精品解析：江苏省无锡市第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

无锡市第一中学2025-2026学年度第一学期期中试卷 高一数学 2025.11 命题：徐欢 审核：黄荣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知是非零实数，且是任意实数，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“”是真命题 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“且”是“”的充要条件 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 的最小值是4 C. 的最小值是 D. 有最大值 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，当时，有成立 C. 任意实数，当时，都有成立 D. 若，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为___________． 13. 已知，则___________． 14. 若在函数的定义域内存在，满足，则称为局部对称函数，点称为它的一个局部对称点．已知函数，且是函数的一个局部对称点，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）若关于的方程有两个大于2的不等实根，求实数的取值范围； （2）若函数为奇函数，判断的单调性，并用定义证明． 17. 发展新能源，是破解我国能源短缺与环境污染困局的有效途径．国家政策的扶持为整个产业注入了强劲动力，开启了蓬勃发展的新篇章．无锡某新能源企业，年固定成本400万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不超过95台，则；若年产量大于95台，则，每台设备售价150万元，若生产的设备可以全部售出． （1）已知年利润为（万元），请写出年利润关于年产量（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 18. 已知函数，函数． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求的解集； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围： （3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第一中学2025-2026学年度第一学期期中试卷 高一数学 2025.11 命题：徐欢 审核：黄荣 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再由交集运算可得结果. 【详解】易知， 所以. 故选：C 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义域的定义进行求解即可. 【详解】使得函数有意义， 则，解得 函数的定义域为. 故选：A. 3. 已知是非零实数，且是任意实数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断ACD错误，由作差法可判断B正确. 【详解】对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误. 故选：B 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性和函数值的符号可得正确的选项. 【详解】因为且的定义域为，故为奇函数， 故的图像关于原点对称，故排除BC. 而当时，，故排除D， 故选：A. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数单调性即可比较得出三个数的大小. 【详解】由函数在上为单调递增函数，可知，即； 又函数在上为单调递减函数，可知，即; 所以可得. 故选：D 6. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次根式的意义来判断AB选项，利用指数幂的运算来判断CD选项即可. 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，则，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：C. 7. 已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本函数的单调性以及奇函数的性质，可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 由得，等价于， 所以，解得. 故选：A. 8. 已知函数，若对于任意实数与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对参数分类讨论，再由二次函数单调性和符号得出对应区间内的不等关系，解不等式即可. 【详解】显然, 依题意可知当时，若，则，若，则， 因此对于任意，函数恒成立， 此时由可知开口向下，因此不符合题意； 当时，若，则，若，则， 因此对于任意，函数恒成立， 此时开口向上，对称轴为， 若，对称轴， 函数在区间上单调递减，故其最小值为，符合题意， 若，可知对称轴，此时需满足, 可得； 综上可知; 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“若，则”是真命题 B. 命题“”是真命题 C. “”是“”的充分不必要条件 D. 设，则“且”是“”的充要条件 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二次函数性质和一元二次方程的求根公式即可判断AB；根据充分不必要条件的判断即可判断C；举反例即可判断D. 【详解】对A，若，则，成立，故A正确； 对B，，显然无实数解，故B错误； 对C，，即，解得或，则“”能够推出“或”， 但“或”无法推出“”，故“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对D，不能得到且，举例，满足，但是，则必要性不成立，故D错误. 故选：AC. 10. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值 B. 的最小值是4 C. 的最小值是 D. 有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由基本不等式中“1”的应用可判断A，利用指数运算法则可判断B，将替换成并利用二次函数单调性可判断C，由基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由可得, 当且仅当，即时，有最小值，即A正确； 对于B，易知， 当且仅当时，即时，有最小值4，因此B正确； 对于C，由可得，即； 所以， 当时，的最小值是，因此C错误； 对于D，易知，可得, 当且仅当，即时，有最大值，即D正确. 故选：ABD 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得 B. 存在实数，当时，有成立 C. 任意实数，当时，都有成立 D. 若，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数定义计算可得满足题意，即A正确，将函数改写成分段函数形式得出其单调性可判断B错误；将表达式变形为并根据已有分析可得C正确，结合函数单调性以及奇偶性解不等式可得D正确. 【详解】对于A，若，则为奇函数， 又，，所以可得，即； 此时，显然为奇函数，满足题意，即A正确； 对于B，当时，，此时在上单调递增， 当时，，此时在上单调递增， 所以函数在上严格单调递增， 因此不存在实数，当时，有成立，即B错误； 对于C，将变形可得， 结合B中分析可知函数在上严格单调递增，因此与同号，即C正确； 对于D，令，则可知为奇函数且单调递增， 不等式即可化为, 即，可得， 所以，解得， 即实数的取值范围为，所以D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若幂函数在上单调递减，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得且，解得， 故答案为： 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据立方和公式，即可化简代入求解. 【详解】已知，则， 所以. 故答案为： 14. 若在函数的定义域内存在，满足，则称为局部对称函数，点称为它的一个局部对称点．已知函数，且是函数的一个局部对称点，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用“局部对称点”的定义得出等量关系，再根据方程有解问题构造函数，利用函数单调性求出函数的最值可求得实数的取值范围. 【详解】依题意可得存在实数满足， 即关于的方程有解即可， 整理可得， 令， 又易知，可知，当且仅当时等号成立； 因此可得关于的方程在上有解即可. 即在上有解， 易知函数在上单调递增，所以，即, 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设集合，，． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，再由集合间的包含关系解不等式可得结果； （2）根据交集结果得出不等式即可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 易知， 又可得，所以； 因为，所以，可得； 结合可得， 即实数的取值范围为. 【小问2详解】 若，由于, 可得或， 解得或； 又可得； 因此实数的取值范围为. 16. （1）若关于的方程有两个大于2的不等实根，求实数的取值范围； （2）若函数为奇函数，判断的单调性，并用定义证明． 【答案】（1） （2）的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，解得， 此时. 因为，所以为奇函数. 故为所求. 在上是增函数，证明如下： ，且， 则 . 因为指数函数在上是增函数，且， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）要使方程有两个大于2的不等实根，从判别式，对称轴，及的取值几方面考虑，列出不等式组求解即可； （2）由是奇函数求出的值，从而确定的解析式，再根据单调性的定义证明即可. 【详解】（1）易知二次函数的对称轴. 因为方程有两个大于2的不等实根， 所以，即， 解得， 所以实数的取值范围 （2）略 17. 发展新能源，是破解我国能源短缺与环境污染困局的有效途径．国家政策的扶持为整个产业注入了强劲动力，开启了蓬勃发展的新篇章．无锡某新能源企业，年固定成本400万元，每生产台设备，另需投入成本万元，若年产量不超过95台，则；若年产量大于95台，则，每台设备售价150万元，若生产的设备可以全部售出． （1）已知年利润为（万元），请写出年利润关于年产量（台）的关系式； （2）年产量为多少台时，该企业所获利润最大？ 【答案】（1） （2）110台 【解析】 【分析】（1）分年产量不超过95台和年产量大于95台两种情况进行分析，利润=总收入-总投入，即得结果； （2）讨论分段函数最值，即得结果. 【小问1详解】 依题意，若年产量不超过95台，另外成本，固定成本400万，总收入150x万元，故利润；若年产量大于95台，另外成本，固定成本400万，总收入150x万元，故利润. 故； 【小问2详解】 当时，，在对称轴处，取得最大值，； 当，时，， 而，当且仅当时等号成立， 所以 即时，. 综上可知，当年产量为110台时，该企业所获利润最大为3860万元. 18. 已知函数，函数． （1）求函数的解析式； （2）求函数在上的最小值； （3）已知函数，对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上的最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，即可求得函数的解析式； （2）结合（1）中结论对参数分类讨论可求得函数在的最小值； （3）利用对勾函数性质求得，再结合题意可知只需满足即可，对分类讨论得出相应不等式可得结果. 【小问1详解】 令，可得， 由可得； 所以函数的解析式为 【小问2详解】 由（1）可得， 易知函数关于对称，且开口向上， 当时，，此时函数在上单调递增， 因此； 当时，，函数在上单调递减，在单调递增； 因此； 当时，，此时函数在上单调递减， 因此 综上可知，函数在的最小值为； 【小问3详解】 易知，由对勾函数单调性可知在上单调递增， 因此对任意，满足恒成立， 由“对任意，总存在，使得”可得即可， 因此； 又因为， 由（2）中分析可知当时，， 所以只需满足即可，解得； 当时，，因此只需满足，解得与矛盾，此时无解； 综上可知， 所以实数的取值范围为 19. 已知函数． （1）当时，求的解集； （2）若函数在上是增函数，求实数的取值范围： （3）若存在实数，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将参数代入后根据各因式的符号可求不等式的解； （2）将函数改写为分段函数形式，并根据二次函数单调性解不等式可得实数的取值范围； （3）利用函数与方程的思想，将问题转化为方程有三个不相等的实数根，利用二次函数单调性可得不等式，再由对勾函数性质求出，可得实数的取值范围． 【小问1详解】 当时，可得， 不等式可得，故. 综上可知，的解集为. 【小问2详解】 依题意可知； 当时，图象的对称轴为， 当时，图象的对称轴为， 若函数在上是增函数，可得，解得； 因此实数的取值范围为. 【小问3详解】 依题意可知方程有三个不相等的实数根， 又因为，由（2）中结论可得当时，函数在上是增函数， 此时方程不可能有三个不相等的实数根，不合题意； 当时，可知； 所以可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，关于方程可能有三个不相等的实数根， 即可得， 因为，所以， 设，则； 又在上单调递增，所以； 因此可知时，满足题意， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $