第43讲 用空间向量在立体几何中的应用讲义——2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题精讲及课时精练 第43讲 空间向量在立体几何中的应用 【基础回顾】 知识点1：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点2：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点3：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一 用空间向量证明平行和垂直 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，F是PB上的点且2PF＝FB． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面EFD与平面ADF夹角正弦值． 2．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，其中AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝4，AB＝2．点E、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点． （1）证明：平面PEF∥平面GAC； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值． 3．如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2． （1）求证：BD⊥平面ADM； （2）求直线AD与平面MBD所成角的大小； （3）求点D到平面AMB的距离． 4．如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD．如图2，BD的中点为O． （1）求证：AO⊥平面BCD； （2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由． 5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝2，CA⊥CB，，点M，N分别为棱AB，B1C1的中点． （1）证明：MN⊥CA1； （2）求点A到平面 MNC 的距离． 题型二 用空间向量求空间角 【例题精讲】 1．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，若AC＝BC＝2，，点P为线段B1C1的中点，则直线CP与直线A1B所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知四边形ABCD，ABEF均为矩形，且AB＝2BC＝2AF，二面角C﹣AB﹣F的大小为60°，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　） A．AC1＝6 B．AC1⊥BD C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 （多选）4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，，M为棱A1C1的中点，N为棱BB1上的动点（与端点不重合）．以C为坐标原点，垂直于平面BCC1B1的直线为x轴，直线CB，CC1分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A．点A关于Cyz平面的对称点的坐标为 B．的取值范围为（﹣2，4） C．存在点N，使得平面ACN的一个法向量为 D．若BN＝1，则点C1到平面ACN的距离为 （多选）5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（　　） A．当λ＝μ时，直线BP∥平面CB1D1 B．当λ+μ＝1时，线段CP长度的最小值为 C．当λ+μ＝1时，直线CP与平面BCC1B1所成的角不可能为 D．当时，存在唯一点P使得直线DP与直线CB1所成的角为 题型三 用空间向量求空间距离 【例题精讲】 1．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点E到平面QGC的距离是（　　） A．2 B． C． D． 2．已知为直线AB的一个方向向量，点A（1，2，﹣1），P（2，﹣1，2），则点P到直线AB的距离为（　　） A．4 B． C． D． 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为（　　） A． B． C． D． 4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为　 　 ． 5．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，点E是棱PB的中点，则直线AD与平面PBC的距离为　 　 ． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知空间向量，，，向量，且x+2y+4z＝4，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则圆锥母线与底面所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 3．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，，M，N分别是B1C1，A1B1的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值（　　） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA，AB＝AC＝2，则点A到平面PBC的距离为（　　） A．1 B． C． D． 6．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，点M，N，P分别为A1B1，BC和AD的中点，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°且．记MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，二面角M﹣PN﹣B的平面角为γ，则（　　） A．α＞β＞γ B．β＞γ＞α C．γ＞α＞β D．α＞γ＞β 8．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论正确的是（　　） A．AM⊥B1M B．CD1∥平面A1BP C．AM与A1B1所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 （多选）10．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，对角线AC交BD于点O，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为120°，则（　　） A．BD⊥平面AOC B．平面AOC⊥平面BCD C．点A到△BCD所在平面的距离为 D．四面体A﹣BCD的外接球的表面积是28π （多选）11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（　　） A．λ＝μ时，C1B1∥平面D1PQ B．时，四面体APQD1的体积为定值 C．时，∃λ∈（0，1），使得A1Q⊥平面D1PA D．若三棱锥P﹣CBD的外接球表面积为，则 三．填空题（共3小题） 12．已知在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则异面直线DB1与A1D1所成角的余弦值为 　 　 ． 13．棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱A′D′上的动点，F是棱BC的中点，当直线EF与A′C所成角最小时，△AEF的面积为 　 　 ． 14．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，，BC＝4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为 　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2． （1）求证：BD⊥平面ADM； （2）求直线AD与平面MBD所成角的大小； （3）求点D到平面AMB的距离． 16．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥DC，∠DCC1＝60°，平面CC1D1D⊥平面ABCD，点E，F满足，． （1）求证：AE∥平面BDF； （2）求直线CD与平面BDF所成的角θ的正弦值． 17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点． （1）求证：CM∥平面PAB； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥DC1． （1）证明：AD⊥平面BB1C1C； （2）若，二面角C﹣AC1﹣D的大小为． ①求AC与平面ADC1所成角的正弦值； ②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E﹣ADC1的体积为，求E的轨迹的长度． 19．已知四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AD﹣B为直二面角，ADCD＝2SD＝4BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ASD＝90°，M为棱DA上一点． （1）证明：SA⊥SC； （2）若M为DA中点，求二面角B﹣SC﹣M的正弦值； （3）若BM∥平面SCD，点N在平面SMB上，若直线AN与平面SCD所成角为，求MN的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题精讲及课时精练 第43讲 空间向量在立体几何中的应用 【基础回顾】 知识点1：向量法证明平行、垂直 （1）平面的法向量： 如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量． 注意： ①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有． 第一步：写出平面内两个不平行的向； 第二步：那么平面法向量，满足． （2）判定直线、平面间的位置关系 ①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． ②直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为． 若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 知识点2：空间角公式 （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式： 设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． 知识点3：空间中的距离 求解空间中的距离 （1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算． 如图，设两条异面直线的公垂线的方向向量为，这时分别在上任取两点，则向量在上的正射影长就是两条异面直线的距离．则即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值． （2）点到平面的距离 为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线． 题型一 用空间向量证明平行和垂直 【例题精讲】 1．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，F是PB上的点且2PF＝FB． （1）求证：PA∥平面EDB； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求平面EFD与平面ADF夹角正弦值． 【答案】（1）连接AC，交BD于点M，连接ME，如图： 因为底面ABCD为正方形，所以M为AC中点， 又E为PC中点，所以PA∥ME，ME⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB； （2）因为PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DA，DC，DP两两垂直， 故可以D为原点建立如图空间直角坐标系，不妨设AB＝6， 则D（0，0，0），A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），P（0，0，6）， 因为E为PC中点，所以E（0，3，3）， 因为F在PB上，且2PF＝FB，所以F（2，2，4）， 所以（6，6，﹣6），（0，3，3），，， 因为，， 所以PB⊥DE，PB⊥DF， 又DE，DF⊂平面EFD，DE∩DF＝D， 所以 PB⊥平面EFD； （3）． 【解答】证明：（1）连接AC，交BD于点M，连接ME，如图： 因为底面ABCD为正方形，所以M为AC中点， 又E为PC中点，所以PA∥ME，ME⊂平面EDB，PA⊄平面EDB， 所以PA∥平面EDB； （2）因为PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，所以DA，DC，DP两两垂直， 故可以D为原点建立如图空间直角坐标系，不妨设AB＝6， 则D（0，0，0），A（6，0，0），B（6，6，0），C（0，6，0），P（0，0，6）， 因为E为PC中点，所以E（0，3，3）， 因为F在PB上，且2PF＝FB，所以F（2，2，4）， 所以（6，6，﹣6），（0，3，3），，， 因为，， 所以PB⊥DE，PB⊥DF， 又DE，DF⊂平面EFD，DE∩DF＝D， 所以 PB⊥平面EFD； （3）由（2）得，平面EFD的一个法向量为（6，6，﹣6）， 设平面ADF的法向量为， 则， 令y＝2，可得（0，2，﹣1）， 设平面EFD与平面ADF的夹角为θ， 则， 所以． 2．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，其中AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2BC＝2PA＝4，AB＝2．点E、F、G分别为线段AD、DC、PB的中点． （1）证明：平面PEF∥平面GAC； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）连接BE，交AC于点O，连接OG， 由题意知，AE＝2＝BC，AE∥BC， 所以四边形ABCE是平行四边形， 所以O是BE的中点， 又G是PD的中点，所以OG∥PE， 因为E，F分别为AD，CD的中点， 所以EF∥AC， 又OG∩AC＝O，OG、AC⊂平面GAC，PE∩EF＝E，PE、EF⊂平面PEF， 所以平面PEF∥平面GAC． （2）． 【解答】（1）证明：连接BE，交AC于点O，连接OG， 由题意知，AE＝2＝BC，AE∥BC， 所以四边形ABCE是平行四边形， 所以O是BE的中点， 又G是PD的中点，所以OG∥PE， 因为E，F分别为AD，CD的中点， 所以EF∥AC， 又OG∩AC＝O，OG、AC⊂平面GAC，PE∩EF＝E，PE、EF⊂平面PEF， 所以平面PEF∥平面GAC． （2）解：因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， 所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，4，0），G（1，0，1）， 所以（2，﹣2，0），（0，﹣4，2），（1，2，﹣1）， 设平面PCD的法向量为（x，y，z），则， 取y＝1，则x＝1，z＝2，所以（1，1，2）， 设直线GC与平面PCD所成角为θ， 则sinθ＝|cos，|， 故直线GC与平面PCD所成角的正弦值为． 3．如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2． （1）求证：BD⊥平面ADM； （2）求直线AD与平面MBD所成角的大小； （3）求点D到平面AMB的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）45°； （3）． 【解答】解：（1）证明：根据题意可知，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点， AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2， 取AB中点为N，连接DN， 因为AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2， 所以NB∥CD，AN＝NB＝CD＝BC＝1， 故四边形BCDN为正方形， 所以DN⊥AB，所以DA＝DB， 故∠DAB＝∠DBA＝45°，即∠ADB＝90°，所以AD⊥DB， 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， BD⊂平面ABCD，故BD⊥平面ADEF，即BD⊥平面ADM； （2）根据（1），则AD⊥DB，AD⊥DE，DE⊥DB， 以点D为原点，分别以DA，DB，DE方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由AB＝2CD＝2BC＝2，则CD＝BC＝1， ， 故， 所以， 设平面MBD的法向量为， 则，令x＝1，得， 设直线AD与平面MBD所成角为θ， 故sinθ＝|cos， 故θ＝45°，故直线AD与平面MBD所成角为45°； （3）根据（2），则， 设平面AMB的法向量为， 则，令a＝1，得， 故点D到平面AMB的距离为， 故点D到平面AMB的距离为． 4．如图1，在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，，将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD．如图2，BD的中点为O． （1）求证：AO⊥平面BCD； （2）若AD的中点为G，在线段AC上是否存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为？若存在，求出点H的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解答； （2）存在，点H位于线段AC靠近A的三等分点处． 【解答】解：（1）证明：因为AB＝AD，BD的中点为O，所以AO⊥BD， 又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD， 所以AO⊥平面BCD； （2）取DC的中点为M，连接MO，则MO∥BC， 由图1直角梯形可知，ABMD为正方形， 所以BM＝CM＝1，，DC＝2，所以BD⊥BC，BD⊥OM． 由（1）知，AO⊥平面BCD，所以OD，OM，OA两两互相垂直， 以O为坐标原点，分别以OD，OM，OA所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则O（0，0，0），，，，， 设，所以， 所以，， 设平面GHB的法向量为，则，， 所以， 取x＝λ，则， 由AO⊥平面BCD，取平面BCD的一个法向量为， 设平面GHB与平面BCD的夹角为θ， 则， 解得或λ＝﹣1（舍）． 所以线段AC上存在点H，使得平面GHB与平面BCD夹角的余弦值为.点H位于线段AC靠近A的三等分点处． 5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA＝CB＝2，CA⊥CB，，点M，N分别为棱AB，B1C1的中点． （1）证明：MN⊥CA1； （2）求点A到平面 MNC 的距离． 【答案】（1）证明：根据题意可得CA，CB，CC1两两相互垂直， 故建系如图： 则M（1，1，0），N（0，1，），C（0，0，0），A1（2，0，）， 所以，， 所以2+0+2＝0，所以MN⊥CA1； （2）． 【解答】解：（1）证明：根据题意可得CA，CB，CC1两两相互垂直， 故建系如图： 则M（1，1，0），N（0，1，），C（0，0，0），A1（2，0，）， 所以，， 所以2+0+2＝0，所以MN⊥CA1； （2）由（1）可知A（2，0，0），M（1，1，0），N（0，1，），C（0，0，0）， 所以，，， 设平面MNC的法向量为， 则，取， 所以点A到平面 MNC 的距离为． 题型二 用空间向量求空间角 【例题精讲】 1．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，若AC＝BC＝2，，点P为线段B1C1的中点，则直线CP与直线A1B所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：AC＝BC＝2，，点P为线段B1C1的中点， 可得CP2， A1B ， ， ， 所以•2 ＝0﹣0﹣3+00＝﹣1， 所以cos，， 所以直线CP与直线AB1所成的角的余弦值为|cos，|． 故选：D． 2．如图，已知四边形ABCD，ABEF均为矩形，且AB＝2BC＝2AF，二面角C﹣AB﹣F的大小为60°，则异面直线AC与BF所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由已知，，， 所以 ， 由四边形ABCD，ABEF均为矩形，则AB⊥BC，AB⊥AF，BE⊥AB，BE∥AF， 则二面角C﹣AB﹣F的平面角∠CBE＝60°，不妨令AB＝2BC＝2AF＝2， 所以，， 所以，所以异面直线AC与BF所成角的余弦值为． 故选：C． 3．如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　） A．AC1＝6 B．AC1⊥BD C．向量与的夹角是60° D．BD1与AC所成角的余弦值为 【答案】B 【解答】解：对于A：， ∴2222+2•2•2• ＝36+36+36+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°+2×6×6×cos60°＝216， 所以|AC1|，选项A错误； 对于B：（ ）•（） ＝6×6×cos60°+36+6×6×cos60°﹣36﹣6×6×cos60°﹣6×6×cos60°＝0， 所以•0，即AC1⊥DB，选项B正确； 对于C：向量 与 的夹角是180°﹣60°＝120°，所以向量 与 的夹角也是120°，选项C错误； 对于D：BD1， 得||²＝（ ）²， ∴||6， 同理，可得||＝6 ∵（ ）•（）＝18+18﹣36+36+18﹣18＝36， 所以cos，，所以选项D错误． 故选：B． （多选）4．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，，M为棱A1C1的中点，N为棱BB1上的动点（与端点不重合）．以C为坐标原点，垂直于平面BCC1B1的直线为x轴，直线CB，CC1分别为y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（　　） A．点A关于Cyz平面的对称点的坐标为 B．的取值范围为（﹣2，4） C．存在点N，使得平面ACN的一个法向量为 D．若BN＝1，则点C1到平面ACN的距离为 【答案】ACD 【解答】解：根据题意可得A（，﹣1，0），所以点A关于Cyz平面的对称点的坐标为（，﹣1，0），所以A选项正确； 又M（，，2），C（0，0，0），N（0，2，t），t∈（0，2）， 所以，， 所以1+2t∈（1，4），所以B选项错误； 因为，设平面ACN的法向量为， 则，当时，t＝1，满足题意，所以C选项正确； 若BN＝1，t＝1，则N（0，2，1），平面平面ACN的一个法向量为， 又， 所以点C1到平面ACN的距离为，所以D选项正确． 故选：ACD． （多选）5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P满足，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则以下说法正确的是（　　） A．当λ＝μ时，直线BP∥平面CB1D1 B．当λ+μ＝1时，线段CP长度的最小值为 C．当λ+μ＝1时，直线CP与平面BCC1B1所成的角不可能为 D．当时，存在唯一点P使得直线DP与直线CB1所成的角为 【答案】ABC 【解答】解：对于选项A：当λ＝μ时，，即点P在线段DA1上， 利用正方体的性质，易证平面A1BD∥平面CB1D1， 又∵BP⊂平面A1BD， ∴BP∥平面CB1D1，故选项A正确， 对于选项B：当λ+μ＝1时，可知P，D1，A三点共线，线段CP在△ACD1中， 当点P为A1D的中点时，CP最小， 此时CP⊥AD1， ∴CP， ∴CP长度的最小值为，故选项B正确， 对于选项C：当λ+μ＝1时，可知P，D1，A三点共线，点P在平面BCC1B1内的射影为Q，且在线段BC1上， 则∠PCQ为CP与平面BCC1B1所成的角，sin∠PCQ， 又∵PC， ∴，而， ∴CP与平面BCC1B1所成的角不可能为，故选项C正确， 对于选项D：当时，，∴， 设AD的中点为H，则，即PH∥D1D， 即点P为A1D的中点，此时DP∥CB1，故选项D错误， 故选：ABC． 题型三 用空间向量求空间距离 【例题精讲】 1．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达•芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达•芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点E到平面QGC的距离是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：建系如图： 则E（1，0，0），Q（1，0，2），G（0，0，2），C（0，2，0）， 所以，，， 设平面QGC的法向量为， 则，取， 所以点E到平面QGC的距离是． 故选：C． 2．已知为直线AB的一个方向向量，点A（1，2，﹣1），P（2，﹣1，2），则点P到直线AB的距离为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：因为为直线AB的一个方向向量，点A（1，2，﹣1），P（2，﹣1，2）， 所以（﹣1，3，﹣3），所以||， 所以cos，， 设直线PA与直线l所成的角为θ， 则sin θ， 所以点P到直线AB的距离为||sinθ． 故选：B． 3．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，O为△PBC的重心，，且PA＝3，AB＝2，则点O到直线DM的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形， 可知AB，AD，AP两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示， 则P（0，0，3），D（0，2，0），B（2，0，0），C（2，2，0）， 因为O为△PBC的重心，则有， 所以， 所以， 则， 故点O到直线DM的距离为． 故选：A． 4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为　　 ． 【答案】． 【解答】解：连接AC交BD于O，连接OE， 因为E为CC1的中点，长方体中，可得O为AC的中点， 在△ACC1中，可得OE∥AC1，AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， 所以AC1∥平面BDE， 所以AC1到平面BDE的距离等于A平面BDE的距离，设为h， 因为AB＝BC＝1，，可得AC＝BD，OC，CE， 所以OE， 因为DE＝BE，所以OE⊥BD，所以S△BDEBD×OE， 可得VE﹣ABD＝VA﹣BDE，即S△ABD•CES△BDE•h， 即1×1h，解得h． 故答案为：． 5．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝6，点E是棱PB的中点，则直线AD与平面PBC的距离为　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为PA⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD， 所以BC⊥PA， 又底面ABCD为矩形，所以BC⊥AB，又PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，又E是棱PB的中点，所以AE⊂平面PAB， 所以AE⊥BC，又PA＝AB，E是棱PB的中点， 所以AE⊥PB，又BC∩PB＝B， 所以AE⊥平面PBC，又PA＝AB＝6，PA⊥AB， 所以AEPB， 所以A到平面PBC的距离为， 又AD∥BC，AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC， 所以直线AD与平面PBC的距离即为A到平面PBC的距离， 所以直线AD与平面PBC的距离为． 故答案为：． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知空间向量，，，向量，且x+2y+4z＝4，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可知，空间向量，，， 设，， 因为x+2y+4z＝4，所以，则， 所以D，E，C，P四点共面，当OP⊥平面DEC时，有最小值， 易求得平面DEC的一个法向量，所以O到平面DEC的距离． 故选：B． 2．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则圆锥母线与底面所成角的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：根据题意可知，圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π， 设圆锥底面的半径为r，母线长为l，高为h，则由题意得，解得l＝2h， 设圆锥母线与底面所成角为，则， 所以圆锥母线与底面所成角的大小为． 故选：A． 3．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，，M，N分别是B1C1，A1B1的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图， 由已知，BB1⊥底面ABC， 又BA，BC⊂底面ABC，所以BB1⊥BC，BB1⊥BA， 又因为AB⊥BC，所以BA，BB1，BC两两垂直， 以BA，BC，BB1为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设BC＝a（a＞0），则B（0，0，0），C（0，a，0），，， 所以，， 设直线BM与直线CN所成角为θ， 则cosθ＝|cos，|， 所以直线BM与直线CN所成角的余弦值为． 故选：B． 4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ（0＜λ＜2），则点G到平面D1EF的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意可得：A1B1∥平面D1EF， 则点G到平面D1EF的距离与点A1到平面D1EF的距离相等， 过A1作A1H⊥D1E交D1E于点H， 则A1H⊥平面D1EF， 又A1E＝1，A1D1＝2， 则， 即， 则点G到平面D1EF的距离为， 故选：D． 5．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA，AB＝AC＝2，则点A到平面PBC的距离为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA，AB＝AC＝2， 可得PB＝PC，BC＝2， S△PBCBC2， 设点A到平面PBC的距离为d， 可得VP﹣ABC＝VA﹣PBC， 可得，解得d＝1． 故选：A． 6．如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1，则线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 以点A为原点，射线AB，Ay，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长均为1， 则， ， 因动点P在线段AB1上，则令， 即有点P（t，0，t），， 所以，， 因此点P到直线BC1的距离 ，当且仅当时取等号， 所以线段AB1上的动点P到直线BC1的距离的最小值为． 故选：C． 7．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，点M，N，P分别为A1B1，BC和AD的中点，底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°且．记MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β，二面角M﹣PN﹣B的平面角为γ，则（　　） A．α＞β＞γ B．β＞γ＞α C．γ＞α＞β D．α＞γ＞β 【答案】C 【解答】解：连接PB，DB，由底面ABCD为菱形，∠DAB＝60°， 所以△ABD为等边三角形，故PB⊥AD， 取A1D1中点P1，连接PP1， 因为ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，所以PP1⊥平面ABCD， 又AD，PB⊂平面ABCD，所以PP1⊥AD，PP1⊥PB， 不妨设，所以AB＝2， 故， 由PP1，AD，PB三线两两互相垂直， 故以P为原点，PA，PB，PP1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，， ， 由AA1⊥平面ABCD，所以平面ABCD可取， 设平面PMN的法向量为， 则，所以， 取，则， 故． 由MN与AA1所成的角为α，MN与平面ABCD所成的角为β， 二面角M﹣PN﹣B的平面角为γ， 其中． 所以， ， 所以， ， 因为y＝cosx在上递减，， 又， 所以γ＞α＞β． 故选：C． 8．如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF．当A1，E，F，C1共面时，平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：以D为原点，DA，DC，DD1 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 由题意知：当E（6，3，0），F（3，6，0）时，A1，E，F、C1 共面， 设平面A1 DE的法向量为（a，b，c）， （6，0，6），（6，3，0），A1（6，06），D（0，0，0），C1（0，6，6）， 则，取a＝1，得（1，﹣2，﹣1）， 设平面C1 DF的一个法向量为（x，y，z）， （0，6，6），（3，6，0）， 则，取x＝2，得（2，﹣1，1）， 设平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角为θ， 则cosθ， ∴平面A1DE与平面C1DF所成锐二面角的余弦值为． 故选：B． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为CC1的中点，P为侧面BCC1B1上的动点，且满足AM∥平面A1BP，则下列结论正确的是（　　） A．AM⊥B1M B．CD1∥平面A1BP C．AM与A1B1所成角的余弦值为 D．动点P的轨迹长为 【答案】BCD 【解答】解：如图建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2， 则A（0，0，2），A1（0，2，2），B（0，0，0），M（2，1，0），P（x，y，0）， 所以， 由AM∥平面A1BP，得，即， 化简可得：3x﹣2y＝0， 所以动点P在直线3x﹣2y＝0上， 对于选项A：， 所以与不垂直，所以A选项错误； 对于选项B：CD1∥A1B，A1B⊂平面A1BP，CD1⊄平面A1BP，所以CD1∥平面A1BP，B选项正确； 对于选项C：，C选项正确； 对于选项D：动点P在直线3x﹣2y＝0上，且P为侧面BCC1B1上的动点，则P在线段P1B上，， 所以，D选项正确； 故选：BCD． （多选）10．菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，对角线AC交BD于点O，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A﹣BD﹣C的大小为120°，则（　　） A．BD⊥平面AOC B．平面AOC⊥平面BCD C．点A到△BCD所在平面的距离为 D．四面体A﹣BCD的外接球的表面积是28π 【答案】ABD 【解答】解：如图： 对于A，因为菱形的对角线互相垂直，所以AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO＝O，且在折起的过程中垂直关系保持不变， 则BD⊥平面AOC，故A正确； 对于B选，由A选项得：BD⊥平面AOC，BD⊂平面BCD， 所以平面AOC⊥平面BCD，故B正确； 对于C，由二面角的定义知∠AOC＝120°， 又因为平面AOC⊥平面BCD，且平面AOC∩平面BCD＝OC， 在平面AOC中，过A作AE⊥OC，交CO的延长线于E， 则AE⊥平面BCD， AE为所求的点面距离．由∠AOE＝60°，AO＝1，得，故C错误； 对于D，设△ABD，△CBD的外心分别为O1，O2，A﹣BCD的外接球球心为M， 半径为R，根据A﹣BCD的对称性，可知O1，O2，M都在平面AOC内，且∠O1OO2＝120°， 如图：作平面AOC， 则， △OO1O2的外接圆是四边形OO1MO2的外接圆，外接圆直径， ，R2＝OM2+BO2＝7，S＝4πR2＝28π，故D正确． 故选：ABD． （多选）11．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，λ，μ∈（0，1），则下列说法正确的是（　　） A．λ＝μ时，C1B1∥平面D1PQ B．时，四面体APQD1的体积为定值 C．时，∃λ∈（0，1），使得A1Q⊥平面D1PA D．若三棱锥P﹣CBD的外接球表面积为，则 【答案】ABD 【解答】解：对于A，λ＝μ时，∵，， ∴PQ∥C1B1， 又PQ⊂平面D1PQ，C1B1⊄平面D1PQ， ∴C1B1∥平面D1PQ，故A正确； 对于B，时，△AD1P的面积为定值； ∵点Q是BC1边上的点，且BC1∥平面APD1， ∴点Q到平面AD1P的距离即为直线BC1到平面AD1P的距离为定值， ∴四面体APQD1的体积为定值，故B正确； 对于C，时，以D为坐标原点，分别为x，y，z轴为正向，建立空间直角坐标系，如图， 则A（2，0，0），D1（0，0，2），P（2，2，2λ），A1（2，0，2），Q（1，2，1）， 则，， 记平面D1PA的法向量为， 则，即，取x0＝﹣1，得， 又 当∥时，λ＝2∉（0，1）， 即不存在λ∈（0，1），使得A1Q⊥平面D1PA，故C错误； 对于D，PB⊥平面CBD于点B， 且△CBD的外接圆半径，外接球的半径为， 故由得， ∴，即，故D正确． 故选：ABD． 三．填空题（共3小题） 12．已知在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，，，则异面直线DB1与A1D1所成角的余弦值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：因为，，， （3，3，1）， 所以•3×（﹣2）+3×0+1×0＝﹣6， ||，||＝2， 所以cos，， 设异面直线DB1与A1D1所成角为θ，θ∈（0，]， 所以cosθ＝|cos，|． 故答案为：． 13．棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱A′D′上的动点，F是棱BC的中点，当直线EF与A′C所成角最小时，△AEF的面积为 　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意棱长为2的正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，E是棱A′D′上的动点，F是棱BC的中点， 建立如图所示的空间直角生标系， 则 A′（2，0，2），C（0，2，0），F（1，2，0），D′（0，0，2），设 E（a，0，2）（0≤a≤2）， 则 ， 设直线EF与 A′C 所成的角为 θ， 则， 由对勾函数的性质可知函数在（0，2]上单调递减， 所以当a＝2时，，此时cosθ最大，即角θ最小， 此时E（2，0，2）与点A′重合，此时△AEF是以∠EAF为直角的直角三角形， 易求得，所以△AEF的面积为． 故答案为：． 14．已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，，BC＝4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点，则点M到直线CD距离的最小值为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：已知四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，，BC＝4，侧面PAB为正三角形且垂直于底面ABCD，M为四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点， 过点P作PH⊥AB，交AB于点H， 由侧面PAB为正三角形可知H为AB中点， 设CD中点为N，连接HN， 由题意得，平面PHN截四棱锥P﹣ABCD的内切球O所得的截面为大圆， 此圆为△PHN的内切圆， 设内切圆半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F， 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB， 又PH⊥AB，PH⊂平面ABCD， 所以PH⊥平面ABCD， 而HN⊂平面ABCD， 则PH⊥HN， 因为，BC＝4， 所以PH＝3，HN＝4，PN＝5， 在△PHN中，， 解得r＝1， 所以四棱锥P﹣ABCD的内切球的半径为1， 连接ON， 因为PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， 所以PH⊥CD， 又CD⊥HN，PH，HN⊂平面PHN，PH∩HN＝H， 所以CD⊥平面PHN， 因为ON⊂平面PHN， 所以ON⊥CD， 所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径， 又， 所以四棱锥P﹣ABCD内切球表面上一点到直线CD的距离的最小值为． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．如图，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点，AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2． （1）求证：BD⊥平面ADM； （2）求直线AD与平面MBD所成角的大小； （3）求点D到平面AMB的距离． 【答案】（1）证明见解析； （2）45°； （3）． 【解答】解：（1）证明：根据题意可知，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为矩形，且M为线段EF的中点， AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2， 取AB中点为N，连接DN， 因为AB∥CD，∠ABC＝90°，AD＝2DE，AB＝2CD＝2BC＝2， 所以NB∥CD，AN＝NB＝CD＝BC＝1， 故四边形BCDN为正方形， 所以DN⊥AB，所以DA＝DB， 故∠DAB＝∠DBA＝45°，即∠ADB＝90°，所以AD⊥DB， 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD， BD⊂平面ABCD，故BD⊥平面ADEF，即BD⊥平面ADM； （2）根据（1），则AD⊥DB，AD⊥DE，DE⊥DB， 以点D为原点，分别以DA，DB，DE方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由AB＝2CD＝2BC＝2，则CD＝BC＝1， ， 故， 所以， 设平面MBD的法向量为， 则，令x＝1，得， 设直线AD与平面MBD所成角为θ， 故sinθ＝|cos， 故θ＝45°，故直线AD与平面MBD所成角为45°； （3）根据（2），则， 设平面AMB的法向量为， 则，令a＝1，得， 故点D到平面AMB的距离为， 故点D到平面AMB的距离为． 16．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱长均相等，AD⊥DC，∠DCC1＝60°，平面CC1D1D⊥平面ABCD，点E，F满足，． （1）求证：AE∥平面BDF； （2）求直线CD与平面BDF所成的角θ的正弦值． 【答案】（1）证明见解答；（2）． 【解答】解：（1）证明：如图，取AB的中点G，连接CG交BD于H，连接FH，C1G， 因为，BG∥DC， 所以，又，所以FH∥C1G， 由于AG∥EC1，AG＝EC1， 所以AE∥GC1， 从而有AE∥HF， 又AE⊄平面BDF，FH⊂平面BDF， 所以AE∥平面BDF； （2）设平行六面体各条棱长为6， 因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，且AD⊥DC， 所以AD⊥平面CC1D1D， 由于∠C1CD＝60°，所以∠DD1E＝60°，DD1＝6，D1E＝3， 由余弦定理，DE⊥D1E， 分别以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则D（0，0，0），C（0，6，0），B（6，6，0），，，， 由，得， 从而， 设平面BDF的一个法向量为， 则， 可取， 故． 17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝1，AB，BC＝1，AD＝2，M是PD的中点． （1）求证：CM∥平面PAB； （2）求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值； （3）在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：取AB的中点E，连接ME，因为M是PD的中点， 所以， 又因为，所以， 所以四边形BCME是平行四边形，所以CM∥BE， 又因为CM⊄平面PAB，BE⊂平面PAB， 所以CM∥平面PAB． （2）由题意：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，则AP，AB，AC两两垂直， 所以建立如图所示空间直角坐标系， 又因为PA＝1，是PD的中点， 所以点的坐标为P（0，0，1），，D（0，2，0），， 所以平面PAB的法向量为， 设平面PCD的法向量为， ，由， 则，则， 令y＝1，则， 所以． 所以，平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值为． （3）设，且，， 则， 设平面PAQ的法向量为， 则，可得， 令y0＝1，所以． 因为点D到平面PAQ的距离为， 所以， 解得， 所以存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为，此时． 18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D在BC上，AD⊥DC1． （1）证明：AD⊥平面BB1C1C； （2）若，二面角C﹣AC1﹣D的大小为． ①求AC与平面ADC1所成角的正弦值； ②点E在侧面ABB1A1内，且三棱锥E﹣ADC1的体积为，求E的轨迹的长度． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②． 【解答】解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC， 因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD， 又因为AD⊥DC1，CC1∩DC1＝C1，CC1，DC1⊂平面BB1C1C， 所以AD⊥平面BB1C1C． （2）①在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 设平面ADC1的法向量， 则，由， 取x＝1，得， 所以平面ADC1的一个法向量， 又平面CAC1的法向量， 所以， 解得a＝2． 所以， 所以． 设AC与平面ADC1所成角为θ，则． ②因为， 所以． 因为三棱锥E﹣ADC1的体积为， 所以E到平面ADC1的距离为． 因为E在侧面ABB1A1上，可设E（x，0，z）， E到平面ADC1的距离为， 即轨迹方程为， 而， 所以E在侧面ABB1A1上的运动轨迹是线段A1B， 所以E的轨迹长度为． 19．已知四棱锥S﹣ABCD中，二面角S﹣AD﹣B为直二面角，ADCD＝2SD＝4BC＝4，∠BCD＝∠ADC＝∠ASD＝90°，M为棱DA上一点． （1）证明：SA⊥SC； （2）若M为DA中点，求二面角B﹣SC﹣M的正弦值； （3）若BM∥平面SCD，点N在平面SMB上，若直线AN与平面SCD所成角为，求MN的最小值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明：由∠ADC＝90°，得CD⊥AD，二面角S﹣AD﹣B为直二面角， 即平面SAD⊥平面ABCD， 而平面SAD∩平面ABCD＝AD，CD⊂平面ABCD， 故CD⊥平面SAD． 因为SA⊂平面SAD，所以SA⊥CD，又SA⊥SD， SD，CD⊂平面SCD，SD∩CD＝D， 故SA⊥平面SCD， 又SC⊂平面SCD， 故SA⊥SC． （2）过点S作SO⊥AD于点O，连接OB，由△ADS～△SDO，得OD＝1＝BC． 又OD∥BC，故四边形OBCD为平行四边形， 因为∠ADC＝90°，所以∠DOB＝90°，即OD⊥OB， 故OA，OB，OS两两垂直， 以O为坐标原点，OA，OB，OS所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（0，3，0），，C（﹣1，3，0），M（1，0，0）， 故，，，， 设平面SBC的法向量， 则，则， 令y1＝1，则，x1＝0， 故为平面SBC的一个法向量， 设平面SCM的法向量的， 则，则 令，则x2＝3，y2＝2， 故为平面SCM的一个法向量， 则， 二面角B﹣SC﹣M的正弦值为． （3）若BM∥平面SCD，BM⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面SCD＝CD，则BM∥CD， 由（2）知OB∥DC，故M与O点重合，因为N在平面SMB上， 设N（0，p，t），p，t∈R，A（3，0，0），则， 因为，C（﹣1，3，0），D（﹣1，0，0），则，， 设平面SCD的法向量， 则，则， 令，则x＝﹣3，y＝0， 故为平面SCD的一个法向量， 故， 整理得， 又，故， 由， 故， 当且仅当时等号成立，MN取得最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $