专题09 一次函数实际应用汇编（五大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题09 一次函数实际应用汇编 【题型1：分配方案问题】.....................................................................................1 【题型2：最大利润问题】...................................................................................4 【题型3：行程问题】..........................................................................................11 【题型4：梯度计价问题】..................................................................................16 【题型5：新情景问题】.....................................................................................20 【题型1：分配方案问题】 1．“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元，选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． 2．2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： (1)求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； (2)为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 3．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 4．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元． (1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？ (2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？ (3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用． 5．“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 6．为推进美丽乡村建设，改善居住环境，创建美丽家园．某市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少，这批建设物资将运往A地，B地，运费（元/吨）如表所示： 工厂 目的地 A B 甲 25 20 乙 15 24 (1)甲、乙两工厂各生产了这批建设物资多少吨? (2)设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； (3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（），其余路线运费不变．若到A，B两地的总运费的最小值不小于14140元，求m的取值范围． 7．某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【题型2：最大利润问题】 1．理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 2．这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠． 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房． (1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用． 3．某省发生了地震，牵动着全国人民的心，各地开展了“一方有难，八方支援”的救援活动．其中甲、乙两厂积极投入，生产了救灾帐篷共5000顶，且乙厂的生产量比甲厂生产量的2倍少1000顶．这批帐篷将运往A，B两地，其中运往A地2400顶，运往B地2600顶，运费（单位：元/顶）情况如下： A地 B地 甲厂 2 2.5 乙厂 1.5 2.4 (1)求甲、乙两厂各生产了多少顶救灾帐篷． (2)设这批救灾帐篷从乙厂运往地顶，全部运往两地的总运费为元，求与之间的函数解析式，并设计使总运费最少的调运方案． 4．某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． (1)求这款笔记本的单价． (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． (3)当时，根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 5．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 6．端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 7．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 8．2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100个，每个“神舟”模型成本为20元，每个“天宫”模型成本为16元，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售完这批模型获得的利润为元． (1)求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 9．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. = 10．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台) 6100 3900 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ = 11．某旅游纪念品商店销售A，B两种伴手礼，已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元，销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元． (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元； (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A，B两种伴手礼共40件，其中A种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为y元．设购进A种伴手礼x件． ①求y与x的函数关系式； ②当购进A种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ = 12．某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元． (1)求每台A型自行车和B型自行车的销售利润； (2)该商行计划一次购进两种型号的自行车共100台，设购进A型自行车x台，这100台自行车的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，该商行购进A型、B型自行车各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ = 13．年月，第届世界运动会将在成都举行，天府新区将承办个比赛项目及相关重大配套活动，为此，天府新区将全方位提升城市街面公共区域环境品质，某社区响应号召，计划采购一批花卉和绿植美化环境．已知采购盆花卉和盆绿植需要元，采购盆花卉和盆绿植需要元． (1)求花卉和绿植的单价各是多少元； (2)若该社区需要采购花卉和绿植共盆（花卉、绿植都需要采购），且采购的绿植数量不超过花卉数量的，为使采购费用最低，应采购花卉和绿植各多少盆？ = 【题型3：行程问题】 1．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程，都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．给出下列结论：乙龙舟队先到达终点；时，甲龙舟队处于领先位置；当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距．其中正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． =2．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 =3．甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)线段表示轿车在途中停留了___________小时； (2)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． = 4．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到市图书馆查阅资料，学校与市图书馆之间的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达市图书馆，图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在市图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为_____千米/分钟； (2)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ = 5．某天早晨，小强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起按小强返回时的速度回到家（小强和妈妈始终在同一条笔直的公路上），设两人离家的距离为（米），小强从家出发后的时间为（分），与之间的函数图象如图所示． (1)体育场与小强家的距离为_________米； (2)求小强去体育场时离家的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求妈妈比按自己原来的速度提前多少分钟到家． = 6．一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开A地的距离为，轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示． (1)轿车从A地驶往B地的速度为 ， ； (2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） (3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离． = 7．“五·一”长假，小王与小叶相约分别驾车从长春出发，沿同一路线驶往距长春的甲地旅游．小王由于有事临时耽搁，比小叶晚出发1.25小时．而小叶的汽车中途发生故障，等排除故障后，立即加速赶往甲地．若从小叶出发开始计时，图中的折线、线段分别表示小叶、小王两人到长春的距离、与时间之间的函数关系． (1)求直线的函数解析式． (2)求小王和小叶第二次相遇的时间为 小时． (3)为了保证及时联络，小王、小叶在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过，直接写出他们实际的行驶过程是否符合约定． = 8．一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 9．某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)当时，问大巴车从学校出发后经过多长时与小轿车相距？ 10．已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系． 根据图象解答下列问题： (1)甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？ (2)求乙的行驶速度； (3)求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式； (4)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离． 11．A，B两地路程为600km，甲、乙两车分别从两地同时出发，沿同一公路相向行驶．如图是两车距离A地的路程与行驶时间之间的关系． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______（填“甲车”或“乙车”）从A地出发前往B地； (2)求乙车距离A地的路程与行驶时间之间的关系式，及两车途中相遇时距离A地的距离； (3)若甲车到达目的地后立即按原速折返，请通过计算说明：甲车折返途中是否会再次遇上乙车？ 【题型4：梯度计价问题】 1．如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 3．新能源出租车具有节能环保、运营成本低、科技感强、乘客体验更舒适等优点．为了调研新能源出租车的收费标准，某校七（2）班调研得知，其收费标准按实际里程计算， 即起步价为10元（含3千米），超过3千米后，每千米收费2元，调研结果如下： 乘车里程 0 1 2 3 5 收费元 0 10 10 10 13 请回答下列问题： (1)七（2）班所绘制表格中的值为______，的值为______； (2)直接写出当时，与之间的关系式； (3)小李乘坐新能源出租车从甲社区到乙社区，到达目的地后付费21元，请问小李此次的行程有多远？ 4．为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 5．某视频网站对本站会员推出、两种收费方式，这两种收费方式每月所需的费用（元）与上网时间的关系如图所示： 观察图象，解决以下问题： (1)每月上网时间为时，、两种方式的费用分别是多少？ (2)每月上网费用为元时，、两种方式可上网的时间分别是多少？ (3)每月上网时间为的时候，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 6．为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 7．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： (1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； (2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【题型5：新情景问题】 1．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 2．情境素材绿动未来——追踪碳排放． 素材一：在对 A 市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车和10辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为，而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（如：杨树）每年大约吸收二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（如：冷杉）每年大约吸收二氧化碳． (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为． ①求w 和a 之间的函数表达式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 3．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． (1)甲仓库每分钟揽收_________件快递； (2)求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； (3)从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 4．如图，某花园护栏是由若干个直径的半圆形条钢组合而成，且每增加一个半圆条钢，护栏长度就增加，设半圆形条钢为x个，护栏总长度为． (1)若． ①当时， ； ②写出y与x的函数关系式为 ； (2)若护栏的总长度不变，当时，用了n个半圆形条钢；当时，用了个半圆形条钢，求n，k之间满足的关系式（其中n，k均为正整数）． 5．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 6．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．现向此“公道杯”中匀速注入清水；当满杯时(即3秒时)，边继续匀速注入清水，杯中水边自动向外排出，6秒后停止注水，再等水匀速完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如表： 时间(秒) 水位高度(厘米) 根据以上信息，解决下列问题： (1)根据表中数据在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (2)求3秒到6秒之间的函数表达式，并求出排水的速度； (3)利用图象估计从开始注水，到杯中水完全排尽，用时约为 秒．(保留1位小数) 7．漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 8．项目化学习·数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）（图1）    素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为，单层部分的长度为与满足一次函数关系，其部分数据如下表： 双层部分的长度 2 6 10 14 单层部分的长度 116 108 100 92 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图2），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．    任务1 直接写出与的函数表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数实际应用汇编 【题型1：分配方案问题】.....................................................................................1 【题型2：最大利润问题】...................................................................................10 【题型3：行程问题】..........................................................................................27 【题型4：梯度计价问题】..................................................................................43 【题型5：新情景问题】......................................................................................51 【题型1：分配方案问题】 1．“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元，选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． 【答案】(1)；；； (2)，， (3)当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一，二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二，三费用一样，当时，采用方案三更合算． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可得，，与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标； （3）根据（2）所求的点C，D，E的坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意得；；； （2）解：∵点C为与的交点， ∴ 解得， ， ∴点C的坐标为； ∵点D为与的交点， ∴ 解得， ∴点D的坐标为； ∵点E为与的交点， ∴ 解得， ∴点E的坐标为； （3）解：由图象可知，当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一和方案二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二和方案三费用一样，当时，采用方案三更合算． 2．2025年1月．“夸父”人形护冰机器人在第九届亚冬会测试赛中大放异彩，让世界看到了中国在领域中强大的创新能力．某机器人公司研发生产了A和B两种型号的冰壶赛道护冰机器人，已知每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米，A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同，请解答下列问题： (1)求A、B两种型号的护冰机器人每小时的护冰面积； (2)为了“科技冬奥”计划注入新的活力，黑龙江省冰上训练中心速滑馆计划购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，且B型护冰机器人不超过6台．已知每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元．设购进A型护冰机器人x台，购买总费用y万元，请求出y与x的函数解析式，并设计出购买总费用最少的方案，最少费用是多少万元？ 【答案】(1)每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； (2)，总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台；最少费用是万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，则每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米，根据题意列分式方程求解即可； （2）根据题意列出一次函数解析式，并求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵每台A型护冰机器人每小时护冰面积比每台B型护冰机器人每小时护冰面积多500平方米， ∴每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米， ∵A型护冰机器人护冰2000平方米与B型护冰机器人护冰1500平方米用时相同， ∴， 解得：， ， 即每台A型护冰机器人每小时护冰面积平方米，每台B型护冰机器人每小时护冰面积平方米； （2）解：∵购进A、B两种型号的护冰机器人共10台，购进A型护冰机器人x台， ∴购进B型护冰机器人台， ∵B型护冰机器人不超过6台， ∴， 即， ∵每台A型护冰机器人2万元，每台B型护冰机器人万元，购买总费用y万元， ∴， 可知随增大而增大， ∵， ∴总费用最少的方案为购进A型护冰机器人台，购进B型护冰机器人台， 最少费用是（万元）． 3．“一方有难，八方支援”，我州为支援武汉抗击新冠肺炎，准备将A县的蔬菜200吨和B县的蔬菜300吨运往武汉的C区和D区．现确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨．已知从A、B两县运蔬菜到C、D两区的运费（元/吨）如下表所示，设A县运往C区的蔬菜为x吨， A B C 20 15 D 25 24 (1)用含x的代数式填空：A县运往D区的蔬菜吨数为________，B县运往C区的蔬菜吨数为________，B县运往D区的蔬菜吨数为________． (2)用含x（吨）的代数式表示总运费W（元），并设计怎样调运可使总运费最少？ 【答案】(1) (2)，A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少 【分析】本题考查列代数式，一次函数的实际应用，正确的列出代数式，一次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据运往C区和D区的蔬菜量，列出代数式即可； （2）根据总运费等于各部分的运费之和，列出函数解析式，利用一次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵确定运往C区和D区的蔬菜分别是240吨和260吨，从A县运往C区的蔬菜为x吨， ∴从县运往区的蔬菜为吨，B县运往C区的蔬菜为吨，从B县运往D区的蔬菜为吨； （2）由题意，得： 随的增大而增大 当时，总运费W最小 A县运往C区0吨，运往D区200吨；B县运往C区240吨，运往D区60吨．可使总运费最少． 4．某学校举行表彰大会，决定购买一批笔记本和文具盒作为优秀学生的奖品，已知购买1个文具盒和2本笔记本共需16元，购买2个文具盒和3本笔记本共需28元． (1)求购买1个文具盒和1本笔记本各需多少元？ (2)该学校决定购买文具盒和笔记本共100件，且用于购买这些奖品的总费用不能超过650元，求最多可购买文具盒多少个？ (3)在（2）的条件下，若购买文具盒的数量不低于笔记本数量的倍，请设计出费用最低的购买方案，并求出最低费用． 【答案】(1)每个文具盒为8元，每本笔记本为4元 (2)62 (3)购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元 【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题、一元一次不等式（组）的应用、一次函数的最值： （1）设每个文具盒为元，每本笔记本为元，列出二元一次方程组并求解即可； （2）设购买文具盒个，购买笔记本个，根据题意列出不等式并求解即可； （3）列出不等式并求解即可得到a的取值，设学校购买奖品的总费用为元，用a表示出w，根据函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每个文具盒为元，每本笔记本为元， 依题意得， 解得， 故每个文具盒为8元，每本笔记本为4元； （2）解：设购买文具盒个，则购买笔记本个， 根据题意得， 解得， 为整数， 最多可购买文具盒62个； （3）解：根据题意得， 解得， ， 为正整数， 或61或62， 设学校购买奖品的总费用为元， 则， ， ∴随着a增大w增大， 当时，最小，最小值为（元）， 此时， 购买费用最低的方案为：购买60个文具盒，40个笔记本费用最低，最低费用为640元． 5．“旅居云南，车旅兴滇”，露营成为休闲新风尚，为文旅消费注入新活力．某景区为提升消费体验，现需购买甲、乙两种型号的营地房车，乙型房车的单价比甲型房车的单价多10万元．用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等． (1)求甲型房车、乙型房车的单价分别是多少万元？ (2)若该景区需要购买甲、乙两种型号的营地房车共20辆（两种型号的房车均需购买），其中购买乙型房车的数量不少于8辆．为使总费用最低，应购买甲型房车和乙型房车各多少辆？最低总费用为多少万元？ 【答案】(1)甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元 (2)应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数求最值的运用． （1）设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元，结合题意，列分式方程求解即可； （2）设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆，根据购买乙型房车的数量不少于8辆，列出一元一次不等式，得到a的取值范围，设总费用为w元，由题意列出w关于a的一次函数关系式，根据一次函数求最值的方法即可求解． 【详解】（1）解：设甲型房车的单价为x万元，则乙型房车的单价为万元， ∵用240万元购买甲型房车的数量与用360万元购买乙型房车的数量相等， ∴， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴甲型房车的单价为20万元，乙型房车的单价为30万元； （2）解：设购买甲型房车a辆，则购买乙型房车辆， ∵购买乙型房车的数量不少于8辆， ∴， 解得， 设总费用为w万元， 由题意可得：， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w最小，此时，， 答：为使总费用最低，应购买甲型房车12辆，乙型房车8辆时，最低总费用为480万元． 6．为推进美丽乡村建设，改善居住环境，创建美丽家园．某市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少，这批建设物资将运往A地，B地，运费（元/吨）如表所示： 工厂 目的地 A B 甲 25 20 乙 15 24 (1)甲、乙两工厂各生产了这批建设物资多少吨? (2)设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； (3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（），其余路线运费不变．若到A，B两地的总运费的最小值不小于14140元，求m的取值范围． 【答案】(1)甲、乙两工厂分别生产了这批建设物资， (2)；总运费最少的调运方案是甲工厂运往A地，运往B地；乙工厂运往A地，运往B地 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出二元一次方程组，写出相应的函数关系式和不等式，利用分类讨论的方法解答． （1）根据甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； （3）根据题意和分类讨论的方法，可以求得m的取值范围． 【详解】（1）解：设这批建设物资甲工厂生产了，乙工厂生产了， 由题意，得，解得：， 答：甲、乙两工厂分别生产了这批建设物资，； （2）由题意，得 ， ， 随x的增大而增大， 当时运费最小， 此时，，， 答：总运费最少的调运方案是甲工厂运往A地，运往B地；乙工厂运往A地，运往B地； （3）由题意，得， ①当时，则y随x的增大而增大，有 ， 当时，y取得最小值，此时， 解得， ， ②当时，有，，不合题意，舍去， ③当时，则y随x的增大而减小，有， 当时，y取得最小值，此时， 解得 （舍去）， 综上所述，m的取值范围是． 7．某学习平台为提高学生的积极性，推出学习积分，所得积分可兑换礼品．某品牌的笔记本每本需要60积分，书签每枚需要10积分．现积分超市推出以下两种活动： 活动一：按兑换物品所需的积分打八折扣除积分： 活动二：兑换一本笔记本送两枚书签． 李同学想用积分兑换这种笔记本5本，书签x枚（）． (1)请你分别求出活动一、活动二兑换所需的积分y，y与书签x（枚）之间的函数关系式； (2)若只能选择一种兑换活动，请你通过计算帮助李同学判断选择哪种活动更优惠． 【答案】(1)活动一：；活动二： (2)当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠 【分析】本题考查一次函数的应用，写出函数关系式、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）分别根据两种活动情况计算即可； （2）比较两个函数值的大小即可． 【详解】（1）解：活动一：y与x之间的函数关系数式为， 活动二：y与x之间的函数关系数式为． （2）解：当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴当时，选择活动一更优惠；当枚时，两种活动所需积分相等；当枚时，选择活动二更优惠． 【题型2：最大利润问题】 1．理论源于实践，理论指导实践．请你阅读以下案例，尝试用所学知识解决实际问题． 东区有肥料，西区有肥料．现要把这些肥料全部运往南，北两区，从东区往南，北两区运肥料的费用分别为30元/t和35元/t；从西区往南、北两区运肥料的费用分别为24元/和32元/．已知南区需要肥料，北区需要肥料． (1)设从东区往南区运吨肥料，则从东区往北区运__________吨肥料，从西区往南区运_______吨肥料，从西区往北区运__________吨肥料；（用含的式子表示，并化简结果） (2)的取值范围是______________； (3)设调运的总运费为元，求关于的函数解析式以及调运总费用最少的方案． 【答案】(1)；；； (2) (3)，从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 【分析】此题考查了一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，根据已知得出城和城运往各地的肥料吨数是解题的关键． （1）根据题意列表，列代数式即可得出结果； （2）由运量不能为负数，建立不等式组，即可求解； （3）根据题意得总费用与之间的函数关系式，再利用一次函数的增减性即可求解； 【详解】（1）解：设从东区往南区运吨肥料，分析列表如下（单位：吨）： 东区 西区 合计 南区 北区 合计 ∴从东区往北区运吨肥料，从西区往南区运吨肥料，从西区往北区运吨肥料； 故答案为：；；； （2）解：根据题意得： ， 解得：； 故答案为：； （3）解：由题意可得： 整理得： ∵，随的增大而增大，， ∴当时，， ∴从东区城运往南区0吨，运往北区250吨；从西区运往南区280吨，运往北区70吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 2．这个夏天，江苏的顶流话题非“苏超”莫属！朋友圈、抖音全被刷屏，网友们边看球赛边玩梗．梭子蟹大闸蟹、云雾茶碧螺春、海鲜汤包……年月日，连云港主场迎战苏州，一场“舌尖上的德比”未踢先火，更因两地特色被戏称为“蟹王争霸赛”．为给赛事加码，连云港放出“宠粉大招”——广大球迷专属优惠：即日起至月日，凡持有年江苏省城市足球联赛购票凭证的球迷，凭购票记录和身份证，可享受在观赛当日及前、后天内（十一假期不含在内）连云港市域内景区、酒店优惠． 已知连云港某酒店的三人间和双人间客房标价为：三人间为每人每天元，双人间为每人每天元．凡球迷圆团体入住一律五折优惠．一个人的团体在月日到该酒店住宿，租住了一些三人间、双人间客房． (1)如果租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元．求租住了三人间、双人间客房各多少间？ (2)一天元的住宿费是否为最低？如果不是最低，请尝试设计一个方案，使得一天的住宿费用最低，并求出最低费用． 【答案】(1)租住了三人间间，双人间间 (2)一天元的住宿费不是最低，住宿费用最低的设计方案：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，（1）设租住了三人间有间，双人间有间．注意凡团体入住一律五折优惠，根据“租住的每个客房正好住满，并且一天一共花去住宿费元”列方程组求解即可； （2）设三人间住了人，则双人间住了人，住宿费三人间的人数双人间的人数，再结合的取值范围及实际情况，运用函数的性质即可得解； 解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数和方程的思想解答． 【详解】（1）解：∵凡团体入住一律五折优惠， ∴三人间为每人每天（元），双人间为每人每天（元）， 设租住了三人间有间，双人间有间， 依题意，得：， 解得：， 答：租住了三人间间，双人间间； （2）设三人间住了人，则双人间住了人， ∴一天的住宿费用为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当x满足、为整数，且最大时，即时，住宿费用最低， 此时， ∴一天元的住宿费不是最低；若人入住三人间，则费用最低，为元， ∴住宿费用最低的设计方案为：人住三人间，人住双人间，则费用最低，为元． 3．某省发生了地震，牵动着全国人民的心，各地开展了“一方有难，八方支援”的救援活动．其中甲、乙两厂积极投入，生产了救灾帐篷共5000顶，且乙厂的生产量比甲厂生产量的2倍少1000顶．这批帐篷将运往A，B两地，其中运往A地2400顶，运往B地2600顶，运费（单位：元/顶）情况如下： A地 B地 甲厂 2 2.5 乙厂 1.5 2.4 (1)求甲、乙两厂各生产了多少顶救灾帐篷． (2)设这批救灾帐篷从乙厂运往地顶，全部运往两地的总运费为元，求与之间的函数解析式，并设计使总运费最少的调运方案． 【答案】(1)甲厂生产了2000顶救灾帐篷，乙厂生产了3000顶救灾帐篷 (2)，总运费最少的调运方案是甲厂的2000顶救灾帐篷全部运往B地；乙厂运往A地2400顶救灾帐篷，运往B地600顶救灾帐篷 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组和一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲厂生产了顶救灾帐篷，则乙厂生产了顶救灾帐篷，由“生产了救灾帐篷共5000顶”建立一元一次方程求解； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式，通过解不等式组求出x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲厂生产了顶救灾帐篷，则乙厂生产了顶救灾帐篷． 由题意，得， 解得， （顶）． 答：甲厂生产了2000顶救灾帐篷，乙厂生产了3000顶救灾帐篷； （2）解：甲、乙两厂运往两地的帐篷数量（单位：顶）如下表所示： A地 B地 甲厂 乙厂 由题意，可得 解得. ， 随的增大而减小， 当时，运费最少， 总运费最少的调运方案是甲厂的2000顶救灾帐篷全部运往B地；乙厂运往A地2400顶救灾帐篷，运往B地600顶救灾帐篷． 4．某校计划在期末对校级“三好学生”进行表彰，准备购买某款精装硬皮笔记本作为奖品．经市场调研发现，这款笔记本各商店定价统一，花费300元购买这款笔记本的数量比花费100元购买这款笔记本的数量多20本． 学校选定了甲、乙两家学习用品商店，准备选择其中一家购买笔记本，这两家商店均有优惠活动，如下： 甲商店：购买数量超过30本，超过部分打九折出售； 乙商店：购买数量超过50本，超过部分打八折出售． 设该校购买本笔记本，在甲商店购买所花费用为元，在乙商店购买所花费用为元．其函数图象如图所示． (1)求这款笔记本的单价． (2)求图中点M的坐标，并简要说明点M表示的实际意义． (3)当时，根据图象直接写出该校应选择哪家商店购买笔记本． 【答案】(1)这款笔记本的单价为10元 (2)，点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元 (3)当时，应选择甲商店购买； 当时，在两家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可； 当时，应选择乙商店购买 【分析】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设这款笔记本的单价是x元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）根据优惠活动分别写出、关于x的函数关系式，令，得关于x的一元一次方程并求解，说明点M的实际意义即可； （3）根据图象和点M的坐标作答即可． 【详解】（1）解：设这款笔记本的单价为x元， 根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的根且符合题意． 答：这款笔记本的单价为10元； （2）解：当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为； 当时，， ∴当时，与x之间的函数关系式为． 由图象可知，点M是函数和图象的交点， 故令，解得，此时， ∴点M的坐标为， 点M表示的实际意义：当学校购买70本笔记本时，在两家商店所花费用相同，均为660元； （3）解：由图象可知：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，应选择甲商店购买； 当时，在两家商店购买所花费用相同，任选一家购买即可； 当时，应选择乙商店购买． 5．5G时代的到来将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如下表所示： 价格 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元．手机销售完成后共获得利润4400元． (1)营业厅购进 A、B两种型号手机各多少部？ (2)若营业厅再次购进A、B两种型号机共20部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案，营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部 (2)再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元 【分析】本题主要考查一元一次不等式、二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，由题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设营业厅购进A，B两种型号手机各x部、y部，则： ， 解之，得：， 答：营业厅购进A，B两种型号手机各6部，4部． （2）解：设购进A种型号机x部，则购进B种型号机部，获得的利润为w元，由题意得： ， 因为B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍， 所以， 解得：， 因为，， 所以w随着x的增大而减小， 所以当时，w取得最大值，此时，， 所以方案为：再次购进A种型号机7部，B种型号机13部，获得的利润最大，最大利润是9300元． 6．端午节为纪念屈原有吃粽子的传统习俗，现今粽子的种类非常多．口味不大相同，有鲜肉的、蛋黄的、蜜枣的、原味的等等．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多1元，用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为3元/个、5元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲粽子每个的进价为2元，乙粽子每个的进价为3元 (2)①W与m的函数关系式为 ②购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为266元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为元，根据“用200元购进甲种粽子的个数与用300元购进乙种粽子的个数相同”列出分式方程，解方程即可； （2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子个，由题意得，再由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，得； ②由一次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种粽子的进价为x元，则乙种粽子的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：甲种粽子的进价为2元，则乙种粽子的进价为3元； （2）解：①设购进甲中粽子m个，则购进乙粽子个，根据题意得： ， ∴W与m的函数关系式为：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴， 解得， ∴（m为正整数）． 即W与m的函数关系式为（m为正整数）； ②由①可知，，，m为正整数， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时． ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为266元． 7．芯片是制造汽车不可或缺的零件，某芯片厂制造的两种型号芯片的成本和批发价如表所示： 型号价格 成本（万元/万件） 批发价（万元/万件） A 30 35 B 35 42 该厂计划制造A，B两种型号芯片共40万件，设制造A种型号芯片m万件，制造这批芯片获得的总利润为w万元． (1)求这批芯片获得的总利润w（万元）与制造A种型号芯片m（万件）的函数关系式； (2)若B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，那么该厂制造A种型号芯片多少件时会获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)制造A种型号芯片10万件时，会获得最大利润，最大利润是260万元 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，理解题意列出函数关系式以及一元一次不等式组是解本题的关键． （1）由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，再根据总利润等于两种芯片的利润之和求解即可； （2）先根据B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍，列不等式求解m的范围，再利用一次函数的性质求解最大利润即可． 【详解】（1）解：由制造A种型号芯片m万件，则制造B种芯片万件，根据题意得： ，即． （2）解：∵B型号芯片的数量不多于A型号芯片数量的3倍， ∴，解得：， ∵、 ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴时，w取最大值，最大值为（万元），此时． 答：制造A型芯片10万件，B型芯片30万件，会获得最大利润，最大利润是260万元． 8．2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型．该航模店计划购买两种模型共100个，每个“神舟”模型成本为20元，每个“天宫”模型成本为16元，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型个，销售完这批模型获得的利润为元． (1)求与的函数关系式（不要求写出的取值范围）； (2)若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售完这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)购进“神舟”模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元 【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的应用，准确列出函数解析式和一元一次不等式是关键． （1）设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个，根据总利润列出函数解析式即可； （2）根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半列出不等式，解不等式求出，再根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设购买“神舟”模型个，则购买“天宫”模型个， 则， 与的函数关系式为． （2）购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半， ，解得， ，，是正整数， 当时，最大，最大值为1098， 答：购进“神舟”模型33个时，销售完这批模型可以获得最大利润，最大利润是1098元． 9．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元. (1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？ (2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价为70元，设甲种型号头盔购进了个，全部售出后的利润为元. ①求的最大值. ②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了元，同时乙种头盔进货单价下调了元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4200元，求的值. 【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； (2)①；② 【分析】此题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数的应用，根据题意正确列出二元一次方程组、一元一次不等式组、一次函数是关键． （1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，根据题意列出方程组解方程组即可； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则甲种型号头盔购进了个，根据题意得到，求出，根据一次函数的性质进行解答即可；②列出一次函数解析式，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元， 则， 解得 答：甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是元，元； （2）①设甲种型号头盔购进了个，则乙种型号头盔购进了个， ∴， 由题意可得， 解得， ∵，其中，， ∴随着x的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为． ②由题意可得，， ∵， ∴当即时，随着x的增大而增大，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得， 当即时，随着x的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴． 10．某商场筹集资金万元，一次性购进空调、彩电共30台．根据市场需要，这些空调、彩电可以全部销售，全部销售后利润不少于万元，其中空调、彩电的进价和售价见表格． 空调 彩电 进价（元/台） 5400 3500 售价（元/台) 6100 3900 设商场计划购进空调x台，空调和彩电全部销售后商场获得的利润为y元． (1)试写出y与x的函数关系式； (2)商场有哪几种进货方案可供选择？ (3)选择哪种进货方案，商场获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)方案1：购进空调12台，购进彩电18台，方案2：购进空调13台，购进彩电17台，方案3：购进空调14台，购进彩电16台 (3)选择方案：空调14台，彩电16台，商场获利最大，最大利润是16200元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式组解实际问题的运用，选择方案的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键． （1）设商场计划购进空调台，则计划购进彩电台，由总利润等于销售后的空调的利润+彩电的利润就可以表示出y与x的关系式； （2）根据购物货款不超过13.16万元和总利润不少于1.56万元建立不等式组求出其解即可； （3）根据（1）一次函数的解析式和（2）自变量取值范围就可以求出结论． 【详解】（1）解：设商场计划购进空调x台，则计划购进彩电台， 由题意，得； （2）解：由题意，得， 解得：； ∵为整数， ∴12，13，14， ∴共有3种方案： 方案1：购进空调12台，购进彩电18台， 方案2：购进空调13台，购进彩电17台， 方案3：购进空调14台，购进彩电16台； （3）解：∵，， ∴随的增大而增大， ∴时，有最大值，最大值元． ∴选择方案：空调14台，彩电16台，商场获利最大，最大利润是16200元． 11．某旅游纪念品商店销售A，B两种伴手礼，已知销售一件A种伴手礼和两件B种伴手礼可获利220元，销售三件A种伴手礼和一件B种伴手礼可获利260元． (1)求每销售一件A种伴手礼和一件B种伴手礼各获利多少元； (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A，B两种伴手礼共40件，其中A种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为y元．设购进A种伴手礼x件． ①求y与x的函数关系式； ②当购进A种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 (2)①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即可； （2）①根据“总利润等于两种伴手礼的利润和”列出函数关系式即可； ②根据题意求出①中函数最大值即可． 【详解】（1）解：设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： ， 解得：； 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． （2）①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴； 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 12．某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元． (1)求每台A型自行车和B型自行车的销售利润； (2)该商行计划一次购进两种型号的自行车共100台，设购进A型自行车x台，这100台自行车的销售总利润为y元，求y关于x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，若B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，该商行购进A型、B型自行车各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)每台A型自行车销售利润为100元，每台B型自行车的销售利润为150元 (2) (3)商店购进34台A型自行车、66台B型自行车，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一次函数关系式；（3）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台A型自行车销售利润为a元，每台B型自行车的销售利润为b元，根据某自行车商行销售10台A型和20台B型自行车的利润为4000元，销售20台A型和10台B型自行车的利润为3500元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）的结果列出一次函数关系式即可； （3）设购进A型自行车x台，则购进B型自行车台，根据B型自行车的进货量不超过A型自行车的2倍，列出一元一次不等式，解不等式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设每台A型自行车销售利润为a元，每台B型自行车的销售利润为b元， 根据题意得：， 解得：， 答：每台A型自行车销售利润为100元，每台B型自行车的销售利润为150元； （2）解：根据题意得：， 即y关于x的函数关系式为； （3）解：设购进A型自行车x台，则购进B型自行车台， 根据题意得：， 解得：， 由（2）可知，， ， 随x的增大而减小， 为正整数， 当时，y取最大值，最大值， 此时，， 答：商店购进34台A型自行车、66台B型自行车，才能使销售总利润最大，最大利润是13300元． 13．年月，第届世界运动会将在成都举行，天府新区将承办个比赛项目及相关重大配套活动，为此，天府新区将全方位提升城市街面公共区域环境品质，某社区响应号召，计划采购一批花卉和绿植美化环境．已知采购盆花卉和盆绿植需要元，采购盆花卉和盆绿植需要元． (1)求花卉和绿植的单价各是多少元； (2)若该社区需要采购花卉和绿植共盆（花卉、绿植都需要采购），且采购的绿植数量不超过花卉数量的，为使采购费用最低，应采购花卉和绿植各多少盆？ 【答案】(1)花卉的单价是元，绿植的单价是元 (2)为使采购费用最低，应采购盆花卉，盆绿植 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，得出关于的函数关系式． （1）设花卉的单价是x元，绿植的单价是y元，根据“采购盆花卉和盆绿植需要元，采购盆花卉和盆绿植需要元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购盆花卉，盆绿植，采购费用为元，利用总价=单价数量，可找出关于的函数关系式，由采购的绿植数量不超过花卉数量的，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设花卉的单价是元，绿植的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：花卉的单价是元，绿植的单价是元． （2）解：设采购盆花卉，盆绿植，采购费用为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 采购的绿植数量不超过花卉数量的， ， 解得：， 当时，取得最小值，此时（盆）． 答：为使采购费用最低，应采购盆花卉，盆绿植． 【题型3：行程问题】 1．在某次比赛中，甲、乙两支龙舟队的行进路程，都是行进时间的函数，它们的图像如图所示．给出下列结论：乙龙舟队先到达终点；时，甲龙舟队处于领先位置；当时，甲龙舟队的速度比乙龙舟队的速度快；在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队恰有次相距．其中正确结论的序号是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象、用待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是根据函数图象中的数据找出两支龙舟队之间的路程之间的关系．从两支龙舟队函数图象之间的关系可知乙龙舟队先到达终点；在时，甲龙舟队处于领先位置；当时，乙龙舟队的速度快，根据图象中的数据求出甲、乙两支龙舟队的函数解析式，分、，三段求解，可知两支龙舟队之间的距离不可能达到． 【详解】解：由函数图象可知乙龙舟队先到达终点，故正确； 由函数图象可知，出发后到之前都是甲龙舟队处于邻先地位，故正确； 由函数图象可知，当比赛开始时，乙龙舟队加速，并在到时追上了甲龙舟队， 当时，乙龙舟队的速度快，故错误； 由函数图象可知，甲龙舟队的速度是， 甲龙舟队的函数解析式是， 从出发到时，乙龙舟队的速度是， 这一段的函数解析式是， 乙龙舟队加速后经过点和点， 设此时函数解析式是， 可得：， 解得：， 乙的函数解析式是， 当时，若两个龙舟队相距， 则有， 解得：(不符合题意，舍去)， 即当时，两个龙舟队不能相距； 当时， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)或(不符合题意，舍去)， 即当时，两支龙舟队不能相距； 当时，乙龙舟队到达终点， 可得：， 解得：(不符合题意，舍去)； 在比赛过程中，甲、乙两支龙舟队不可能相距， 故错误； 综上所述，正确结论的序号是． 故选：Ａ． 2．甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，甲车到B地后立即返回A地，若两车行驶时速度保持不变，如图是两车离A地的距离y与所用时间x的函数关系图象．下列说法错误的是（    ） A．甲车从A地到B地时间为分钟 B．甲车速度是乙车速度的倍 C．甲车行驶路程是乙车的2倍 D．甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握相关知识是解题的关键．根据时间、速度和路程之间的关系结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：甲车从地到地时间为（分钟）， 故A选项不符合题意； 甲车从地到地时间为分钟，乙车从地到地时间为分钟， 行驶相等的路程甲、乙两车所用时间之比为， 甲、乙两车的速度之比为， 甲车速度是乙车速度的3倍， 故B选项符合题意； 甲车行驶路程是乙车的2倍， 故C选项不符合题意； 设乙车的速度为千米分钟，则甲车的速度为千米分钟，、两地之间的路程为 千米， 设甲、乙两车第一次相遇的时间为分钟，则 解得， 设甲、乙两车第二次相遇的时间为分钟，则， 解得， （分钟）， 甲、乙两车在途中两次相遇的间隔时间为分钟， 故D选项不符合题意． 故选：B． 3．甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离与时间之间的关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的关系，根据图象，解答下列问题： (1)线段表示轿车在途中停留了___________小时； (2)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 【答案】(1) (2)轿车从甲地出发后经过追上货车 【分析】本题考查一次函数的实际应用，涉及从函数图象中获取信息、待定系数法求函数表达式，数形结合，准确获取信息并求出一次函数表达式是解决问题的关键． （1）由图可知，点对应的时间是、点对应的时间是，作差即可得到答案； （2）由图可知，当货车与轿车函数图象相交时，轿车追上货车，数形结合，利用待定系数法求出线段和线段表达式，联立方程组求出即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点对应的时间是、点对应的时间是， 线段表示轿车在途中停留的时间为， 故答案为：； （2）解：由图可知，当货车与轿车函数图象相交时，轿车追上货车， 设的表达式为， 将代入表达式得，解得， 的表达式为； 设的表达式为， 将代入表达式得， 解得， 的表达式为； 联立，则， 解得， 轿车从甲地出发后经过追上货车． 4．小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到市图书馆查阅资料，学校与市图书馆之间的路程是4千米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达市图书馆，图中折线和线段分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的关系，请根据图象回答下列问题： (1)小聪在市图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为_____千米/分钟； (2)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？ 【答案】(1)15； (2)3 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用和读图能力．从图象中获得所需的信息是需要掌握的基本能力，熟练地运用待定系数法求函数解析式和用方程求交点坐标是解题的关键． （1）根据图象上所给的数据的实际意义，线段表示小聪在图书馆查阅资料，线段表示小聪返回学校，可求解； （2）由图象可知，线段所在直线，是的一次函数，设函数解析式为，把，代入，利用待定系数法求得表达式，由图象可知，线段所在直线，是的正比例函数，设所求函数的解析式为，把代入解析式，利用待定系数法即可求解，再根据求函数图象的交点方法求得交点坐标即可． 【详解】（1）解：，， 小聪在图书馆查阅资料的时间是15分钟，小聪返回学校的速度是千米分钟． 故答案为：15； （2）由图象可知，线段所在直线，是的一次函数， 设函数解析式为， 代入，，得， 解得， 由图象可知，线段所在直线，是的正比例函数， 设所求函数的解析式为， 代入，得：， 解得：， 与的函数关系式， 令，解得， 当时，，交点为， 答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米． 5．某天早晨，小强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起按小强返回时的速度回到家（小强和妈妈始终在同一条笔直的公路上），设两人离家的距离为（米），小强从家出发后的时间为（分），与之间的函数图象如图所示． (1)体育场与小强家的距离为_________米； (2)求小强去体育场时离家的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求妈妈比按自己原来的速度提前多少分钟到家． 【答案】(1)3000 (2)（） (3)妈妈比按自己原来的速度提前10分钟到家 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，读懂图象信息是解答本题的关键． （1）根据图象可得结论； （2）运用待定系数法可求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求出点B的坐标，根据点D和点B的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式，将代入其内可求出x的值，用其减去50即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象得体育场与小强家的距离为3000米， 故答案为：3000； （2）解：设直线的解析式为（）， 把代入，得， ， 与之间的函数关系式为（）； （3）解：当时，． ． 设直线的解析式为（）． 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 答：妈妈比按自己原来的速度提前10分钟到家． 6．一辆轿车从A地驶往B地，到达B地后立即返回A地，返回速度是原来的倍，往返共用t小时．一辆货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止．两车同时出发，匀速行驶，设轿车行驶的时间为，两车离开A地的距离为，轿车行驶过程中y与x之间的函数图象如图所示． (1)轿车从A地驶往B地的速度为 ， ； (2)在图中画出货车从A地行驶到B地的函数图象，并求货车从A地行驶到B地时y与x之间的函数关系式；（写出自变量取值范围） (3)当轿车从B地返回A地的途中与货车相遇时，求相遇处到A地的距离． 【答案】(1)80，5 (2)见解析， (3)相遇处到A地的距离为 【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，正确理解题意，根据图象得到做题所需信息是解题关键． （1）由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了，所用时间为，根据速度路程时间即可求出轿车从A地驶往B地的速度，根据图象即可得到t的值； （2）根据时间路程速度可求出货车到达B地所需时间，以此确定函数图象过和两点，根据路程速度时间即可写出y与x之间的函数关系式； （3）由题意可得轿车返回速度为，设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇，根据“货车走过的路程轿车从B地出发后的路程”列出方程，求得a，则相遇处到A地的距离就是货车走过的路程． 【详解】（1）解：由图象可知，轿车从A地驶往B地一共行驶了，所用时间为， ∴轿车从A地驶往B地的速度为， 由图象可知，轿车往返共用； 故答案为：80，5； （2）∵货车同时从A地驶往B地，速度是到达B地后停止， ∴货车到达B地所需时间为， ∴货车从A地行驶到B地的函数图象过和， ， 函数图象如图所示， （3）∵轿车返回速度是原来的倍， ∴轿车返回速度为， 设a小时后，轿车从B地返回A地的途中与货车相遇， 根据题意得：， 解得：， ∴相遇处到A地的距离为． 7．“五·一”长假，小王与小叶相约分别驾车从长春出发，沿同一路线驶往距长春的甲地旅游．小王由于有事临时耽搁，比小叶晚出发1.25小时．而小叶的汽车中途发生故障，等排除故障后，立即加速赶往甲地．若从小叶出发开始计时，图中的折线、线段分别表示小叶、小王两人到长春的距离、与时间之间的函数关系． (1)求直线的函数解析式． (2)求小王和小叶第二次相遇的时间为 小时． (3)为了保证及时联络，小王、小叶在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过，直接写出他们实际的行驶过程是否符合约定． 【答案】(1) (2) (3)符合约定 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）设直线的函数解析式为，将，代入解析式计算即可得解； （2）在中，当时，则，计算即可得解； （3）求出直线的函数解析式为，再分别求出当时和时相距的距离，比较即可得解． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， 解得， 故小王和小叶第二次相遇的时间为小时； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将，代入解析式可得， 解得， ∴直线的函数解析式为：， 由图象可得，在中，当时，， 在中，当时，，此时相距； 在中，当时，， 在中，当时，，此时相距； 故他们实际的行驶过程符合约定． 8．一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时， ， 时， ， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 9．某校八年级学生去西北农林科技大学研学参观，为了提前做好准备工作，学校安排小轿车送志愿者前往，同时老师和学生乘坐大巴车前往目的地，小轿车到达目的地后立即返回学校，大巴车在目的地等候，如图是两车距学校的距离与行驶时间之间的函数图象． (1)求小轿车返回学校过程（段）的函数表达式； (2)当两车行驶后在途中相遇，求点的坐标； (3)当时，问大巴车从学校出发后经过多长时与小轿车相距？ 【答案】(1) (2) (3)当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距20km 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键； （1）设直线的解析式是，把，代入解析式，得出解析式， （2）再把代入解答即可； （3）得出直线的解析式，结合，再根据题意分情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 把，代入解析式得：， 解得：， 则直线的解析式是：， （2）直线的解析式是：， 当时，； 则点坐标为：； （3）解：设直线的函数解析式为：， 将代入函数解析式，可得：， 解得：， 即直线的函数解析式为：， 当，解得：； 当，解得：； 当时，大巴车从学校出发后经过或时与小轿车相距． 10．已知两地相距千米，甲于某日下午时骑车从地出发前往地，乙也于同日下午开车按相同路线从地出发前往地．如图所示，图中的折线和线段分别表示甲、乙所行驶的路程和时间的关系． 根据图象解答下列问题： (1)甲和乙比较，谁先出发，谁先到达地，先到多少时间？ (2)求乙的行驶速度； (3)求甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式； (4)甲、乙在下午什么时间相遇？并求相遇地点到地的距离． 【答案】(1)甲，乙，小时 (2)千米/时 (3) (4)时分，千米 【分析】（）观察图象解答即可； （）根据速度路程时间计算即可； （）根据速度路程时间和路程速度时间计算列出函数解析式即可； （）求出线段对应的函数关系式，从而求出两图象交点坐标再进行有关计算即可； 本题考查一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可知，甲先出发，乙先到达地，先到小时； （2）解：千米/时， 答：乙的行驶速度为千米/时； （3）解：甲在段的速度为千米，则； 甲在段的速度为千米/时，则； ∴甲在行驶过程中，行驶的路程关于时间的函数解析式为； （4）解：线段对应的函数关系式为， 当甲、乙相遇时，由， 解得， ∵小时时分， ∴甲、乙在下午时分相遇， 此时相遇地点到地的距离为千米． 11．A，B两地路程为600km，甲、乙两车分别从两地同时出发，沿同一公路相向行驶．如图是两车距离A地的路程与行驶时间之间的关系． 请根据以上信息，解答下列问题： (1)______（填“甲车”或“乙车”）从A地出发前往B地； (2)求乙车距离A地的路程与行驶时间之间的关系式，及两车途中相遇时距离A地的距离； (3)若甲车到达目的地后立即按原速折返，请通过计算说明：甲车折返途中是否会再次遇上乙车？ 【答案】(1)甲车 (2)，两车途中相遇时距离A地360千米 (3)甲车折返途中不会再次遇上乙车，计算见解析 【分析】（1）根据出发时距A地0千米的是甲车，即得； （2）由，求出，当时，得，即得相遇时距A地360千米； （3）根据甲车速度为90千米/时，到达B地时是小时，求得甲车返回时关系式为，若甲车折返途中会再次遇上乙车，则，根据，得，解得，超过了乙车到达B地的时间10小时，故不会再次遇上乙车． 【详解】（1）解：根据图象可得，出发时距A地为0千米的是甲车， ∴甲车从A地出发前往B地， 故答案为：甲车． （2）解：设， ，代入， 得， 解得， ∴， 当时， ， 故两车途中相遇时距离A地360千米． （3）解：设， 代入， 得， 解得， ∴， 当时， ， 设返回时， 代入， 得， 解得， ∴， 若甲车折返途中会再次遇上乙车， 则， ∵， ∴， 解得， ∴不会再次遇上乙车． 【点睛】本题考查了一次函数的应用——行程问题，熟练掌握路程——时间关系图象信息，路程与速度和时间的关系，相遇问题，追击问题，是解题的关键． 【题型4：梯度计价问题】 1．如图，小明去超市购买一种水果，付款金额（元）与购买数量（千克）之间的函数图像由线段和射线组成．现有两种购买方案： 方案一：一次购买千克水果； 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果． 方案一比方案二节省（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的实际应用，设的解析式为，直线的解析为，求出两个解析式，然后分别计算出方案一和方案二的花费，即可得到答案．解题的关键确定一次函数的解析式． 【详解】解：设的解析式为，过点， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设直线的解析为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析为， ∴方案一：一次购买千克水果， 费用为：（元）， 方案二：分两次购买，第一次购买千克水果，第二次购买千克水果， 费用为：（元）， ∵（元）， ∴方案一比方案二节省元． 故选：B． 2．按某市电力部门用电收费标准，用电客户应付电费（元）与每月用电量（度）的关系如图所示． (1)分别求和时与的函数解析式； (2)求用电量为180度时的应付费用． 【答案】(1)时；时 (2)142元 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法进行求一次函数，即可作答． （2）直接把代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：设当时，， 把代入，得 解得 ∴； 设当时，， 把，分别代入， 得 解得 ∴； （2）解：依题意，由（1）得时 依题意，当时，(元) 3．新能源出租车具有节能环保、运营成本低、科技感强、乘客体验更舒适等优点．为了调研新能源出租车的收费标准，某校七（2）班调研得知，其收费标准按实际里程计算， 即起步价为10元（含3千米），超过3千米后，每千米收费2元，调研结果如下： 乘车里程 0 1 2 3 5 收费元 0 10 10 10 13 请回答下列问题： (1)七（2）班所绘制表格中的值为______，的值为______； (2)直接写出当时，与之间的关系式； (3)小李乘坐新能源出租车从甲社区到乙社区，到达目的地后付费21元，请问小李此次的行程有多远？ 【答案】(1)11，14 (2) (3)小李此次的行程为千米 【分析】（1）根据题意，得，，解答即可； （2）当时，； （3）根据付费21元，大于10元，令代入解析式求自变量的值即可． 本题考查了一次函数的应用，求函数的解析式，求函数自变量的值，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得，， 故答案为：11,14； （2）解：当时，． （3）解：根据付费21元，大于10元， 令代入解析式中，得， 解得， 故小李此次的行程为千米． 4．为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解题的关键． （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； （3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系式为． （2）当时，与之间的关系式为， 当时，与之间的关系式为， 当时，解得舍去)， 当时，解得， 年小明家用了水． （3）建议：适当调整各阶梯的水量标准； 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理用水． 5．某视频网站对本站会员推出、两种收费方式，这两种收费方式每月所需的费用（元）与上网时间的关系如图所示： 观察图象，解决以下问题： (1)每月上网时间为时，、两种方式的费用分别是多少？ (2)每月上网费用为元时，、两种方式可上网的时间分别是多少？ (3)每月上网时间为的时候，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 【答案】(1)每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元； (2)每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． (3)每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 【分析】本题考查一次函数图象，求一次函数的解析式，解题的关键是正确理解函数图象中的信息． （1）观察函数图象即可； （2）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，代入纵坐标，即可得方式的上网时间，通过观察函数图象即可得方式的上网时间； （3）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，将上网时间分别代入两种方式对应的函数解析式，可得对应的费用，比较即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时，方式的费用是元，方式的费用是元， 答：每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元． （2）解：方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，，解得：， 由图可知，当时，， 答：每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． （3）解：由（2）得，方式，当时，每月所需费用， 当时，， 方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，， ∵， ∴当时，， 答：每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 6．为响应绿色出行号召，漳州市某新能源充电站采用“峰谷电价+阶梯服务费”的收费模式．已知充电时段分为峰时（8：00-22：00）、谷时（22：00-次日8：00），其基础电价和阶梯服务费标准如下： 收费项目 收费标准 基础电价 峰时：元/度；谷时：元/度． 阶梯服务费 充电量不超过度时，服务费为元/度；超过度后，超出部分的服务费提升至元/度． 问题解决： (1)设充电量为度，总费用为元．请写出在峰时充电时，关于的函数表达式，并指出自变量的取值范围； (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，试问他此次充了多少度电？ (3)为推广谷时充电，该充电站推出以下优惠政策：谷时充电量超过20度的部分，基础电价降低．请问推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省多少费用？ 【答案】(1) (2)若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电 (3)推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，根据题意获取信息是解题关键． （1）根据题意，可得总费用与充电量的函数表达式为分段函数，且总费用为基础电费与服务费之和，按充电量和分别列出函数式即可； （2）先求出若陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量，根据题意，求得当充电量时，谷时充电的总费用，令，解一元一次方程，即可求解； （3）先分别计算原谷时充电度的总费用和优惠政策后，充电度的总费用，再进行比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得： 当充电量度时，， 当充电量度时，， 在峰时充电时，关于的函数表达式为． （2）解：当充电量度时，最大总费用为元元， 陈先生某次谷时充电支付了元，其充电量， 在谷时充电时，当时，总费用， 令，得：，解得：． 答：若陈先生某次谷时充电支付了元，他此次充了度电． （3）解：原谷时充电度的总费用为：元， 优惠政策后，充电度的总费用为：元， 元． 答：推出优惠政策后，陈先生在谷时充电度能节省元． 7．共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： (1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； (2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)7， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题的关键. （1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元）， 故答案为：7；； （2）解：设， 把代入，得：， 解得：； ∴； （3）解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或． 【题型5：新情景问题】 1．在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示．已知．请根据所提供的信息，解答下列问题： (1)求乙蜡烛燃烧时，与之间的函数关系式； (2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样（不考虑都燃尽时的情况）？ (3)甲蜡烛燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差？ 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（待定系数法求解析式、函数交点、函数值差的问题），熟练掌握一次函数的图象与性质及方程思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法，根据乙蜡烛图象经过的两个点的坐标，设出一次函数解析式，代入求解． （2）联立甲、乙蜡烛的函数关系式，求解方程得到燃烧时间． （3）分两种情况讨论，即甲蜡烛剩余高度比乙蜡烛高和乙蜡烛剩余高度比甲蜡烛高，分别列方程求解． 【详解】（1）解：设乙蜡烛的函数关系式为：． ∵ 乙蜡烛图象过和， ∴ ， 解得， ∴． （2）解：联立，得， ， ， ∴燃烧时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度一样； （3）解：分两种情况： 情况一：，即， ， ， ； 情况二：，即， ， ， ． ∴甲蜡烛燃烧或时，甲、乙两根蜡烛剩余部分的高度相差． 2．情境素材绿动未来——追踪碳排放． 素材一：在对 A 市交通工具的二氧化碳排放量所进行的一项调研中，我们发现：10辆燃油车和10辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为，而5辆燃油车和6辆电动汽车每千米共同排放的二氧化碳总量约为． 素材二：为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关换算标准，每棵成年的阔叶树种（如：杨树）每年大约吸收二氧化碳，而每棵成年的针叶树种（如：冷杉）每年大约吸收二氧化碳． (1)问题一：一辆燃油车和一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳分别是多少克？ (2)问题二：某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树a棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为． ①求w 和a 之间的函数表达式； ②杨树会产生较多的飘絮物，因此规定采购杨树不超过30棵，请设计一个最优的采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 【答案】(1)一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是 (2)①；②购买杨树30棵，冷杉70棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用. （1）设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是，根据题意列方程组求解即可； （2）①设购买杨树a棵，则购买针叶树棵，进而根据题意列函数解析式即可； ②根据一次函数的增减性可知w 随a 的增大而增大，进而可知当时，w取最大值，进而计算即可. 【详解】（1）解：设一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是． 由题意，得 ， 解得 ， 所以一辆燃油车每千米排放的二氧化碳是，一辆电动汽车每千米排放的二氧化碳是； （2）解：①由题意，得． ②由①得． 由题意，得． 又， 所以w 随a 的增大而增大． 所以当时，w取最大值，且最大值为， 此时． 所以当购买杨树30棵，冷杉70棵时，这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大． 3．某快递公司每天上午为集中揽件和派件时段，其中甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件．如图，线段和线段分别表示甲乙两仓库快件数量（件）与时间（分）之间的函数图象． (1)甲仓库每分钟揽收_________件快递； (2)求线段对应的函数表达式（不用写自变量取值范围）； (3)从开始，经过多长时间甲乙两仓库的快递件数相同． 【答案】(1)6 (2) (3)从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同 【分析】本题考查一次函数的应用，求出与的解析式是解题的关键． （1）由图得60分钟收了360件，由此可解； （2）利用待定系数法求解； （3）设与的交点为，将与的解析式联立，求出交点的横坐标即可． 【详解】（1）解：甲仓库每分钟揽收快递：（件）， 故答案为：6； （2）解：设线段的表达式为． 由已知，，代入函数表达式得：， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． （3）解：设表达式为．由已知，． ∴． 解得：． ∴表达式为． 设与的交点为， 则， 解得． 答：从开始，经过24分钟甲乙两个仓库的快递件数相同． 4．如图，某花园护栏是由若干个直径的半圆形条钢组合而成，且每增加一个半圆条钢，护栏长度就增加，设半圆形条钢为x个，护栏总长度为． (1)若． ①当时， ； ②写出y与x的函数关系式为 ； (2)若护栏的总长度不变，当时，用了n个半圆形条钢；当时，用了个半圆形条钢，求n，k之间满足的关系式（其中n，k均为正整数）． 【答案】(1)①140； ② (2) 【分析】此题考查了一次函数的应用． （1）①由图可以直接列式计算即可；     ②由图可以直接列出关系式； （2）给定的条件为两个常数，直接代入x、y关系式即可求解． 【详解】（1）解：①，时，， 故答案为：140； ②由题意得：， 故答案为：； （2）解：由题意得： 当时，； 当时，， 将上述a、x分别代入方程得： ， 化简得：， 答：n，k之间满足的关系式为． 5．“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 6．如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．现向此“公道杯”中匀速注入清水；当满杯时(即3秒时)，边继续匀速注入清水，杯中水边自动向外排出，6秒后停止注水，再等水匀速完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如表： 时间(秒) 水位高度(厘米) 根据以上信息，解决下列问题： (1)根据表中数据在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象； (2)求3秒到6秒之间的函数表达式，并求出排水的速度； (3)利用图象估计从开始注水，到杯中水完全排尽，用时约为 秒．(保留1位小数) 【答案】(1)见解析 (2)；排水的速度为(厘米/秒) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用． （1）描点，画出函数图象即可； （2）用待定系数法可求出秒到秒之间的函数表达式，结合注水速度可得排水的速度； （3）观察图象（或列式计算）可得答案． 【详解】（1）解：描点，画出函数图象如下： （2）设秒到秒之间的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 秒到秒之间的函数表达式为； 由表格知，注水的速度为每秒厘米， 排水的速度为厘米秒； （3）秒， 故答案为：． 7．漏刻是中国古代的一种计时工具，漏刻的工作原理是利用均匀水流导致的水位变化来显示时间．水从上面漏壶源源不断地补充给下面的漏壶，再均匀地流入最下方的箭壶，使得壶中有刻度的小棍匀速升高，从而取得比较精确的时刻．某学习小组复制了一个漏刻模型，研究中发现小棍露出的部分（厘米）是时间（分钟）的一次函数，且当时间分钟时，厘米．表中是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误． （分钟） …… 10 20 30 40 （厘米） …… 2.6 3.2 3.6 4.4 (1)你认为的值记录错误的数据是______，请利用正确的数据确定函数表达式； (2)当小棍露出部分为14厘米时，对应的时间为多少？ 【答案】(1)， (2)200 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求出函数解析式是关键． （1）分析表格中数据即可得到结论；利用正确的数据，由待定系数法求函数解析式即可； （2）把代入（1）中解析式，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴y的值记录错误的数据是； 设， ∵， ∴， 解得：， ∴y与x的解析式为； （2）解：将代入函数解析式得：， 解得． 答：对应的时间是200分钟． 8．项目化学习·数学与生活融合 项目主题 生活中的数学：如何确定单肩包的最佳背带长度 素材1 如图1是一款单肩包，背带由双层部分、单层部分和调节扣构成．使用时可以通过调整调节扣的位置加长或缩短单层部分和双层部分的长度，使背带的总长度加长或缩短（总长度为单层部分与双层部分的长度和，其中调节扣的长度忽略不计）（图1）    素材2 对该单肩包的背带长度进行测量，记双层部分的长度为，单层部分的长度为与满足一次函数关系，其部分数据如下表： 双层部分的长度 2 6 10 14 单层部分的长度 116 108 100 92 素材3 单肩包的最佳背带总长度与身高比例为 素材4 小明爸爸购买了此款单肩包，他将该单肩包的背带总长度调整到最短后提在手上，然后自然站立，此时背包的悬挂点离地面的高度为；已知爸爸的臂展和身高一样（如图2），且肩宽为，头顶到肩膀的垂直高度为总身高的．    任务1 直接写出与的函数表达式并确定的取值范围． 任务2 设人身高为，当单肩包的背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时人身高与这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式 任务3 当小明爸爸的单肩包背带总长度调整为最佳背带总长度时，求此时双层部分的长度． 【答案】任务1：；任务2：；任务3： 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意、利用待定系数法求函数关系式，求出函数解析式是本题的关键． 任务1：利用待定系数法求出函数关系式； 任务2：先求出单肩包背带总长度为，根据“单肩包的最佳背带总长度与身高比例为”列式求出这款单肩包的背带双层部分的长度之间的函数表达式； 任务3：求出小明爸爸身高，再求出的值即可． 【详解】解：任务1：设这条直线的解析式为（k、b为常数，且）， 将和代入, 得， 解得， ∴该函数的表达式是的取值范围是， 任务2：单肩包背带总长度为， 当单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时， 任务3：小明爸爸身高为，根据题意得， 解得，即小明爸爸身高为 ． 即小明爸爸的单肩包背带长度调整为最佳背带总长度时，双层部分的长度为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $