第五单元 平行四边形和梯形（思维导图＋2考点＋2命题点+3种题型）-人教版四年级上册数学单元复习易错易混专项讲义

含义 在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线】 a∥b 也可以说这两条直线互相平行。 b 平行 特点 平行线间的距离处处相等。 方法1：看在同一个平面内两条直线延长后是否相交。 判断方法 方法2：看两条直线间的距离是否处处相等。 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂 含义 a⊥6 直，这两条直线的交点作垂足。 06 判断方法 判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成 的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 垂直 画法 过直线上或直线外一点画已知直线的垂线，可以 借助三角尺（或量角器）来画。 点到直线的距离 即从直线外一点到这条直线所画的 垂直线段的长度。 知识梳理 长方形或正方形的画法 0米 定义 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。 平行四边形 特征 一对边平行且相等：对角相等：易变，具有不稳定性 年行四边形有两组互相 平行的对边，棉形只有 上底 一组互相平行的对边。 定义一只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 下底 梯彩 两铁相半有一个角是直角 平行四边形和梯形 分类 一般梯形、等腰梯形、直角梯形。 平行四边彩 四边形之间的关系 长方形 梯形 正方形 四边形 掌握平行、垂直、平行四边形、梯形的定义，能判断和区分 重难点 规范画平行线、垂线，准确识别平行四边形和梯形 明晰平行四边形和梯形的本质区别，能在复杂图形中准确识别 学法指导 混淆平行与垂直的定义 易错点 画垂线、平行线操作不规范 误将只有一组对边平行的图形当成平行四边形，或反之 Presented with xmind 第五单元 平行四边形和梯形 【思维导图＋2考点＋2命题点+3种题型（含1种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平行与垂直 考点二 平行四边形和梯形 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平行与垂直的应用 题型01 点到直线的距离的应用 题型02 平行的应用 命题点二 图形的应用 题型 利用图形的周长解决问题 单元考点 考查 频率 新课标要求 平行与垂直 ★★ 新课标要求学生结合生活情境了解同一平面内两条直线的平行、相交（含垂直）关系，掌握平行、垂直概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线，理解点到直线的距离，在图形认识中增强空间观念与几何直观，能辨认直线是否平行或垂直。 平行四边形和梯形 ★★ 新课标要求学生结合实例认识平行四边形、梯形，掌握其定义，明确平行四边形对边平行且相等、梯形只有一组对边平行的特征，能辨认、区分这两种图形，在观察、操作中发展空间观念与几何直观，体会图形的现实应用。 【考情分析】本单元考查核心为平行、垂直定义，平行四边形与梯形特征及图形辨析、高的画法。题型以判断、操作、图形识别为主，平均失分率较高。易错点集中在概念混淆、非水平位置画高错误、复杂图形中误判两类图形，需强化本质理解与实操训练。 考点一 平行与垂直 一、平行 1、含义：在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2、平行的表示方法平行可以用符号“∥”表示。上图中直线a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 3、生活中的平行现象 二、过直线外一点画已知直线的平行线 三、垂直 1、含义两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 2、垂直的表示方法垂直用符号“⊥”表示，上图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 3、生活中的垂直现象 四、垂线的画法 1、画垂线 方法一：用两把三角尺来画 方法二：用量角器来画 方法三：用一把三角尺来画 2、过直线上一点画垂线 方法一：用三角尺画垂线 方法二：用量角器画垂线 3、过直线外一点画这条直线的垂线 5、 点到直线的距离、平行线间的距离 1、点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 2、两条平行线之间的距离处处相等。 【易错易混】 1、判断同一个平面内的两条直线是否互相平行，要看两条直线延长后是否相交，与两条直线如何摆放无关。 2、垂直表示的是两条直线的位置关系，描述时要说成“谁是谁的垂线”。 3、判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 1、（2024•山东菏泽•期中） 观察下面6组直线的位置关系，按一定标准分类可以得到右面的两类。下列选项中，你不赞成（ ）的分类标准。 A．小红：两条直线是否互相平行 B．小亮：两条直线是否互相垂直 C．小明：两条直线是否相交 2、（2024•广东湛江•期中） 下图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是（ ）。 A．AB B．AD C．AE 3、（2024•广东中山•期中） 下列每组直线，是平行的画“√”，是垂直的画“○”，既不平行也不垂直的画“×”。 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 4、（2024•广东湛江•期中） 过点A分别画出直线的垂线和平行线。 5、（2024•海南海口•期中）在一个平面中，两条直线分别与直线l垂直，那么这两条直线（ ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 考点二 平行四边形和梯形 一、平行四边形 1、定义 两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形。 2、认识平行四边形的高、底 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底。 平行四边形的底和高是相对应的，同一个底上的高相等，所以平行四边形一般有两种长度的高。 3、平行四边形高的画法画法 相当于过直线外一点画已知直线的垂线，从平行四边形一条边上任取一点都可以向它的对边画垂线，这一点与垂足之间的线段就是平行四边形的高。 4、平行四边形的特性：平行四边形容易变形，具有不稳定性。 5、平行四边形的不稳定性在生活中的应用： 二、梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 梯形的定义判断梯形的两个条件： （1）必须是四边形；（2）只有一组对边平行 2、梯形各部分的名称 3、梯形高的画法画法：相当于过直线外一点画已知直线的垂线，在梯形的上底上任取一点向它的对边画一条垂线。 梯形有无数条高。 4、特殊的梯形 两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。 3、 四边形之间的关系 1、比较各种四边形的特征 四边形 边数 对边是否平行 对边是否相等 对角是否相等 正方形 4 是 是，且4条边都相等 是，且4个角都是直角 长方形 4 是 是 是，且 4 个角都是直角 平行四边形 4 是 是 是 梯形 4 只有一组对边平行 否，等腰梯形的两腰相等 否 发现:(1) 长方形和正方形具有平行四边形的所有特征（两组对边分别平行且相等），所以长方形和正方形是特殊的平行四边形。 (2) 正方形具有长方形的所有特征，所以正方形是特殊的长方形。 2、用集合图表示四边形之间的关系 1、（2024•黑龙江佳木斯•期中）两个完全一样的梯形一定可以拼成（ ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 2、（2024•广西柳州•期中） 有一条笔直宽6米的小路，要穿过一条笔直20米的公路，这两条公路的交叉口路面交汇部分形成的图形是( )或( )。 3、（2024•陕西安康•期中） 如图是一个直角梯形，请你用两条线段把它分割成一个平行四边形、一个长方形和一个三角形。 4、（2024•广东汕头•期末）填序号。 四个角都是直角，四条边都相等的图形：( ) 平行四边形：( ) 长方形：( ) 5、（2024•河南洛阳•期末）如图，平行四边形ABCD，若底是AB，则高是( )厘米；若高是12厘米，则底是( )或( )。 6、（2024•湖北•期末）本学期，我们又认识了一些平面图形。下面图示中，表示正方形、长方形、平行四边形之间的关系正确的是（ ） 命题点一 平行于垂直的应用 题型01 点到直线的距离的应用 1、解题核心：点到直线的距离＝垂线段的长度（垂线段最短） 2、路线最短问题 特征：选从点到直线（如道路、边线）的最短路线 秒杀：找与已知直线垂直的线段，直接锁定答案 1.（2024•福建厦门•期中） 2024年，哈尔滨市计划建设500公里农村公路，不仅方便百姓出行，还助力乡村旅游发展。例如，修建从A村通往省道的公路，将让游客更方便地前往，体验当地的自然风光和文化魅力。如图，线路（ ）最短。 A．① B．② C．③ D．④ 2.（2024·广西柳州·期末）某小区有一块长方形的花园，内有一座凉亭（如图）。 （1）小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（ ）米，在图中画出这条小路。 （2）小区物业计划从凉亭位置再修一条到达花园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画下来。 3.（2024·湖南常德·期末）某生态农业园的3块蔬菜基地之间新建了一处水井A，从A处向3块蔬菜基地铺设水管。怎样铺最节省水管？请画图说明。 题型02 平行的应用 （2024·河北保定·期中）如图，木工师傅常常把两把相同曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度，如果相等，木工师傅就判断木板上下两边平行，其中蕴含的道理是( )。 命题点二 图形的应用 题型 根据图形周长解决问题 1.（2024·青海果洛·阶段性检测） 用12厘米长的一根铁丝正好围成一个平行四边形，这个平行四边形的一条边为4厘米，拉动平行四边形使其变成长方形，长方形的面积是多少平方厘米？ 2.（2024·青海果洛·阶段性检测）一块等腰梯形的广告牌，上底长12分米，下底长15分米，腰长13分米，在这块广告牌的四周围上彩灯，则彩灯最短长( )分米。 3.（2024·四川绵阳·期末）平行四边形相邻的两条边分别是3厘米和4厘米，用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 平行四边形和梯形 【思维导图＋2考点＋2命题点+3种题型（含1种解题技巧）】 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 平行与垂直 考点二 平行四边形和梯形 04题型精研·考向洞悉 命题点一 平行与垂直的应用 题型01 点到直线的距离的应用 题型02 平行的应用 命题点二 图形的应用 题型 利用图形的周长解决问题 单元考点 考查 频率 新课标要求 平行与垂直 ★★ 新课标要求学生结合生活情境了解同一平面内两条直线的平行、相交（含垂直）关系，掌握平行、垂直概念，会用直尺、三角尺画垂线和平行线，理解点到直线的距离，在图形认识中增强空间观念与几何直观，能辨认直线是否平行或垂直。 平行四边形和梯形 ★★ 新课标要求学生结合实例认识平行四边形、梯形，掌握其定义，明确平行四边形对边平行且相等、梯形只有一组对边平行的特征，能辨认、区分这两种图形，在观察、操作中发展空间观念与几何直观，体会图形的现实应用。 【考情分析】本单元考查核心为平行、垂直定义，平行四边形与梯形特征及图形辨析、高的画法。题型以判断、操作、图形识别为主，平均失分率较高。易错点集中在概念混淆、非水平位置画高错误、复杂图形中误判两类图形，需强化本质理解与实操训练。 考点一 平行与垂直 一、平行 1、含义：在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2、平行的表示方法平行可以用符号“∥”表示。上图中直线a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。 3、生活中的平行现象 二、过直线外一点画已知直线的平行线 三、垂直 1、含义两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。 2、垂直的表示方法垂直用符号“⊥”表示，上图中直线a与b互相垂直，记作a⊥b，读作a垂直于b。 3、生活中的垂直现象 四、垂线的画法 1、画垂线 方法一：用两把三角尺来画 方法二：用量角器来画 方法三：用一把三角尺来画 2、过直线上一点画垂线 方法一：用三角尺画垂线 方法二：用量角器画垂线 3、过直线外一点画这条直线的垂线 5、 点到直线的距离、平行线间的距离 1、点到直线的距离： 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到直线的距离。 2、两条平行线之间的距离处处相等。 【易错易混】 1、判断同一个平面内的两条直线是否互相平行，要看两条直线延长后是否相交，与两条直线如何摆放无关。 2、垂直表示的是两条直线的位置关系，描述时要说成“谁是谁的垂线”。 3、判断两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是不是直角，与两条直线放置的方向无关。 1、（2024•山东菏泽•期中） 观察下面6组直线的位置关系，按一定标准分类可以得到右面的两类。下列选项中，你不赞成（ ）的分类标准。 A．小红：两条直线是否互相平行 B．小亮：两条直线是否互相垂直 C．小明：两条直线是否相交 【答案】B 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线互相平行。由图可知①和③是两组互相平行的线。而②④⑤中的线是相交的关系，⑥中的两条线延长后也会相交。