卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 D B B C A A C A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ABD BD ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．12 13．， 14．361 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【解析】(1)设等比数列的公比为， 则，所以，（3分） 又，所以，所以，（5分） 所以数列的通项公式为.(7分) （2）由（1）得，，（8分） 所以，（10分） 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1），故，（2分） 又，故，（4分） 所以；（5分） （2）其中， 设，的前项和为，其中， 故，（8分） 当时，，故；（10分） 当时，， 故，（13分） 综上，.（15分） 17．(15分) 【解析】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，即，（2分） 而，解得，则，（3分） 所以是首项为3，公比为3的等比数列.(4分) （2）由（1）得，，（6分） 则，， 因此，（9分） 所以.（10分） （3）由（2）得， 由， 得，即， 因此，（13分） 所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）设的公差为， 令，得，故即，(1分) 令，得，故，即，(3分) 由于，则解得，(5分) 故，(6分) （2）（i）当，故，（7分） 时，，（9分） 所以，（10分） （ii）由题意可知：， 当时，，则，（11分） 当，，则，，（12分） 当，，则，，（13分） 所以 - ,（16分） 因此.(17分) 19.(17分) 【解析】（1）数列是“可拆数列”.(1分) 理由如下：假设数列是“可拆数列”. 设，当，取， 则，（3分） 即存在，使得， 则数列是“可拆数列”.（4分） （2）设等比数列的公比为，则，因为是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 于是即， 又，所以， 解得或，（7分） 当或时，，即， 于是对任意，总存在， 使得， 所以数列的通项公式为或.(10分) （3）因为数列是“可拆数列”，则对任意， 当时， 当或时，因为数列为递增数列，所以 综上，对任意，都有，（12分） 又，所以，， ，，， ，， ，. 又，又数列为递增数列，所以， 当以上格式等号同时成立时，故.(14分) 因为数列是“可拆数列”， 所以对任意，存在，使得， 而，所以对任意的，必存在，使得， 又数列为递增数列，， 则， 解得，由，得， 当时取等号，故 综上所述，使成立的的最小值为，最大值为.（17分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $