专题5.4 一元一次方程（章节复习）（知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题）-2025-2026学年北师大版数学七年级上册同步培优讲练

专题5.4 一元一次方程（章节复习） （知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：一元一次方程的概念 2 知识点梳理02：等式的性质 2 知识点梳理03：一元一次方程的解法 2 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：等式的性质1 3 考点2：等式的性质2 4 考点3：解一元一次方程 5 考点4：已知一元一次方程的解求参数 6 考点5：绝对值方程 7 考点6：工程问题(一元一次方程的应用) 9 考点7：销售盈亏(一元一次方程的应用) 11 考点8：比赛积分(一元一次方程的应用) 12 考点9：方案选择(一元一次方程的应用) 14 考点10：数字问题(一元一次方程的应用) 15 考点11：几何问题(一元一次方程的应用) 17 考点12：动点问题(一元一次方程的应用) 18 考点13：电费和水费问题(一元一次方程的应用) 21 考点14：行程问题(一元一次方程的应用) 23 考点15：比例分配(一元一次方程的应用) 26 考点16：日历问题(一元一次方程的应用) 27 考点17：古代问题(一元一次方程的应用) 30 考点18：其他问题(一元一次方程的应用) 31 考点19：配套问题(一元一次方程的应用) 32 考点20：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 33 中考真题 实战演练 34 难度分层 拔尖冲刺 38 基础夯实 38 培优拔高 40 知识点梳理01：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 知识点梳理03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 考点1：等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查等式的基本性质．根据等式的基本性质逐项判断即可． 【规范解答】解：A、若，则，故本选项不符合题意； B、若，则，故本选项不符合题意； C、若，则两边同时乘以得。只有当时，才有。由于的值不确定，所以该等式不一定成立，故本选项符合题意； D、若，则，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等式的基本性质．解题的关键是等式的基本性质：等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 根据等式的基本性质判断即可． 【规范解答】解：若，则或，原写法错误，不符合题意； B、若，则，原写法错误，不符合题意； C、若，当时，不成立，不符合题意； D、若，则，那么，故，正确，符合题意； 故选：D． 考点2：等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·北京西城·期中）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查等式的基本性质，包括等式的对称性和移项法则．需逐一判断各选项是否符合等式性质． 【规范解答】解：∵ 等式性质：若，则，或， 选项A：若，当时，b可为任意值，不一定成立，∴ A错误． 选项B：若，则，但时分母为零，无意义，∴ B错误． 选项C：若，则，选项错误，不符合题意； 选项D：若，移项得，即，∴ D正确， 故选：D 【变式训练】（25-26七年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】A 【思路点拨】本题考查等式的基本性质． 根据等式的基本性质逐一判断即可． 【规范解答】由，可得，故A正确； 若，则时，与不一定相等，故B错误； 由，两边同乘得，故C错误； 由，两边同乘2得，而非，故D错误； 故选：A． 考点3：解一元一次方程 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了解一元一次方程： （1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解； （2）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【规范解答】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，即可求出解． 【规范解答】（1）解： 解得； （2）解： 解得． 考点4：已知一元一次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查由一元一次方程解的情况求参数，有理数的加法运算，先解方程得到 ，根据方程有正整数解，得到 必须是负整数且是的约数，从而求出整数的值，再求和即可，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【规范解答】解：方程去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， ∴， ∵ 方程有正整数解， ∴ 且为整数， ∴且是的约数， ∵的负约数有和， ∴或， 解得或， ∴整数的所有可能取值的和为， 故选：． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·月考）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，先用含a的式子表示方程的解，根据方程的解为正整数得出求出正整数a的取值，然后求和即可． 【规范解答】解：解方程得， ∵a，x为正整数， ∴a的值为或， ∴所有正整数a的值的和是， 故答案为：． 考点5：绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）材料1：一般地，个相同因数相乘记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即：） （1）计算： ； ； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，……，在这种规定下： （2）求出满足该等式的的值； （3）当为 时，． 【答案】（1）3；；（2）或；（3）或 【思路点拨】（1）根据材料示例计算可得； （2）根据材料定义的运算，化简后解含绝对值的方程即可求得； （3）综合两个材料中的定义，化简后得到方程，可理解为求数轴上一点x到和6的距离之和为18，由和6两个点将数轴分为三部分，当x分别位于这三个区域时将方程去绝对值后进行解方程即可． 【规范解答】解：（1）∵， ∴； ； （2）， ， 化简得：， 即或， ∴或． （3）由得： ， 即， 当时，可得， 当时，可得， 则当时，原方程可化为：，解得：； 当时，原方程可化为：，则此时方程无解； 当时，原方程可化为：，解得； 故当x为或11时，符合题意． 【变式训练】（25-26七年级上·广东梅州·期中）【综合与探究】已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到A、B的两点的距离相等，求出点P对应的数； （2）若点P在点A左侧，请化简； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 【答案】 （1）1；（2）；（3）存在，x的值为或 【思路点拨】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值方程的应用． （1）根据点P的位置，结合两点之间的距离相等可得方程，求出解； （2）根据题意可得，再根据绝对值的性质即可化简； （3）先确定点P不在点A，B之间，再分两种情况列出方程，求出解． 【规范解答】解：（1）∵点P到点A，B之间的距离相等， ∴点P在点A，B之间， ∴， 解得， ∴点P对应的数是1； （2）∵点P在点A左侧， ∴， ∴； （3）解：存在，x的值为或， ∵点A到点B的距离是， ∴点P不在点A，B之间， 当点P在点B右侧时，则， 解得； 当点P在点A左侧时，则， 解得； 综上，x的值为或． 考点6：工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【答案】甲单独完成还需要4天半完成． 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用．设甲单独完成还需要x天，根据题意，列出一元一次方程，据此求解即可． 【规范解答】解：设甲单独完成还需要x天，根据题意，得 ， 解得， 答：甲单独完成还需要4天半． 【变式训练】（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙两人各自的工作效率和各自完成的工作量是解题的关键， （1）假设甲、乙合作小时可以完成，可列方程，得出甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成，设两人各工作7小时后甲还要工作小时才能完成，可列方程得，求出的值，再加上14，就是两人交替工作完成任务时所用的小时数； （2）利用（1）的解法即可求解． 【规范解答】（1）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得， 解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作7小时后，还剩下部分任务由甲完成， 设各工作7小时后甲还要工作小时才能完成任务， 根据题意得， 解得， ∴（小时）， 答：完成任务时共用了小时； （2）解：假设甲、乙合作小时可以完成， 根据题意得，解得， 可见，甲、乙两人交替工作，各工作6小时后，还剩下部分任务由甲工作1小时，然后由乙接替甲工作完成， 甲、乙两人交替工作，由甲工作7小时，乙工作6小时后，还剩下部分任务由乙完成， 设乙还要工作小时才能完成任务， 根据题意得，解得， ∴， 答：完成任务时共用了小时． 考点7：销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（  ） A．盈利16元 B．亏损16元 C．盈利20元 D．亏损20元 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查一元一次方程的应用．已知售价，需算出这两件衣服的进价，让总售价减去总进价就算出了总的盈亏． 【规范解答】设盈利衣服的成本为元，亏损衣服的成本为元。 ∵ 盈利，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， ∵ 亏损，卖出价120元， ∴ ， 解得 ， 总成本为 元， 总售价为 元， ∵ ， ∴ 亏损元。 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 【答案】商店打了八折 【思路点拨】本题考查了折扣问题． 设商店打了x折，利用销售价减进价等于利润列方程求解即可． 【规范解答】设商店打了x折， 根据题意得：， 解得：． 答：商店打了八折． 考点8：比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）学校组织老师进行智力竞赛，共道题，答对一题得分，不答不给分，答错扣分，已知所有老师的总分为多分，且男老师总分为女老师总分的倍多分，答对总题数为答错总数的倍少题．又知每人恰好有道或道题未答．则男老师的总分 分． 【答案】 【思路点拨】答错总题数为，女老师总分为，则全校老师总得分为，则有，即，又因答错总题数为，则答对，总得分为，也有，即，又，即，因为为整数，所以为200到233之间能被13整除的整数，符合条件的有206，219，232，对应的x分别是48，51，54，最后分类讨论，从而问题得解． 【规范解答】解：设答错总题数为，女老师总分为， 则全校老师总得分为， 则有，即， 又因答错总题数为，则答对， 总得分为， 也有，即， 又，即， 因为为整数，所以为200到233之间能被13整除的数， 符合条件的有206，219，232， 对应的分别是48，51，54， ①当时，答对题数为：（道）， 一共做了（道）， 如果10人参赛，题目一共有（道）， 没做的有（道）， 不满足每人恰好有道或道题未答； ②当时，答对题数为：（道）， 一共做了（道）， 如果11人参赛，题目一共有（道）， 没做的有（道）， 不满足每人恰好有道或道题未答； ③当时，答对题数为：（道）， 一共做了（道）， 如果11人参赛，题目一共有（道）， 没做的有（道）， 满足每人恰好有道或道题未答； 所以，， 所以男老师总得分（分）； 答：男老师总得分分． 【变式训练】（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）某次数学竞赛有道题，答对一题得分，答错一题倒扣分，若小虎得了分，那么小虎答对了( )道题 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，设小虎答错了道题，则答对了道题，根据题意得，然后解方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【规范解答】解：设小虎答错了道题，则答对了道题， 根据题意得， 解得：， 所以答对了， 故答案为：． 考点9：方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【答案】(1) (2)选旅行社便宜，原因见解析 【思路点拨】本题考查了列方程解决实际问题，通过分析题目可以知道，本题考查的是列方程解决实际问题． （）设当学生有人时，两家旅行社收费一样多，依据旅行社各自 的优惠策略，列出方程即可解出未知数． （）当带名学生时，分别算出两家旅行社的收费，进行比较，即可解答． 【规范解答】（1）解：设当学生有人时两家旅行社收费一样多，依题意有： 整理方程，得 解得 答：学生人数是人时，收费一样多， （2）旅行社收费：元， 旅行社收费：元， 因为， 所以选旅行社便宜； 原因是学生数超过收费相等的人后，旅行社学生半价的优惠在人数增加时，总费用增长更慢，优惠力度体现更明显． 答：当学生人数是人时，选旅行社划算． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下表是某地移动公司推出的两种话费收费方式： 收费方式 方式一 方式二 月租费 元/月 本地通话费 元/分 元/分 当本地通话 分钟时，两种收费方式一样；当通话时间为分钟时，选择 比较合算． 【答案】 方式一 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及求代数式的值，根据题意建立一元一次方程是解答本题的关键； 【规范解答】解：设本地通话为分钟，方式一每月收费元，方式二每月收费元； 两种收费方式一样时，， 解得， 当时，，， 因此选择方式一比较合算． 故答案为：；方式一． 考点10：数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【规范解答】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中m的值为（    ）． A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】A 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设正中间的数为x，根据每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等列出方程求解即可． 【规范解答】解：设正中间的数为x， 则， 解得， ∴， 解得． 故选：A． 考点11：几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有三个点．若点表示的数的和为0，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．设点表示的数是，则点表示的数是，点表示的数是，根据题意建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：设点表示的数是， 则点表示的数是，点表示的数是， ∵点表示的数的和为0， ∴， 解得， 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）点，，是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是3，并且B、C两点之间的距离是、两点之间距离的2倍，即．则点表示的数是 【答案】11或/或 【思路点拨】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式，并分情况讨论点的位置． 先根据点表示的数求出的距离，再由求出的距离，最后分点在点左侧和右侧两种情况，结合数轴上两点间距离公式求出点表示的数． 【规范解答】解：点表示的数是，点表示的数是3，则， 由，得， 设点表示的数为，根据数轴上两点间距离公式，， 当时，解得， 当时，解得， 故答案为：11或． 考点12：动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）如图，将一条数轴在原点和点（表示）处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示，点表示，我们规定：在“折线数轴”上，两点间的距离等于两点在折线路径上的实际长度（例如：点和点的距离为个单位长度）．动点同时出发：点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”正方向运动，当经过点后速度变为原来的一半（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒）；点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”负方向运动，当经过点后速度变为原来的两倍（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒），设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)点从运动到所需的时间为______秒； (2)当秒时，分别求出点在“折线数轴”上表示的数； (3)①当两点相遇时，求相遇点所对应的数； ②当点到的距离与点到的距离相等时，求的值． 【答案】(1) (2)点在“折线数轴”上表示的数分别为， (3)①；②或或或 【思路点拨】（）根据时间路程速度，列出算式解答即可； （）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （）①求出点点到达点和点的时间，点到达点和点的时间，进而可得点在段相遇，设相遇点所对应的数为，根据题意列出方程解答即可求解；②分四种情况，根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了有理数的混合运算的实际应用，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【规范解答】（1）解：（秒）， ∴点从运动到所需的时间为秒， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴当秒时，点在“折线数轴”上表示的数分别为，； （3）解：①∵点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； 点到达点的时间为秒，到达点的时间为秒； ∴点在段相遇， 设相遇点所对应的数为，则， 解得， ∴相遇点所对应的数为； ②当点到达点前，点到达点前时，， 解得； 当点到达点后，点到达点前时，， 解得； 当点到达点后，点到达点后时，， 解得； 当点到达点后，点到达点后时，， 解得； 综上，当点到的距离与点到的距离相等时，的值为或或或． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点与点之间的距离记作． (1)求的值； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，问是否存在常数，使得的值为定值？若存在，求出的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)①或10；②存在常数，使得的值为定值，定值为 【思路点拨】（1）根据多项式的常数项与多项式的次数的定义即可求出答案； （2）①分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时；点A、B在相遇时；依此可求t的值； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为，可得，依此可求m的值． 【规范解答】（1）解：∵多项式的常数项是，次数是30． ∴，； （2）解：①如下图所示： 当时，，， 若点A向右运动，点B向左运动，则运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为， ∵动点P从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度， ∴运动t秒时，P点表示的数为； 下面分两类情况来讨论：点A、B在相遇前时， ∵， ∴， 解得：； 点A、B在相遇时，，此时A与B重合， 则， 解得：； 显然，点A，B在相遇后，大于，不符合条件． 综上所述，或10； ②当运动t秒时，A点表示的数为，B点表示的数为，P点表示的数为， ， 当时，上式的值不随时间t的变化而改变． ∴存在常数，使得的值为定值，此时： ． 考点13：电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【答案】(1)， (2)吨 【思路点拨】本题考查二元一次方程组的应用(求阶梯水价单价)与分段计费问题(求用水量)，解题的关键是根据不同用水量对应的计费标准列方程，明确“水费(自来水单价污水处理单价)用水量”． （1）用7月吨吨)的水费列方程求，用8月吨的分段水费列方程求； （2）先算吨水的总费用，判断元对应用水量超吨，设超量部分列方程求总吨数． 【规范解答】（1）解：  ∵水费(自来水单价污水处理单价)用水量，   7月：，解得，；   8月：，即，   解得， ∴，； （2）解：吨水费：(元)，   ∵， ∴用水量超吨，设总用水量为吨，   则，   ， 解得，. 答：小李家这个月用水吨． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 【答案】(1)24元 (2)13吨 (3)11吨 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用-分段计费等知识，理解表格提供的分段计费标准是解题关键． （1）根据7月用水8吨用第一段计费标准，用自来水总费用加上污水处理费用即可求解； （2）先求出用水10吨时，应交水费元，用水25吨时，应交水费元，设小李家9月份用水x吨,列方程，解方程即可求解； （3）设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨．根据10月份用水超过25吨，得到．分和两种情况分别列方程，解方程，舍去不合题意情况即可求解． 【规范解答】（1）解：（元）． 答：小李家2025年7月用水8吨，应该交水费24元； （2）解：当用水10吨时，应交水费（元）， 当用水25吨时，应交水费（元）， 设小李家9月份用水x吨, 由题意得， 解得． 答：小李家9月份用水13吨； （3）解：设小李家11月份用水y吨，则10月份用水吨． ∵两个月一共用水40吨，其中10月份用水超过25吨， ∴． ①当时，列方程得， 解得（不合题意，舍去）； ②当时，列方程得， 解得（符合题意）． 答：小李家11月份用水11吨． 考点14：行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【答案】(1)经过4min摩托车追上自行车． (2)两人均在行驶途中时，经过3.5min或4.5min在行进路线上相距150m． 【思路点拨】（1）摩托车从出发需先经过段才能到达点，之后进入段追赶自行车，据此设方程求解； （2）需分阶段分析两者的运动情况，计算追击时间及相距特定距离的时间点． 【规范解答】（1）解：设经过摩托车追上自行车， 由题意，得， 解得， 由于，故符合题意． 答：经过min摩托车追上自行车． （2）解：设经过两人在行进路线上相距m． 分两种情况讨论： ①当摩托车还差m追上自行车时， ， 解得； ②当摩托车超过自行车m时， ， 解得． 由于，故符合题意． 答：两人均在行驶途中时，经过min或min在行进路线上相距m． 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为9． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是________； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距4个单位长度？ 【答案】(1)4 (2) (3)2或 【思路点拨】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． （1）先求得A、B两点的距离，进而用点的数减去的距离的一半，即可求解； （2）设运动的时间为，根据题意，列出一元一次方程，即可求解； （3）设运动的时间为，分相遇前与相遇后相距4个单位，列出方程，解方程即可求解． 【规范解答】（1）解：依题意，A点对应的数为，B点对应的数为9． ， 对应的数为， 故答案为：4． （2）解：设运动的时间为t， ， 解得， 点C所表示的数为； （3）设运动的时间为t， 相遇前：， 解得， 相遇后：， 解得， 综上所述：或． 考点15：比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【规范解答】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（浓度问题）实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液．若加入乙溶液．得到的酒精溶液浓度为；若加入乙溶液，得到的酒精溶液浓度为．那么加入乙溶液时，得到的酒精溶液浓度为( )%． 【答案】31 【思路点拨】本题主要考查溶液的浓度问题，浓度，解题的关键是理解题意，掌握溶液浓度公式． 根据两种溶液先算出乙浓度再进行求解即可． 【规范解答】解：加入乙得到溶液A有： ，其中酒精有 ； 加入乙得到溶液 ，其中酒精有 ； 则溶液 A、B 相差 的乙溶液，酒精含量相差 ， 则乙溶液浓度为 ， 设甲溶液浓度为 则溶液A可知， ， 当加入乙时，浓度为 故答案为：31． 考点16：日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为． (1)的值能否为79？若能，求a的值；若不能，说明理由； (2)值能否为43，若能，求a的值；若不能，说明理由； (3)若，求的最小值为（直接写结果）． 【答案】(1)不能 (2)能，a的值为1或2 (3) 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解a、b的实际意义是解题关键． （1）设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他数字分别为、、，根据的值为79列方程，求出a的值，再根据a的实际意义分析，即可得到答案； （2）根据题意，将其他数字用a、b表示出来，然后根据值为43列方程，得到，再根据a、b的实际意义分析，即可得到答案； （3）根据，得到，再根据a、b的实际意义，找出满足条件的a、b的值，然后得出，即可求出最小值． 【规范解答】（1）解：（1）不能，理由如下： 设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他数字分别为、、， ∴， 解得：， 由月历可知，时，不能构成“T”型阴影， 即的值不能为79； （2）能，a的值为1或2，理由如下： 设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，则其他数字分别为、、， ∴， 设“田”型阴影覆盖的最小数字为b，则其他数字分别为、、， ∴， ∴， 整理得：， ∵a、b都是正整数， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件； 当时，，“T”型阴影条件不满足； ∴值能为43，此时a的值为1或2； （3）解：由（2）可知，、、， ∵， ∴， 整理得：， ∵a、b都是正整数， ∴满足条件的a、b的值为或或， ∵， 即当的值最小时，最小， ∴当时，时，有最小值，为， 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）如图1是2025年11月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，则这三个数的和为_____．（用含的式子表示）； (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为63，则这3个数分别是_____； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数；若不可能，请说明理由． 【答案】(1) (2)15，21，27 (3)不可能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用以及整式的加减，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）利用上边的数中间的数，下边的数中间的数，即可用含x的代数式表示出上边和下边的数，然后求和即可； （2）设中间的数为a，则另外两个数分别为，，根据题意列方程求解即可； （3）设这4个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，，根据这个数的和是68，关于的一元一次方程求解判断即可． 【规范解答】（1）解：根据题意得：①若中间的数为，则上边的数为，下边的数为， ∴； （2）设中间的数为a，则另外两个数分别为，， ∵这3个数的和为63， ∴， ∴ ∴， ∴这3个数分别是15，21，27； （3）设这个数中最小的数为b，则另外3个数分别为，，， 根据题意得：， 解得：，不是整数 ∴这4个数的和不可能是68． 考点17：古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，根据每人分4个梨，多12个梨可知梨的数量为个，根据每人分6个梨，可知梨的数量为个，据此列出方程即可． 【规范解答】解：由题意得，， 故答案为：． 【变式训练】（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 【答案】D 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据井深不变列出方程求解即可． 【规范解答】解：设并深为 尺，绳子长为 尺， ∵ 将绳三折测之，绳多四尺， ∴ ∵ 将绳四折测之，绳多一尺， ∴ ∴ 即 解得： ∴ ∴ 故井深 8 尺， 选项 A 方程错误，应为 ； 选项 B 绳子长应为 36 尺； 选项 C 方程错误，应为 ； 选项 D 正确， 故选：D． 考点18：其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．冰糖葫芦以朴素的外形和滋味，凝聚了中国人对团圆、幸福、坚韧的向往，成为跨越时空的情感载体． 元旦前夕，顾老师为了给学生们惊喜，采购了一批新鲜的山楂，计划制作冰糖葫芦送给学生们． 顾老师发现：若每串穿3个山楂，穿完所有完整的串后，还剩2个山楂；若每串穿4个山楂，穿完所有完整的串后，还剩1个山楂．并且当每串穿4个山楂时，完整的串数比每串穿3个山楂时少25串．已知山楂总数自采购后未变，请问顾老师采购了多少个山楂？ 【答案】采购了305个山楂 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，法一：设每串穿3个山楂的串数为串，则每串穿4个山楂的串数为串，根据“若每串穿3个山楂，穿完所有完整的串后，还剩2个山楂；若每串穿4个山楂，穿完所有完整的串后，还剩1个山楂”列出一元一次方程，解方程即可得解；法二：设采购了个山楂，根据“若每串穿3个山楂，穿完所有完整的串后，还剩2个山楂；若每串穿4个山楂，穿完所有完整的串后，还剩1个山楂．并且当每串穿4个山楂时，完整的串数比每串穿3个山楂时少25串”列出一元一次方程，解方程即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． 【规范解答】解：法一：设每串穿3个山楂的串数为串，则每串穿4个山楂的串数为串， 由题意可得：， 解得： 所以， 答：采购了305个山楂； 法二：设采购了个山楂， 由题意可得： 解得：， 答：采购了305个山楂． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 【答案】男生119名，女生51名 【思路点拨】本题考查一元一次方程的实际应用，设男生有名，则女生有名，根据男生挖的坑数等于女生种的树的数量，列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：设男生有名，则女生有名，由题意，得： ， 解得， ， 答：男生119名，女生51名． 考点19：配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生28人，女生22人 (2)4名 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设七年级一班有女生人，则有男生人，根据七年级一班共有学生50人，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套，根据制作盒底的总数量是制作盒身总数量的2倍，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设七年级一班有女生人，则有男生人， 根据题意，得， 解方程，得， ， ∴七年级一班有男生28人，女生22人； （2）解：设需要名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套， 根据题意，得， 解方程，得． ∴需要4名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 【答案】分配8名工人生产螺栓 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确得出等量关系列出方程是解答的关键． 设分配x名工人生产螺栓，则生产螺母的工人为人，根据题意找出等量关系列出方程并解方程即可． 【规范解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则名工人生产螺母， 因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， 所以可得，解得， 答：分配8名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套． 考点20：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）一本书，看了几天后还剩160页没看，剩下的页数比这本书的少20页，这本书有多少页？ 【答案】270页 【思路点拨】本题考查了分数混合运算的应用，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 设这本书有x页，根据“剩下的页数比这本书的少20页”这一条件列式求解即可． 【规范解答】解：设这本书有x页， 则，解得（页）． 答：这本书共有270页． 【变式训练】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 【答案】甲班植树棵数为，乙班植树棵数为 【思路点拨】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列出方程求解是解决问题的关键． 设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为，由甲班和乙班共植树31棵，列一元一次方程求解即可得到答案． 【规范解答】解：设甲班植树棵数为，则乙班植树棵数为， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 则乙班植树棵数为， 答：甲班植树棵数为，乙班植树棵数为． 1．（2024·江苏南京·中考真题）若整数a、b满足，则满足条件的的值是 ． 【答案】0或2或 【思路点拨】本题考查有理数加法，绝对值，掌握绝对值的意义和有理数加法法则是正确计算的关键．根据a、b是整数，而，因此有或或三种情况，进而求出相应的a、b的值，得出结论． 【规范解答】解：∵a、b是整数，而， 或或， 当时， 或， 或； 当时， 或，， 或； 当时， 或，或0， 或或； 综上所述，满足条件的的值是0或2或， 故答案为：0或2或． 2．（2024·辽宁沈阳·中考真题）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合．这时表示的点与表示的点也重合，则的值是 ． 【答案】50 【思路点拨】本题主要考查了数轴的折叠问题，熟练掌握折叠后重合的点关于对称中心对称，利用对称点的数量关系建立等式是解题的关键．先确定折叠后数轴的对称中心，再根据对称点到对称中心的距离相等这一性质，建立关于的等式求解． 【规范解答】解：∵ 折叠后表示的点与表示的点重合， ∴ 对称中心为． ∵ 表示的点与表示的点重合， ∴ ， 化简得，即， 解得． 故答案为：． 3．（2024·贵州遵义·中考真题）“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程，有理数乘方运算，解题的关键是根据题意，找到等量关系，正确求出，． 根据幻方的性质，“每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等”，可以得到，，求得，，即可求解． 【规范解答】解：根据幻方的性质，“每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等”， 得到，第一行与第一列的数字之和相等，即，解得， 第二行与斜向上的对角线上的数字之和相等，即，解得， 将，代入可得，， 故选：B． 4．（2024·四川绵阳·中考真题）某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 【答案】B 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．设机场到灾区的距离为s千米，根据速度变化导致的时间差建立方程求解． 【规范解答】解：设机场到灾区的距离为s千米， 根据题意，得， 解得， 故机场到灾区距离为1800千米， 故选：B． 5．（2024·陕西西安·中考真题）“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当时，或4．如图，在数轴上、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为___________； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？ 【答案】(1)1 (2)当或时，存在 (3)或 【思路点拨】本题考查数轴的应用和绝对值的意义，数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴中的数形结合思想是解题的关键． （1）根据题意由于点 P 到点 A、点 B的距离相等，所以点P在A、B两点之间，设点P对应的数为x，根据绝对值的意义可得到，解方程即可得到答案； （2）设点P对应的数为x，根据题意分情况讨论：①当点P在点A左侧时，②当点P在点B右侧时，③当点P在A，B两点之间时，分别表示出、的长，再根据，求出符合题意的x即可； （3）设t分钟后点P到点A、点B的距离相等．根据题意得到点P在t分钟后对应的数为，点A在t分钟后对应的数为，点B在t分钟后对应的数为，可得到，，由得到方程，解方程即可得到t的值． 【规范解答】（1）解：点P到点 A、点B的距离相等， 点P在A、B两点之间， 设点P对应的数为x， ， 解得， 点 P 对应的数为1， 故答案为：1； （2）存在， 设点P对应的数为x，由题可得： ①当点P在点A左侧时， ， ， 解得； ②当点P在点B右侧时， ， ， ， 解得， ③当点P在A，B两点之间时，由（1）可知，不合题意舍去， 综上所述：当或时，存在； （3）设t分钟后点P到点A、点B的距离相等． 点P对应的数为，点A对应的数为，点B对应的数为， ，， ， 或， 解得：或． 基础夯实 1．（25-26七年级上·重庆·期中）若与为同类项，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键； 根据同类项的定义，两个单项式中相同字母的指数必须相等，因此可列出关于和的方程求解． 【规范解答】∵ 与 为同类项， ∴ 的指数相等：， ∴ 的指数相等：， 解得：，， ∴ ． 故选：D． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据一元一次方程的定义，化简后只含一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐一判断各选项即可； 本题主要考查了 一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 【规范解答】解：选项A：含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 选项B：方程可化简为，该方程只含一个未知数 ，且未知数的最高次数为1，是整式方程，符合一元一次方程的定义，符合题意； 选项C：未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意； 选项D：分母含有未知数，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则的值是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了程序框图的计算，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据程序框图的运算法则建立一元方程求解即可． 【规范解答】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了方程的解，解一元一次方程，将代入方程中，求解m的值即可 【规范解答】解：是关于的方程的解， ，即， 移项得：，即， 解得：， 故答案为：． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，移项，再合并同类项，即可作答． 【规范解答】（1）解：∵ 移项 合并同类项得：， 系数化1得； （2）解：∵ 去分母得：， 移项得 合并同类项得：． 培优拔高 6．（25-26七年级上·北京·期中）王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了日历中数字的规律以及一元一次方程的应用．根据日历中数字的排列规律，设出其中一个数，表示出另外两个数，再根据三个数的和为45列出方程求解，判断是否符合日历数字特征． 【规范解答】、在日历中，同一列相邻两个数相差，设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，此时，，符合日历数字特征； 、设为，则，，它们的和为，若，则，不是整数，不符合日历数字特征； 故选：． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了解一元一次方程． 通过将分母中的小数化为整数，利用分数的基本性质，将分子和分母同时乘以10，得到新的方程即可． 【规范解答】解：将原方程两边的分子和分母同时乘以10得：， 故选：B． 8．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，输出的结果为5．若输出的结果是0，则输入的x为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是程序框图与方程的应用，先求解，再进一步求解即可． 【规范解答】解：由题意，开始输入x的值是4，输出的结果为5， ∴， 解得：， ∴， 当输出的结果是0时， ∴或， 当，解得：，不符合题意； 当，解得：，符合题意； 故答案为：． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则 ， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则 ． 【答案】 或 【思路点拨】（）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； （）求出两个方程的解，再根据定义解答即可； 本题考查了解一元一次方程，绝对值的意义，理解新定义是解题的关键． 【规范解答】解：（）解方程，得；解方程，得， ∵与是“差解方程”， ∴， ∴， 故答案为：； （）解方程，得；解方程，得， ∵方程与方程是“差解方程”， ∴， 即， 解得或， 故答案为：或． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）嘉淇解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为． (1)试求a的值； (2)求原方程的解． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了一元一次方程的解，解含分母的一元一次方程等知识，掌握解含分母的一元一次方程的步骤，注意每步不要出错． （1）按嘉淇错误的解法去分母后，再把代入去分母后的方程中，即可求得a的值； （2）把（1）中求出的a的值代入方程中，解方程即可． 【规范解答】（1）解：按方程左边的1没有乘以10，去分母得：， 把代入得：， 解得：． （2）解：把代入原方程，得， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.4 一元一次方程（章节复习） （知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：一元一次方程的概念 2 知识点梳理02：等式的性质 2 知识点梳理03：一元一次方程的解法 2 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 3 优选题型 考点讲练 3 考点1：等式的性质1 3 考点2：等式的性质2 3 考点3：解一元一次方程 3 考点4：已知一元一次方程的解求参数 4 考点5：绝对值方程 4 考点6：工程问题(一元一次方程的应用) 5 考点7：销售盈亏(一元一次方程的应用) 5 考点8：比赛积分(一元一次方程的应用) 6 考点9：方案选择(一元一次方程的应用) 6 考点10：数字问题(一元一次方程的应用) 7 考点11：几何问题(一元一次方程的应用) 8 考点12：动点问题(一元一次方程的应用) 8 考点13：电费和水费问题(一元一次方程的应用) 9 考点14：行程问题(一元一次方程的应用) 11 考点15：比例分配(一元一次方程的应用) 12 考点16：日历问题(一元一次方程的应用) 12 考点17：古代问题(一元一次方程的应用) 13 考点18：其他问题(一元一次方程的应用) 14 考点19：配套问题(一元一次方程的应用) 14 考点20：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 15 中考真题 实战演练 15 难度分层 拔尖冲刺 16 基础夯实 16 培优拔高 17 知识点梳理01：一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【要点提示】判断是否为一元一次方程，应看是否满足： ①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解． 4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 知识点梳理02：等式的性质 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 知识点梳理03：一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并同类项：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 知识点梳理04：用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 4.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 5.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 考点1：等式的性质1 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）若，则下列等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）下列说法中正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点2：等式的性质2 【典例精讲】（25-26七年级上·北京西城·期中）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练】（25-26七年级上·北京·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 考点3：解一元一次方程 【典例精讲】（2025七年级上·全国·专题练习）解下列方程： (1)； (2)． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）解方程： (1) (2) 考点4：已知一元一次方程的解求参数 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·单元测试）已知关于的方程有正整数解，则整数的所有可能的取值的和为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·月考）已知关于x的方程的解为正整数，则符合条件的所有正整数a的值的和是 ． 考点5：绝对值方程 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏泰州·期中）材料1：一般地，个相同因数相乘记为，如，此时3叫做以2为底的8的对数，记为（即：） （1）计算： ； ； 材料2：新规定一种运算法则：自然数1到的连乘积用表示，例如：，，，，……，在这种规定下： （2）求出满足该等式的的值； （3）当为 时，． 【变式训练】（25-26七年级上·广东梅州·期中）【综合与探究】已知数轴上两点A、B对应的数分别为、4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． （1）若点P到A、B的两点的距离相等，求出点P对应的数； （2）若点P在点A左侧，请化简； （3）数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由． 考点6：工程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需8天完成．现先由甲、乙合作，3天后乙有其他任务，剩下的工程由甲单独完成，甲还需要做多少天完成剩余工程？ 【变式训练】（2024七年级上·四川成都·专题练习）一项工程，甲独做要 12 小时完成，乙独做 18 小时完成．如果先由甲工作 1 小时，然 后由乙接替甲工作 1 小时，再由甲接替乙工作 1 小时……两人如此交替工作，那么： (1)完成任务时共用了多少小时？ (2)如果把条件中的“乙独做 18 小时完成”改为“乙独做 15 小时完成”，则完成任务时 共用了多少小时呢？ 考点7：销售盈亏(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·云南曲靖·期中）某商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么该商店卖出这两件衣服总的是（  ） A．盈利16元 B．亏损16元 C．盈利20元 D．亏损20元 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）某品牌电视的进价为1000元，售价为1400元，后由于出现了数字电视，商店准备打折出售，若盈利率为，则商店打几折？ 考点8：比赛积分(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）学校组织老师进行智力竞赛，共道题，答对一题得分，不答不给分，答错扣分，已知所有老师的总分为多分，且男老师总分为女老师总分的倍多分，答对总题数为答错总数的倍少题．又知每人恰好有道或道题未答．则男老师的总分 分． 【变式训练】（25-26七年级上·广西柳州·开学考试）某次数学竞赛有道题，答对一题得分，答错一题倒扣分，若小虎得了分，那么小虎答对了( )道题 ． 考点9：方案选择(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）某校老师带领该班学生去旅游，旅行社说：如果老师买全票一张，则其余学生可享受半折优惠．旅行社说：包括老师在内按六折优惠．若每张全票价是元，则 (1)学生数多少时，两家旅行社收费一样多？ (2)该校老师今年准备带名学生去旅游，选择哪家便宜，并解释原因． 【变式训练】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）下表是某地移动公司推出的两种话费收费方式： 收费方式 方式一 方式二 月租费 元/月 本地通话费 元/分 元/分 当本地通话 分钟时，两种收费方式一样；当通话时间为分钟时，选择 比较合算． 考点10：数字问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏·期中）【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【变式训练】（25-26七年级上·广东惠州·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中m的值为（    ）． A．2 B．4 C．7 D．9 考点11：几何问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有三个点．若点表示的数的和为0，则点表示的数是（   ） A．0 B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）点，，是数轴上的三个点，点表示的数是，点表示的数是3，并且B、C两点之间的距离是、两点之间距离的2倍，即．则点表示的数是 考点12：动点问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北黄石·期中）如图，将一条数轴在原点和点（表示）处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中点表示，点表示，我们规定：在“折线数轴”上，两点间的距离等于两点在折线路径上的实际长度（例如：点和点的距离为个单位长度）．动点同时出发：点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”正方向运动，当经过点后速度变为原来的一半（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒）；点从点出发，以单位秒的速度沿“折线数轴”负方向运动，当经过点后速度变为原来的两倍（即单位秒），到达点后立刻恢复原速（单位秒），设运动时间为秒，请解答下列问题： (1)点从运动到所需的时间为______秒； (2)当秒时，分别求出点在“折线数轴”上表示的数； (3)①当两点相遇时，求相遇点所对应的数； ②当点到的距离与点到的距离相等时，求的值． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）已知多项式的常数项是，次数是在数轴上分别表示的点是（如图），点与点之间的距离记作． (1)求的值； (2)动点从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度．同时点在数轴上运动，点的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为秒． ①若点向右运动，点向左运动，，求的值； ②若点向左运动，点向右运动，问是否存在常数，使得的值为定值？若存在，求出的值，且定值为多少？若不存在，说明理由． 考点13：电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 吨及以下 超过吨但不超过吨的部分 超过吨的部分 （说明：①每户的污水量等于该户自来水用量；②水费自来水费用污水处理费．） 已知小李家2021年7月用水16吨，交水费元，8月份用水25吨，交水费元． (1)求，的值； (2)如果小李家9月份上交水费元，则小李家这个月用水多少吨? 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用量；②水费＝自来水费用＋污水处理费） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 2.5 0.50 超过10吨但不超过25吨的部分 3 0.50 超过25吨的部分 4.5 0.50 (1)已知小李家2025年7月用水8吨，应该交水费多少元？ (2)如果小李家9月份交水费40.5元，则小李家这个月用水多少吨？ (3)小李家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水40吨（其中10月份用水超过25吨），一共交水费136元，求小李家11月份用水多少吨？ 考点14：行程问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2024七年级上·全国·专题练习）如下图，现有两条乡村公路和长长1600m．一个人骑摩托车从处以的速度沿公路匀速向处行驶；另一个人骑自行车从处以的速度沿公路匀速向处行驶，并且两人同时出发． (1)经过多少分钟摩托车追上自行车？ (2)两人均在行驶途中时，经过多少分钟在行进路线上相距150m？ 【变式训练】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·月考）已知，如图A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为，B点对应的数为9． (1)与A、B两点距离相等的M点对应的数是________； (2)现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数． (3)若当电子蚂蚁P从B点出发，以1个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以2个单位/秒的速度向右运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距4个单位长度？ 考点15：比例分配(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【变式训练】（24-25七年级上·四川成都·开学考试）（浓度问题）实验室有甲、乙两种酒精溶液，现在某容器中装有甲溶液．若加入乙溶液．得到的酒精溶液浓度为；若加入乙溶液，得到的酒精溶液浓度为．那么加入乙溶液时，得到的酒精溶液浓度为( )%． 考点16：日历问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北宜昌·期中）如图是2023年11月的月历，“T”型、“田”型两个阴影图形分别覆其中四个方格（可以重叠覆盖），设“T”型阴影覆盖的最小数字为a，四个数字之和为，“田”型阴影覆盖的最小数字为b，四个数字之和为． (1)的值能否为79？若能，求a的值；若不能，说明理由； (2)值能否为43，若能，求a的值；若不能，说明理由； (3)若，求的最小值为（直接写结果）． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）如图1是2025年11月的月历，数学老师在数学活动课上开展月历中的数学游戏． (1)任意框出图1某一列中相邻的3个数，若中间的数为，则这三个数的和为_____．（用含的式子表示）； (2)用图2框出图1中的3个数，若这3个数的和为63，则这3个数分别是_____； (3)用图3框出图1中的4个数，是否有可能这4个数的和是68？若有可能，求出这4个数；若不可能，请说明理由． 考点17：古代问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）“我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩重闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设有个人，则可列方程 ． 【变式训练】（2025·江西赣州·一模）《九章算术》中有一道“以绳测井”的题，大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设并深为x尺，所列方程为 B．绳子的长是32尺 C．设绳子的长为x尺，所列方程为 D．井深8尺 考点18：其他问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（25-26七年级上·北京·期中）冰糖葫芦是我国传统小吃，起源于宋代，一般是用竹签穿上山楂，再蘸上融化的冰糖液制作而成．冰糖葫芦以朴素的外形和滋味，凝聚了中国人对团圆、幸福、坚韧的向往，成为跨越时空的情感载体． 元旦前夕，顾老师为了给学生们惊喜，采购了一批新鲜的山楂，计划制作冰糖葫芦送给学生们． 顾老师发现：若每串穿3个山楂，穿完所有完整的串后，还剩2个山楂；若每串穿4个山楂，穿完所有完整的串后，还剩1个山楂．并且当每串穿4个山楂时，完整的串数比每串穿3个山楂时少25串．已知山楂总数自采购后未变，请问顾老师采购了多少个山楂？ 【变式训练】（25-26七年级上·重庆·期中）植树节这天，七年级170名学生志愿者参加植树活动，假设一名男生一天能挖树坑3个，一名女生一天能种树7棵，且男生只挖树坑，女生只种树．要求每个树坑种一棵树，那么该年级参加植树的男生，女生各有多少名？ 考点19：配套问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（2025七年级上·河北·专题练习）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数多6人，劳动技术课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身12个或盒底26个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配多少名工人生产螺栓，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套？ 考点20：和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【典例精讲】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）一本书，看了几天后还剩160页没看，剩下的页数比这本书的少20页，这本书有多少页？ 【变式训练】（24-25七年级上·河南省直辖县级单位·期中）学校开展植树活动，甲班和乙班共植树31棵，其中乙班植树棵数比甲班植树棵数的2倍多1，求两班各植树多少棵（用方程求解）． 1．（2024·江苏南京·中考真题）若整数a、b满足，则满足条件的的值是 ． 2．（2024·辽宁沈阳·中考真题）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示的点与表示3的点重合．这时表示的点与表示的点也重合，则的值是 ． 3．（2024·贵州遵义·中考真题）“九宫图”传说是远古时期洛河中的一只神龟背上的图案，故又称“龟背图”．数学上的“九宫图”是一个表格，其每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 4．（2024·四川绵阳·中考真题）某部队运送救灾物资到灾区，飞机原计划每分钟飞行12千米，由于灾情严重，飞行速度提高到每分钟15千米，结果比原计划提前30分钟到达灾区，则机场到灾区距离（　　） 千米． A．1600 B．1800 C．2050 D．2250 5．（2024·陕西西安·中考真题）“数形结合”是一种重要的数学思想方法．代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因此当时，或4．如图，在数轴上、对应的数分别为、3，点为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若点到点、点的距离相等，则点对应的数为___________； (2)数轴上是否存在点，使点到点、点的距离之和为若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当点P以每分钟1个单位长度的速度从原点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后点P到点A、点B的距离相等？ 基础夯实 1．（25-26七年级上·重庆·期中）若与为同类项，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26七年级上·湖北武汉·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·河北唐山·期中）任意给一个数，按下列程序进行计算．若输出的结果是15，则的值是 ． 4．（25-26七年级上·北京·期中）若是关于的方程的解，则的值为 ． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）解方程： (1)； (2)． 培优拔高 6．（25-26七年级上·北京·期中）王涵同学在某月的日历上圈出了三个数，，，并求出了它们的和为，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）把方程的分母化为整数可得方程（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是4，输出的结果为5．若输出的结果是0，则输入的x为 ． 9．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足（为正数），则称方程与方程是“差解方程”． （）若与是“差解方程”，则 ， （）若关于的两个方程与方程是“差解方程”，则 ． 10．（2025七年级上·全国·专题练习）嘉淇解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为． (1)试求a的值； (2)求原方程的解． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $