专项1 大题抢分练-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（人教版·新教材）河南专版

息2分式的加减及分式方程 温3三角形的全等 河南专版·ZBR 八年级数学：上册 4(8分)解方程： 7学习情填·金整证用(9会)正明命，“一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直布 追梦专项一大题抢分练 2告 三角形全等“，要根据题意，面出国彩，并用符号表示已知和求证，写出证明过程.下而是小预根累题 意西出的图形，并写出了不完整的已知和求证， (已根成新长满写】 因式分解，整式乘法 1.8分)因式分第： (142-8y+42 (2)9u2x-y)+4'(3-x). 已知：在△ABC和△A'BC中，∠C=乙C=0°，AC=A'C,AD与A'D'分别为C,'C边上的中 5会洗花周再球品动中2 线且 求证： 2,(8分)计算 (1(x-1)(x*1)-(+1)2: (2)(16r2y2+8xy:)8ry2: (3)32.2n-3如20w2: (3)(314-r)°-(-1)24+9x32 8.(8分)如图，在四边形ABD中，∠ABC=∠ADC=9,AB=AD,求证：C0垂直平分BD 6.〔8分)我们在分析解决某此数学问题时，经常要比较两个数或两个式子的大小，解决同题的策略 取要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，“作差法”就是通过作差，变形，利用差 3.《9分)（体沂南太）如图1，是一个长为2四，宽为2的长方形，沿图中虚线用嘴刀平均分成四块小 的符号确定它们的大小，如要比较式子M,N的大小，只要求出M-V的值即可若M->0.则>N: 长方形，然后夜图2的形状拼成一个正方形. 若M-N=D,则M=N:若-<0.M< 《1)图2中阴影都分的而积为 (1)若a>0,试判断： +2 《2)观察图2，可得(+m),(m-),之间的等量关系是 (3}若x+y=-6,灯=275，求xy: 2+1 当m>-3时.比较与B的大小，并说明理由。 .(9分)如图，在△A中，D是AC上一点，BFAC,DF交C于点E,DE=Ef 4)现图3，你柜您样等代 m3-9 (I)求E:△CDE≌△BFE; (2)若AC=8.BF=6,求AD的长 图 河南女板·八牛量数学·上时第！瓦 同南专重，八年级粒学·上质第之项 列南专酸，人年线数学·上厨第3到 专项1 圆4分式方程的应用 5袖对棉 曹迪6三角形的综合探究 10.(9分)（长春中考）某化工厂川A.B两种型号的机器人椒运化工原料.已知每个A型机器人比每 12.(9分)如图，在平面直角坐标系中，A(1,3),B4,2),CD,6). 16.(0分)【观察猜想】(1)我们知道，正方形的四条边部相等，四个角都为直角.如图1，在正方形 个：型机器人菊小时多搬运30g,每个A带机器人搬运0kg所用的时间与轲个B型杭器人邀 (1)作出△AC关于，轴对称的△4，，C: AD中，点E.F分别在边C,CD上连接AE,AF,EF,并延长CB到点G.使=DF,连接AG若 运60kg斯用的时向相等. (2)直接写出A, ）.B( ∠EAF=45,则5.EF,DF之间的数量关系为 (1)求A,B两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？ (3)在x轴上面出点P,使P+PB的值最小（保科作图迹） 【类比深究】(2)如离2，当点E在线段C的廷长线上且∠EAP=45时.试探究E,EF,DF之 (2)某化工厂有45S00kg化工原料需要摄运，要求数运所有化工原科的时间不超过5小时.现计划 的昌量美系非总明印由： 先由号个A型机需人搬运2小时，形增加若干个B理机器人一起操运，同至少增加多少个B婚机 【拓展应用1(3)如周3，在△AC中，AB=AC,D,E在BC上，∠D4E=45,若△AC的面积为 器人才能按要求完成任务？ 2,BD·(CE=4,请直接写出△A0E的面积 13.(9分)如图，在等腰三角形AC中，AB=AC,∠4C=120°，请按要求作答： (1)请用尺规作AB边的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E:(保留粮连，不写作法) (2)若DE=3,求线段CE,BC的长 1山.〔10分)课堂笔记 周末，小明和小红约宽去害家10m的因书馆牵习.小明步行出发10mm后，小红从同一 一线骑白行年出发，两人时到达国书馆.已知小红车的连是小明多行良 17.(10分【课本再现】 的3修，求两人的度. 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于3，那么它所对的直角边等于斜边的一半， 分新 方程 【定理探索】 设 14(9分)如图，在△ABC中，D是C边上一点，.CD=AB,LD4=LB,AE是△ABD的中线， 书中对上面的定理设有给出正，请你站合图形写出已知，求证并给出定理的正明 解法 等量关系：-n=0 100◇=10 (1)若∠0=60 3.10.100 ①求正1△4D是等边三角形： 解法二 羊登关系：3·”分0 x-10 ②求∠C的度数： (1)解法二所列的方程中的x表示 (2)过点D作DF⊥AC于点F,若D=2DF,求迁：AD平分∠EC A.步行的速度为xmmi▣ B.骑车的速度为xm/mim 【定理应用】 C.步行的时间为xm D.转车的时间为xmm (1)如图I,在△AC中，AB=4C,∠B=0,ADLB交BC于点DD=4,划G的长 (2)将解法一求两人的速度的过程补充完常 A.8 B.4 C.12 D.6 (2)如图2，在R1△AC中，乙ACB=,∠A=30.BC=8m点D是斜边AB上一点，把△ACD沿 CD新叠，得到△CDE 15(9分)如图.在R1△AC中，LC=0.LCB的平分线AD交BC于点D.过点D作DE⊥AB.垂是 ①若∠BDE=40°，悲∠ACD= 为E.此时点E价为AB的中点 ②当折痕D⊥AB时.求点D的位置（即求AD的长）. (1)求∠CAD的大小 (2)若BC=9,求E的长 专项1 河南专版，八等量数学·上研宽4夏 河南专面·人年级数平·上面第5面 州情专版·人牛业数笔·上肝第6面+1=1或-3a,6的“传系数为1或-3. =3,.a=-1或a=3,.满足条件的整数a的和为 -1+3=2. 1.解：(1)当x=1时，P-Q=1+2-8-1 33 8解：(1)原方程化为2x-52x51.方程两边同时 (2)P-0=+2-8x-x+2)2-8x-x-2)3 乘上(2x-5),得x-5=2x-5,解得x=0.检验：当x x+2x+2 x+2· =0时，2x-5≠0，∴.x=0是原方程的解； >0（x-2)2 2≥0当=2时，2”=0，P (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-(x2- x+2 1)=4,解得x=1.检验：当x=1时，x-1=0,因此x Q,当x>0且x≠2时，P>Q; =1不是原分式方程的解.·原分式方程无解. ay-吕P=+2.0- 4Q 9.解：(1)设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬 x+2y= P12 衫2x件，依题意，得4500210-10，解得x=15.经 48x 216 2x x +212(x+2)33(x+2)y均为非零整 检验，x=15是所列分式方程的解，且符合题意，∴ 第一次的进货量为2×15=30（件）.答：第一次购进 数，∴.x=-3时，y=-6,xy=18;x=-6时，y=-2,xy 衬衫30件，第二次购进衬衫15件； =12;x=-18时，y=-1,xy=18;综上所述：xy的值 (2)4500÷30=150(元/件)，150-10=140（元/件）. 为18或12. 设第二批衬衫每件售价为y元/件，依题意，得 2解8 b>a>0,∴.b2+b>0,a-b< (200-150)×30+(y-140)×15=1950,解得y=170. 答：第二批衬衫每件售价为170元. 、&6<0一说明所得分式+的值是增大了： 0, 10.解：(1)设在该果园采摘明5-5的单价是x元/千 克，则在该果园采摘布鲁克斯的单价是(x-3) (2)①甲：800m+00n=m”(元/千克)：乙： 元/千克.根据题意得120-120×1.25，解得x 800×2 x-3x 800x22mn 15,经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意. (元/千克)； 800800m+n 答：在该果园采摘明5-5的单价是15元/千克； (2)根据题意得：30+(8-6)m=42,解得：m=6. m n ②m+n.2mn-(m-n)2 答：m的值为6： 2m+n2(m+n)m,n是正数，且m≠n, (3)78 12 (m-n)2 六20m+n>0, m+n 2mn ,·.乙所购饲料的平 11.解：(1)x+ =-6为“十字分式方程”，.x-2+ -2 12 均单价低。 -8,-2+（-2)X-6)=(-2)+(-6),x 基础知识抓分练7 x-2 x-2 -2=-2或x-2=-6,.x1=0,x2=-4; 1.D 3 2:该分式方程的解 3+ (2)“十字分式方程”x =-6的两个解分别 2.C【解析】解方程，得x= 为x1=m,x2=n,.x1x2=mn=-3,x1+x2=m+n= 3+m <0 2 -6,.+m=m+n_(m+n)2-2mm_36+6」 为负数，且分式方程有意义， ,..m<-3 m n mn mn -3 3+m ≠-1 -14. 2 追梦专项一大题抢分练 且m≠-5，故选C. 1.解：(1)原式=4(x2-2xy+y2)=4(x-y)2. 3.A4.D (2)原式=9a2(x-y)-4b2(x-y)=(x-y）(9a2-462) 5.一项工作，甲乙合作需6天完成，甲单独做比乙单 =(x-y)(3a+2b)(3a-2b). 独做多用5天，乙单独做需几天？（答案不唯一） 2.解：(1)原式=x2-1-(x2+2x+1)=x2-1-x2-2x-1= 6.x(x+2)(x-2) -2x-2: 7.2【解析】解不等式组，得 2<x≤3-a.关于x (2)原式=16x2y3z÷8xy2+8x3y2z÷8x2=2xyz+x2z: (3)原式=6a-3a=3a’; x-3 的一元一次不等式组3<+1至少有2个整数 （4)原式=1-1+9x。=1-1+1= x+a≤3 3.解：(1)(m-n)2 解，则该不等式的整数解至少包含：-2，-1，∴.3-a (2)(m+n)2-4mn=(m-n)2 ≥-1，解得：a≤4，解分式方程，得y=a牛 2a≤4， (3)由题知(x-y)2=(x+y)2-4y=25,则x-y=±5： (4)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2. y437 2≤2“y是正整数，且y≠2，…y=1或y 4解：(1)方程两边乘3(x-1),得2x=3,解得：x= 2 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·八年级数学上第4页 3 (2)设小明步行的速度是xm/min,则小红骑车的 检验：当时3x-）≠0，“x3是分式方程 2 速度是3m/mim,由题意得1000_100-10，解得x 的解 x 3x (2)方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x+1)2-4=x2- 3,经检验，x= 20 00 1,解得x=1.检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0,所 3 是原方程的解，且符合题 以原分式方程无解. 5.解：原式=1-y (3x+y)2 3x+y_ 意.3x=200,答：小明步行的速度是200 3 m/min, =1 3x+y(x+y)(x-y） x+y 则小红骑车的速度是200m/min. x+y-3x-Y=- x+y 2x,当￥=-2，y=1时，原式 12.解：(1)如图，△AB,C即为所求； x+y’ (2)-13-42 2x(-2)=-4. (3)如图，点P即为所求 -2+1 6.解：(1)> 2)<B理由如下：-B=m+3)m-3 (m+3)2 2m+1 -7 2(m+3)2(m+3) .m>-3,.m+3>0, -7 1 2m+30有B 13.解：(1)如图所示，DE即为所求： 7.解：AD=A'D'Rt△ABC≌Rt△A'B'C 证明：∠C=∠C'=90°，AD=A'D',AC=A'C, Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL),.CD=C'D'.:AD 与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，.点D和 点D'分别是BC与B'C的中点，∴.BC=2CD,B'C (2)连接AE,:AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B= =2CD',.BC=B'C',在△ABC和△A'B'C'中， ∠C=30°..DE垂直平分AB,∴.BE=AE,DE⊥ AC=A'C' AB,.BE=AE=2DE=6,.∠BAE=∠B=30°， ∠C=∠C',.Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS). ∠AEC=∠B+∠BAE=60°，∴.∠EAC=90°，∴.CE= BC=B'C' 2AE=12,∴.BC=BE+CE=6+12=18. 8证明：在R1△ABC和RI△ADC中，AB=AD (AC=AC 14.(1)①证明：：∠BAD=60°，∠BDA=∠B, ∠BAD=∠B=∠BDA=60°，.△ABD是等边三 Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),.BC=DC,.点C在 角形； BD的垂直平分线上.：AB=AD,.点A在BD的垂 ②解：·△ABD是等边三角形，∴.AB=AD.CD 直平分线上，.AC是BD的垂直平分线，.C0垂 =AB,.CD=AD,∴.∠DAC=∠C,.∠BDA= 直平分BD ∠DAC+∠C=2∠C..∠BDA=60°，∴.∠C=30°； 9.(1)证明：BF∥AC,∴.∠C=∠EBF,∠CDE= (2)证明：∠BDA=∠B,.AB=AD.:AE是 ∠C=∠EBF △ABD的中线，.AE⊥BD,BE=DE,∴.∠AED= ∠BFE,在△CDE和△BFE中， ∠CDE=∠BFE, 90°，BD=2DE..DF⊥AC,BD=2DF,∴.∠AFD= DE=FE 90°=∠AED,DE=DF.∴.点D在∠EAC的平分线 ∴.△CDE≌△BFE(AAS); 上，.AD平分∠EAC. (2)解：：△CDE≌△BFE,∴.CD=BF=6,∴.AD= 15.解：(1)：DE⊥AB且E为AB的中点，∴.DE垂直 AC-CD=8-6=2. 平分AB,·AD=BD,.∠B=∠BAD.:AD是 10.解：(1)设每个B型机器人每小时搬运xkg化工 ∠CAB的平分线，.∠CAD=∠BAD.:∠C=90°， 原料，则每个A型机器人每小时搬运(x+30)kg ∴.3∠CAD=90°，.∠CAD=30°； (2).AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC,DE⊥AB, 化工原料，根据题意，得900-600，解得x=60.经 ∴.DC=DE.∠CAD=∠BAD=∠B=30°，BD= x+30x 2DE,∴.BD=2DC.BC=9,.BD+CD=9,∴.3DE 检验，x=60是所列方程的解且符合题意，.x+30 =9,∴.DE=3. =90,答：每个A型机器人每小时搬运90kg化工 16.解：【观察猜想】(1)EF=BE+DF 原料，每个B型机器人每小时搬运60kg化工 【类比探究】(2)BE=EF+DF.理由如下：在BC上 原料： 取点G,使BG=DF.连接AG.,四边形ABCD是 (2)设增加y个B型机器人，依题意，得：8×90×5 正方形.∴.AB=AD,∠ADC=∠BAD=∠B=90°，∴. +60x(5-2)y≥4500，解得y≥5.y为正整数， ∠ADF=90°.在△ABG和△ADF中， y的最小值为5.因此，至少要增加5个B型机 (AB=AD. 器人. ∠B=∠ADF,.△ABG≌△ADF(SAS).∴.∠BAG 11.解：(1)C BG=DF 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·八年级数学上第5页 =∠DAF,AG=AF.:∠EAF=45°，∴.∠EAD+ =∠DCE+∠E,∴.∠DGF=70°+30°=100°.. ∠DAF=∠EAD+∠BAG=45°..∠GAE=∠BAD- ∠EFD=110°，∠EFD=∠DGF+∠D,∴.∠D=10°， (∠EAD+∠BAG)=90°-45°=45°.∴.∠GAE= 20°-10°=10°，.∠D应减少10°.故选B. ∠EAF.在△AEG 和△AEF 中， 6.6【解析】当4cm为腰长时，16-4×2=8(cm).:4 (AE=AE. +4=8(cm),∴.4cm、4cm、8cm不能组成三角形；当 ∠GAE=∠FAE,∴.△AEG≌△AEF(SAS).∴.GE (AG=AF, 4cm为底边时，)×(16-4)=6(cm),4em、6cm =EF..BE=BG+GE=DF+EF. 6cm能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰 【拓展应用】(3)△ADE的面积为5.【解析】在 长为6cm. 点A的右侧作FA⊥AD,且使AF=AD,连接EF, 7.105°【解析】，∠2+30°+45°=180°，.∠2= FC.则∠DAF=∠BAC=90°.∴.∠B+∠ACB=90°， 105°.·直尺的上下两边平行，.∠1=∠2=105° ∠BAD=∠CAF.在△ABD和△ACF中， 8.8【解析】：AD是BC边上的中线，.BD=CD, AB=AC. △ABD的周长-△ADC的周长=(AB+AD+BD)- ∠BAD=∠CAF,∴.△ABD≌△ACF(SAS).∴.∠B (AC+AD+CD)=AB-AC=3,又.·AB+AC=13,所以 AD=AF. 解得AB=8. =∠ACF,BD=CF,S△ABD=S△ACr:∴.∠ECF= 类型二全等三角形 ∠ACF+∠ACB=∠B+∠ACB=90°，Sg边形ADCF= 1.A2.A S△ACD+S△HC=S△iCD+S△ABD=SAABC=12.'∠DAE= 3.A【解析】延长CD到点E,使DE=CD,连接AE. 45°，.∠EAF=45°.∴.∠DAE=∠EAF.在△ADE CD是边AB上的中线，AD=BD.∠ADE= (AD=AF. ∠CDB,DE=CD,∴.△ADE≌△BDC(SAS),∴.AE= 和△AFE中，{∠DAE=∠FAE,.△ADE≌△AFE BC=4,在△ACE中，.8-4<2CD<8+4,∴.2<CD<6. AE=AE. 故选A. (SAS).∴.DE=EF,S AADE=S AAFE:BD·CE=4, 4.B 5.AB=AC 6.8【解析】在Rt△ABC中，BD是△ABC的角平 CF.CE=4.LECF=90ScC 分线，DE⊥AB,∠C=90°，∴.DE=DC,又：∠DEB= CE=2.∴.S四边形ADEr=S四边形ADCF-SAcr=12-2=10, ∠DCB=9O°，BD=BD.∴.Rt△BDE≌Rt△BDC 5m=87r-分x10-5 (HL),.'BE=BC,.CA=CB,..CA=BE,..AAED 的周长=AE+ED+AD=AE+DC+AD=AE+AC=AE+ 17.解：【定理探索】已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°， BE=AB=8. ∠BAC=30°， 7.3.5【解析】延长AE交BC于点F.BD平分 求证，BC极 ∠ABC.LAD=∠DnC=2LABF.:E1AP, 证明：延长BC到D,使CD=BC,连接AD. .∠AEB=∠BEF=90°.：BE=BE,.△ABE≌ ∠ACB=90°，.AC是BD的垂直平分线，∴.AB= △FBE(ASA),∴.AE=EF,AB=BF=5.:BC=12, AD,△ABD是等腰三角形.在Rt△ABC中，∠ACB ∴.CF=12-5=7.∠BEF=90°，∴.∠EBF+∠AFB =90°，∠BAC=30°，∠B=60°，∴.△ABD是等边 1 三角形，.AB=BD,.AB=BC+CD=2BC.(答案 =90°，2∠ABC+LAFB=90.∠ABC+4LC 不唯一) 1 【定理应用】 180°，. ∠ABC+2∠C=90°，∴.∠AFB=2∠C. 2 (1)C【解析】：AB=AC,∴.∠B=∠C=30°. ∠AFB=∠C+∠CAF,∴.∠C=∠CAF,∴.AF=CF= AB⊥AD,∴.BD=2AD=8,∠B+∠ADB=90°， ∠ADB=60°：，·∠ADB=∠DAC+∠C=60°，∴. 7,.AE=EF=。AF=3.5. ∠DAC=30°，.∠DAC=∠C,∴.DC=AD=4,∴.BC 类型三轴对称 =BD+DC=8+4=12. 1.D2.B (2)①40 3.B【解析】BN=4,DN=2,.BD=6等边三角 ②由题意知AB=2BC=16cm,∠B=90°-∠A= 形ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD为等边三 60°.CD⊥AB,.∠CDB=90°，∴.∠BCD=90°- 角形的中线.AD所在的直线为△ABC的对称轴. BC ∠B=30°，.BD= 2 =4cm,.∴.AD=AB-BD .CD=BD=6.∴.BC=12.作点M关于AD的对称 点M',则点M'在线段AC上.∴.MP=M'P.AM= =12cm. 4,.AM”=AM=4.△ABC是等边三角形，∴.AC= 追梦专项二重难易错专练 BC=12,∠C=60°..CM'=8.连接M'N交AD于，点 类型一三角形 P,..PM+PN=PM'+PN=M'N..CN=CD+DN=8, 1.D2.A3.A4.A .CN=CM'..△CNM'是等边三角形..M'N=8. 5.B【解析】延长EF,交CD于，点G.∠ACB=180° ∴.PM+PN的最小值为8.故选B. -50°-60°=70°，∴.∠ECD=∠ACB=70..∠DGF 4.10【解析】：D为AB的中点，ED⊥AB,∴.AE= 追梦之旅·初中期末真题篇·河南专版ZBR·八年级数学上第6页