借助直角三角尺的直角，比较发现②④⑤中的两条线是互相垂直的，而垂直是相交的一种特殊情况。 【详解】互相平行的有：①和③。两线相交的有：②④⑤⑥。 A．小红：两条直线是否互相平行，赞成。 B．小亮：两条直线是否互相垂直，不赞成。 C．小明：两条直线是否相交，赞成。 故答案为：B 2、（2024•广东湛江•期中） 下图中从点A到线段BE的线段中，最短的一条是（ ）。 A．AB B．AD C．AE 【答案】B 【分析】根据垂直的性质：从直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短，据此解答即可。 【详解】据分析可得：上图中从点 A 到线段 BE 的线段中，最短的一条是 AD。故答案为：B 3、（2024•广东中山•期中） 下列每组直线，是平行的画“√”，是垂直的画“○”，既不平行也不垂直的画“×”。 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） 【答案】 × × √ ○ √ ○ 【分析】在同一个平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条线互相平行；在同一平面内，两条直线不平行，那么它们一定会相交；两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。 （1） 由图可知，两条直线相交但夹角不是直角，所以两条直线既不平行也不垂直。 （2） 由图可知，两条直线延长后会相交但夹角不是直角，所以两条直线既不平行也不垂直。 （3） 由图可知，两条直线不相交，所以这两条直线互相平行。 （4） 由图可知，两条直线相交成直角，所以这两条直线互相垂直。 （5） 由图可知，两条直线不相交，所以这两条直线互相平行。 （6）由图可知，两条直线相交成直角，所以这两条直线互相垂直。 4、（2024•广东湛江•期中） 过点A分别画出直线的垂线和平行线。 【答案】见详解 【分析】用直角三角尺的一条直角边和直线重合，移动三角尺，使三角尺的另一条直角边和点 A 重合，过点 A 沿直角边向已知直线画直线，得到的就是过点 A 作已知直线的垂线。把三角尺的一条直角边和已知直线重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，沿直尺移动三角尺，使原来和已知直线重合的三角尺的直角边与点 A 重合，过点 A 沿三角尺的直角边画直线，即是过点 A 作已知直线的平行线。 【详解】如图所示： 5、（2024•海南海口•期中）在一个平面中，两条直线分别与直线l垂直，那么这两条直线（ ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 【答案】A 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线互相平行这一概念知识作答。 【详解】一个平面中，当两条直线分别与同一条直线垂直时，这两条直线互相平行。所以，在一个平面中，两条直线分别与直线垂直，那么这两条直线互相平行。故答案为：A 考点二 平行四边形和梯形 一、平行四边形 1、定义 两组对边分别平行的四边形，叫作平行四边形。 2、认识平行四边形的高、底 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这个点和垂足之间的线段叫作平行四边形的高，垂足所在的边叫作平行四边形的底。 平行四边形的底和高是相对应的，同一个底上的高相等，所以平行四边形一般有两种长度的高。 3、平行四边形高的画法画法 相当于过直线外一点画已知直线的垂线，从平行四边形一条边上任取一点都可以向它的对边画垂线，这一点与垂足之间的线段就是平行四边形的高。 4、平行四边形的特性：平行四边形容易变形，具有不稳定性。 5、平行四边形的不稳定性在生活中的应用： 二、梯形 1、定义：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。 梯形的定义判断梯形的两个条件： （1）必须是四边形；（2）只有一组对边平行 2、梯形各部分的名称 3、梯形高的画法画法：相当于过直线外一点画已知直线的垂线，在梯形的上底上任取一点向它的对边画一条垂线。 梯形有无数条高。 4、特殊的梯形 两腰相等的梯形叫作等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。 3、 四边形之间的关系 1、比较各种四边形的特征 四边形 边数 对边是否平行 对边是否相等 对角是否相等 正方形 4 是 是，且4条边都相等 是，且4个角都是直角 长方形 4 是 是 是，且 4 个角都是直角 平行四边形 4 是 是 是 梯形 4 只有一组对边平行 否，等腰梯形的两腰相等 否 发现:(1) 长方形和正方形具有平行四边形的所有特征（两组对边分别平行且相等），所以长方形和正方形是特殊的平行四边形。 (2) 正方形具有长方形的所有特征，所以正方形是特殊的长方形。 2、用集合图表示四边形之间的关系 1、（2024•黑龙江佳木斯•期中）两个完全一样的梯形一定可以拼成（ ）。 A．长方形 B．平行四边形 C．梯形 【答案】B 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，两个完全一样的梯形（形状和大小相同）进行拼接时，将其中一个梯形旋转 180 度后，使上底与下底拼接。此时，新图形的两组对边分别由梯形的上下底之和与腰组成，由于梯形上下底平行，拼接后新图形的两组对边分别平行，符合平行四边形的特征。 【详解】A．长方形是四个角都是直角的平行四边形。只有当两个完全一样的直角梯形拼接时，才能拼成一个长方形，普通梯形拼接后不能形成长方形； B．将其中一个梯形旋转 180 度后，使上底与下底拼接，此时两个梯形的上底与下底拼接后形成一组对边，另一组对边为梯形的腰。拼接后形成的图形两组对边分别平行，符合平行四边形的特征； C．梯形只有一组对边平行。两个完全一样的梯形拼接后，新图形有两组对边分别平行，不符合梯形的定义。两个完全一样的梯形一定可以拼成平行四边形。 故答案为：B 2、（2024•广西柳州•期中） 有一条笔直宽6米的小路，要穿过一条笔直20米的公路，这两条公路的交叉口路面交汇部分形成的图形是( )或( )。 【答案】长方形 平行四边形 【分析】长方形有四条边，四个角都是直角。平行四边形是两组对边分别平行的四边形，平行四边形的两组对边，两组对角分别相等。因为一条笔直的宽 6 米的小路，要穿过一条笔直的 20 米的公路，说明这两条路形成的角可能是直角，可能不是，当是直角时，形成的图形是长方形，当不是直角时，形成的图形是平行四边形。 3、（2024•陕西安康•期中） 如图是一个直角梯形，请你用两条线段把它分割成一个平行四边形、一个长方形和一个三角形。 【答案】见详解 【分析】平行四边形：两组对边分别平行的四边形为平行四边形；长方形：两组对边相等且四个角都是直角的四边形为长方形；有三条边，三个角的图形为三角形。根据平行四边形、三角形、梯形和长方形的特征来思考。因为梯形只有一组对边平行，所以只要画出与图中梯形右边腰平行的一条线段，就能分割出一个平行四边形；剩余的形状还是一个直角梯形，过此梯形右上角的顶点画一条与底边垂直的线段可将此梯形分割成一个长方形和一个三角形。 【详解】根据分析作图如下： 4、（2024•广东汕头•期末）填序号。 四个角都是直角，四条边都相等的图形：( ) 平行四边形：( ) 长方形：( ) 【答案】 ③⑥ ①⑦ ④⑤⑩ 【分析】平行四边形的特征是对边平行且相等；长方形的对边相等，四个角都是直角；四条边都相等且四个角都是直角的四边形为正方形，据此解答。 【详解】根据分析可知，四个角都是直角，四条边都相等的图形是正方形，包括③⑥；平行四边形包括①⑦；长方形包括④⑤⑩。 5、（2024•河南洛阳•期末）如图，平行四边形ABCD，若底是AB，则高是( )厘米；若高是12厘米，则底是( )或( )。 【答案】 10 AD BC 【分析】根据题意，从平行四边形一条边上的一点到它的对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。以此答题即可。 6、（2024•湖北•期末）本学期，我们又认识了一些平面图形。下面图示中，表示正方形、长方形、平行四边形之间的关系正确的是（ ） 【答案】 D 【分析】平行四边形是两组对边分别平行的四边形。长方形是四个角都是直角的平行四边形，这意味着长方形满足平行四边形的定义，并且还有四个角为直角这个特殊条件，所以长方形是特殊的平行四边形。正方形是四个角都是直角且四条边都相等的平行四边形，它既满足长方形四个角为直角的条件，又满足四条边都相等的条件，所以正方形是特殊的长方形，同时也是特殊的平行四边形。 【详解】从上述定义可以看出，平行四边形的范围最大，长方形是特殊的平行四边形，正方形又是特殊的长方形，所以正确的关系图示应该是平行四边形包含长方形，长方形包含正方形。 故答案为：D 命题点一 平行于垂直的应用 题型01 点到直线的距离的应用 1、解题核心：点到直线的距离＝垂线段的长度（垂线段最短） 2、路线最短问题 特征：选从点到直线（如道路、边线）的最短路线 秒杀：找与已知直线垂直的线段，直接锁定答案 1.（2024•福建厦门•期中） 2024年，哈尔滨市计划建设500公里农村公路，不仅方便百姓出行，还助力乡村旅游发展。例如，修建从A村通往省道的公路，将让游客更方便地前往，体验当地的自然风光和文化魅力。如图，线路（ ）最短。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】根据从直线外一点到已知直线所画的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫作这一点到直线的距离；图中四条线路中，只有线路③与省道互相垂直，所以线路③最短。据此解答。 【详解】根据分析可知：线路③与省道互相垂直，所以线路③最短。 故答案为：C 2.（2024·广西柳州·期末）某小区有一块长方形的花园，内有一座凉亭（如图）。 （1）小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长18米、12米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（ ）米，在图中画出这条小路。 （2）小区物业计划从凉亭位置再修一条到达花园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画下来。 【答案】（1）图见详解；12；（2）图见详解 【分析】（1）根据点到直线的所有线段中垂线段最短，那条与花园长边垂直的小路是 12 米。因为长方形的长边与此小路成直角，直接量得的较短距离就是 12 米；另一条 18 米的小路则是斜向通往凉亭的。 （2）要从凉亭到花园的短边走最短路，应画出从凉亭垂直于短边的路径。这条垂直线段就是所需的新小路。 【详解】（1）（2）如图： （1）12＜18小玲的前面有两条小路到达凉亭，分别长 18 米、12 米。其中一条小路与花园长边是垂直的，这条小路长（12）米。 3.（2024·湖南常德·期末）某生态农业园的3块蔬菜基地之间新建了一处水井A，从A处向3块蔬菜基地铺设水管。怎样铺最节省水管？请画图说明。 【答案】铺在 A 点垂直于三块基地的直线上；见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短，因此从 A 点作三个基地的垂线段，即为水管最节省的铺法，据此作图即可。 【详解】如图： 即铺在A点垂直于三块基地的直线上，最节省水管。 题型02 平行的应用 （2024·河北保定·期中）如图，木工师傅常常把两把相同曲尺的一边紧靠木板的一边，再看另一边对应曲尺上的刻度，如果相等，木工师傅就判断木板上下两边平行，其中蕴含的道理是( )。 【答案】在同一平面内，如果两条直线之间的距离处处相等，那么它们就互相平行 【分析】木工师傅将两把相同的曲尺分别紧贴木板上下两边，通过比较曲尺上对应刻度是否相等，实质上是在比较这两条边之间的 “垂直距离” 是否处处相同。若刻度相等，说明上下两边的距离不变，从而可判断这两条边是平行的。 命题点二 图形的应用 题型 根据图形周长解决问题 1.（2024·青海果洛·阶段性检测） 用12厘米长的一根铁丝正好围成一个平行四边形，这个平行四边形的一条边为4厘米，拉动平行四边形使其变成长方形，长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】8 平方厘米 【分析】根据平行四边形的特征，它的两组对边平行且相等。用铁丝的长度减去 2个4厘米的长度，就是平行四边形一组对边的长度和。再除以2就是平行四边形一条边的长度。拉动平行四边形使其变成长方形，平行四边形的两条相邻的边就变成长方形的长和宽。长方形的面积＝长×宽，代入计算即可。 【详解】(12－4×2)÷2 ＝(12－8)÷2 ＝4÷2 ＝2（厘米） 2×4＝8（平方厘米） 答：长方形的面积是8平方厘米。 2.（2024·青海果洛·阶段性检测）一块等腰梯形的广告牌，上底长12分米，下底长15分米，腰长13分米，在这块广告牌的四周围上彩灯，则彩灯最短长( )分米。 【答案】53 【分析】两腰相等的梯形叫等腰梯形，在广告牌的四周围上彩灯，彩灯的长度即为这个梯形的周长，把其4条边的长度相加即可。 【详解】12＋15＋13×2＝53（分米） 彩灯最短长 53 分米。 3.（2024·四川绵阳·期末）平行四边形相邻的两条边分别是3厘米和4厘米，用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是多少厘米？最短是多少厘米？ 【答案】38 厘米；28 厘米 【分析】要想拼成的平行四边形的周长最长，应将 4 个平行四边形的短边拼接起来，拼成一排，此时大平行四边形的一条边是（4×4）厘米，邻边是3厘米，周长是（4×4＋3）×2 厘米。要想拼成的平行四边形的周长最短，应将4个平行四边形拼成2行2列，每行的2个平行四边形的短边相接，每列的2个平行四边形的长边相接，此时大平行四边形的一条边是（4×2）厘米，邻边是（3×2）厘米，周长是（4×2＋3×2）×2 厘米。 【详解】(4×4＋3)×2 ＝(16＋3)×2 ＝19×2 ＝38（厘米） (4×2＋3×2)×2 ＝(8＋6)×2 ＝14×2 ＝28（厘米） 答：用4个这样的平行四边形拼成更大的平行四边形，周长最长是38厘米，最短是28厘米。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $