第一章有理数 绝对值 期末总复习讲义 2025-2026学年人教版七年级数学上册

七年级数学期末总复习讲义 第2课 绝对值 知识点梳理 考点01绝对值的代数意义 考点02绝对值的几何意义 考点03绝对值的非负性 考点04绝对值的化简与分类讨论 考点05有关绝对值的最值问题 考点06数轴与绝对值的综合应用 知识点01 绝对值的代数意义 1.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 2.注意事项：绝对值2的数有两个是，但不能说=. 例题讲解 例1（25-26七年级上·重庆·期中）下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值和化简多重符号，若，则；若，则，再结合化简多重符号的方法对各选项的条件进行化简判断即可得到答案． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简正确，不符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简正确，不符合题意； 故选：A 例2（25-26七年级上·河南洛阳·期中）若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或2 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，求代数式的值，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由，得，结合，得，代入计算即可； （2）由（1）得，结合得或，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 则 ， ∵，， ∴， ∴=2； （2）解：由（1）得， ∵， ∴或， ∴=2 故=2. 知识点02 绝对值的几何意义 1. 的几何意义:=在数轴上表示数a的点到原点之间的距离； 2. 的几何意义:在数轴上表示数a的点到表示数b的点之间的距离； 3. +的几何意义：在数轴上x到表示数a的点和x到表示数b的点之间的距离之和； 例题讲解 例3（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，，则原点是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，解题的关键是结合数轴分析、之间的距离小于的和，从而确定原点位置． 【详解】解：， 、之间的距离小于， ， 原点不在、之间， 原点是或． 故选A． 例4（25-26七年级上·广东广州·期中）众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①当时，x满足的条件为______， ②当时，x满足的条件为______； 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义； （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点之间的距离公式得到，再分情况讨论计算即可； （3）当点C在线段外时，，即，点C到A、B两点的距离之和，点C在线段上，此时，，据此可判断C电动位置，即可求解； 【详解】（1）解：A、B两点间的距离为：； （2）解：依题意得， 当时，，； 当时，，； ∴； （3）解：①∵， ∴a<b，且A、B两点间的距离为， （图1） ∴当点C在线段外时（如图1），，即，点C到A、B两点的距离之和， 点C在线段上，（如图2）此时，， ∵， ∴点C在线段上， ∴x的范围是 （图2） ②由①可知无论C点在线段AB外侧还是在AB之间，，只有点C与A点重合时，所以x=a, 故. 知识点03 绝对值的非负性 1.由绝对值的几何意义可知一个数的绝对值不可能是负数，故 2.若+=0，则a=b=0. 例题讲解 例5（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．数轴上原点两旁的两点所表示的数互为相反数 B．如果，那么一定是一个正数 C．数轴上所有的点都表示有理数 D．绝对值没有最大的数，但有最小的数 【答案】D 【分析】本题考查数轴、相反数、绝对值、有理数和正数的性质，选项A错误，因为原点两旁的点不一定到原点距离相等；选项B错误，因为时a可以是0；选项C错误，因为数轴上有点表示无理数；选项D正确，绝对值最小的数0． 【详解】解：A、原点两旁的点如和3，不是相反数，故本选项不符合题意； B、时，，a可以是0，不一定是正数，故本选项不符合题意； C、所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数，故本选项不符合题意； D、绝对值没有最大值，可以无限大；但有最小值，0的绝对值最小，故本选项符合题意； 故选：D． 例6（浙江省温州市新素质教育联盟2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）若实数x，y满足，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的乘方．根据非负数的性质，绝对值和平方项均为非负数，它们的和为零则每个项必须为零． 【详解】解：由， 因为且， 所以且， 即和， 解得，， 因此． 故答案为：． 知识点04 绝对值的化简与分类讨论 1. 若a>0,则=a；若a>0,则=0；若a<0,则=-a. 2. 若=a，则a.(千万别漏了0) 例题讲解 例7（25-26七年级上·海南·期中）阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 【分析】本题考查了数轴、绝对值、有理数的乘法等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质可得，则，，再根据绝对值的性质化简即可得； （2）根据有理数的乘法法则分两种情况：①有理数中有一个负数，两个正数；②有理数三个都是负数，再化简绝对值，计算有理数的加减法即可得． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，，， ∴，， 故答案为：；；；． （2）解：∵， ∴有以下两种情况： ①有理数中有一个负数，两个正数，不妨设， 则； ②有理数三个都是负数，即， 则； 综上，的值为1或． 例8（重庆育才中学教共体2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，以及绝对值、数轴．根据数轴，可得出、、的符号，然后去绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴得，,且， ∴，，， ∴ ． 故答案为：． 例9对于任意有理数，化简代数式并求它的最小值。 分析：化简要分三种情况：①x>3，②x=3，③x<3，其中令x-3=0，x=3是分类讨论的“零界点”； 化简要分三种情况：①x>-6，②x=-6，③x<-6，其中令x+6=0，x=-6是分类讨论的“零界点”； 这样通过两个“零点”值把所有有理数分成不重复不遗漏的三种情况：①x<-6,②-6,③x>3（可结合数轴分类）这种分类方法叫做“零点分段法”。 解：其中令=0时，x=3；令=0时，x=-6. 当x<-6时原式=-(x-3)-(x+6)=-2x-3,因为x<-6，所以-2x>12，所以-2x-3>9； 当-6时原式=-(x-3)+(x+6)=9 当时原式=(x-3)+(x+6)=2x+3，因为x>3，所以2x>3，所以2x+3>9； 故，代数式在-6时有最小值9. 注：本题也可以用绝对值的几何意义来求代数式的最小值，因为表示在数轴上，数x到数3、数-6表示的点之间的距离之和，又因为当x在-6和3之间时（包含-6和3）这两个距离之和最小，所以当-6时有最小值为9. 知识点05 绝对值的最值问题 1. 根据绝对值的代数意义理解绝对值的最值 （1）因为,所以当a=0时，有最小值0，+m有最小值m; （2）因为,所以当x-a=0即x=a时，有最小值0； 2. 根据绝对值的几何意义理解绝对值的最值 （1）因为在数轴上，数a到原点的距离最小是0，所以的最小值为0； （2）因为表示在数轴上（如图所示），数x到数a的距离，所以当x=a时，有最小值0； 例题讲解 例9（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）式子 的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，利用绝对值的定义计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值1． 故选：B． 例10（25-26七年级上·重庆·阶段练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，分类讨论是解题的关键．设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5，由绝对值的几何意义可知的值即为线段、、、的长度之和，然后根据点A的位置分类讨论即可解答． 【详解】解：设点A表示的数为a，点B、C、D、E表示的数分别为，2，3，5， 则的值即为线段、、、的长度之和， 如图所示，当点A在点B左侧时， 则 ； 如图所示，当点A在点B与C之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点C与D之间时， 同理， ； 如图所示，当点A在点D与E之间时， 则 ； 如图所示，当点A在点E的右侧时， 则 ； 综上所述，最小值为8． 故选：C． 注：（1）如图所示，以上分类方法就是“零点分段法”； （2）本题也可以用绝对值的几何意义来解题，如图所示，当A点在CD之间时（AC+AD）+（AB+AE）=BE+CD=8，所以当代数式有最小值8. 例11（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知，有理数在数轴上所对应的点分别是三点，且满足：． (1)的值分别是______，______，______（直接写出答案）： (2)若数轴上点之间有一动点（不与点重合），且点对应的数为．化简：； (3)若点在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中．若在整个运动过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求运动几秒后点与点的距离为13个单位长度． 【答案】(1)，1，5 (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、非负数的性质，解题的关键是列出正确的方程． （1）由绝对值和平方的非负性可求a，b，c的值； （2）由y的取值范围，化简可求解； （3）先求出m的值，再由题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， 解得，，， 故答案为：，1，5； （2）解：∵数轴上点之间有一动点（不与点重合），且点对应的数为， ∴，则，， ∴ ； （3）解：∵点B到点C的距离与点B到点A的距离差始终不变， 是定值， ， ∴， ∵点B与点A的距离为13个单位长度， ∴． 知识点06 数轴和绝对值的综合应用 1. 数轴上的两点距离问题：AC==c-a(大-小)，BC==b-c(大-小) 2. 数轴上点的平移问题： （1）点的平移（右+左-） （2） 线段的平移（右+左-） 例题讲解 例12（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）若，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的意义，乘法法则以及求代数式的值． 根据绝对值的意义得到，由，则或，把它们分别代入中计算即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴或， ∴当时，则， 当时，则． 综上所述，的值是． 例13（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即． 如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是的系数，是最大的负整数，是多项式的次数．        (1)______，______，______． (2)多项式的项分别是______． (3)x是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (4)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【分析】本题主要考查了多项式的次数、数轴上两点间的距离、去绝对值运算，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）根据多项式中项的定义求解； （3）先明确的几何意义，再根据的范围分类讨论即可； （4）先分别用含的代数式表示出与，再根据的范围去掉绝对值符号，根据的值是一个定值求出m的值． 【详解】（1）解：对于：单项式的系数是，所以； 对于：最大的负整数是，所以； 对于：多项式的次数是次数最高项的次数，中次数最高项为， 故． （2）多项式中的每个单项式叫做多项式的项， 故的项分别是，，． （3）根据数轴上两点间距离的几何意义， 表示数轴上有理数对应的点到对应的点的距离， 表示数轴上有理数对应的点到对应的点的距离， 故的几何意义是，数轴上有理数对应的点到与的距离和； 当时，此时在的左侧， 到的距离是，到的距离是， 距离和为， 因为，故； 当时，此时在和之间， 到的距离是，到的距离是， 距离和为； 当时，此时在的右侧， 到的距离是，到的距离是， 距离和为， 因为，故； 综上，当时，的最小值为． （4）点初始表示，向左运动（速度2单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度3单位/秒），秒后表示的数为， 点初始表示，向右运动（速度1单位/秒），秒后表示的数为， 根据计算与， ， ， 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 当时，，， 由于的值是定值，所以， 解得； 综上，的值为或． 课后练习 一、单选题 1．（2023·四川泸州·中考真题）下列各数中，最大的是（　　） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】首先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数． 【详解】∵， ∴， ∴最大的数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小． 2．（21-22七年级上·河南洛阳·期中）下列四个数中，比－1小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】正数大于0，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，根据有理数的大小比较的方法可得答案. 【详解】解：由正数大于0，0大于负数，可得B，C，D不符合题意； 而 故A符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，掌握“有理数的大小比较的方法”是解题的关键. 3．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的个数有（    ） （1）若，则；（2）若a、b互为相反数，则；（3）绝对值相等的两数相等；（4）单项式的次数是6；（5）－a一定是一个负数；（6）平方是本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据倒数的定义、相反数定义、绝对值的性质、单项式的系数和次数定义等逐个判断即可． 【详解】解：（1）若，则，正确，符合题意； （2）若a、b互为相反数，当b≠0时，则，原说法错误，不符合题意； （3）绝对值相等的两数相等或互为相反数，原说法错误，不符合题意； （4）单项式的次数是4，原说法错误，不符合题意； （5）当a>0时，－a一定是一个负数，原说法错误，不符合题意； （6）平方是本身的数是1或0，原说法错误，不符合题意； 综上，只有（1）说法正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了倒数的定义、相反数定义、绝对值的性质、单项式的系数和次数定义、乘方运算等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键． 4．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知有理数n、m满足，则（   ） A． B．1 C． D．2023 【答案】A 【分析】此题主要考查了非负数的性质，代数式求值．解题的关键是掌握非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零． 根据，可以求得m、n的值，从而代入计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握比较大小的方法是解题的关键．先根据绝对值和相反数的意义化简A、C、D三项中的相关有理数，然后根据正数大于负数即可进行比较；根据两个负数比较大小的方法即可判断B项，从而可得答案． 【详解】解：A、，，，故本选项错误，不符合题意； B、，，，故本选项正确，符合题意； C、，，，故本选项错误，不符合题意； D、，，故本选项错误，不符合题意． 故选：B． 6．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出，的值，进而计算得出答案． 【详解】解：， ， ， ，， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了绝对值以及偶次方的性质，正确得出，的值是解题关键． 7．（21-22七年级上·广西百色·期末）下列运算中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相反数、绝对值的意义，有理数的运算法则进行逐项判断即可． 【详解】A、，故选项不正确，不符合题意； B、，故选项不正确，不符合题意； C、，故选项不正确，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了相反数、绝对值的意义，有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则，正确理解算式意义是解题关键． 8．（18-19七年级上·江苏无锡·阶段练习）若a≠0，则的值为（　　） A．2 B．0 C．±1 D．0或2 【答案】D 【分析】对的大小进行分类讨论去绝对值即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 故选：D． 【点睛】本题考查求一个数的绝对值，①当a是正数时，；②当a是负数时，． 9．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的结果是（      ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据数轴，得到信息为b＜-1＜0，1＜a＜2，化简绝对值即可． 【详解】∵b＜-1＜0，1＜a＜2， ∴a-2＜0，b+1＜0，a-b＞0， ∴ =a-b+2-a+b+1 =3， 故选C． 【点睛】本题考查了数轴，有理数的大小比较，绝对值的化简，正确读取数轴信息，准确进行绝对值的化简是解题的关键． 10．（11-12七年级上·浙江·期末）m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法法则和绝对值的概念，需要分情况讨论．采用分类讨论时，要把所有情况分析清楚．故考虑三种情况，化简原式后判断即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∴， 即：可能是正数，也可能是0，但不可能是负数． A．不可以是负数，此选项错误； B．不可能是负数，此选项正确； C．可能是正数，也可能是0，此选项错误； D．可能是正数，但绝不可能是负数，此选项错误； 故选B． 二、填空题 11．（21-22七年级上·全国·课后作业）一个正数的绝对值是 ；若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是 ； 的绝对值是零；绝对值最小的数是 ． 【答案】 它本身 非正数 零 零 【分析】根据绝对值和相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：一个正数的绝对值是它本身；若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是非正数；零的绝对值是零；绝对值最小的数是零． 故答案为：它本身；非正数；零；零； 【点睛】本题主要考查了绝对值和相反数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关定义进行求解． 12．（21-22七年级上·全国·课后作业）已知，则单项式的系数是 ，次数是 ． 【答案】 6 【分析】根据绝对值和平方的非负性，可求出 ， ，从而得到 ， ，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴单项式的系数是 ； 次数是 ． 故答案为： ； ． 【点睛】本题主要考查了绝对值和平方的非负性，单项式的系数和次数的确定，根据绝对值和平方的非负性，可求出 ，是解题的关键． 13．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知数轴上的点和点分别表示互为相反数的两个数，，并且，两点间的距离是，则，这两个数分别为__________________． 【答案】， 【分析】由题意可知，，设，则，求出x的值再结合进行求解即可． 【详解】解∵数轴上的点和点分别表示互为相反数的两个数，， ∴，； 设 又∵，两点间的距离是，即， ∴，即 又∵ ， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查数轴，相反数，绝对值等知识，利用掌握互为相反数的两个数对应的点到原点的距离相等是解题的关键．由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题． 14．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）有理数a、b在如图所示数轴的对应位置上，则|a+b|-|b-2a|化简后结果为 ． 【答案】-a+2b/ 【分析】首先根据a、b在数轴上的位置可知：且，可得，，再根据去绝对值符合号法则及整式的加减运算，即可求得结果 【详解】解：由a、b在数轴上的位置关系可得：且， ，， ∴ =a+b+b-2a =-a+2b， 故答案为：-a+2b． 【点睛】本题考查了根据有理数在数轴上的位置确定代数式的符号，去绝对值符号法则及整式的加减运算，正确判断代数式的符号是解答本题的关键． 15．（20-21七年级上·浙江·期末）已知关于的方程只有一个解，那么的值为 ． 【答案】10 【分析】首先根据方程只有一个解，可得a+2=0，x+1=0，即可求得a、x的值，再把a、x的值代入代数式求值即可． 【详解】解：方程只有一个解， a+2=0，x+1=0， 解得a=-2，x=-1， 把a=-2，x=-1代入代数式，得 故答案为：10． 【点睛】本题考查了利用方程的解，求代数式的值，正确理解方程只有一个解，求得a、x的值是解决本题的关键． 16．（20-21六年级下·上海徐汇·期末）若，则 ． 【答案】0 【分析】直接利用绝对值的性质结合x-1，1-x的符号化简得出答案． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：0 【点睛】此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的性质是解题关键． 17．（17-18七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】110 【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出，的值，进而求出即可． 【详解】解：， ，， 解得：，， ． 故答案为：110． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质以及偶次方的性质以及有理数的乘方等知识，解题的关键是求出，的值． 18．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为 ．（表示、、的乘积） 【答案】或或或 【分析】分类讨论：①、、中有一个负数时，②、、中有两个负数时，③、、中有三个负数时，④、、都是正数时，即可求解． 【详解】解：①、、中有一个负数时， 所以， 原式 ； ②、、中有两个负数时， 所以， 原式 ； ③、、中有三个负数时， 所以， 原式 ； ④、、都是正数时， 所以， 原式 ； 故答案：或或或． 【点睛】此题考查了分类讨论与有理数绝对值的性质应用能力，有理数加减混合运算，能根据有理数绝对值的性质分类讨论是解题的关键． 三、解答题 19．（18-19七年级上·全国·单元测试）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m的绝对值是1，求 的值． 【答案】3 【分析】互为倒数的两数乘积为1，互为相反数的两数和为0，据此即可求解． 【详解】解：∵a、b互为倒数，c、d互为相反数，m的绝对值是1 ∴ 则 【点睛】本题考查倒数、相反数及绝对值的相关知识点．熟记相关结论即可． 20．（23-24七年级上·全国·课后作业）【模型建立】数轴上表示的点可简称为“点”．在数轴上理解，就是点到原点的距离，如指数轴上点到原点的距离，而可以写成，因此这种理解可以推广，是指数轴上表示点与点之间的距离．如：指数轴上点3与点2之间的距离，值为1．    【问题解决】指数轴上表示哪两点之间的距离？若的值为1，则的值是多少？ 【答案】指数轴上表示点和点1之间的距离； 或0 【分析】根据两点间的距离即可解答． 【详解】解：指数轴上表示点和点1之间的距离； ∵数轴上到点1的距离等于1的点有点2和点0， ∴若的值为1，则或0． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，数轴及两点间的距离，解答本题的关键是理解绝对值的几何意义． 21．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 【答案】①；②；③；④ 【分析】本题主要考查有理数比较大小，绝对值的性质的运用，掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． ①两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ②先化简绝对值，再根据负数小于零，即可求解； ③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，由此即可求解； ④先化简，再根据负数小于零，即可求解． 【详解】解：①∵，，， ∴； ②， 因为负数小于， 所以； ③∵，， ， ∴； ④分别化简两数，得： ， ∵正数大于负数， ∴． 22．（23-24七年级上·福建·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 【答案】(1)小张最后回到了公司，见解析； (2)小张这一天一共跑了36千米； (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 【分析】（1）把这些数全部相加，根据结果判断即可； （2）把这些数的绝对值全部相加即可； （3）要算出每次离公司的距离，然后再进行比较即可． 本题主要考查的是正负和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】（1）解： 答：小张最后回到了公司； （2）解：（千米） 答：小张这一天一共跑了36千米； （3）解：第一天：离公司千米， 第二天： ，离公司3千米， 第三天：，离公司2千米， 第四天：，离公司6千米， 第五天：，离公司1千米， 第六天：，离公司4千米， 第七天： ，离公司0千米， 在接送过程中，小张离公司最远的距离是6千米． 23．（24-25六年级上·上海·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 【答案】(1)； (2)，4，； (3)向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度． 【分析】此题主要考查了数轴以及绝对值的性质，正确利用数形结合得出是解题关键 （1）利用数轴上a，b，c的位置进而得出大小关系； （2）利用绝对值的意义以及结合数轴得出答案； （3）利用（2）中所求得出爬行的方法． 【详解】（1）解：由图可得：； （2）解：∵，，表示数b的点到原点的距离为4，且， ∴由数轴可得：，，； （3）解：由（2）可得：向左爬行1个单位长度或向右爬行5个单位长度，能爬行到距离原点三个单位长度的位置． 24．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，其中    (1)用“”、“”或“”填空：_____，_____ (2)化简 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据数轴上点的位置，根据有理数的乘法以及有理数的加法运算，进行判断，即可求解； （2）根据数轴上点的位置，得出，进而化简绝对值，最后合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解：∵根据数轴可得，，则， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子的符号，化简绝对值，整式的加减，数形结合，得出式子的符号是解题的关键． 25．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）（1）某年11月的日历如图1所示，用的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的为，用含的式子表示这三个数的和为______；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，用含的式子表示这三个数的和为______. （2）如图2，用的正方形框出4个数，是否存在被框出的4个数的和为80，如果存在，求出这四个数中的最小的数，如果不存在，并说明理由； （3）如图2，用的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行（灰色部分）共有6个数的和为，则______；第3行3个数的和为，则______．若，请求出正方形框中位于最中心的数． 【答案】（1）；；（2）存在被框出的4个数的和为80，且最小的数为16；（3）81；72；此时正方形框中位于最中心的数 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，列代数式，绝对值方程，解题的关键是熟练掌握日历中数字规律． （1）根据日历中数的特点表示出另外两个数，然后三个数相加即可； （2）设这四个数的最小的数为x，则另外三个数为：，，，根据四个数的和为80，列出方程，解方程即可； （3）将图中的数相加即可得出，；根据正方形框中位于最中心的数，，得出，求出x的值即可． 【详解】解：（1）一横行左右相邻的三个数，设最小的为，则另外两个数为，，这三个数的和为：； 一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，则另外三个数为，，这三个数的和为：； 故答案为：；． （2）设这四个数的最小的数为x，则另外三个数为：，，，根据题意得： ， 解得：， ∴存在被框出的4个数的和为80，且最小的数为16； （3）根据图可知，， ； 若正方形框中位于最中心的数，则： ， ， ∵， ∴， 解得：或， 根据图可知，在日历中最右边的一列数中，因此不符合题意， 故此时正方形框中位于最中心的数． 26．（21-22七年级上·福建厦门·期中）在数轴上点A、C 表示的数分别为a、c，且a、c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0． （1）a＝ ，c＝ ； （2）A、C两点之间的距离是 ； （3）已知数轴上点B对应的数为﹣2，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求B、C两点间的距离（用含t的式子表示） ②当x为何值时，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时BC﹣AB的值． 【答案】（1），；（2）6；（3）①，当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时的值为2． 【分析】（1）根据绝对值和平方的非负性计算即可； （2）用大数减去小数即可； （3）①分别表示出点B和点C所表示的数再计算即可；②运动t秒后，点A所对应的数为，表示出AB，再计算即可； 【详解】（1）∵|a+4|+（c﹣2）2＝0， ∴，， ∴，； 故答案是：，； （2）； 故答案是：6； （3）①运动t秒后B坐标为， C坐标为， ， ； ②运动t秒后，点A所对应的数为， ∴， ∴， ， ， ， ∵的值不会随着时间t的变化而变化， ∴， 解得， 此时， ∴当时，的值不会随着时间t的变化而变化，此时的值为2． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的非负性，一元一次方程的应用，准确计算是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第2课 绝对值 知识点梳理 考点01绝对值的代数意义 考点02绝对值的几何意义 考点03绝对值的非负性 考点04绝对值的化简与分类讨论 考点05有关绝对值的最值问题 考点06数轴与绝对值的综合应用 知识点01 绝对值的代数意义 1.绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 2.注意事项：绝对值2的数有两个是，但不能说=. 例题讲解 例1（25-26七年级上·重庆·期中）下列各式中化简错误的是（    ） A． B． C． D． 例2（25-26七年级上·河南洛阳·期中）若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 知识点02 绝对值的几何意义 1. 的几何意义:=在数轴上表示数a的点到原点之间的距离； 2. 的几何意义:在数轴上表示数a的点到表示数b的点之间的距离； 3. +的几何意义：在数轴上x到表示数a的点和x到表示数b的点之间的距离之和； 例题讲解 例3（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且．数对应的点在与之间，数对应的点在与之间，，则原点是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 例4（25-26七年级上·广东广州·期中）众所周知：在数轴上，点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，那么A、B两点间的距离为． (1)当，时，求A、B两点之间的距离； (2)已知a与b的和恰好等于A、B两点间的距离，求的值； (3)已知，设点C在数轴上表示的数为x． ①当时，x满足的条件为______， ②当时，x满足的条件为______； 知识点03 绝对值的非负性 1.由绝对值的几何意义可知一个数的绝对值不可能是负数，故 2.若+=0，则a=b=0. 例题讲解 例5（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法正确的是（    ） A．数轴上原点两旁的两点所表示的数互为相反数 B．如果，那么一定是一个正数 C．数轴上所有的点都表示有理数 D．绝对值没有最大的数，但有最小的数 例6（浙江省温州市新素质教育联盟2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）若实数x，y满足，那么的值是 ． 知识点04 绝对值的化简与分类讨论 1. 若a>0,则=a；若a>0,则=0；若a<0,则=-a. 2. 若=a，则a.(千万别漏了0) 例题讲解 例7（25-26七年级上·海南·期中）阅读下列材料：，即当时，；当时， 请用以上结论解决下列问题： (1)有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______；______；______． (2)已知a，b，c是有理数，当时，求的值． 例8（重庆育才中学教共体2025-2026学年七年级上学期期中数学试卷）有理数，，表示的点在数轴上的位置如图所示，则 ． 例9对于任意有理数，化简代数式并求它的最小值。 知识点05 绝对值的最值问题 1. 根据绝对值的代数意义理解绝对值的最值 （1）因为,所以当a=0时，有最小值0，+m有最小值m; （2）因为,所以当x-a=0即x=a时，有最小值0； 2. 根据绝对值的几何意义理解绝对值的最值 （1）因为在数轴上，数a到原点的距离最小是0，所以的最小值为0； （2）因为表示在数轴上（如图所示），数x到数a的距离，所以当x=a时，有最小值0； 例题讲解 例9（25-26七年级上·福建泉州·阶段练习）式子 的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例10（25-26七年级上·重庆·阶段练习）的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 例11（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知，有理数在数轴上所对应的点分别是三点，且满足：． (1)的值分别是______，______，______（直接写出答案）： (2)若数轴上点之间有一动点（不与点重合），且点对应的数为．化简：； (3)若点在数轴上以每秒1个单位的速度向左运动，同时点和点在数轴上分别以每秒个单位长度和4个单位长度的速度向右运动（其中．若在整个运动过程中，点到点的距离与点到点的距离差始终不变，求运动几秒后点与点的距离为13个单位长度． 知识点06 数轴和绝对值的综合应用 1. 数轴上的两点距离问题：AC==c-a(大-小)，BC==b-c(大-小) 2. 数轴上点的平移问题： （1）点的平移（右+左-） （2） 线段的平移（右+左-） 例题讲解 例12（25-26七年级上·湖北襄阳·期中）若，且，求的值． 例13（25-26七年级上·福建龙岩·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为，即． 如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是的系数，是最大的负整数，是多项式的次数．        (1)______，______，______． (2)多项式的项分别是______． (3)x是数轴上任意一个有理数，则的最小值是______． (4)如图3，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是6，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒2个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 课后练习 一、单选题 1．（2023·四川泸州·中考真题）下列各数中，最大的是（　　） A． B．0 C．2 D． 2．（21-22七年级上·河南洛阳·期中）下列四个数中，比－1小的数是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列说法正确的个数有（    ） （1）若，则；（2）若a、b互为相反数，则；（3）绝对值相等的两数相等；（4）单项式的次数是6；（5）－a一定是一个负数；（6）平方是本身的数是1 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24七年级上·重庆忠县·阶段练习）已知有理数n、m满足，则（   ） A． B．1 C． D．2023 5．（23-24七年级下·黑龙江绥化·阶段练习）下列比较大小正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（21-22七年级上·广西百色·期末）下列运算中正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（18-19七年级上·江苏无锡·阶段练习）若a≠0，则的值为（　　） A．2 B．0 C．±1 D．0或2 9．（21-22七年级上·湖北十堰·期末）已知a，b两数在数轴上的位置如图所示，则代数式的结果是（      ） A． B． C．3 D． 10．（11-12七年级上·浙江·期末）m是有理数，则（    ） A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数 二、填空题 11．（21-22七年级上·全国·课后作业）一个正数的绝对值是 ；若一个数的绝对值是它的相反数，则这个数是 ； 的绝对值是零；绝对值最小的数是 ． 12．（21-22七年级上·全国·课后作业）已知，则单项式的系数是 ，次数是 ． 13．（23-24七年级上·全国·课堂例题）已知数轴上的点和点分别表示互为相反数的两个数，，并且，两点间的距离是，则，这两个数分别为__________________． 14．（21-22七年级下·江苏扬州·阶段练习）有理数a、b在如图所示数轴的对应位置上，则|a+b|-|b-2a|化简后结果为 ． 15．（20-21七年级上·浙江·期末）已知关于的方程只有一个解，那么的值为 ． 16．（20-21六年级下·上海徐汇·期末）若，则 ． 17．（17-18七年级上·全国·课后作业）若，则 ． 18．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如果、、是非零有理数，那么所有可能的值为 ．（表示、、的乘积） 三、解答题 19．（18-19七年级上·全国·单元测试）如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m的绝对值是1，求 的值． 20．（23-24七年级上·全国·课后作业）【模型建立】数轴上表示的点可简称为“点”．在数轴上理解，就是点到原点的距离，如指数轴上点到原点的距离，而可以写成，因此这种理解可以推广，是指数轴上表示点与点之间的距离．如：指数轴上点3与点2之间的距离，值为1．    【问题解决】指数轴上表示哪两点之间的距离？若的值为1，则的值是多少？ 21．（24-25七年级上·全国·假期作业）比较下列各对数的大小： ①与； ②与； ③与； ④与． 22．（23-24七年级上·福建·期中）某公司为了更好地为客户服务，专门派一名司机小张接送客户．小张从本公司出发向东行驶的公里数记作正数，向西行驶的公里数记作负数，他的一天的记录如下（单位：）：． (1)请计算说明小张最后是否回到了公司？ (2)请计算小张这一天一共跑了多少千米？ (3)在接送过程中，小张离公司最远的距离是多少千米？（直接写出答案） 23．（24-25六年级上·上海·期中）数轴上表示有理数a，b，c的点的位置如图所示： (1)请将有理数a，b，c按从小到大的顺序用“”连接起来：_______； (2)如果，，表示数b的点到原点的距离为4，那么_______， _______， _______． (3)在（2）的情况下，如果有一蚂蚁位于有理数c表示的点的位置，要爬行到距离原点三个单位长度的位置，请说明这只蚂蚁应该如何爬行？ 24．（22-23七年级上·重庆沙坪坝·期中）有理数，，在数轴上的位置如图所示，其中    (1)用“”、“”或“”填空：_____，_____ (2)化简 25．（23-24七年级上·河北廊坊·期末）（1）某年11月的日历如图1所示，用的长方形框出3个数，如果任意圈出一横行左右相邻的三个数，设最小的为，用含的式子表示这三个数的和为______；如果任意圈出一竖列上下相邻的三个数，设最小的数为，用含的式子表示这三个数的和为______. （2）如图2，用的正方形框出4个数，是否存在被框出的4个数的和为80，如果存在，求出这四个数中的最小的数，如果不存在，并说明理由； （3）如图2，用的正方形框出9个数，在框出的9个数中，记前两行（灰色部分）共有6个数的和为，则______；第3行3个数的和为，则______．若，请求出正方形框中位于最中心的数． 26．（21-22七年级上·福建厦门·期中）在数轴上点A、C 表示的数分别为a、c，且a、c满足|a+4|+（c﹣2）2＝0． （1）a＝ ，c＝ ； （2）A、C两点之间的距离是 ； （3）已知数轴上点B对应的数为﹣2，点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒x个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒1个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒． ①求B、C两点间的距离（用含t的式子表示） ②当x为何值时，BC﹣AB的值不会随着时间t的变化而变化？并求出此时BC﹣AB的值． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $