专题27.2 圆周角（高效培优讲义）数学华东师大版九年级下册

专题27.2 圆周角 教学目标 1.理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系； 2.会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 教学重难点 1、重点：圆周角定理及其推论的探究与应用. 2、难点：圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用. 知识点01 圆周角的概念 ◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. ◆2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点02 圆周角定理及其推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. ◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC ◆3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点03 圆内接四边形及其性质 ◆1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 题型01 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用 【典例1】（24-25九年级上·内蒙古通辽·月考）如图，在中，弦，若，则的度数是（ ）    A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型02 同弧或等弧所对圆周角相等的运用 【典例2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型03 直径所对的圆周角是90°的运用 【典例3】（2025·浙江丽水·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（江苏省无锡市经开区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 题型04 圆周角定理中的多结论问题 【典例4】下列命题中，正确的有（　　） ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对弧也相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-3】（2024•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论： ①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 题型05 与圆周角定理有关的证明 【典例5】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． (1)求证：点是的中点． (2)若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，为的直径，，是弦，与相交于点，连接 ． (1)求； (2)若是的中点，求证：． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)判断与之间的关系，并证明． 题型06 利用圆内接四边形的性质求角度 【典例6】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，等边三角形的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，在的内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 题型07 利用圆内接四边形的性质求线段长 【典例7】（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，为直径，点A，D在上，，若，则的半径长度为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【变式7-1】（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90º，∠A=60º，AB=3，CD=2，则AD的长为（   ） A． B． C． D．3 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，．若，，则的长为 ． 【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G． （1）求证：BG＝CG； （2）若OF＝1，求AD的长． 题型08 利用圆内接四边形的性质求面积 【典例8】（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【变式8-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 　　． 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， (1)求证：． (2)若的半径为，，求四边形的面积． 题型09 利用圆内接四边形的性质判断结论 【典例9】（2024•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④，其中正确结论 有（　　） ​ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】 （25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，内接于，其外角平分线交于，于，于，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法： ；三角形是等边三角形； 的半径为； ；四边形最大面积是，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26九年级上·北京·期中）如图，的半径为2，四边形内接于，圆心到的距离等于．下列说法中： ①的长为2； ② ③为劣弧上一点若，则； ④若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是． 所有正确结论的序号是 ． 题型10 利用圆内接四边形的性质证明 【典例10】已知四边形ABCD内接于⊙O，，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形． 【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形． 【变式10-2】（2024秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE． 【变式10-3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． (1)______； (2)判断的形状，并证明你的结论． (3)当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 题型11 利用圆周角定理解决最值问题 【典例11】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【变式11-1】（2024秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 　 　． 【变式11-2】（2024•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为 ． ​ 【变式11-3】（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 题型12 圆周角定理的综合应用问题 【典例12】（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，求和的大小． 【变式12-1】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，矩形内接于，是上一动点，连接，若，． (1)求的半径． (2)若，求的长． 【变式12-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【变式12-3】（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，四边形内接于，于点H． (1)求的值； (2)求证： ； (3)若，请直接写出的值　　　． 一、选择题 1．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 2．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，内接于，是的直径．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，圆内接四边形，，，，则四边形的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知，点D的坐标为，则点A的横坐标为（    ） A． B． C．2 D． 7．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 8．（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 二、填空题 9．（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 10．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 11．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 13．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 3、 解答题 14．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，是边上一点，以为直径的经过点，是直径上一点（不与点、重合），连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，是直径，是弦，于点，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 17．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是的直径，是的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题27.2 圆周角 教学目标 1.理解圆周角的概念.探索圆周角与同弧所对的圆心角之间的关系； 2.会用圆周角定理及推论进行有关计算和证明. 教学重难点 1、重点：圆周角定理及其推论的探究与应用. 2、难点：圆周角定理的证明中由一般到特殊的数学思想方法以及圆周角定理及推论的应用. 知识点01 圆周角的概念 ◆1、圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 【特征】 ① 角的顶点在圆上. ②角的两边都与圆相交. ◆2、圆心角与圆周角的区别与联系 圆心角 圆周角 区 别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的. 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个. 联 系 两边都与圆相交 知识点02 圆周角定理及其推论 ◆1、圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等. ◆2、圆周角与圆心角的位置有三种情况，如图： 即∠ABC =∠AOC ◆3、圆周角定理的推论 圆周角和直径的关系：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 知识点03 圆内接四边形及其性质 ◆1、圆内接四边形：一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 如右图：四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 是四边形的外接圆. ◆2、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补. 如右图：∵四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形， ∴ ∠A +∠C = 180°，∠B +∠D = 180°. 题型01 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半的运用 【典例1】（24-25九年级上·内蒙古通辽·月考）如图，在中，弦，若，则的度数是（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质．由相关定理导出角之间的数量关系是解题的关键． 根据平行线性质，得，由圆周角定理，得． 【详解】解：如图，∵弦, ∴． ∴． 故选：A． 【变式1-1】（25-26九年级上·天津南开·期中）如图，在⊙中，，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理．首先连接，根据垂径定理可知，根据同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·重庆长寿·期中）如图，，，是上的三点，，，那么的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质，掌握相关性质定理是解题的关键．根据圆周角定理求得，结合，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】解：，，是上的三点，， ， ，   是等边三角形， ，的半径等于． 故选：D． 【变式1-3】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）如图，在中，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 连接，，首先根据圆周角定理求出，，求出，然后根据等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型02 同弧或等弧所对圆周角相等的运用 【典例2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， 故， 故选A． 【变式2-1】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在圆中，是直径，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，直角三角形两锐角互余．由圆周角定理得到，再根据是直径得到，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴． 故选：C． 【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵内接于，为的直径， ∴， ∴； 故选B． 【变式2-3】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，四边形内接于直径是的．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由圆周角定理可得，，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，则， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 题型03 直径所对的圆周角是90°的运用 【典例3】（2025·浙江丽水·二模）如图，是的内接三角形，是的直径，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据直角所对的圆周角是直角得到的度数，则可求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】（江苏省无锡市经开区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷）如图，是的直径，点C，D在上，若，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角等于可得，进而可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3-2】（25-26九年级上·天津河北·期中）如图，的顶点都在上，已知直径，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角的性质，以及直径所对的圆周角为直角，解决本题的关键是判断出是等腰直角三角形． 作出辅助线，由圆周角的性质可得，再判断出是等腰直角三角形，由此可求解． 【详解】解：连接，如图， 则， ， ， 是圆的直径， ， 是等腰直角三角形． ． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）如图，点A、B、D、C都在圆上，是的直径，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，平行线的性质以及勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据垂径定理可得出，然后根据弧、弦的关系即可得证； （2）根据垂径定理得出，，根据平行线的性质可得出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理求出，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ，， ，， ，， ， 又， ， ， 又， ， ． 题型04 圆周角定理中的多结论问题 【典例4】下列命题中，正确的有（　　） ①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半； ③90°的圆周角所对的弦是直径； ④圆周角相等，则它们所对弧也相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A． 【分析】利用圆周角的定义、圆周角定理等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①顶点在圆周上且两边都与圆相交的角是圆周角，故原命题错误，不符合题意； ②同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故原命题错误，不符合题意； ③90°的圆周角所对的弦是直径，正确，符合题意； ④在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对弧也相等，故原命题错误，不符合题意 正确的有1个， 故选：A． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解周角的定义、圆周角定理等知识，难度不大． 【变式4-1】如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD， ∴，， ∴2，故①正确； AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误； OC⊥BD，故③正确； ∠AOD＝3∠BOC，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【变式4-2】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，连接OD、AD，则以下结论：①D是BC的中点；②AD⊥BC；③AD是∠BAC的平分线；④OD∥AC．其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 【分析】由AB＝AC，得到∠B＝∠C，由于AB为⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据相似三角形的性质得到①②③正确，由于OB＝OD，于是得到∠B＝∠ODB，根据同位角相等，两直线平行即可得到④正确． 【详解】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD， ∴D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线， ∴①②③正确， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∴④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质﹣三线合一是解题的关键． 【变式4-3】（2024•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，，点E是点D关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论： ①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B． 【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可； ②正确．证明∠CED＝30°，可得结论； ③错误，M是动点，DM不一定垂直CE； ④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论． 【详解】解：∵， ∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°， ∵E，D关于AB对称， ∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误， ∵∠CED∠COD＝30°， ∴∠DOB＝2∠CED，故②正确， ∵M是动点， ∴DM不一定垂直CE，故③错误， 连接EM． 则ME＝MD， ∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型05 与圆周角定理有关的证明 【典例5】（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，三角形内接于，，连接并延长交于点D，连结，，． (1)求证：； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，根据圆周角定理得到，证明； （2）根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，即 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由圆周角定理得：， ∴， ∴． 【变式5-1】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知中，为半圆O的直径，、分别交半圆O于点E、D，且． (1)求证：点是的中点． (2)若点E是的中点，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查的是圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键． （1）连接，根据圆周角定理得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据直角三角形的性质得到，得到，根据等边三角形的判定定理证明． 【详解】（1）证明：连接， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， 即点是的中点； （2）解：∵， ∴， ∵，点E是的中点， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式5-2】（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，为的直径，，是弦，与相交于点，连接 ． (1)求； (2)若是的中点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的性质与判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而求得； （2）连接，可得是等边三角形，根据是的中点，根据三线合一可得，进而根据垂径定理即可得证． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∵是的中点， ∴，即， ∴． 【变式5-3】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，A、P、B、C是上的四个点，． (1)判断的形状，并证明你的结论； (2)判断与之间的关系，并证明． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，进而得到，最后根据等边三角形的判定定理即可解答； （2）在上截取=，连接，得到为等边三角形，证明)，根据全等三角形的性质并结合图形即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下， 由圆周角定理得到，， ， ， 为等边三角形； （2），理由如下， 证明：如图：在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 题型06 利用圆内接四边形的性质求角度 【典例6】（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，等边三角形的顶点在上，边、与分别交于点、，点是劣弧上一点，且与、不重合，连接、，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质及圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得答案． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·云南大理·期中）如图，在的内接四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，先由圆内接四边形的性质得，再在中，由三角形内角和定理求即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴. 故选：C． 【变式6-2】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，是四边形的外接圆，交于点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，正确求出的度数是解题关键．利用圆内接四边形的性质得出，利用得出，再由得出，根据圆内接四边形的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵是四边形的外接圆，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-3】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，四边形是的内接四边形，平分，点是劣弧的中点．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用圆内接四边形的性质求出的度数，再由角平分线的定义得出的度数，最后根据弧中点的性质得到与的关系，进而求出的度数．本题主要考查了圆内接四边形的性质、角平分线的定义以及弧与圆周角的关系，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ 四边形是的内接四边形， ∴ ∵ 平分 ∴ ∵ 点是劣弧的中点 ∴ ∴ ． 故选：B． 题型07 利用圆内接四边形的性质求线段长 【典例7】（23-24九年级下·福建福州·期中）如图，为直径，点A，D在上，，若，则的半径长度为（    ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，即可得出为等边三角形，从而求得的半径长度为2． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，圆的内接四边形，熟记圆周角定理是解题的关键． 【变式7-1】（23-24九年级下·江西吉安·期中）如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90º，∠A=60º，AB=3，CD=2，则AD的长为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】延长BC、AD交于点E，根据圆内接四边形的性质可得∠ADC=90°，再由∠A=60°，可得∠E=30°，再根据直角三角形的性质，分别求出AE、DE的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长BC、AD交于点E， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B=90º， ∴∠ADC=90°， ∴∠CDE=90°， ∵∠A=60°， ∴∠E=30°， ∴AE=2AB=6，CE=2CD=4， ∴， ∴． 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 【变式7-2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形内接于，，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键． 先利用平行线和圆周角性质证明三角形为等腰直角三角形，求出相关线段长度，再结合圆心角与圆周角的关系及直角三角形性质，最终求出的长． 【详解】解：设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 同理可得：三角形是等腰直角三角形， ∴，即， 解得， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ 即， 解得 ∵是等腰直角三角形 ∴ 故答案为： 【变式7-3】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点C为的中点，弦CE⊥AB于点F，与BD交于点G． （1）求证：BG＝CG； （2）若OF＝1，求AD的长． 【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到∠CBD＝∠CDB＝∠BCE，再根据等腰三角形的判定可得BG＝CG； （2）利用圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系以及垂径定理、三角形中位线定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， 又∵弦CE⊥AB，AB是直径， ∴， ∴， ∴∠CBD＝∠CDB＝∠BCE， ∴BG＝CG； （2）解：如图，过点O作OM⊥BD，垂足为M， ∵， ∴， 即， ∴BD＝CE， 又∵OM⊥BD，OF⊥CE， ∴OM＝OF＝1，DM＝BM， ∵OA＝OB， ∴OM是△ABD的中位线， ∴OMAD， ∴AD＝2OM＝2． 【点睛】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、三角形中位线定理是正确解答的前提． 题型08 利用圆内接四边形的性质求面积 【典例8】（22-23九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式8-1】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图，圆是矩形的外接圆，若，，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确做出辅助线． 连接，首先根据题意得到点O是的中点，然后利用勾股定理求出，，然后利用阴影部分的面积代数求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆是矩形的外接圆， ∴点O是的中点 ∵，，， ∴ ∴ ∴阴影部分的面积． 故选：B． 【变式8-2】（2024•和平区模拟）如图，圆内接四边形ABCD，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC，过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，则△BDE的面积为 　　． 【答案】． 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ADC＝120°，则∠ADB＝∠CDB＝60°，再利用平行线的性质得到∠EBD＝∠CDB＝60°，于是可判断△BDE为等边三角形，在DB上截取DF＝DA，如图，则△ADF为等边三角形，所以AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°，接着证明△ABC为等边三角形得到AB＝AC，然后证明△ABF≌△ACD得到BF＝CD＝3，所以BD＝5，最后根据等边三角形的面积公式计算△BDE的面积． 【详解】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∵BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB＝60°， ∵BE∥CD， ∴∠EBD＝∠CDB＝60°， ∴△BDE为等边三角形， 在DB上截取DF＝DA，如图， ∵∠ADF＝60°，DA＝DF， ∴△ADF为等边三角形， ∴AF＝AD＝DF＝2，∠AFD＝60°， ∴∠AFB＝120°， ∵∠ACB＝∠ADB＝60°，∠ABC＝60°， ∴△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， 在△ABF和△ACD中， ， ∴△ABF≌△ACD（AAS）， ∴BF＝CD＝3， ∴BD＝BF+DF＝3+2＝5， 即等边△EBD的边长为5， ∴△BDE的面积52． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质． 【变式8-3】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，，，过点A，B，C的交于点E，连接交于点F， (1)求证：． (2)若的半径为，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）根据题意得，由圆周角定理得；根据平行线性质得，可得 （2）连结，求得，设，则，由勾股定理得，求出，可得，最后根据四边形的面积的面积的面积解答即可． 【详解】（1）证明：∵，, ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∴，又， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∵，，， ∴，， ∴四边形的面积的面积的面积= ． 题型09 利用圆内接四边形的性质判断结论 【典例9】（2024•安阳一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，四边形ABOD是平行四边形，则下列结论：①OB＝AB；②∠BCD＝60°；③∠BAD＝120°；④，其中正确结论 有（　　） ​ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C． 【分析】由四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB，判定四边形ABOD是菱形，得到OB＝AB，由△ABO是等边三角形得到∠AOB＝60°，由四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝2∠AOB＝120°，由圆周角定理得到∠BCD∠BOD＝60°，由菱形的性质得到∠BAD＝∠BOD＝120°，CD和OD没有确定的数量关系． 【详解】解：连接OA， ∵四边形ABOD是平行四边形，OD＝OB， ∴四边形ABOD是菱形， ∴OB＝AB， 故①正确； ∵OA＝OB＝AB， ∴△ABO是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形ABOD是菱形， ∴∠BOD＝2∠AOB＝120°， ∴∠BCD∠BOD＝60°， 故②正确； ∵四边形ABOD是菱形， ∴∠BAD＝∠BOD＝120°， 故③正确； ∵C的位置不确定，CD长在变化，半径OD的长不变， ∴CD和OD没有确定的数量关系， ∴④错误． ∴正确的结论是①②③，共有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查圆周角定理，菱形的判定和性质，关键是判定四边形ABOD是菱形，得到∠BOD＝120°． 【变式9-1】 （25-26九年级上·浙江·阶段练习）如图，内接于，其外角平分线交于，于，于，则结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　） A．① B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，三角形的外角的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定与性质．由A、B、C、D四点共圆，可得，由同弧所对的圆周角相等得到圆周角相等，结合外角平分线可得，可得；通过证明和，推出和，通过边的关系可以判断②③④． 【详解】解：∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵外角平分线交于， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①说法正确； ∵是平分线，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②说法错误； ∵，， ∴， ∴， ∴ ，故③说法正确； ，故④说法正确； 故选：C． 【变式9-2】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，为弧上一动点，且平分，，有如下说法： ；三角形是等边三角形； 的半径为； ；四边形最大面积是，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，，利用勾股定理即可求出，即的半径为；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是. 【详解】解： 平分， ， ， ， 故正确； 四边形是的内接四边形， ， ， ， 又， 是等边三角形， 故正确； 如下图所示，连接、，过点作， 则， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 的半径是， 故正确； 如下图所示，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中，， ， ， ， 故正确； 如下图所示，设M为的中点，过点作， 是等边三角形， ，， ， ， 在中， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是， 故错误； 综上所述，正确的是． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 【变式9-3】（25-26九年级上·北京·期中）如图，的半径为2，四边形内接于，圆心到的距离等于．下列说法中： ①的长为2； ② ③为劣弧上一点若，则； ④若点是线段上一动点，连接，过点作于点，则的最小值是． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】①过点作于点，连接，则，再由勾股定理求出，进而得，由此可对①进行判断； ②根据是等边三角形得，由圆周角定理得，再根据圆内接四边形的性质得，由此可对②进行判断； ③由得，结合可求出，由此可对③进行判断； ④连接，设的中点为，以点为圆心，以为半径作，连接，由得当点在上运动时，点在上运动，根据点与圆的位置关系得，当在同一条直线上时，有最小值为，由勾股定理可求出得，进而计算出的最小值，由此可对④进行判断；综上即可得出答案． 【详解】解：①过点作于点，连接，如图1, 则， ∵的半径为2， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴； 故①正确； ②∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴； 故②不正确； ③连接，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴； 则③正确； ④连接，设的中点为，以点为圆心，以为半径作，连接，如图3， ∵， ∴， ∴当点在上运动时，点在上运动， 根据点与圆的位置关系得，当在同一条直线上时，有最小值为， ∵， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 即的最小值是； 故④不正确． 综上所述：正确结论的序号是①③． 故答案为：①③． 【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，垂径定理，圆周角定理和常用辅助线是解决问题的关键． 题型10 利用圆内接四边形的性质证明 【典例10】已知四边形ABCD内接于⊙O，，∠ADC＝120°，求证：△ABC是等边三角形． 【分析】由圆内接四边形的性质得到∠ABC＝60°，由得到AB＝AC，根据等边三角形的判定可得到结论． 【详解】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°， ∵， ∴AB＝AC， 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧和弦的关系，等边三角形的判定，熟练掌握圆内接四边形的性质和等边三角形的判定是解决问题的关键． 【变式10-1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形． 【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明． 【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＝∠BCE， ∵BE＝BC， ∴∠BCE＝∠BEC， ∴∠A＝∠BEC， ∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形； 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键，解答时，注意方程思想的灵活运用． 【变式10-2】（2024秋•甘井子区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D、E在⊙O上，OD∥BE，连接AD并延长交BE延长线于C．求证：DC＝DE． 【分析】先利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADO，再利用圆内接四边形的对角互补以及平角定义可得∠DEC＝∠A，然后再利用平行线的性质可得∠ADO＝∠C，从而利用等量代换可得∠DEC＝∠C，最后利用等角对等边即可解答． 【详解】证明：∵OA＝OD， ∴∠A＝∠ADO， ∵四边形ABED是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠DEB＝180°， ∵∠DEB+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝∠A， ∵OD∥BC， ∴∠ADO＝∠C， ∴∠DEC＝∠C， ∴DC＝DE． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的关键． 【变式10-3】（25-26九年级上·吉林·期中）如图，A，P，B，C是上的四个点，． (1)______； (2)判断的形状，并证明你的结论． (3)当点O落在上时，直接写出四边形的形状． 【答案】(1)60 (2)等边三角形，证明见解析 (3)菱形． 【分析】（1）首先求出，然后根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等得到，进而证明即可； （3）如图所示，连接，，设与交于点D，根据题意证明出和都是等边三角形，得到，即可得到四边形是菱形． 【详解】（1）∵ ∴ ∴； （2）是等边三角形． 证明：， ． 由（1）得． ． ∴是等边三角形； （3）如图所示，连接，，设与交于点D ∵当点O落在上时， ∴ ∵ ∴和都是等边三角形 ∴ ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质和判定，同弧所对的圆周角相等等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型11 利用圆周角定理解决最值问题 【典例11】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在四边形中，，对角线和交于点E，若，则长的最小值为（    ） A．6 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理，圆周角定理，先证明A，B，C，D四点共圆，得到为直径，取的中点即圆心O，得到当弦时，取到最小值，利用垂径定理和勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，． ∴A，B，C，D四点共圆，为直径，取的中点即圆心O， 当弦时，取到最小值， ∵，直径． ∴半径， ∴． 在中，． ∴． 故选B． 【变式11-1】（2024秋•沈河区校级期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC＝6，则CD的最小值为 　 　． 【答案】3． 【分析】以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′，易得△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，由圆周角定理可得∠APD＝∠ACB＝45°，进而可得∠ADP＝45°，∠ADB＝135°，于是可知点D在点O′为圆心，AO′为半径的上运动，根据等腰直角三角形的性质得O′B3，由勾股定理求得CO′，利用三角形三边关系可知CD≥CO′﹣O′D，因此当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D，代入计算即可求解． 【详解】解：如图，以AB为斜边作等腰直角三角形ABO′，连接DO′、CO′， 则∠O′BC＝∠O′BA+∠ABC＝45°+45°＝90°， ∵以BC为直径的⊙O，A为弧BC中点， ∴AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°，AB＝AC， ∵， ∴∠APD＝∠ACB＝45°， ∵AD⊥AP， ∴∠DAP＝90°， ∴∠ADP＝45°，∠ADB＝135°， ∴点D在点O′为圆心，AO′为半径的上运动， 在等腰直角△ABO′中，O′B3， 在Rt△BO′C中，CO′， ∴O′D＝O′B＝3， ∵CD≥CO′﹣O′D ∴当C、D、O′三点共线时，CD取的最小值，最小值为CO′﹣O′D3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆中的最值问题，解题关键是根据题意找到动点的运动轨迹，结合三角形三边关系求最值． 【变式11-2】（2024•兴化市开学）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，点F是边AB上一动点（不与A、B重合），以AF为直径的⊙O交AC于点D，连接DB交⊙O于点E，连接CE，当点F在边AB上移动时，则CE的最小值为 ． ​ 【答案】24． 【分析】连DF，AE，EF，得∠AEB＝180°﹣30°＝150°为定角，由此可得E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动，设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN，进而可求CE的最小值． 【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ∴AB＝2AC＝4，BC，∠BAC＝60°， 连DF，AE，EF， ∵AF为的直径， ∴∠ADF＝∠AEF＝90°， ∴∠AFD＝∠AED＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AEB＝180°﹣30°＝150°为定角， ∴E在以AB为弦所对圆心角为60°的圆弧上运动， 设该圆圆心为N，连NE，CN，AN，BN，则∠ANB＝60°，AN＝BN， ∴△AB为等边三角形， ∴AB＝BN＝AN＝4，∠ABN＝60°， ∴∠CBN＝90°， ∴CN， 又EN＝BN＝4， 由两点之间线段最短知：CE+NE≥CN， ∴CE≥CN﹣EN＝24， ∴当C、E、N在一直线时．CE有最小值为：24． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、含30°角的直角三角形，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【变式11-3】（23-24八年级下·山西朔州·期中）如图，正方形的边长为1，E，F分别在，上，且，于点G．则的长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据对角互补四点共圆可得四点共圆，连接，，求证，而后推导出，可得，连接，由三角形的三边关系以及、为定值，则当三点共线时，取得最小值为，最后利用勾股定理求得即可解答． 【详解】解： ，， 根据对角互补四点共圆可得四点共圆， 连接，， ，，， ， ， 四点共圆， ， ，， ， ， 连接，则， ∴当三点共线时，取得最小值为， 在中，， ∴， 取最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查利用辅助圆解决最值问题，涉及全等三角形的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、勾股定理等，根据条件作出合适的辅助线，得出是解题的关键． 题型12 圆周角定理的综合应用问题 【典例12】（25-26九年级上·天津和平·期中）已知是的直径，延长弦到点，使，连接并延长与相交于点． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若，求和的大小． 【答案】(1)，； (2)，； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）由题意得垂直平分，推出得即可求解； （2）根据，，可推出；是等腰三角形，进而得；结合（1）得，推出，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； ∵， ∴； ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴； 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式12-1】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，矩形内接于，是上一动点，连接，若，． (1)求的半径． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，根据矩形内接于，，得到是的直径，根据勾股定理求出，即可求解； （2）连接，过点作于点，得到，推出，得到，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， 矩形内接于，， 是的直径， ，， ， 的半径为； （2）解：连接，过点作于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得或， 或 或， 的长为或． 【变式12-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，是的直径，弦于点，为上一点，连接，，，，与交于点． (1)求证：； (2)连接交于点，当时，是等腰三角形吗？请说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理可得，根据等弧所对的圆周角相等，即可得证； （2）根据等弧所对的圆周角相等可得，根据，，根据等角的余角相等得出，结合对顶角相等，等量代换可得，进而根据等角对等边即可得出结论； （3）根据（2）的结论可得垂直平分，进而可得，进而证明，设，则，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程得出：，进而求得，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径，弦 ∴ ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： 如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即是等腰三角形 （3）解：连接， 由（2）可得，又 ∴垂直平分， ∴， 又∵是的直径，弦，则垂直平分 ∴， ∴， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 设，则， ∴ 在中， ∴ 解得：或（舍去） ∴ ∴ 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定；熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式12-3】（24-25九年级下·浙江杭州·开学考试）如图，四边形内接于，于点H． (1)求的值； (2)求证： ； (3)若，请直接写出的值　　　． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造等腰三角形． （1）连接并延长，交于点E，连接，证明是的垂直平分线，进而证明，得出，从而得出结论； （2）连接并延长，交于点E，交于点F，连接，证明垂直平分，得出，进而得出结论； （3）连接并延长，交于点E，交于点F，连接，证明，设，则，，即可求出结论． 【详解】（1）解：如下图，连接并延长，交于点E，连接， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：如下图，连接并延长，交于点E，交于点F，连接， 由（1）知，，是的垂直平分线， ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ； （3）解：如图，连接并延长，交于点E，交于点F，连接， 由（1）（2）知，， ， ， ， 设，则， ， ． 一、选择题 1．下列关于“圆周角及圆心角”的说法不正确的是（   ） A．圆心角的度数与其所对的弧的度数相等 B．顶点在圆周上的角叫做圆周角 C．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦也相等 D．在圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角与圆心角的基本概念及性质，根据圆周角与圆心角的基本概念及性质逐一分析即可，掌握圆周角与圆心角的基本概念及性质是解题的关键． 【详解】解：、 圆心角的度数等于其对应弧的度数，原选项说法正确，不符合题意； 、 圆周角定义要求顶点在圆上且两边与圆相交，原选项说法错误，符合题意； 、同圆或等圆中，相等圆心角所对的弦相等，原选项说法正确，不符合题意； 、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，原选项说法正确，不符合题意； 故选：． 2．（25-26九年级上·山西大同·期中）如图，内接于，是的直径．若，则的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理，理解圆周角与圆心角的关系是解题关键． 根据圆周角与圆心角的关系求解． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，，，都是上的点，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，理解相关知识是解答关键．在优弧上取一点D，连接，利用同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半求出的度数，再利用圆内接四边形内对角互补来求解． 【详解】解：在优弧上取一点D，连接， 则． ∵点四点共圆， ， ． 故选：B． 4．（2025·湖北十堰·三模）以为中心点的量角器与直角三角板按如图方式摆放，量角器的刻度线与斜边重合．点为斜边上一点，作射线交于点，如果点所对应的读数为，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据题意可得：，然后根据圆周角定理可得：，再利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵ ∴点C在上， 由题意得：， ， ， 故选：A． 5．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，圆内接四边形，，，，则四边形的面积为（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质及旋转的性质，圆内接四边形对角互补，全等三角形的性质与判定，勾股定理，将绕点逆时针旋转到，则与全等，证明、、三点共线，再根据为等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转到， 过点作于点， ， ，，，， 四边形的面积等于， 圆内接四边形， ， ， 、、三点共线， ， ， ， 为等边三角形， ，． 的面积为． 四边形的面积为． 故选：D． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，过经原点O，并与两坐标轴交于A、D两点，已知，点D的坐标为，则点A的横坐标为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理解直角三角形，以及坐标与图形，解决本题的关键是要正确添加辅助线，将已知条件集中到中解直角三角形．连接，根据直角坐标系的两坐标轴的垂直关系可证为直径，由圆周角定理得到，在中，根据勾股定理计算可得的长，得到点A的横坐标，即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴为的直径，即点C在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， 即， ∴， ∴点A的横坐标为2． 故选：C． 7．（2024·陕西西安·三模）如图，四边形内接于，，，，则的半径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质．连接、、，过点作交的延长线于点，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质可得，，进而得到，可得，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，连接、、，过点作交的延长线于点，     四边形内接于，， ，， ， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， ， 的半径为， 故选：A． 8．（2025·广东深圳·二模）边长为4的正方形中，点，分别是，边上的动点，且，与相交于点，当长最小时，的长是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，全等三角形的判定和性质．根据证明得，取的中点H，连接，证明G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，可得当C，G，H共线时，的值最小，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点H，连接． ∵A、B为定点， ∴G点的运动轨迹为以为直径，中点H为圆心的圆，当C，G，H共线时，的值最小， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵C，G，H共线时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 9．（2025·浙江杭州·二模）如图，内接于，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，圆内接四边形性质，熟练掌握知识点是解题的关键．在上的优弧上任取一点，连接，，，利用圆内接四边形性质得出，利用圆周角定理得出，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，在上的优弧上任取一点，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏南京·月考）如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则 ． 【答案】122 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解． 【详解】解：是直径， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 故答案为：122． 11．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图， 是的直径，C，D是上两点．若，则的度数为 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，先根据同弧所对的圆周角相等得，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，是的直径，的弦，弦，的平分线交于，则长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理和推论，勾股定理．连接，利用圆周角定理结合勾股定理求得的长，再证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】/116度 【分析】本题考查了圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 连接，根据求出，进而求出，然后根据圆内接四边形对角互补解题即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵圆内接四边形对角互补， ∴． 故答案为： ． 3、 解答题 14．（25-26九年级上·广东惠州·期中）如图，在中，，是边上一点，以为直径的经过点，是直径上一点（不与点、重合），连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形外角的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，得到，再由，即可得结论； （2）由得到，进而得到，再根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， 又， ； （2）解：是直径， ， ， ， ， ． 15．（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在中，是直径，是弦，于点，连接，． (1)证明：； (2)当，时，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂径定理可得，再由圆周角定理即可得证； （2）连接，设的半径为，由垂径定理可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：在中，是直径，是弦，， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 设的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，，得， 解得， 的半径为5． 16．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，中，，以为直径的圆分别交，于点D，E，连接，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4.8 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，由相等的圆周角多对的弧相等得出，进而即可得出； （2）由（1）可知，则，设，则，根据直径所对的圆周角得出，，再利用勾股定理列出关于x的等量方程，求解出x的值，进一步即可得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，则， ∴， ∵， 故设，则， ∵是直径， ∴， ∴， 在中，，即 在中，，即， ∴ 解得， 则． 17．（25-26九年级上·山西朔州·期中）如图，是的直径，是的中点，过点作，交于点，交于点，连接． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）证明即可证明，即可解答； （2）连接，设，则，，，利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接， 由（1）可知， 设，则， ，， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 的半径． 18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，交的延长线于点E，连接平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过点C作于H，， 设，则， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， 同理可证明 ， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $