思维导图&课本知识集锦-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（人教版·新教材）河北专版

第十六章 a”÷a'=a"-(m, a”·a'=a""(m,同底数暴 同底数暴n为正整数，且 八年级数学思维导图 n为正整数) 的乘法 的除法m>n,a≠0） (a=a"(m, 单项式除以单项式 n为正整数) 暴的兼方 (ab)°=ab(n 式 式的除法 多项武除以单项式 第十三章 为正整数) 积的乘方 整式的乘法 乘 三边关系 三角形内三角形的内角 单项式乘以单项式 乘法 平方差公式。(a+b(a-b)=a2-b 与三 角和定理和等于180 直角三角形 单项式乘以多项式 完全平方公式(a±b=a2±2ab+b 锐角三角形按角 角形 三角形 三角形的外角和等于360 多项式乘以多项式 公式 有关 钝角三角形 的外角 的角 性质三角形的外角等于与它不 分类 三边都不相等的三角形 相邻的两个内角的和 念 性质直角三角形的两个锐角互余 第十七章 底边和腰不相等 按边 的等腰三角形 等胶 直角 有两个角互余的三 三角形 三角形 判定 角形是直角三角形 把一个多项式化成几个整式的乘积 等边三角形 提公因依搭，am+bm+em=m(a+h+c） 稳定性 三角形 与三角形有关的线段 中线、角平分线、高 的形式，这种变形叫作因式分解 式法 找公因式 因式 步骤 提公因式 分解 确定另一个因式 第十四章 多项式 几个整式的乘积的形式 与整 方 整式 写成乘积的形式 一般 边角边(SAS)角边角(ASA) 式乘 三角形 乘法 r2-b2=(a+b)a-b) 能够完全重合的两个图形全等形 全等三角 角角边(AAS)边边边(SSS】 法的 关系 因式 公式法 形的判定 直角 三角形 SAS.ASA.AAS.SSS 分解 a2±2ab+b=(a±b) 对应边相等 HL(只适用于直角三角形】 一提：有公因式的先提公因式 二套：套用公式 应 简便计算，求代数式的值 对应角相等 性质 全等三角形 角的平分线上的点到角 三检查，检查因式分解的结果 作一个角等于已知角 性质两边的距离相等 是否分解彻底 角的内部到角两边距离 作已知角的平分线 尺规作图 角的 平分线 判定相等的点在角的平分线上 第十八章 第十五章 轴对称、轴对称国形。有关概金 等腰 a c ac 三角形性质。等边对等角、三线合一 分母不为0 分式有意义的条件 分式的乘法运算。万·二b 线段垂直平分线上 判定。定义、等角对等边 分式的值 分 的点与这条线段两 三条边都相等，三 分子为0，且分母不为0为0的条件 个璃点的距离相等性质线段的鱼 个内角都相等且每 最简分式 的运 也y=(n为正整数) 与线段两个端点距离 直平分线 等 等边 性质一个内角都等千60加 A=A·GA=A÷C 算 分式的乘方。 相等的点在这条线段 称 定义 BB·CBB÷C分式的 同分母分式加成 的垂直平分线上 腰 判定 三角形 (C≠0) 基本性质 轴对称 判定三个角都相等的三角形 分式 分式的加诚法法则年分母分式加成 对应线段相等，对应角相等 有关 A·C=A 性质 有一个角为60 对称轴垂直平分连接对应点的线段。 的等腰三角形 B·C 负整数 蓝是。广仙0，n为正整 (C为公因式)结果为分式 分 指数暴 关于x轴对称的两个点横坐标 在直角三角形中，如果 最简分式或整式的约分 只科学记数法 相等，纵坐标互为相反数 含30°角的 一个锐角等于30°， 那 C.A-AD,C_BC 的性 概念 用坐标表 关于y轴对称的两个点横坐标 直角三角形么它所对的直角边等于 A和芳RBDD-RD分武 分式 解分式方程，注意一定要检险 示轴对称 互为相反数，纵坐标相等 的性质 斜边的一半 (分母都为BD) 的通分 方程 列分式方程解应用题 ②三角形的三条角平分线的交点位置：三角形的三条角平分 恩针对练习 第十三章三角形 线交于三角形内一点 1.如图.在△ABC中.点E是BC的中点，AB=7.AC=10.△ACE 考点①与三角形有关的线段 的周长是25，则△ABE的周长是() 【特别提醒】三角形的高、中线与角平分线的相同点：每个三角 A.18B.22 C.28 D.32 1.三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 形都有三条高、三条中线、三条角平分线，它们都是线授，它们 所组成的图形叫作三角形 所在的直线都交于一点 2.三角形的分类 (3)三角形的高 DE (1)按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形. ①定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶 第1题图 第2题图 (2)按边分类： 点和垂足所连的线段叫作三角形这条边上的高。 2.如图.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AE是高，若∠B 40°，∠C=60°，则∠DAE的度数是( 「三边都不相等的三角形 ②画法：作三角形的高的步骤：一靠（三角尺的一条直角边靠在 A.5 B.10° C.20°D.30° 三角形 (底边和腰不相等的等腰三角形 要作高的边上)，二移（移动三角尺使另一条直角边通过要作 等腰三角形 等边三角形 高的顶点)，三画（画垂线段）. 第十四章全等三角形 3.三角形的三边关系： 【特别提醒】作钝角三角形中镜角两边上的高，要先把这两条边 三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边 挺长 考点1全等三角形 4.稳定性：三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 2.性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 5.三角形的中线、角平分线、高 【拓展延伸】锐角三角形的三条高交于三角形内部，直角三角形 3.判定 (1)三角形的中线 的三条高交于三角形直角顶，点处，纯角三角形的三条高交于三 (1)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成 ①定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得的线 角形外部， “边角边”或“SAS”). 段叫作三角形这条边上的中线， (2)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成 考点2与三角形有关的角 “角边角”或“ASA”). ②重心：三角形的三条中线相交于一点，该 1.三角形内角和定理：三角形的内角和等于180， (3)两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全 点叫作三角形的重心 2.直角三角形的性质与判定 等（可以简写成“角角边”或“AAS”). 任何三角形的重心都在三角形的内部 (4)三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或 文字语言 几何语言 图示 ③三角形的中线分成的两个三角形的面积与周长的关系： (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简 面积关系：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分： 直角三角形的在Rt△ABC中，因为∠C 性质 写成“斜边、直角边”或“HL”) 两个锐角互余 90°，所以∠A+∠B=90° (如图，AD是△ABC的边BC上的中线，则SAm=SA) 【注意】用“SAS”判定两个三角形全等时，对应相等的角必须是 周长关系：三角形的中线将三角形分成的两个三角形的 有两个角互余在△ABC中，因为∠A+ 对应相等的两边的夹角，而不是其中一边的对角 周长之差等于另外两条边长之差 判定的三角形∠B=90°，所以∠C=90° (如图，AD是△ABC的边BC上的中线，AB>AC,则CAm 是直角三角形 即△ABC是直角三角形. 【方法点拨】判断两个三角形全等的常见思路 CAACD=AB-AC) 3.三角形的外角 已知两边找夹角-5As (1)定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角 找第三边→SSS 【拓展延伸】三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的 边为角的对边→找任一角一→AAS 形的外角。 距离之比为2：1， 找角的另一邻边一→SAS (2)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 已知一边一角 边为角的邻边{找边的另一邻角→ASA (2)三角形的角平分线 找边的对角→AAS 【拓展延伸】三角形的三个外角的和等于360°.三角形的外角 ①定义：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角 大于任何一个与它不相邻的内角 已知两角找夹边一ASA 找任一角的对边→AAS 的顶点与交点所连的线段叫作三角形的角平分线。 河北专版·八年级数学第1页 河北专版·八年缀数学第2页 河北专版·八年级数学第3页 知识集锦 番点2尺规作图 参针对练习 考点3尺规作图 1.作一个角等于已知角 1.如图，AC和BD相交于O点.若OA=OD.用“SAS”证明△AOB 1.作线段的垂直平分线 已知：∠AOB. ≌△DOC还需( 已知：线段AB.求作：线段AB的垂直平分线 米 求作：∠A'O'B,使∠A'O'B=∠AOB A.AB=DCB.OB=OCC.∠A=∠DD.∠AOB=∠D0C B 作法：()分别以点4和点B为圆心，大于B A 的长为半径作弧.两弧相交于C,D两点： (2)作直线CD,则直线CD就是线段AB的垂直平分线， 作法：(1)如图，以点0为圆心，任意长为半径作弧，分别交04， 第1题图 第3避图 2,经过已知直线外一点作这条直线的垂线 63 OB于点C,D: 2.点P在∠A0B的平分线上，点P到OA边的距离等于7，点Q 已知：直线AB和AB外一点C (2)作一条射线0A',以点0'为圆心，0C为半径作弧，交 是OB边上的任意一点，下列选项正确的是() 求作：AB的垂线，使它经过点C 0A'于点C: A.P0<7B.PQ>7C.PQ≤7 D.PQ≥7 作法：(1)以点C为圆心，适当长为半径作弧，交 (3)以点C为圆心，CD为半径作弧，与上一步中所作的弧 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=BD,DE⊥AB于点D.若AC 直线AB于点D和点E: 相交于点D: =9cm.则AE+DE (2)分别以点D和点B为圆心，大于2DE的长为半径作 (4)过点D'作射线O'B',则∠A'OB=∠AOB 2.作已知角的平分线 弧，两弧相交于点F: 第十五章轴对称 (3)作直线CF,则直线CF就是所求作的垂线 已知：∠AOB. 考点1①图形的轴对称 考点4画轴对称的图形 求作：∠AOB的平分线 作法：(1)以点0为圆心，适当长为半径作弧， 1轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部 1画轴对称图形的方法： 交OA于点M,交OB于点N: 分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形，这条直线就是它 (1)找：在原图形上找特殊点（如线段端点）：(2)画：画各个特殊 的对称轴， 点关于对称轴的对称点：(3)连：依次连接各对称点 (2)分别以点M,N为圆心，大于，N的长为半径作弧，两孤 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与 2.用坐标表示轴对称： 在∠AOB的内部相交于点C: 另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称， (1)点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,y): (3)作射线OC,射线OC为∠A0B的平分线 这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点 (2)点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y). 考点5等腰三角形 【拓展延伸】 3.性质 1.等腰三角形的性质 (1)作一个角等于已知角的理论依据是“SSS”: (1)轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段 性质1等腰三角形的两个底角相等（简写成 (2)作已知角的平分线的理论依据是“SS” 被对称轴垂直平分」 “等边对等角”)： (2)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应 性质2等腰三角形底边上的中线，高及顶角平分线重合（简写成 考点3角的平分线 点所连线段的垂直平分线， “三线合一”). 1性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。 考点2线段的垂直平分线 2.等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简写 2,判定：角的内部到角两边距离相等的点在角 成“等角对等边”) L,定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫 3.等边三角形的性质：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角 的平分线上 作这条线段的垂直平分线。 都等于60°. 【注意】 2.线段的垂直平分线的性质及判定 4.等边三角形的判定：①三边都相等的三角形是等边三角形：② 三个角都相等的三角形是等边三角形：③有一个角是60° 角的平分线的性质可直接用于证明线段相等，但运用时必须符 (1)性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距 的等腰三角形是等边三角形. 合两个条件：(1)点在角的平分线上：(2)点到角的两边都有垂 离相等。 5.含30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个 线段或可以构造出垂线段 (2)判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分 锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 线上 知识集锦：河北专板·八年级数学第4页 河北专版·八年级数学第5页 河北专版·八年级数学第6页 考点6最短路径问题 第十六章 整式的乘法 【归纳总结】 1.理论依据：“两点之间，线段最短”“垂线段最短”等 完全平方公式的常见变形： 2.常见类型 考点1 幂的运算 (1)a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ah: 1.幂的运算(m,n都是正整数) (2)(a+b)2=(a-b)2+4ab: 同底数暴 同底数暴 +P 暴的乘方 积的乘方 的乘法 的除法 (3)(a-b)2=(a+b)2-4ab: a÷a”=am (4)(a+b)2-(a-b)2=4ab: 在直线1， 法则 am·a"- (a)”= (ab)"= a"ba (a≠0.且m≥ (5)(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2): 在直线、上 n) 在直线【上求 在直线（上求 上分别求点 点P,使PA+ 一点P,使PA于 分别求点M H、N,使四边 g= a"b"= a"=a"÷a 6)w=a*6-(a-b91=2-29 题 PB值最小， PB值最小 N,使△PN的 形POMN的 逆用 a"·a (a")"= (a≠0，且m≥ 周长最小 周长最小 (a） (ab)" n) 3.添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各 2.零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即。=1(a≠0). 项都不变符号：如果括号前面是负号，括到括号里的各项 都改变符号. 【易错点拨】 分别作点P关 分别作点Q (1)运用同底数幂乘法法则时，要注意底数相同：单独一个宇母 恩针对练习 P关于直线 作B关于I的 于两直战的对 的指数为“1”，而不是“0” 1、12的对称 1.下列运算正确的是( 连接AB,与I对称，点B',连 称点P'和P 点Q'和P (2)运用积的乘方运算法则时，注意系数也要乘方 A.a0÷a2=a3 B.a2+a2=a' 法 交点即为P 接AB',与I交 连接P'Pm,与 (3)在进行幂的除法运算时，底数只是符号不同时，应先化成底 点即为P 两直线交点即 连接QP",与 数相同的形式，再运用同底数暴的除法法则进行计算 C.(a+b)2=a2+b2 D.(a2)3= 为M、N. 两直线交点 即为M、. 2.如果4n2-kab+b是一个完全平方式，那么k的值是( 考点2 整式的运算 A.4 B.-4 C.±2 D.±4 1.整式的乘法 (1)单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作 第十七章因式分解 P 为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它 的指数作为积的一个因式 考点1因式分解 (2)单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项 1.因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的 恩针对练习 再把所得的积相加.p(a+b+c)=pu+pb+pe, (3)多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多 式子变形叫作这个多项式的因式分解， 1.如图，△ABC和△A'BC关于直线1对称，下列结论：(1) 项式的每一项，再把所得的积相加.(a+b)(p+g)=ap+ag+p 【归纳总结】(1)因式分解的结采必须是整式的积的形式，每个 △ABC≌△A'B'C';(2)∠BAC=∠BA'C':(3)直线I垂直平 +bg. 2.整式的除法 因式必须是整式，且每个因式的次数都不高于原来多项式的次 分CC':(4)直线1平分∠CAC.正确的有( (1)单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对 数；(2)因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止 A.1个 B.2个 C.3个D.4个 于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个 因式 2因式分解与整式乘法的关系：多项式式分能儿个整式的乘积 整式乘法 (2)多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个 的形式。 单项式，再把所得的商相加. B-c 考点2提公因式法 考点3乘法公式 第1题图 第2题图 1平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 1.公因式：我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4,BC=3.AB=5,P、D分别 平方差.(a+b)(a-b)=a2-b. 各项的公因式 2.完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和， 2.提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个 是AC,AB上的动点，则BP+PD的最小值为() 加上（或减去）它们的积的2倍(a+b)2=a2+2ab+b2.(a-b)2=a2- 公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的 A.3 B.3.6 C.4.2 D.4.8 2ab+b. 形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。 河北专版·八年缀数学第7页 河北专版·八年缀数学第8页 河北专版·八年级数学第9页知识集锦 考点3分式的运算 考点4分式方程 【注意】提取公因式后，另一个固式的项数与多项式的项数相 同，不能漏项.特别注意，当多项式中的某一项与公因式相同或 L.分式的乘除 1,分式方程的定义：分母中含未知数的方程叫作分式方程 2.解分式方程的一般步骤 互为相反教时，公因式被提出后，应在该项的相应位置补上“1 (1)乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积 或“-1”，而不是“0”， 作为积的分母 分武方想去分子*式方视 解整式方程 3.用提公因式法分解因式的一般步骤 a.e_a·c bd6·d 目标 =m (1)确定多项式的公因式：(2)提出这个公因式：(3)确定另一个 因式（用多项式除以公因式，所得多项式即为另一个因式）：(4) (2)除法法则：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后 检验 与被除式相乘 最简公分 写成乘积的形式 最简公分 龙=m是分武 许不为0 母为 x=不是分 告点3公式法 ac_a,d_a·d 方程的解 式方程的解 1.用平方差公式分解因式：a2-b=(a+b)(a-b) bdb`c6·e 3.列分式方程解决实际问题的一般步骤：审，设，列，解，验，答 2.用完全平方公式分解因式：a2+2ab+b=(a+b)2:a2-2ab+b2=(a-b)2 2.分式的乘方：分式乘方要把分子，分母分别乘方 4.实际应用中的常见的基本数量关系 感针对练习 (-(a是正整数)。 (1)行程问题：路程=速度×时间； L.下列因式分解正确的是( (2)工程问题：工作总量=工作效率x工作时间： A.x2-y2=(x-4r)(x+4y） 3.分式的加减：①同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 (3)利润向题：利润=售价-进价，利润率=利润 逊价×100% B.ax+ay-+a=a(x+y） a,ba±b efe=e 恩针对练习 C.a(x-y)+b(y-x)=(x-y)(a-b) D.x2+4x+1=x+12 ②异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减 1.当x=1时，下列分式无意义的是() a,c ad be ad±b B.+1 C. D.*1 第十八章分式 bd bd bdbd 2.可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，1©m可燃冰的质量 4.分式的混合运算： 考点1分式的相关概念 仅为0.00092kg.数据0.00092用科学记数法表示 1.分式：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么 先算乘方，再算乘除，最后算加减：若有括号，则先算括号里面的： 为() 同级运算，按从左到右的顺序进行计算 A.92×10-3 B.9.2×10C.92×105 D.0.92×10 式子到作分式 3.下列计算正确的是( 2.分式有意义的条件：分式的分母不能为0. 5负整数指数幂：a”= (a≠0，n是正整数). 111 111 A. B 3.分式的值为0的条件：分式的分子等于0，且分母不 6.科学记数法 x y x-y x y xy 等于0. xx+11 D. 1,L=0 梦点2分式的性质 较大的数 较小的数 C.3y 3y 3y x-y y-x 4.某校修建一条400米长的跑道，开工后每天比原计划多修10 1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个 米，结果提前2天完成了任务.设原计划每天修x米，那么根 不等于0的能式，分式的值不支用式子表示为分合：合 把一个较大的 据题意可列出方程( 正数写成a×10 把一个小于1的正数表示为a×10 400400 B 400400 CC≠0.3中A,ac是整式 定义 (1≤a<10,n为 =2 (1≤a<10,n为正整数)的形式. ”x-10x x+10x 正整数)的 2.约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式 形式 c.400400 =2 x-10 00 D. 约去，叫作分式的约分. 3x 3.最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式 5若 1 ,则A等于 4.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成 这个数的整数 这个数左起第一个非0数字前面所 n的确定 与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分 部分的位数减 有0的个数（包括小数点前面 6.若关于x的分式方程3红 m+2的解为负数，则m的取值范 方法 x-11- 5.最简公分母：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分 去1 的那个0) 围是 母，它叫作最简公分母 知识集锦：何北专版，八年级数学第10页 河北专版·八年级数学第11页 河北专版·八年级数学第12页答案详解详析·易错剖析 (4)∠1+L2=2A.理由：连接AP.∠1=∠PP+∠FP,∠2=LEP+∠EPL 《知识集锦》答案 +∠2=∠FAP+LFPA+LEAP+∠EPA=∠BAC+LEPF..LRAC=LEPF,∴LI+L2 2∠B4C,即∠1+∠2=2∠L 第十三章三角形 基础知识抓分练2 LB 2.B【解析】∠B=40,∠G=60,.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40P-60°=80°， 上【折1D作DE.是E.合RC.EB.C六DE A0是∠riC的年分线-∠B1D=Ln4C=号∠B4C=子×80=40.∠ADC=∠B: DG=3,:B=10,△ABD的面积=，B·DE= 了×10x3=15.故选C (2)由图可知，A(-1,2),B,(-3.1),C,(2,-1) (3)5am3x5×2x1-2×3x32×2x5-2 ,LAEC=90°.∠DAE=∠AEC-LAD0 3.A 4.75°【解析】：△ABC≌△DBE,LCBE=LABC=30°，BC=BE,∠BCE=∠BEC=↓ 11.解：(1)：DM,N分别垂直平分边AG和边BC.MC=AMA,G=NB.,△N的周长 =CM+CN+MN=MA+NB+MN=AB=7: 第十四章全等三角形 (2)连接CEDM,EN分别垂直平分边AC和边BC,,∠CDF=∠CEF=90°， 1.B 180-30)=75 ∠MFN=720,之∠ACB=180P+1809-g0-90°-T2=108°，.∠A+∠B=180-108°= 2.D 84 3.9m【解析DE⊥AB,∠C=0,.∠C=∠BDE=90°，在H△(BE和△DE中， 6.(1)证明：由题意得：∠B0=∠0DC=90°.0B=0C,∠B0C=0°，∴∠C0D+∠B0E= .∠CA∠A,∠NCB=∠B,∠ACM+∠BCV=∠A+∠B =36 {=BD△GBE≌△E(Hl)CE=E,A+DE=A+GE=AG=m RE=BE ∠C0n+∠OCD=90°，B0E=∠0CD,在△B0E和△0D中， 12.解：(1)BD垂直平分线段AC(答不唯一) 第十五章轴对称 OB=0C 3)E明：街t时的生项口，∠：A》=∠4，∠B4D=∠B4E.∠ADB=∠AB=0 △W0≌△AAS): I.D AD=AF=AE,-,∠EAF=2∠BAC.∠AEF=∠AFE.,∠EAF+2∠AEF=182,,2∠BMC+ 2.D【解析】是长BC至B,隐CB=BC,连接AB",行BE⊥AB于点E,LACB=90, (2)解：由(1)得：△0Ea△0CD.0E=D,BE=D,,DE=0D-0E=E-CD=2-1.3 2∠AEF=180P.,∠AC+∠AEF=90P.,∠FEG+∠AEF=90P,∠AC=∠FEG =07(m),由圈意得：4D=08m.AE=AD+DE=0.8+07=1,5(m),答：妈好是在更离 AC18B'.CB'=BC,:'.AB'=AB=5,Saum ==2x-x3x4=12.AB.B'E 地面1,5▣的地方接住方方的. 基础识抓分练4 L C 2.B 3.D 12BE=4.8,“BC=CB,AC⊥B:AC是B"的◆直平分线BD=BP,8P4P四 7.解：(1)如因所示 4.B【解析]连接CE,:△AG是等边三角形，AD是中线，.AD垂直平分C,5= =B'P+PDBE,,当点D与点E重合时，BP+PD最小，则BE=BD=4,8,BP+PD的 C,二BE+EF=EC+EF,.当点C,点E,点F三点共线，且CF⊥AB时，C+EF值最小， 表小值为4,8.故选D 4 即BE+EF的值最小.：△ABC是等边三角形，AD1BC,CF⊥AB,AD=CF量6，背BE+ 第十六章整式的乘法 F的小值是6.故这B LD 2.D (2)①8 s.C 第十七章因式分解 理由：如图，由题意可知，4C=CD=20米.DE=8米，∠A=0°，LD=0°，，∠A=∠D 1.G 在△Ac和△DEC中，C A=LD 6.D【解折小：在△BG中，∠AC和LACB的平分线相交于点)，∠0BC=了AC, 第十八章分式 1.A2.B3D4.D 艺M2CE广△MG2△DEG(ASA.AB=E=8米. ∠CB 5【解折 31 x 小明的方案是正确的， 基础知识抓分练3 =1809-(∠OBC+∠0CB)=90°+ 2∠A,故②正确：在△ABC中，∠ABC和LACB的年 6心-2【得折1得方粒-2关于的分式方程高吕2的部为负气 分找相交于点0，∠0BC■∠0BE,∠0B=∠CF,EF∥BC, ∠BC∠E0B. 2.A 【解析】由意可得，1+m=-3,1-=2,m=-4,n=-1,m+=-4+(-1)=-5故 m-20,101m-21{0杯屏-2 =BE+CF,①正确：过点0作0M⊥AB于M,作0N⊥BC于N,接0M,在△AC中， 【概念回顾】点(,y)关于x柏对称的点的坐标为(x,y):点(，y)关干y对移的点的 标为(-x,y) ∠ABC和∠ACB的平分我相文于点0,0N=0D=0M=mSAg=5ae+54r=】5 《回头练》答案 3.D4.C ·OM+AF·0D=OD·(AE+AF)=5mn,故④正确：在△ABC中，∠ABC和 5.C【解析】连接CE,线段AB,DE的色直平分线交于点C,CM=CB,CE=CD, 基础知识抓分练1 LABC=LEDC=72=∠DEC,.∠ACB=∠ECD=36°，.∠ACE=∠BCD,在△ACE和 ∠ACB的平分线相交于点)，点0到△AC各过的范离相等，故③正确，故速D 7.21或248.6 1.A2.A3B4.C (CA △BCD中， =∠BCD,△ACE≌△BCD(SAS),∠AEC=∠BDC,∠AEC 9.45或0P或9r【解析】∠ACB=120,∠PCB=a,.∠ACP=12P-a,①当PC=PD CE=CD 时，此时∠PCD=∠PDC=120-a,∠CPD4∠PCD+∠PDC■180°，30°4(120°-a)4 ∠acD,Lpc=Im-LPmc-Ln=18mr-3∠i0c3LAcn=10- ∠BC=a.别∠BDE=72°-a,∠(CEB=92°-a,,∠BED=∠DEC-∠CEB=72-(92-) (120°-a)180 CPD (∠A0C =a-20,,在△BDE中，∠EBD=180°-(72°-a)-(-20)=128,故选C. 120 当CD=fPD .30* )+30 80°，=0,此时 P与点B重 6,C【解折】D,·EF是AD的垂直平分线，，E=ED,,∠EAD=∠EDL.,·EF是AD的 12 品a=0°综上可物，点P在 +∠ACD)=180-。 X(180P-50)=15 来直单分：FA=FD,, AD平分LBAC. FAD=/CAD 0我90°时，△P℃D的形是等三 6.(m+2a)7.①3 、之力云分宋装甜◆ 不二定立.④由02 10.解：CD⊥AB于点D,∠CDB=90,∠BD=30°.BD=1.∴BC=2BD=2,∠B= FAD=∠CAD,又∠EDA=LB+∠FAD,∠EAD=∠CAD+LCAE 90°-∠BCD=60P.∠ACB=90.∴，∠A=90P-∠B=30P.AB=2BC=4.∴，AD=AB-BD 8.12100【解折】由题知，与km1时.m。1:当k=2时，微=2：当k=3时，刚m4:当k4 时，有如下情说 ∠B=LCAE故选C 114411234】44313341344444以m=6 9,当=6时，m= 7.100 11.(1)证明：：EF是AB的中垂线，∴DA=0B,:AB=AC.D为G中点，AD⊥BC,.AD 以此类推，当=5时 12:-图为1=1.2=1+1.4=1+2+1.6=1+2 HC的中线·)= 2+1.9=1 2+3+3+2+1,…,所以当k=19时，m=1+2+3+4+5+6+7+8 【解析】设∠BFG=,∠1=∠2=B,由折受得：∠GFF=∠B"C=,∠=∠CF (2)解：AB=AC,D为BC中点 .∠DAC=∠BAD=20°，∠BAC=40,F是AB的 2+1-100 中垂线EF 50°，0A0C,∠0Ct=∠0AC20,.∠C0F 9,解：(1)AD是△ABC的高.，∠ADB=90,乙RD=65∠ABD=0-65=25 ∠B'CR=90.L1+LCBG=∠CrG+LFFB=W0,LFWB=∠1=B.CE FF.∠B'FB=∠FBE,.B=2a,CDB,六∠CEF=∠AFE=a+B=∠CEF,△FE OCA 0=30 CE是△ACB的角平分线，LACB=50,LECB=3∠ACB=25.∠ABC=∠ABD 12解：(1)设点M,V运动x秒时，M,N两点重合，×1+12=2x,解得x=12,即点M,N运动 ∠ECB=250+25=50°： 中，∠FER+ZBF8LFgE=180e888=1807a=180a1②∠ 12时.N两点重合： (2)设点M.N运动：秒时.可得到等边三角形AN,AM=×1=,AV=AB-BN=12-2, ,,AF=FC.△BCF与△BAF的周长差为3.(BC+CF+BF)-(AB :三角形WN是等边三角形，1=12-2，解得1=4，，点1W、N运动4秒时.可得到等 AF+BF)=3..BC-AB=3,AB=9.BC=12. B=2a=60 边三角形AMN: 2 2)240 (-1,1)【解析1由题意P(-1,1),P(1,3),P(-1,-3),P(5,3),P(-1,1),P与 2=180 ∠A+∠AN.∠A+∠AN P重合，四次一个循环，20244=56.P与P,重合，P8(-1,I) 运动的时间为16秒， 10.解：(1)△4，B,C,如图所示： 是等腰三商移，一N=M, AN=∠ 问北专版·八年级数学第1页