专题06 平面向量与复数（必备知识+13大考点+专练，复习讲义）（上海专用）2026年春季高考数学

专题06 平面向量与复数 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 向量的概念及其线性运算 2 1.向量的有关概念 2 2.几种特殊向量 2 3.向量的线性运算 3 4．共线向量定理 4 5．常用结论 4 知识点2 向量的数量积及坐标表示 4 1．平面向量的坐标运算 4 2．平面向量共线的坐标表示 4 3．向量的央角 4 4．平面向量数量积的定义 5 5．平面向量数量积的几何意义 5 6．向量数量积的运算律 5 7．平面向量数量积的性质 6 8．平面向量数量积的坐标表示 6 9．常用结论 6 知识点3 向量基本定理与向量的应用 7 1．平面向量基本定理 7 2．常用结论 7 知识点4 复数及其四则运算、复数的几何意义 7 1．复数的有关概念 7 2．复数的几何意义 8 3．复数的运算 8 4．复数的模的几个重要结论 9 5．常用计算结论 9 6．复平面内复数 对应的点的几个基本轨迹 9 7.解决复数概念问题的方法及注意事项 10 知识点5 实系数一元二次方程、复数的三角形式 10 1．实系数一元二次方程 10 2．复数的三角形式及几何意义 10 三、考点精析与突破 考点1 平面向量的基本概念 11 考点2 平面向量的加法 15 考点3 平面向量的减法 19 考点4 平面向量的数乘 25 考点5 平面向量共线定理 29 考点6 平面向量基本定理 35 考点7 平面向量的正交分解与坐标表示 40 考点8 平面向量线性运算的坐标表示 43 考点9 平面向量共线的坐标表示 47 考点10 平面向量数量积的运算 53 考点11 投影向量 59 考点12 平面向量的应用 61 考点13 向量新定义 68 四、实战精练与提升 一、填空题 71 二、填空题 71 三、解答题 76 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 向量的概念及其线性运算 1. 理解向量的有关概念； 2. 掌握向量的线性运算（加法、减法、数乘）； 3. 理解共线向量定理 1. 向量概念（零向量、单位向量、相等向量等）的辨析； 2. 向量线性运算的几何意义与运算方法； 3. 共线向量定理的应用 向量的数量积及坐标表示 1. 掌握平面向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示； 2. 理解向量的夹角定义，掌握平面向量数量积的定义、几何意义、运算律； 3. 能运用平面向量数量积的性质和坐标表示解决垂直、模长、夹角等问题 1. 平面向量坐标运算的熟练应用； 2. 向量夹角的求解； 3. 数量积的运算及性质在垂直、模长等问题中的应用 向量基本定理与向量的应用 1. 理解平面向量基本定理； 2. 能运用定理进行向量的分解与合成，解决简单几何问题 1. 平面向量基本定理的理解与应用； 2. 利用向量解决平面几何问题的方法 复数及其四则运算、复数的几何意义 1. 理解复数的有关概念（实部、虚部、纯虚数、共轭复数等）； 2. 掌握复数的几何意义（复平面、复数与点、向量的对应）； 3. 熟练进行复数的四则运算； 4. 能解决复数模、复平面内轨迹等问题 1. 复数概念的辨析； 2. 复数几何意义的应用； 3. 复数四则运算的熟练掌握； 4. 复数模的计算及轨迹问题的分析 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1. 掌握实系数一元二次方程在复数范围内的解法； 2. 理解复数的三角形式及其几何意义 1. 实系数一元二次方程根的判别及复数根的求解； 2. 复数三角形式的理解与应用 二、命题分析 模块 考频 考查内容 命题趋势 平面向量 2025年第4题、2025年第12题、2023年第2题、2023年第12题、2022年第10题、2021年第16题、2023年第20题 平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的运算与性质、平面向量坐标运算、空间向量数量积的应用、平面向量与椭圆的综合 高频考点，小题中考查向量的共线、数量积、坐标运算，难度中等，注重向量运算的熟练掌握；综合题中与圆锥曲线结合，考查向量工具性，难度较大，强调知识综合应用 复数 2025年第3题、2024年第3题、2023年第11题、2022年第1题、2021年第2题 复数的除法运算、复数的四则运算、共轭复数的概念 高频基础考点，多在小题中考查，涉及复数的运算、共轭复数等概念，难度较低，注重对复数基本运算和概念的扎实掌握 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念 （1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 为起点、 为终点的向量记作 ； （2）向量的长度（模）：向量 的大小即向量 的长度（模），记为 ． 注：任意向量 的模都是非负实数，即 ． 2.几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为0的向量 零向量记作,其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作 平行向量 方向相同或相反的向量(也叫共线向量) 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 、 ：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与 平行的单位向量有两个，即向量 和 ． 3.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向最和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： ； （2）结合律： 减法 求 与 的相反向量 的和的运算叫做 与 的差 三角形法则 数乘 求实数 与向量 的积的运算 ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接， 表示从始点指向终点的向量，只需关注始点、终点。 4．共线向量定理 向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 ． ：只有当 才保证实数 的存在性和唯一性。 5．常用结论 （ 为实数），若点 、、 三点共线，则 ． 知识点2 向量的数量积及坐标表示 1．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模： 设 ，则 ， ． 注：若 ，则 ，反之亦然。 （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设 ，则 ． 2．平面向量共线的坐标表示 设 ，其中 ，则 ． （1） 的充要条件不能表示为 ，因为 有可能为 0 ； （2）当且仅当 时， 与 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 3．向量的央角 （1）定义：已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ． ：只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角． （2）范围：夹角 的范围是 ． 当 时，两向量 、 平行且同向； 当 时，两向量 、 相互垂直，记作 ； 当 时，两向量 、 平行但反向． 4．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积，记作 ，即 ，其中 是 与 的夹角。 ：零向量与任一向量的数量积为零． 5．平面向量数量积的几何意义 （1）数量投影 设 是 、 的夹角，则 叫做向量 在向量 方向上的数量投影， 叫做向量 在向量 方向上的数量投影； （2） 的几何意义 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的数量投影 的乘积． （3）投影向量（简称投影） 向量 在非零向量 方向上的投影为 ． 6．向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即 不一定等于 ，这是由于 表示一个与 共线的向量， 表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线。 7．平面向量数量积的性质 设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量， 是 与 的夹角，则 （1） ； （2） ； （3）当 与 同向时， ；当 与 反向时， ． 特别地，坦•袮 或 ； （4） ； （5） ． 8．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 为 与 的夹角，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ① ； ② 。 （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 与 的夹角为锐角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 0 时不成立）； ②两个向量 与 的夹角为钝角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 时不成立）． 知识点3 向量基本定理与向量的应用 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且仅有一对实数 ，使 ； （2）基：不平行的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基． 注：（1）基 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基； （2）基给定，同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基 ，有 ，则可以得到 且 。 2．常用结论 （1）若 与 不共线，且 ，则 ； （2）已知 为线段 的中点，若 ，则点 坐标为 ； （3）已知 的顶点 ，则 的重心 的坐标为 ； （4）若 为线段 A B 的中点， 为平面内任一点，则 ． 知识点4 复数及其四则运算、复数的几何意义 1．复数的有关概念 （1）i称为虚数单位，规定 ； （2）形如 、 的数叫复数，其中 、 分别是它的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数；全体复数构成的集合用字母 表示； （3）共轭复数：复数 称为复数 、 的共轭复数，记为 与 对应复平面上的点关于实轴对称，且 与 共轭 、、、 ； （4）复数是实数的条件： ①、 ；② ；③ ； （5）复数是纯虚数的条件：① 是纯虚数 且 、 ；② 是纯虚数 ；③ 是纯虚数 ； （6）复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． 2．复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点 、 ． ：复数 、 的对应点的坐标为 ，而不是 的虚部是 ，不是 ）． （2）复数 平面向量 ． （3）复数的模：复数 、 在复平面上所对应的点 到原点的距离 ，叫做复数 的模，记作 |z| ，即 ． 3．复数的运算 （1）复数的加、琙、乘、除运算法则 设 ，则 ①加法： ； ②减法： ； ③乘法： ； ④除法： ． （2）复数加法的运算定律 设 ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律： ； ②结合律： ． 4．复数的模的几个重要结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）; （7）若 为虚数，则 。 5．常用计算结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）（ 也有 同样的性质）． 6．复平面内复数 对应的点的几个基本轨迹 （1）（ 是正常数） 轨迹是一个圆； （2） 是复常数 轨迹是一条直线； （3） 是复常数， 是正常数 轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为椭圆；②当 时，轨迹为一条线段；③当 时，轨迹不存在； （4）（ 是正常数） 轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为双曲线；②当 时，轨迹为两条射线；③当 时，轨迹不存在． 7.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数分类及对应点位置问题,都可转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可--复数问题实数化; (2)解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部 知识点5 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程 、、 中的 为根的判别式， ① 方程有两个不相等的实根 ； ② 方程有两个相等的实根 ； ③ 方程有两个共轭虚根 。 在（3）的情况下，方程的根与䒬数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设 、 化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ②把 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形ョ ③对一元二次方程（实系数），直按用一元二次方程的求根公式（公式法）． 2．复数的三角形式及几何意义 （1）复数的三角形式 的右边称为非零复数 的三角形式，其中的 称为 的辐角， 为复数 的模， ． 在 内的辐角称为 的辐角主值，记作 。 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角 （比如辐角主值）即可． （2）复数三角形式的乘法法则 ①法则：模相乘，辐角相加。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ，当 时，按顺时针方向旋转角 。 （3）复数三角形式的除法法则 ①法则： 模相除，辐角相减。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点 旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 。当 时，按顺时针方向旋转角 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ． 考点1 平面向量的基本概念 设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】相等向量、零向量与单位向量、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据向量相等、单位向量判断条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即知答案. 【详解】由表示单位向量相等，则同向，但不能确定它们模是否相等，即不能推出， 由表示同向且模相等，则， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B 已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、判断命题的必要不充分条件、平行向量（共线向量） 【分析】取特例可判断充分性，利用共线向量的性质及向量数量积的运算可判断必要性. 【详解】当时，，可以是任意向量，因此是不充分条件； 当时，若，显然成立； 当，因为，所以， 因此，， 因此成立. 故“”是“”的必要条件. 故选：C 在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量的模、向量的线性运算的几何应用、求投影向量、向量减法法则的几何应用 【分析】根据在方向上的数量投影先求出,取,则,即求的最小值,过点作的垂线即可求得. 【详解】解:由题知在方向上的数量投影是-2, , , ,即, 记, 则, 若求的最小值即求的最小值, 过点作的垂线交于点,此时最小, 如图所示: , 故答案为: 【变式1】已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的模长关系以及共线，即可结合必要不充分条件进行判断. 【详解】若，则存在唯一的实数，使得， 故， 而， 存在使得成立， 所以“”是“存在，使得’的充分条件， 若且，则与方向相同， 故此时，所以“”是“存在存在，使得”的必要条件， 故“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C. 【变式2】（2024·上海·三模）已知向量，，则在上的投影向量的模为 ． 【答案】 【知识点】向量的模、求投影向量 【分析】结合投影向量的模，即可得到答案. 【详解】由向量，，可得，所以在上的投影向量模为， 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 【答案】 【知识点】零向量与单位向量、坐标计算向量的模 【分析】首先求出，，即可求出向量的单位向量. 【详解】因为，， 所以，所以， 所以向量的单位向量为. 故答案为： 【变式4】则与同方向的单位向量 【答案】 【知识点】利用坐标求向量的模、零向量与单位向量、用坐标表示平面向量、平面向量有关概念的坐标表示 【分析】直接利用公式计算得到答案. 【详解】与同方向的单位向量， 故答案为：. 考点2 平面向量的加法 例1在中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，化简得到,结合题设条件，得到，即可求解. 【详解】在三角形中，，， 可得, 因为，所以，所以. 故选：C.    例2在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】利用相似三角形的性质以及向量的加法运算来表示即可. 【详解】因为在平行四边形中，，所以， 因为是的中点，所以，即，， 根据向量的加法法则，， 故选：B. 例3在三角形中，是中点，，，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法减法运算及数量积的运算性质求解即可. 【详解】由三角形中，,, 可得： , 故答案为： 如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【答案】A 【知识点】向量减法的运算律、向量的线性运算的几何应用、向量加法的运算律 【分析】以为基底表示出，根据列方程求解可得. 【详解】由题可知， ， 所以， 所以， 解得或（舍去）． 故选：A 【变式1】已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、向量加法的法则、用基底表示向量 【分析】由平面向量基本定理结合，可得，再由，即可求出的值. 【详解】由，可得， 则 则 故， 所以 故选：C. 【变式2】如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .    【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积、向量加法法则的几何应用 【分析】求出线段长的范围，结合给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【详解】正六边形的边长为2，则其半径为2，边心距为，则正六边形边上的点到其中心的距离，    因此 ， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3】八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论： ①与的夹角为； ②； ③； ④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）． 其中正确结论的个数为 ． 【答案】2 【知识点】向量夹角的计算、向量加法法则的几何应用、求投影向量、向量减法法则的几何应用 【分析】利用正八边形的性质，结合向量的线性运算及投影向量的定义逐一分析运算即可. 【详解】对①：为正八边形，则与的夹角为，①错误； 对②：，平分，则，②错误； 对③：∵，则，③正确； 对④：∵，即与的夹角为，     ∴向量在向量上的投影向量为，④正确； 故答案为：2 【变式4】在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、余弦定理解三角形、向量加法的运算律、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用内角和定理变角，即可求角； （2）利用面积公式和余弦定理列出等式，再由向量中线的线性表示，借助向量的运算得到方程求解即可. 【详解】（1）因为， 由正弦定理边化角得 利用三角形内角和定理可得 即 因为所以，即 因为，所以. （2）由得① 由得② 由①②得 由， 得. 平面向量加法（线性分解）解题方法总结 解决平面向量加法的线性分解问题，核心是利用平面向量基本定理，将目标向量分解为已知基底的线性组合，具体步骤如下： 1．分析图形与线段关系：根据中点、分点（如）、平行等条件，明确向量间的关联（如中点对应向量平分、平行对应相似比例）。 2．运用向量运算法则分解： －结合三角形法则（如）或中点性质（若是中点，则），逐步拆分目标向量； －遇平行／相似图形（如平行四边形），利用相似三角形比例（如）转化为向量系数的比例关系。 3．整理为线性组合形式：将分解后的向量整理为的形式，提取系数、，结合题意求解（如求。 技巧点晴： - 中点问题：优先使用＂向量平分＂技巧，如（为中点）； - 相似／平行问题：利用线段比例直接转化为向量系数的比例，简化运算。 考点3 平面向量的减法 几种常考题型解题策略 一、数量积与几何意义结合类 - 方法核心：利用向量减法的几何意义（如），结合数量积的几何意义（投影：，将抽象运算转化为线段长度、角度的直观计算。 －技巧：若涉及类组合向量，可借助平行四边形法则（如中点对应的向量平分）简化，再结合数量积的几何意义（投影）求解定值或最值（如例1中通过中点将转化为，再利用投影计算数量积）。 二、模的最值类 －方法核心：运用数形结合，将的最小值转化为＂点到直线的距离＂（几何意义），结合三角函数或线段比例求解。 －技巧：令，则，其最小值为在所在直线上的垂线段长度 （如例 2 中，，进而通过三角函数求解夹角）。 三、线性分解与数量积结合类 －方法核心：以已知向量为基底（如、），将目标向量（如、）通过向量减法、线性运算分解为基底的线性组合，再利用数量积的运算律（分配律、结合律）展开计算。 －技巧：优洗选择＂已知长度、夹角的向量＂作为基底，分解时注意向量减法的法则（），最后通过＂或＂化简求值（如例3中，以、为基底分解和，再利用数量积运算律计算）。 例1在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的加法及向量数量积的几何意义直接可得. 【详解】如图：因为等腰直角三角形中，，所以.      设E为的中点，由平行四边形法则可知，且，. 由数量积的几何意义可知，. 故选：A. 设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、向量与几何最值 【分析】令，根据向量减法及模的几何意义得即为线段的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，如下图示，即为线段的长度， 由对任意，的最小值为，即，而， 显然时，线段最短，此时， 所以，又，故或. 故选：C 在中，，，，则 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、向量减法的法则 【解析】利用，作为基底表示，，即可求出. 【详解】解：， ， ， 即， 又， . 故答案为：. 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量与几何最值 【分析】根据已知可得出.进而作图推得，点的轨迹为以为圆心的圆.过点，作，垂足为，交圆于点，结合图象分析即可得出即为的最小值.根据已知条件计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，所以. 设，，，，，， 则，，， 所以有，，则， 所以点的轨迹为以为圆心的圆. 过点，作，垂足为，交圆于点， 根据图象可得出即为的最小值. 在中，有，， 所以有. 又，所以. 故答案为：. 【变式1】（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用、已知数量积求模、数量积的坐标表示、求平行线间的距离 【分析】根据给定条件，令，，设，利用向量模及数量积的坐标表示探求的关系，再借助平行线间距离分析判断得解. 【详解】由，，，不妨令，，设， ，得，而，， 则，整理得，由，得， 平行直线和间的距离为， 到直线和直线距离相等的点到这两条直线的距离为， 如图，阴影部分表示的区域为集合，因此无论是否属于，都有， 所以命题①②都正确. 故选：C 【点睛】思路点睛：已知几个向量的模，探求向量问题，可以在平面直角坐标系中，借助向量的坐标表示，利用代数方法解决. 【变式2】在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【答案】/ 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、向量减法的法则 【分析】根据给定条件，探求出线段与的倍分关系，再结合平面向量基本定理求解作答. 【详解】在中，，，则，又平分，即有，    因此，即有，，整理得， 而，且不共线，于是， 所以. 故答案为： 【变式3】在中，，，点在边上.若，，则的值为 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、向量减法的法则 【解析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值. 【详解】设，故， 即， 故， ， 所以 ， 两式相加可得，此式代入（1）式可得 或（舍去）， 代入（1）式可得 故答案为：. 【变式4】已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【知识点】垂直关系的向量表示、向量减法法则的几何应用、已知数量积求模 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、的值，再由并结合向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因为平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 考点4 平面向量的数乘 线性分解与转化 - 核心方法：将目标向量通过向量的线性运算（加、减、数乘）分解为已知基底（如）的线性组合，逐步推导向量间的关系。 - 技巧： - 拆分向量时，可通过＂凑项＂＂补全＂等方式转化（如例 1 中拆分为; －利用向量减法法则将未知向量转化为已知基底的组合。 设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、平面向量共线定理证明线平行问题 【分析】根据向量的线性运算，即可求解. 【详解】， 所以，即，即, 即. 故选：D 例2（24-25高三上·上海奉贤·期中）在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】由题意作图，根据图象，利用平面向量的线性运算，结合数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 则，，由为的中点，则， . 故选：A. 例3在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量的线性运算的几何应用、三角形的心的向量表示 【分析】结合重心性质与向量运算化简可得. 【详解】 如图，连接，因为点O为的重心， 则为的三等分点，且， 所以， 故选：A. 在中，是的中点，是的中点．若，则（    ）． A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】 ，所以，所以. 故选：B 【变式1】已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状、向量在几何中的其他应用、三角形的心的向量表示 【分析】取的中点，的中点，的中点，可得，，，分别利用，，和余弦定理可得答案. 【详解】三个角所对的三边分别为， 取的中点，的中点，的中点， 连接，，，则，，， 所以， ， ， 因为， 所以，即， 由余弦定理得，因为，所以， 即为钝角三角形. 故选：C.      【变式2】在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC= ． 【答案】9 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形、向量数乘的有关计算 【分析】利用()，得，即可求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由()，得， 所以， 即， 即． 由余弦定理，得， 所以． 故答案为：9. 【变式3】（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据确定，从而可得，从而用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 【变式4】已知点分别是的外心，重心，，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、三角形的心的向量表示 【分析】设的中点为，连接，，由为的重心可得，由于为的外心，过点作，垂足为，可得，同理可得，进而求解即可. 【详解】设的中点为，连接，， 由于为的重心，则一定在线段上，且， 所以， 由于为的外心，过点作，垂足为，则为中点， 则， 同理可得， 则. 故答案为：. 考点5 平面向量共线定理 1.模的最值问题解题策略 核心方法：利用共线定理确定点的共线关系，结合数形结合思想（圆的轨迹、线段长度），将向量模的最值转化为几何图形中的距离最值。 2.共线求参数解题策略 核心方法：以共线条件为桥梁，将日标向量用基底线性分解，再根据共线定理（向量间的线性关系）建立方程，求解参数。 已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断. 【详解】若，则，， 所以，， 当时，，所以是充分条件， 因为，只有当与反向时，等号成立，即， 此时，所以是必要条件， 综上可知，“”是“存在，使得”的充分必要条件. 故选：C 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 【答案】3 【知识点】垂直关系的向量表示、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】依题意，如图作出各向量，可判断点共线，且，，点的轨迹是以线段为直径的圆，故即可理解为点到圆上点的距离，即得点与点重合时取得最大值. 【详解】 依题意，如图分别作，其中,, 由知，依题意知点有两个位置，即点和点， 又,，由知, 即点的轨迹是以线段为直径的圆. 故的模长当且仅当点与点重合时取得最大，最大值为. 故答案为：3. 【点睛】方法点睛：本题主要考查向量的模长的最值问题，属于难题.对于抽象的向量的共线，垂直，模长等相关量的问题，一般是根据题意作出满足条件的图形，将问题转化成几何图形的距离、夹角等相关量来解决. 例3（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 【答案】 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量 【分析】连接，由2次三点共线可得，分别用和表示和，进而可得的值. 【详解】连接，由题意可知，，三点共线，则， 又因为，，三点共线，则， 所以，即，即， 因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 例4（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量减法法则的几何应用 【分析】设方程表示的区域为，分析可知区域为正方形及其内部，设，可知点在线段上，记为过点的线段的长度的最大值，则的最大值为的最小值，根据对称性分析求解即可. 【详解】设方程表示的区域为， 用代换方程不变，可知区域关于y轴对称； 用代换方程不变，可知区域关于x轴对称； 当时，区域可化为，据此可得区域的图形如图阴影所示， 取， 可知区域为正方形及其内部， 设，点均在区域内， 因为，，即，， 可知点在线段上， 又因为，记为过点的线段的长度的最大值， 若求，不妨假设点在正方形的边界上， 若，即， 可知的最大值为的最小值， 取的中点分别为，可知区域关于直线对称， 根据对称性只需假定点在线段上即可，此时， 可知当点与点重合时，取到最小值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：1.根据题意分析集合表示的平面区域； 2.根据向量相关知识分析的最大值表示的意义. 【变式1】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量共线定理的推论、集合新定义 【分析】作出各个选项表示的平面区域，根据给定集合E是“凸”的意义判断作答. 【详解】设，，，则C为线段AB上一点， 因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内， 四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示：                A                                B                C                                D 观察选项A，B，C，D所对图形知，B对应集合不是“凸”的，ACD对应集合是“凸”的. 故选：B 【变式2】设向量，若∥，则 . 【答案】2 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示分析求解. 【详解】因为∥，则，解得. 故答案为：2. 【变式3】（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、平面向量共线定理的推论、向量与几何最值 【分析】取的中点，由题意可得，从而推得三点共线，进而得出，即可得出答案. 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 【变式4】（23-24高三上·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、由导数求函数的最值（不含参）、平面向量共线定理的推论 【分析】利用重心性质有，代入已知，得，由三点共线，得，然后可化为一元函数，再利用导数求得值域． 【详解】由题意，， 延长交于，则是中点， , 又，，所以， 又三点共线，所以，， ， 设，则， 时，，递减，时，，递增， ，又，即， 所以的取值范围是， 故答案为：，    考点6 平面向量基本定理 例1（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 【答案】C 【知识点】基底的概念及辨析 【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可. 【详解】对A：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对B：不存在实数，使得， 故和不共线，可作基底； 对C：对 和，因为是不共线的两个非零向量， 且存在实数，使得， 故和共线，不可作基底； 对D：不存在实数，使得，故和不共线，可作基底. 故选：C. 例2（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、求含sinx(型)函数的值域和最值、用基底表示向量、用定义求向量的数量积 【分析】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. 例3（24-25高三上·上海·期中）在平面四边形中，、 分别是、的中点.若，，且，则 【答案】 【知识点】数量积的运算律、用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】结合三角形中位线的性质，根据向量数量积的运算律可得，进而可得. 【详解】 如图所示，连接，取中点为，连接，， 则，， 则，， 整理可得， 则， 故答案为：. 【变式1】（25-26高三上·上海杨浦·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 ； 【答案】2 【知识点】基底的概念及辨析、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量不能组成基底得向量共线，进而可得. 【详解】因为不能组成平面上的一个基底，所以，得，解得. 故答案为：2. 【变式2】已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 . 【答案】 【知识点】平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量的几何表示和共线条件以及几何关系即可求解. 【详解】令， 所以 如图，    所以点A的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取OB中点E， 则， 又因为，所以点C在直线上，故时，的值最小， 当情况下，直线与相切时最大，取最大， 此时，， 故答案为：. 【变式3】在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】正弦定理求外接圆半径、三角形面积公式及其应用、平面向量基本定理的应用、余弦定理解三角形 【分析】先利用余弦定理求出的长，因为是的外心， 设外接圆的半径为，所以，再利用正弦定理 求出，由，， 知道动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形 画图，由图可知菱形为，求出即可得. 【详解】在中，因为，，， 所以由余弦定理：， 所以， 又因为是的外心，设外接圆的半径为， 所以， 由， 所以， 由正弦定理：， 所以， 由，，， 所以动点的轨迹所覆盖图形为以为边的菱形， 如图所示： 由图知为 所对的圆心角与圆周角， 所以有， 所以 ， 所以 ， 所以动点的轨迹所覆盖图形面积为： ， 故答案为：. 考点7 平面向量的正交分解与坐标表示 例1设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、平面向量有关概念的坐标表示、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，求得的坐标． 【详解】根据题意，设，向量与轴正方向的夹角为， 又由点的坐标为，则，， 向量绕着点顺时针旋转后得到，则，． 而， ， 故的坐标为， 故选：B 【点睛】关键点点点睛：注意旋转前与旋转后角的变化，利用模不变，两角差的正余弦公式求解即可，属于中档题. 例2函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、函数图象的变换 【分析】根据函数的平移和表达式变换即可求解. 【详解】向右平移1个单位后得， 所以向右平移1个单位，向上平移两个单位可以得到， 所以， 故答案为：. 例3（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可. 【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，， ∴， ∴，； ，； ，； ，. 故. 故答案为：. 【变式1】在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量 【分析】根据条件的变化，找出规律，根据规律可得答案. 【详解】把向量顺时针旋转定角得到，得， 关于轴的对称点记为，则，即 把向量顺时针旋转定角得到，得，即 关于轴的对称点记为，则， 以此类推可得当为奇数时，， 当为偶数时，， 故的坐标为. 故答案为： 【变式2】已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】用坐标表示平面向量、坐标计算向量的模 【分析】建系设出向量与单位向量的坐标，这个表达式求出向量的坐标，进而求出的最小值. 【详解】不妨设代入得： 任意的恒成立， 当时，最小值为： 故答案为： 【变式3】若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示 【分析】利用向量运算法则进行求解即可. 【详解】，所以对应的位置向量的终点坐标是. 故答案为： 考点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由向量线性运算结果求参数、数量积的坐标表示 【分析】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则点、、， 设点，，，， 且，则，可得， 由于点在正内，则，可得，则， 可得，， ， 所以当时，取最小值. 故选：C. （24-25高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（ ） A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题 C．、都为真命题 D．、都为假命题 【答案】B 【知识点】根据函数的最值求参数、判断命题的真假、轨迹问题——圆、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】设，，可求得点的轨迹方程为，求得，然后求出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可得出的最小值，可得出关于的函数关系式，利用换元法结合双勾函数的单调性可求得的最大值和最小值，即可得出结论. 【详解】设，，， 可得，所以点的轨迹方程为， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且， 解得， 因为即， 因为， 所以 ， 因为，则， 所以，当时，取得最小值， 且， 令，可得， 所以，， 令，其中，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数， 任取、且，即， 所以，， 因为，则，，则， 所以，函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数， 令，其中， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又因为，即，所以. 故为假命题，为真命题. 故选：B. 【点睛】关键点睛：将、放到坐标系中，将已知条件转化为坐标关系，进而根据坐标研究. 【变式1】（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】先根据向量数乘和加法的坐标运算求出的坐标，再根据向量模长公式计算. 【详解】由，得， 根据向量模长公式. 故答案为：. 【变式2】（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【答案】 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： 【变式3】如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【知识点】利用坐标求向量的模、平面向量线性运算的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】建立平面直角坐标系，设，求得相关点坐标，求出的表达式，结合二次函数的性质即可求得答案. 【详解】由在直角梯形中．， 则，则以A为原点，为轴建立平面直角坐标系， 设，设，则， 故， 所以，故， 当且仅当即时取得等号， 即的最小值为4， 故答案为：4 考点9 平面向量共线的坐标表示 例1（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 【答案】B 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用导数研究方程的根、由坐标判断向量是否共线 【分析】由可知范围，再由三角形三边关系可得的不等关系，结合函数零点解不等式可得. 【详解】由题意，不妨设， 三点均在第一象限内，由可知，， 故点恒在线段上，则有. 即对任意的，恒成立， 令，构造函数， 则，由单调递增， 又，存在，使， 即当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故至多个零点， 又由， 可知存在个零点，不妨设，且. ①若，即时，此时或. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得； ②若，即时，此时. 则，可知成立， 要使、、的值均能构成三角形， 所以恒成立，故， 所以有，解得或； 综上可知，正整数的个数有个. 故选：B. （25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知模求参数、辅助角公式、由向量共线（平行）求参数、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据得到关于的方程，结合求解出的值，由此确定出的值，则的值可求； （2）将等式两边同时平方，通过化简先求解出的值，再根据与的关系，采用角的配凑以及诱导公式求解出的值． 【详解】（1）∵，∴，即，∴， 又，∴，∴； （2）∵，∴，化简得， 又，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式、由向量共线（平行）求参数 【分析】由题意得共线，推得，再利用二倍角公式计算即得. 【详解】由题意可知，，因，则， 解得，则 . 故答案为：. 【变式2】（2024·上海·高考真题）已知向量，，若，则 ． 【答案】15 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示列方程求参数值即可. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：15 【变式3】已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 【答案】(1)焦距为，离心率为 (2)证明见解析 (3) 【知识点】求点到直线的距离、根据韦达定理求参数、求椭圆的焦点、焦距、由坐标判断向量是否共线 【分析】（1）直接由椭圆的方程得出和，再由求出，即可得出焦距和离心率； （2）设，，首先由得出，方法一：由三点共线和三点共线，得出，再将代入椭圆方程，联合整理得，，即可证明结论；方法二：写出直线的方程与椭圆联立，由根与系数关系得出点和的坐标，进而得出，，即可证明结论； （3）设，由，得出和，①当直线的斜率不存在时，得出，即可得出的面积；②当直线的斜率存在时，设，与椭圆方程联立，得出和，结合点在椭圆上，得出，再根据弦长公式得出，根据点到直线距离公式得出点到直线的距离，根据即可得出面积． 【详解】（1）由可知， ，，故， 所以焦距，离心率． （2）设，， 由题意，，，，，，，， 又， 所以，得， 方法一：由三点共线，则，即， 同理可得，三点共线，则，即， 故，即， 又，， 所以， 所以， 由，整理得， 所以有， 又， 故， 所以， 所以三点共线． 方法二：因为，，则， 由得直线的方程为， 与椭圆联立，得， 则， 所以， 同理得， 所以，，即三点共线．    （3）设， 因为，，， ①当直线的斜率不存在时，则， 所以，， 又是椭圆上的点，此时， 故， ②当直线的斜率存在时，可设， 由，得， 所以，， 所以， 又点在椭圆上，代入整理得，， 从而， 于是， 点到直线的距离， 所以．    考点10 平面向量数量积的运算 （24-25高三上·上海·期中）已知，，则向量在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义 【分析】利用数量投影定义公式计算. 【详解】向量在方向上的数量投影为. 故答案为：. 例2（2025·上海·一模）在中，是边的中点.若，，，则 ． 【答案】/ 【知识点】数量积的运算律、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理计算，再利用做基底计算即可. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. 例3（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. （2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 【变式1】（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】根据数量积的运算律可得，即可由夹角公式求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 故答案为： 【变式2】（2024·上海奉贤·三模）中，，若在上的投影为．则 ． 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】作，根据题意，求得，得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，过点作于点， 因为向量在上的投影为，可得，所以， 又因为，则. 故答案为：.    【变式3】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【答案】2 【知识点】已知模求参数、向量减法法则的几何应用 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】    如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造出椭圆，并结合三角函数知识求解. 【变式4】（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】/ 【知识点】向量加法法则的几何应用、已知数量积求模 【分析】设，，，分析可知的最小值为，的最大值为1，结合向量加法可得的最小值为，最大值为2，即可得结果. 【详解】设，，，可知点在标准单位圆上， 不妨设， 因为，则，， 可知，， 取单位圆的六等分点，逆时针排列依次为， 则点在上，点在上， 设， 因为， 当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立， 所以的最小值为，且， 可得， 当且仅当点与点（或点）重合，且三点共线时，等号成立， 所以的最小值为； 设， 因为， 当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立， 所以的最大值为1，且， 可得， 当且仅当点与点（或点）重合，且点与点重合时，等号成立， 所以的最大值为2； 综上所述：的最小值与最大值之和为. 故答案为：. 考点11 投影向量 （25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 ． 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的公式求出结果即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以. 所以. 故答案为：. 例2（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 【答案】 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】因为， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为：. 例3（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】利用向量的数量积运算以及投影坐标的概念求解． 【详解】由题得，所以， 与向量的同向单位向量为， 所以向量在向量方向上的投影的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）已知向量满足，则在方向上的数量投影为 ． 【答案】 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算可得，，再结合投影数量计算公式求解即可. 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影数量是. 故答案为： 【变式2】（2025·上海宝山·三模）已知，则在上的数量投影是 . 【答案】 【知识点】求投影向量、数量积的坐标表示 【分析】向量在上的数量投影为，先求出和的值，再代入公式计算. 【详解】已知，，可得. 已知，可得. 根据向量投影的定义，在上的数量投影为，将，代入可得： . 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【答案】 【知识点】空间向量的坐标运算、求投影向量 【分析】根据在方向上的投影向量为计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 所以在方向上的投影向量为. 故答案为： 【变式4】（25-26高三上·河北保定·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、求投影向量、已知数量积求模 【分析】由投影向量的定义求出，再由向量的模长公式求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以，所以，又， 所以，所以. 故选：D. 考点12 平面向量的应用 例1（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据向量运算可得，结合图形分析的最小值即可得结果. 【详解】取PQ的中点N，则， 可得， ∵，当且仅当N在线段AM上时，等号成立， 故， 显然当时，取到最小值， ∴， 故. 故答案为：2. （2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值 【分析】由等价于在上的投影，故可结合投影性质，得到当与反向共线时，在上的投影取最小，当与同向共线时，在上的投影取最大，再结合的范围，即可得到相应投影的最小、最大值，即可得解. 【详解】等价于在上的投影， 如图1，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与反向共线时，在上的投影取最小， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 如图2，在单位圆圆上任取两点、， 则对任意的，当与同向共线时，在上的投影取最大， 作于点，设，取中点，有， 则，，则， 由，故； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于得到表示在上的投影，从而数形结合，借助投影性质解题. （25-26高三上·上海·阶段练习）已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】讨论的正负情况，得出点P的轨迹，再求模长即可. 【详解】当时，点P分别在以为直径的圆上，而这三个圆不会交于同一点，故此时不存在P； 所以不妨设， 则点P分别在以为直径的圆上、圆外、圆内，即如图所示加粗的部分圆弧，不包含端点. 设正三角形ABC的重心为G，则,故， 设中点为E，中点为D，则， ， 由于正三角形ABC边长为2，则可求得， 则，， 则，故， 故答案为：.    【变式1】（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】向量与几何最值 【分析】建立平面直角坐标系，设、、，不妨设，，，可得，将绕点逆时针旋转得到，可得出，即可得解. 【详解】在如下图所示的平面直角坐标系中，设、、，    不妨设，，， 由题意可得， 将绕点逆时针旋转得到，则，， 其中点， 故 ， 当且仅当点与点重合时，此时，点也与点重合，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式2】（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用不等式求值或取值范围、向量与几何最值 【分析】根据公式对向量进行处理，再结合不等式得出，即可推出点在以M为球心4为半径的球面上，从可求得答案. 【详解】由题意可知， 设中点为，则，， 所以， 由，得，则， 当且仅当时等号成立，则， 即，即， 则，即， 即点在以M为球心4为半径的球面上， 先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大； 设为半径为r的圆的内接三角形， 则 ，当且仅当时等号成立， 即为正三角形时，其面积取到最大值， 由于点在以M为球心4为半径的球面上，故的面积S可以无限小， ， 即S的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用以及均值不等式推出，从而推出点在以M为球心4为半径的球面，即可求解. 【变式3】（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、坐标计算向量的模、向量与几何最值 【分析】先利用和证明，再解不等式得到，从而有，再验证，，时，即得到的最小值是2. 【详解】由于， 且， 故有 ， 所以，记，则有，从而或，即或. 总之有，故，即. 存在，，时条件满足，且此时，所以的最小值是2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：对于的最小值问题，我们先证明，再给出一个使得的例子，即可说明的最小值是2，论证不等关系和举例取到等号两个部分都是证明最小值的核心，缺一不可. 考点13 向量新定义 例1（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、向量新定义 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 例2（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 【答案】 【知识点】代数中的计数问题、二项式定理与数列求和、向量新定义 【分析】考虑当为偶数时，的个数为奇数，当为奇数时，的个数为偶数，根据乘法原理和加法原理，以及和的展开式的加减，求得的通项公式. 【详解】当为偶数时，范数为奇数，则的个数为奇数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故； 当为奇数时，范数为奇数，则的个数为偶数，则的个数为 根据乘法原理和加法原理可得：， 因① ② 由，故. 综上，，故. 故答案为： . 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量的新定义，乘法原理，加法原理，二项式定理，数列的通项公式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用和的展开式求数列通项是解题的关键，需要灵活掌握. 【变式1】对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、向量新定义 【分析】由题意可设，，，，得，对，进行赋值即可得出，的值，进而得出结论． 【详解】因为，故． 又由，则，，可设，，令，，且， 又夹角，所以， 对，进行赋值即可得出，所以． 故答案为：． 【变式2】已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】向量垂直的坐标表示、判断命题的必要不充分条件、向量新定义 【分析】将提公因式化简，分别讨论各个因式可得结果. 【详解】若，则，则或. 当时，未必成立； 当时，. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 训练 一、填空题 1．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】求解即可. 【详解】， 当与同向时取等号， 故选：B 2．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由共线向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 二、填空题 3．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 【答案】 【知识点】数量积的运算律、求投影向量 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. 4．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，求出点的坐标，利用数量积即可求解. 【详解】以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，设， 则有，由有，所以， 所以，所以， 即，所以， 故答案为：. 5．已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 . 【答案】10 【知识点】平面向量数量积的几何意义、垂直关系的向量表示、平面向量共线定理证明点共线问题 【分析】运用向量共线、向量垂直画图，运用平行线性质及直角三角形性质可得、，再运用数量积运算及几何意义即可求得结果. 【详解】因为，所以A、D、E三点共线，且， 又因为，所以，所以， 因为，所以B、E、F三点共线，又因为，所以，如图所示， 设，则， 所以，解得：， 所以在上的数量投影为. 故答案为：10. 6．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】垂直关系的向量表示、辅助角公式、数量积的坐标表示、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 7．（2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为 . 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、数量积的坐标表示 【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，    不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴， 设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时， 故答案为： 8．的外心为，三个内角、、所对的边分别为、、，，，则面积的最大值是 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、三角形的心的向量表示、用定义求向量的数量积、求三角形面积的最值或范围 【分析】取边的中点，作边的中线，由三角形外心和中线的性质，将化简，即可由余弦定理求得，再由和余弦定理，借助基本不等式求得的最大值，即可求得三角形面积的最大值. 【详解】    取边的中点，连接、， ∵为的外心， ∴，即， ∵为边的中点， ∴为边的中线，， ∴ ， 又∵， ∴，整理得， ∴由余弦定理可得，∴， 又，由余弦定理，即， ∴由基本不等式，即，当且仅当时，等号成立， ∴的面积， 即当且仅当时，面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】解决向量与解三角形综合问题，重点在于将向量与三角形中的几何关系转化为三角形边、角的数量关系，再结合题目进行求解即可. 三、解答题 9．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知中，，，设，记； (1)若，求的值； (2)求函数的最大值，及相应的值. 【答案】(1) (2)当时取得最大值，且 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值、平面向量数量积的定义及辨析 【分析】（1）依题意可得，再利用正弦定理计算可得； （2）利用正弦定理表示出、，再由数量积的定义及三角恒等变换公式化简，最后结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，则， 由正弦定理，即，所以， 又，所以，所以，所以； （2）由正弦定理有 所以， 所以 ，， 因为，所以， 所以当，即时取得最大值，且. 10．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据韦达定理求参数、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； （3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围. 【详解】（1）由题意知，，则， 由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意， 由得，， 解得，代入， 得，又，解得. （3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为， 则，解得， 由得中点坐标为， 故直线，显然直线过椭圆内点， 故直线与椭圆恒有两不同交点， 设， 由消得， 由韦达定理得， 因为为钝角，则，且， 则有， 所以， 即，解得， 又， 故，即的取值范围是. 2 / 80 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 平面向量与复数 目录 一、考情分析与命题趋势 二、知识体系构建 知识点1 向量的概念及其线性运算 2 1.向量的有关概念 2 2.几种特殊向量 2 3.向量的线性运算 3 4．共线向量定理 4 5．常用结论 4 知识点2 向量的数量积及坐标表示 4 1．平面向量的坐标运算 4 2．平面向量共线的坐标表示 4 3．向量的央角 4 4．平面向量数量积的定义 5 5．平面向量数量积的几何意义 5 6．向量数量积的运算律 5 7．平面向量数量积的性质 6 8．平面向量数量积的坐标表示 6 9．常用结论 6 知识点3 向量基本定理与向量的应用 7 1．平面向量基本定理 7 2．常用结论 7 知识点4 复数及其四则运算、复数的几何意义 7 1．复数的有关概念 7 2．复数的几何意义 8 3．复数的运算 8 4．复数的模的几个重要结论 9 5．常用计算结论 9 6．复平面内复数 对应的点的几个基本轨迹 9 7.解决复数概念问题的方法及注意事项 10 知识点5 实系数一元二次方程、复数的三角形式 10 1．实系数一元二次方程 10 2．复数的三角形式及几何意义 10 三、考点精析与突破 考点1 平面向量的基本概念 11 考点2 平面向量的加法 15 考点3 平面向量的减法 19 考点4 平面向量的数乘 25 考点5 平面向量共线定理 29 考点6 平面向量基本定理 35 考点7 平面向量的正交分解与坐标表示 40 考点8 平面向量线性运算的坐标表示 43 考点9 平面向量共线的坐标表示 47 考点10 平面向量数量积的运算 53 考点11 投影向量 59 考点12 平面向量的应用 61 考点13 向量新定义 68 四、实战精练与提升 一、填空题 71 二、填空题 71 三、解答题 76 一、考试要求 知识点 新课程标准 重点 向量的概念及其线性运算 1. 理解向量的有关概念； 2. 掌握向量的线性运算（加法、减法、数乘）； 3. 理解共线向量定理 1. 向量概念（零向量、单位向量、相等向量等）的辨析； 2. 向量线性运算的几何意义与运算方法； 3. 共线向量定理的应用 向量的数量积及坐标表示 1. 掌握平面向量的坐标运算，理解平面向量共线的坐标表示； 2. 理解向量的夹角定义，掌握平面向量数量积的定义、几何意义、运算律； 3. 能运用平面向量数量积的性质和坐标表示解决垂直、模长、夹角等问题 1. 平面向量坐标运算的熟练应用； 2. 向量夹角的求解； 3. 数量积的运算及性质在垂直、模长等问题中的应用 向量基本定理与向量的应用 1. 理解平面向量基本定理； 2. 能运用定理进行向量的分解与合成，解决简单几何问题 1. 平面向量基本定理的理解与应用； 2. 利用向量解决平面几何问题的方法 复数及其四则运算、复数的几何意义 1. 理解复数的有关概念（实部、虚部、纯虚数、共轭复数等）； 2. 掌握复数的几何意义（复平面、复数与点、向量的对应）； 3. 熟练进行复数的四则运算； 4. 能解决复数模、复平面内轨迹等问题 1. 复数概念的辨析； 2. 复数几何意义的应用； 3. 复数四则运算的熟练掌握； 4. 复数模的计算及轨迹问题的分析 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1. 掌握实系数一元二次方程在复数范围内的解法； 2. 理解复数的三角形式及其几何意义 1. 实系数一元二次方程根的判别及复数根的求解； 2. 复数三角形式的理解与应用 二、命题分析 模块 考频 考查内容 命题趋势 平面向量 2025年第4题、2025年第12题、2023年第2题、2023年第12题、2022年第10题、2021年第16题、2023年第20题 平面向量共线的坐标表示、平面向量数量积的运算与性质、平面向量坐标运算、空间向量数量积的应用、平面向量与椭圆的综合 高频考点，小题中考查向量的共线、数量积、坐标运算，难度中等，注重向量运算的熟练掌握；综合题中与圆锥曲线结合，考查向量工具性，难度较大，强调知识综合应用 复数 2025年第3题、2024年第3题、2023年第11题、2022年第1题、2021年第2题 复数的除法运算、复数的四则运算、共轭复数的概念 高频基础考点，多在小题中考查，涉及复数的运算、共轭复数等概念，难度较低，注重对复数基本运算和概念的扎实掌握 -考查内容及命题趋势表（2021~2025年春考数据） 知识点1 向量的概念及其线性运算 1.向量的有关概念 （1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以 为起点、 为终点的向量记作 ； （2）向量的长度（模）：向量 的大小即向量 的长度（模），记为 ． 注：任意向量 的模都是非负实数，即 ． 2.几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为0的向量 零向量记作,其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作 平行向量 方向相同或相反的向量(也叫共线向量) 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量,平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 、 ：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与 平行的单位向量有两个，即向量 和 ． 3.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向最和的运算 三角形法则 平行四边形法则 （1）交换律： ； （2）结合律： 减法 求 与 的相反向量 的和的运算叫做 与 的差 三角形法则 数乘 求实数 与向量 的积的运算 ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接， 表示从始点指向终点的向量，只需关注始点、终点。 4．共线向量定理 向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得 ． ：只有当 才保证实数 的存在性和唯一性。 5．常用结论 （ 为实数），若点 、、 三点共线，则 ． 知识点2 向量的数量积及坐标表示 1．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模： 设 ，则 ， ． 注：若 ，则 ，反之亦然。 （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设 ，则 ． 2．平面向量共线的坐标表示 设 ，其中 ，则 ． （1） 的充要条件不能表示为 ，因为 有可能为 0 ； （2）当且仅当 时， 与 等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 3．向量的央角 （1）定义：已知两个非零向量 和 ，如图所示，作 ， ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 ． ：只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角． （2）范围：夹角 的范围是 ． 当 时，两向量 、 平行且同向； 当 时，两向量 、 相互垂直，记作 ； 当 时，两向量 、 平行但反向． 4．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积，记作 ，即 ，其中 是 与 的夹角。 ：零向量与任一向量的数量积为零． 5．平面向量数量积的几何意义 （1）数量投影 设 是 、 的夹角，则 叫做向量 在向量 方向上的数量投影， 叫做向量 在向量 方向上的数量投影； （2） 的几何意义 数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的数量投影 的乘积． （3）投影向量（简称投影） 向量 在非零向量 方向上的投影为 ． 6．向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）数乘结合律： ； （3）分配律： ． 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即 不一定等于 ，这是由于 表示一个与 共线的向量， 表示一个与 共线的向量，而 与 不一定共线。 7．平面向量数量积的性质 设 、 为两个非零向量， 是与 同向的单位向量， 是 与 的夹角，则 （1） ； （2） ； （3）当 与 同向时， ；当 与 反向时， ． 特别地，坦•袮 或 ； （4） ； （5） ． 8．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 为 与 的夹角，则 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 9．常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ① ； ② 。 （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量 与 的夹角为锐角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 0 时不成立）； ②两个向量 与 的夹角为钝角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 时不成立）． 知识点3 向量基本定理与向量的应用 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果 是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且仅有一对实数 ，使 ； （2）基：不平行的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基． 注：（1）基 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基； （2）基给定，同一向量的分解形式唯一； （3）如果对于一组基 ，有 ，则可以得到 且 。 2．常用结论 （1）若 与 不共线，且 ，则 ； （2）已知 为线段 的中点，若 ，则点 坐标为 ； （3）已知 的顶点 ，则 的重心 的坐标为 ； （4）若 为线段 A B 的中点， 为平面内任一点，则 ． 知识点4 复数及其四则运算、复数的几何意义 1．复数的有关概念 （1）i称为虚数单位，规定 ； （2）形如 、 的数叫复数，其中 、 分别是它的实部和虚部．若 ，则 为实数；若 ，则 为虚数；若 且 ，则 为纯虚数；全体复数构成的集合用字母 表示； （3）共轭复数：复数 称为复数 、 的共轭复数，记为 与 对应复平面上的点关于实轴对称，且 与 共轭 、、、 ； （4）复数是实数的条件： ①、 ；② ；③ ； （5）复数是纯虚数的条件：① 是纯虚数 且 、 ；② 是纯虚数 ；③ 是纯虚数 ； （6）复数与实数不同处：任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． 2．复数的几何意义 （1）复数 复平面内的点 、 ． ：复数 、 的对应点的坐标为 ，而不是 的虚部是 ，不是 ）． （2）复数 平面向量 ． （3）复数的模：复数 、 在复平面上所对应的点 到原点的距离 ，叫做复数 的模，记作 |z| ，即 ． 3．复数的运算 （1）复数的加、琙、乘、除运算法则 设 ，则 ①加法： ； ②减法： ； ③乘法： ； ④除法： ． （2）复数加法的运算定律 设 ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律： ； ②结合律： ． 4．复数的模的几个重要结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6）; （7）若 为虚数，则 。 5．常用计算结论 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5）（ 也有 同样的性质）． 6．复平面内复数 对应的点的几个基本轨迹 （1）（ 是正常数） 轨迹是一个圆； （2） 是复常数 轨迹是一条直线； （3） 是复常数， 是正常数 轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为椭圆；②当 时，轨迹为一条线段；③当 时，轨迹不存在； （4）（ 是正常数） 轨迹有三种可能情形： ①当 时，轨迹为双曲线；②当 时，轨迹为两条射线；③当 时，轨迹不存在． 7.解决复数概念问题的方法及注意事项 (1)复数分类及对应点位置问题,都可转化为复数的实部与虚部应满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可--复数问题实数化; (2)解题时一定要先看复数是否为的形式，以确定实部和虚部 知识点5 实系数一元二次方程、复数的三角形式 1．实系数一元二次方程 （1）实系数一元二次方程 、、 中的 为根的判别式， ① 方程有两个不相等的实根 ； ② 方程有两个相等的实根 ； ③ 方程有两个共轭虚根 。 在（3）的情况下，方程的根与䒬数关系（韦达定理）仍然成立。 （2）求解复数集上的方程的方法： ①设 、 化归为实数方程（组）来解决（化归思想）； ②把 看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数）——整体思想，用复数的性质来变形ョ ③对一元二次方程（实系数），直按用一元二次方程的求根公式（公式法）． 2．复数的三角形式及几何意义 （1）复数的三角形式 的右边称为非零复数 的三角形式，其中的 称为 的辐角， 为复数 的模， ． 在 内的辐角称为 的辐角主值，记作 。 为了求出一个非零复数的三角形式，只要求出这个复数的模，然后再找出复数的一个辐角 （比如辐角主值）即可． （2）复数三角形式的乘法法则 ①法则：模相乘，辐角相加。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ，当 时，按顺时针方向旋转角 。 （3）复数三角形式的除法法则 ①法则： 模相除，辐角相减。 ②几何意义：设 对应的向量分别为 ，将 绕原点 旋转 ，再将 的模变为原来的 倍，如果所得向量为 ，则 对应的复数为 。当 时，按顺时针方向旋转角 ；当 时，按逆时针方向旋转角 ． 考点1 平面向量的基本概念 设，是非零向量，“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知，，是同一个平面内的三个向量，则“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 在中,,且在方向上的数量投影是-2,则的最小值为 . 【变式1】已知是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（2024·上海·三模）已知向量，，则在上的投影向量的模为 ． 【变式3】（24-25高三上·上海松江·期中）已知点，，则向量的单位向量为 . 【变式4】则与同方向的单位向量 考点2 平面向量的加法 例1在中，，，设，则（    ） A． B． C． D． 例2在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 例3在三角形中，是中点，，，则 . 如图，在梯形中，，，，，点M满足，点N满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．9 D．12 【变式1】已知在中，点D满足，设，则（   ） A．1 B． C． D．2 【变式2】如图，正六边形的边长为2，圆的圆心为正六形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是 .    【变式3】八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2中的正八边形，其中，给出下列结论： ①与的夹角为； ②； ③； ④向量在向量上的投影向量为（其中是与同向的单位向量）． 其中正确结论的个数为 ． 【变式4】在中，角的对边分别为，且满足. (1)求角； (2)已知面积为，为7，求边上中线长. 平面向量加法（线性分解）解题方法总结 解决平面向量加法的线性分解问题，核心是利用平面向量基本定理，将目标向量分解为已知基底的线性组合，具体步骤如下： 1．分析图形与线段关系：根据中点、分点（如）、平行等条件，明确向量间的关联（如中点对应向量平分、平行对应相似比例）。 2．运用向量运算法则分解： －结合三角形法则（如）或中点性质（若是中点，则），逐步拆分目标向量； －遇平行／相似图形（如平行四边形），利用相似三角形比例（如）转化为向量系数的比例关系。 3．整理为线性组合形式：将分解后的向量整理为的形式，提取系数、，结合题意求解（如求。 技巧点晴： - 中点问题：优先使用＂向量平分＂技巧，如（为中点）； - 相似／平行问题：利用线段比例直接转化为向量系数的比例，简化运算。 考点3 平面向量的减法 几种常考题型解题策略 一、数量积与几何意义结合类 - 方法核心：利用向量减法的几何意义（如），结合数量积的几何意义（投影：，将抽象运算转化为线段长度、角度的直观计算。 －技巧：若涉及类组合向量，可借助平行四边形法则（如中点对应的向量平分）简化，再结合数量积的几何意义（投影）求解定值或最值（如例1中通过中点将转化为，再利用投影计算数量积）。 二、模的最值类 －方法核心：运用数形结合，将的最小值转化为＂点到直线的距离＂（几何意义），结合三角函数或线段比例求解。 －技巧：令，则，其最小值为在所在直线上的垂线段长度 （如例 2 中，，进而通过三角函数求解夹角）。 三、线性分解与数量积结合类 －方法核心：以已知向量为基底（如、），将目标向量（如、）通过向量减法、线性运算分解为基底的线性组合，再利用数量积的运算律（分配律、结合律）展开计算。 －技巧：优洗选择＂已知长度、夹角的向量＂作为基底，分解时注意向量减法的法则（），最后通过＂或＂化简求值（如例3中，以、为基底分解和，再利用数量积运算律计算）。 例1在等腰直角三角形中，，，为边上一动点，则（    ） A．为定值4 B．为定值8 C．最大值为4 D．最大值为8 设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（    ） A． B． C．或 D．或 在中，，，，则 . 已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 ． 【变式1】（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论： ①对任意，存在该平面的向量，满足 ②对任意，存在该平面向量，满足 则下面判断正确的为（    ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①正确，②正确 D．①错误，②错误 【变式2】在中，，，的平分线交BC于点D，若，则 ． 【变式3】在中，，，点在边上.若，，则的值为 . 【变式4】已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 考点4 平面向量的数乘 线性分解与转化 - 核心方法：将目标向量通过向量的线性运算（加、减、数乘）分解为已知基底（如）的线性组合，逐步推导向量间的关系。 - 技巧： - 拆分向量时，可通过＂凑项＂＂补全＂等方式转化（如例 1 中拆分为; －利用向量减法法则将未知向量转化为已知基底的组合。 设为所在平面内一点，．若，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 例2（24-25高三上·上海奉贤·期中）在中，，为中点，，则（   ） A． B． C． D． 例3在中，点D为的中点，点O为的重心，则（    ） A． B． C． D． 在中，是的中点，是的中点．若，则（    ）． A．3 B． C．2 D． 【变式1】已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【变式2】在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC= ． 【变式3】（2025·上海宝山·二模）已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【变式4】已知点分别是的外心，重心，，则的值为 . 考点5 平面向量共线定理 1.模的最值问题解题策略 核心方法：利用共线定理确定点的共线关系，结合数形结合思想（圆的轨迹、线段长度），将向量模的最值转化为几何图形中的距离最值。 2.共线求参数解题策略 核心方法：以共线条件为桥梁，将日标向量用基底线性分解，再根据共线定理（向量间的线性关系）建立方程，求解参数。 已知，是平面内两个非零向量，那么“”是“存在，使得”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 已知平面向量，，，满足：，，，，则的最大值为 . 例3（24-25高三上·上海闵行·期中）如图，已知点，分别在的边，上，且，，直线交边的延长线于点，记，则 . 例4（2025·上海·模拟预测）设，集合.若对任意，均存在和，满足，，则的最大值为 . 【变式1】（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量组成的集合，若对任意，均有，则称集合是“凸”的，则下列集合中不是“凸”的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】设向量，若∥，则 . 【变式3】（2024·上海松江·二模）已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【变式4】（23-24高三上·上海普陀·期中）在中，过重心的直线交边于点，交边于点（、为不同两点），且，，则的取值范围为 . 考点6 平面向量基本定理 例1（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量、，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（    ） A．和 B． 和 C． 和 D． 和 例2（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例3（24-25高三上·上海·期中）在平面四边形中，、 分别是、的中点.若，，且，则 【变式1】（25-26高三上·上海杨浦·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 ； 【变式2】已知平面向量，，，满足，，且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，实数的最大值为 . 【变式3】在中，，，，是的外心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为 ． 考点7 平面向量的正交分解与坐标表示 例1设点的坐标为，是坐标原点，向量绕着点顺时针旋转后得到，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 例2函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 例3（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为 . 【变式1】在平面直角坐标系中，，把向量顺时针旋转定角得到，关于轴的对称点记为，，则的坐标为 【变式2】已知向量与单位向量所成的角为，且满足对任意的，恒有，则的最小值为 . 【变式3】若向量，则对应的位置向量的终点坐标是 ． 考点8 平面向量线性运算的坐标表示 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． （24-25高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题 命题 当变化时，的最大值为； 命题：当变化时，可以取到最小值0； 则下列选项中，正确的是（ ） A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题 C．、都为真命题 D．、都为假命题 【变式1】（25-26高三上·上海虹口·期中）已知向量和满足，则 . 【变式2】（2025·上海崇明·二模）已知，则 ． 【变式3】如图．在直角梯形中．，点P是腰上的动点，则的最小值为 ． 考点9 平面向量共线的坐标表示 例1（2025·上海·高考真题）已知数列、、的通项公式分别为，、，.若对任意的，、、的值均能构成三角形，则满足条件的正整数有（  ） A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个 （25-26高三上·上海松江·期中）已知向量，，． (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则 . 【变式2】（2024·上海·高考真题）已知向量，，若，则 ． 【变式3】已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点． (1)求椭圆的焦距和离心率； (2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线； (3)若是椭圆上的点，且，求的面积． 考点10 平面向量数量积的运算 （24-25高三上·上海·期中）已知，，则向量在方向上的数量投影为 ． 例2（2025·上海·一模）在中，是边的中点.若，，，则 ． 例3（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． （2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【变式1】（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为 . 【变式2】（2024·上海奉贤·三模）中，，若在上的投影为．则 ． 【变式3】（24-25高三上·上海·期末）在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为 . 【变式4】（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 . 考点11 投影向量 （25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则 ． 例2（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知向量，则在方向上的投影向量坐标为 . 例3（2024·上海长宁·一模）已知向量，则向量在方向上的投影的坐标是 ． 【变式1】（25-26高三上·上海·期中）已知向量满足，则在方向上的数量投影为 ． 【变式2】（2025·上海宝山·三模）已知，则在上的数量投影是 . 【变式3】（24-25高三上·上海宝山·期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 . 【变式4】（25-26高三上·河北保定·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D．4 考点12 平面向量的应用 例1（24-25高三上·上海浦东新·期中）在中，，，，P，Q是平面上的动点，，M是边BC上的一点，则的最小值为 ． （2024·上海青浦·一模）已知是单位圆上任意不同三点，则的取值范围是 . （25-26高三上·上海·阶段练习）已知函数，正三角形ABC边长为2，若正三角形ABC所在平面上存在点满足方程，则的取值范围是 . 【变式1】（2025·上海奉贤·二模）内一点（见图1），式子可以写成，这个式子中、、的系数均为，以三个系数作为边长可构造一个等边三角形，因此我们尝试把绕点顺时针旋转，得到（见图2），所以等于，显然，当、、、四点共线时（见图3），最小．    试用类似的方法解决下面这道题目： 已知是平面内的任意一个向量，向量、满足，且，，则的最小值为 ． 【变式2】（2024·上海·三模）空间中两点间的距离为，设的面积为，令，若，则的取值范围为 ． 【变式3】（2024·上海长宁·二模）已知平面向量满足：，若，则的最小值为 ． 考点13 向量新定义 例1（2025·上海松江·二模）设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是 . 例2（24-25高三上·上海·期中）我们称（为正整数）元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 【变式1】对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 【变式2】已知，都是非零向量，定义新运算，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 训练 一、填空题 1．若平面向量，，满足，则的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（2025·上海宝山·二模）已知向量，，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则 4．（2025·上海徐汇·二模）已知是正方形，点是的中点，点在对角线上，且则的大小为 . 5．已知四边形ABCD是平行四边形，若，，，且，则在上的数量投影为 . 6．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 7．（2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为 . 8．的外心为，三个内角、、所对的边分别为、、，，，则面积的最大值是 三、解答题 9．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知中，，，设，记； (1)若，求的值； (2)求函数的最大值，及相应的值. 10．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点． (1)若的焦点，求离心率e； (2)若，且上存在一点P，满足，求m； (3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围． 2 / 80 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $