第42讲 空间向量及其运算 讲义——2026届高三数学一轮复习

2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第42讲 空间向量及其运算 【基础回顾】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 向量加减 a±b (a1±b1，a2±b2，a3±b3) 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ (3)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． (3)向量a在平面β上的投影 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平 面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 【必备知识】 1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． 3．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内． 4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 题型一 空间向量的线性运算 空间向量线性运算中的三个关键点 【例题精讲】 1．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，记向量，，，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别为BC、A1C1的中点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且，若，则（　　） A． B． C． D． （多选）4．以下四个命题中，正确的是（　　） A．向量与向量平行 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底 C．已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量在向量方向上的投影向量为，则 （多选）5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 题型二 共线、共面向量定理的应用 1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y． (2)对空间任一点O，＝＋x＋y． (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (4)∥(或∥或∥)． 【例题精讲】 1．已知空间中点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（1，1，λ），若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为（　　） A． B． C． D． 2．已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若，，共面，则λ等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 3．已知，若共面，则实数λ的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 4．在四面体O﹣ABC中，空间一点M满足，若四点共面，则x的值为（　　） A． B． C． D． （多选）5．以下四个命题中，正确的是（　　） A．向量与向量平行 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底 C．已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量在向量方向上的投影向量为，则 题型三 求空间向量的数量积 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ． (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 【例题精讲】 1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则的值为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 2．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（　　） A．（0，0，3） B．（0，0，6） C．（﹣3，3，9） D．（3，﹣3，﹣9） 3．已知空间向量，，满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． （多选）4．已知空间中三点A（2，0，1），B（2，2，0），C（0，2，1），则（　　） A．与向量方向相同的单位向量是 B．在上的投影向量是（﹣1，1，0） C．与夹角的余弦值是 D．坐标原点O（0，0，0）关于平面ABC的对称点是 （多选）5．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间向量可以比较大小 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 题型四 利用数量积求长度与夹角 (1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角． 【例题精讲】 1．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝CC1＝2，BC＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 2．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，若AC＝BC＝2，，点P为线段B1C1的中点，则直线CP与直线A1B所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 3．如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（　　） A． B． C． D． （多选）4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是CD的中点，则下列说法正确的是（　　） A．D1E与BC1所成角的余弦值为 B．D1E与平面BCC1B1所成角的余弦值为 C．点E到直线BC1的距离为 D．BC1与平面AD1E的距离为 （多选）5．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．下列说法正确的有（　　） A．点M到直线AC1的距离为 B．点N到平面MA1C1的距离为 C．AM∥C1N D．直线MN与平面MA1C1所成角的正弦值为 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（　　） A． B．2 C．1 D． 2．已知向量，则（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣5 3．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 4．设正四面体ABCD的棱长为2，M是AD的中点，则的值为（　　） A． B．﹣1 C． D．1 5．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为CD1的中点，设，，，则（　　） A． B． C． D． 7．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组（x，y，z）为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为（﹣3，1，4），则向量在基底下的斜坐标为（　　） A．（1，﹣4，3） B．（﹣1，4，﹣3） C．（﹣1，2，﹣5） D．（1，﹣2，5） 8．已知空间向量，若，则mn＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（　　） A．若∥，则 B．若，则x＝﹣2 C．向量在上的投影向量的模长为 D．若，则x＝±2 （多选）10．下列说法正确的是（　　） A．已知是两个不共线的向量，若，则共面 B．若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．若A（1，0，0），B（0，1，0），则与向量共线的一个单位向量为 D．在三棱锥O﹣ABC中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是钝角三角形 （多选）11．设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组（x，y，z）叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（　　） A． B．△PBC的重心坐标为 C．若Q（1，1，1），则AQ⊥BC D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为 三．填空题（共3小题） 12．若，则称（x，y，z）为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为（1，2，2），则向量在基底下的坐标为　 　 ． 13．在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足，且，设，则x2+y2+z2的取值范围是　 　 ． 14．体积为的正四面体内有一个球O，球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，M，N是球O的表面上的两动点，点P在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是　 　 ． 四．解答题（共5小题） 15．如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°． （1）以为基底向量，表示向量、； （2）求证：BD⊥AC′； （3）求AC′的长． 16．如图，在棱长为2的正四面体O﹣ABC中，已知E是线段BC的中点，点G在线段AE上，且AG＝2GE． （1）用向量，，表示； （2）求； （3）求向量与夹角的余弦值． 17．已知在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且EC＝1，把△ABE沿AE折起，使得点B到达点M处，MD＝3．设，，． （1）用，表示； （2）求•． 18．如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若OA＝OB＝OC＝3，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值． 19．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：；若，则称为空间向量与的叉乘，其中，为单位正交基底；以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系：已知A，B是空间直角坐标系中异于O的两点； （1）若A（1，2，1），B（0，﹣1，1）； ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； （2）化简：； （3）记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB|； 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026高考数学一轮专题讲义与课时精练 第42讲 空间向量及其运算 【基础回顾】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量(或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2．空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb． (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积 非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)． 向量表示 坐标表示 向量加减 a±b (a1±b1，a2±b2，a3±b3) 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角余弦值 cos〈a，b〉＝ (a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ (3)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)． 4．投影向量 (1)向量a在向量b上的投影 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量． (2)向量a在直线l上的投影 如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． (3)向量a在平面β上的投影 如图3，分别由向量a的起点A和终点B作平 面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量． 【必备知识】 1．在空间中，A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为空间任意一点． 2．在空间中，P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点． 3．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内． 4．空间向量的数量积不满足结合律，即(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立． 题型一 空间向量的线性运算 空间向量线性运算中的三个关键点 【例题精讲】 1．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，记向量，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由题意，，，， 则． 故选：A． 2．如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别为BC、A1C1的中点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：由M、N分别为BC、A1C1的中点， 可得 ． 故选：A． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图所示，已知四棱锥P﹣ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，，所以，又， 则． 故选：D． 二．多选题（共2小题） （多选）4．以下四个命题中，正确的是（　　） A．向量与向量平行 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底 C．已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量在向量方向上的投影向量为，则 【答案】BCD 【解答】解：对于A，因为，所以和（3，﹣3，6）不平行，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，设，即，无解， 所以，，不共面，则，，构成空间的另一基底，故B正确； 对于C，由题设且，结合空间向量共面定理的推论知P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由向量在向量方向上的投影向量为，可得，所以， 所以||4，故D正确． 故选：BCD． （多选）5．如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解答】解：因为E，F分别为BC，CD的中点， 所以由，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； E为BC的中点， 故， 则，故D正确． 故选：ACD． 题型二 共线、共面向量定理的应用 1．对空间任一点O，＝x＋y，若x＋y＝1，则点P，A，B共线． 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y． (2)对空间任一点O，＝＋x＋y． (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． (4)∥(或∥或∥)． 【例题精讲】 1．已知空间中点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（1，1，λ），若A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：已知空间中点A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），D（1，1，λ）， 若A，B，C，D四点共面， 则， 即（0，1，λ）＝（﹣x，2x，0）+（﹣y，0，3y）， 即， 即． 故选：B． 2．已知（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ），若，，共面，则λ等于（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 【答案】C 【解答】解：（2，1，﹣3），（﹣1，2，3），（7，6，λ）， ∵，，共面， ∴设m，则（2，1，﹣3）＝（﹣m+7n，2m+6n，3m+λn）， ∴，解得m，n， 解得λ＝﹣9． 故选：C． 3．已知，若共面，则实数λ的值为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解答】解：显然向量与不平行，而，，共面， 则存在实数x，y使，即（4，5，λ）＝x（2，﹣1，3）+y（﹣1，4，﹣2）， 于是，解得，所以实数λ的值为5． 故选：B． 4．在四面体O﹣ABC中，空间一点M满足，若四点共面，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：由题意，， 因为M、A、B、C四点共面，由空间向量基本定理的推论， 可得，解得． 故选：D． （多选）5．以下四个命题中，正确的是（　　） A．向量与向量平行 B．若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底 C．已知A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若，则P，A，B，C四点共面 D．已知向量在向量方向上的投影向量为，则 【答案】BCD 【解答】解：对于A，因为，所以和（3，﹣3，6）不平行，故A错误； 对于B，因为为空间的一个基底，设，即，无解， 所以，，不共面，则，，构成空间的另一基底，故B正确； 对于C，由题设且，结合空间向量共面定理的推论知P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D，由向量在向量方向上的投影向量为，可得，所以， 所以||4，故D正确． 故选：BCD． 题型三 求空间向量的数量积 空间向量数量积的计算方法 (1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ． (2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2． 【例题精讲】 1．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则的值为（　　） A．3 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：， 则 ． 故选：B． 2．已知向量，，向量在向量上的投影向量为（　　） A．（0，0，3） B．（0，0，6） C．（﹣3，3，9） D．（3，﹣3，﹣9） 【答案】A 【解答】解：向量，， 由题意可知，， 所以向量在向量上的投影向量为． 故选：A． 3．已知空间向量，，满足，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：因为， 由得， 两边平方得， 所以， 所以． 故选：A． （多选）4．已知空间中三点A（2，0，1），B（2，2，0），C（0，2，1），则（　　） A．与向量方向相同的单位向量是 B．在上的投影向量是（﹣1，1，0） C．与夹角的余弦值是 D．坐标原点O（0，0，0）关于平面ABC的对称点是 【答案】ABD 【解答】解：， 对于A，与向量方向相同的单位向量是，故A正确； 对于B，在上的投影向量是，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，设平面ABC的法向量是， 则，即，令x＝1，可得y＝1，z＝2， 所以平面ABC的一个法向量是， 原点O（0，0，0）到平面ABC的距离， 坐标原点O（0，0，0）关于平面ABC的对称点是，故D正确． 故选：ABD． （多选）5．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间向量可以比较大小 B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C．若空间向量满足，则与夹角为钝角 D．若已知空间向量和，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解答】解：A项，空间向量不能比较大小，故A错误； B项，由，可得，故P，A，B，C四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，，此时两向量的夹角为π，不为钝角，故C错误； D项，由投影向量的定义知在上的投影向量为，故D正确． 故选：BD． 题型四 利用数量积求长度与夹角 (1)运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度(即两点间距离)的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (2)设非零向量a，b所成的角为θ，则cosθ＝，进而可求两向量的夹角． 【例题精讲】 1．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，AB＝CC1＝2，BC＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：以B为原点，BC、BB1所在直线为y轴、z轴， 平面ABC内与BC垂直的直线为x轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为，AB＝CC1＝2，BC＝1， 所以， 可得， 设异面直线AB1与BC1所成角为θ，则， 可得． 故选：B． 2．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵ABC﹣A1B1C1中，若AC＝BC＝2，，点P为线段B1C1的中点，则直线CP与直线A1B所成的角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：AC＝BC＝2，，点P为线段B1C1的中点， 可得CP2， A1B ， ， ， 所以•2 ＝0﹣0﹣3+00＝﹣1， 所以cos，， 所以直线CP与直线AB1所成的角的余弦值为|cos，|． 故选：D． 3．如图，平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′，其中AB＝4，AD＝3，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝60°，∠DAA′＝60°，则AC′的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：16，9，9，4×3×cos90°＝0， 4×3×cos60°＝6，3×3×cos60°． ∵， ∴222 ＝16+9+9+2×0+2×6+255， ∴， 故选：A． （多选）4．在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是CD的中点，则下列说法正确的是（　　） A．D1E与BC1所成角的余弦值为 B．D1E与平面BCC1B1所成角的余弦值为 C．点E到直线BC1的距离为 D．BC1与平面AD1E的距离为 【答案】AC 【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2）， C1（2，2，2），由题意可得E（1，2，0）， A中，可得（0，2，2），（﹣1，0，2），可得•0×（﹣1）+2×0+2×2＝4， ||2，||， 可得D1E与BC1所成角的余弦值为|cos，， 所以A正确； B中，易得平面BCC1B1的法向量（1，0，0），1， 可得cos，， 设直线D1E与平面BCC1B1所成的角为α，则sinα＝|cos，|， 所以cosα，所以B不正确； C中，（1，﹣2，0），1×0+（﹣2）×2+0×2＝﹣4， 所以点E到直线BC1的距离d，所以C正确； D中，因为BC1∥AD1，BC1⊄平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E， 所以BC1到平面AD1E的距离等于B到平面的距离， 设平面AD1E的法向量为（a，b，c），（0，2，2），（1，2，0）， 则，即，令b＝﹣1，则（2，﹣1，1），所以||， （2，0，0），4， 可得B到平面AD1E的距离为||，所以D不正确． 故选：AC． （多选）5．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点．下列说法正确的有（　　） A．点M到直线AC1的距离为 B．点N到平面MA1C1的距离为 C．AM∥C1N D．直线MN与平面MA1C1所成角的正弦值为 【答案】AB 【解答】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M为BB1的中点，N为BC的中点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，2），M（2，0，1），N（1，1，0），C1（0，2，2）， A中，因为（0，2，2），（2，1，0），0×2+2×1+2×0＝2，||2， 所以M到AC1的距离d，所以A正确； B中，（2，0，﹣1），（0，2，0），设平面MA1C1的法向量为（x，y，z）， 则，即，令x＝1， 可得（2，0，1）， 因为（1，0，1），可得2+0×0+1×1＝3，||， 可得N到平面MA1C1的距离为||，所以B正确； C中，因为（2，1，0），（﹣1，﹣1，2）， 又因为，所以AM与NC1不平行，所以C不正确； D中，由B选项可得||， 可得cos，， 可得MN与平面MA1C1所成的角的正弦值为|cos，，所以D不正确． 故选：AB． 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（　　） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【解答】解：因为，， 所以 ，， 所以 在 上的投影向量的模为 ． 故选：A． 2．已知向量，则（　　） A．0 B．4 C．﹣4 D．﹣5 【答案】C 【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 3．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，连接ON， ∵ON是BC的中点，∴， ∵OM＝2MA，∴， ∴． 故选：B． 4．设正四面体ABCD的棱长为2，M是AD的中点，则的值为（　　） A． B．﹣1 C． D．1 【答案】B 【解答】解：如图， ，且AD＝AC＝AB＝2，， 所以． 故选：B． 5．已知正四面体OABC的棱长为1，点M在OA上，且，点N为BC中点，则用基底表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：由，点N为BC中点， 可得 ． 故选：C． 6．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为CD1的中点，设，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：连接AC，AD1， 因为点E为CD1的中点，设，，， 可得（）（）． 故选：A． 7．定义：设是空间中的一个基底，若向量，则称有序实数组（x，y，z）为向量在基底下的斜坐标．已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的斜坐标为（﹣3，1，4），则向量在基底下的斜坐标为（　　） A．（1，﹣4，3） B．（﹣1，4，﹣3） C．（﹣1，2，﹣5） D．（1，﹣2，5） 【答案】D 【解答】解：由题意可得3（）+1×（）+4（）25， 所以向量在基底下的斜坐标为（1，﹣2，5）． 故选：D． 8．已知空间向量，若，则mn＝（　　） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【解答】解：（1，3，4），（2，m，n），则， ， 即（m+3）2+（n+4）2＝0， 可得m＝﹣3，n＝﹣4，因此mn＝12． 故选：C． 二．多选题（共3小题） （多选）9．已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（　　） A．若∥，则 B．若，则x＝﹣2 C．向量在上的投影向量的模长为 D．若，则x＝±2 【答案】BCD 【解答】解：对于A，若，则，此时方程无解，故A错误； 对于B，若，则x+2+0＝0，解得x＝﹣2，故B正确； 对于C，因为空间向量，， 所以（1，1，﹣1）， 所以向量在上的投影向量为（，，）， 所以向量在上的投影向量的模长为，故C正确； 对于D，若，则，解得x＝±2，故D正确． 故选：BCD． （多选）10．下列说法正确的是（　　） A．已知是两个不共线的向量，若，则共面 B．若向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．若A（1，0，0），B（0，1，0），则与向量共线的一个单位向量为 D．在三棱锥O﹣ABC中，若侧棱OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是钝角三角形 【答案】ABC 【解答】解：对于A，不共线，由可得，， 则有共面，A正确； 对于B，因为空间中任意两个向量都共面，而，则空间任一向量与共面，即与任何向量都不能构成空间的一组基底，B正确； 对于C，因为A（1，0，0），B（0，1，0），则，与共线的单位向量为或，C正确； 对于D，在三棱锥O﹣ABC中，过O作OD⊥BC于点D，连AD，如图所示， 因为OB⊥OC，则点D在Rt△OBC斜边BC上，又OA⊥OC，OA⊥OB，且OB∩OC＝O，则OA⊥平面BOC，则BC⊥OA， 又OA∩OD＝O，因此BC⊥平面AOD，可得AD⊥BC，则有∠ACB，∠ABC都是锐角， 同理可证∠BAC是锐角， 所以△ABC是锐角三角形，D不正确． 故选：ABC． （多选）11．设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组（x，y，z）叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（　　） A． B．△PBC的重心坐标为 C．若Q（1，1，1），则AQ⊥BC D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为 【答案】AB 【解答】解：对于A，根据PA＝2，AB＝1，可得， 所以，故A项正确； 对于B，根据PA＝2，AB＝AC＝1，可得，， 所以P（0，0，2），B（1，0，0），C（0，1，0）， △PBC的重心为，即，故B项正确； 对于C，因为，， 所以•（）•（）＝||2﹣||2••1﹣10， 因此，AQ⊥BC不成立，故C项错误； 对于D，根据PA＝2，AB＝AC＝1，可得，， 设异面直线AP与BC所成角的为α，由异面直线所成角的定义， 可知cosα＝|cos，|＝||＝||＝||，故D项错误． 故选：AB． 三．填空题（共3小题） 12．若，则称（x，y，z）为在基底下的坐标，若一向量在基底下的坐标为（1，2，2），则向量在基底下的坐标为　　 ． 【答案】． 【解答】解：若，则称（x，y，z）为在基底下的坐标， 若一向量在基底下的坐标为（1，2，2）， 则， 设向量在基底下的坐标为（x，y，z）， 所以， 所以，得，，z＝1， 所以向量在基底下的坐标为． 故答案为：． 13．在正四面体ABCD中，P是△ABC内部或边界上一点，满足，且，设，则x2+y2+z2的取值范围是　　 ． 【答案】． 【解答】解：由题意有， 由有， 所以， 所以， 所以， 当时，x2+y2+z2取最小值为，当λ＝0时，x2+y2+z2取最大值为， 所以x2+y2+z2的取值范围为． 故答案为：． 14．体积为的正四面体内有一个球O，球O与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，M，N是球O的表面上的两动点，点P在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是　　 ． 【答案】． 【解答】解：记该正四面体为ABCD，如图，由题意球O是该正四面体的内切球， 显然O在其高AH上，H是底面正△BCD的中心，设AB＝x， 则， ，，所以x＝1， O是ABCD内切球球心也是其外接球球心，设内切球半径为r，即OH＝r，又AO＝OD， 由OH2+DH2＝OD2，得，解得， 最大时，MN是球O的直径． 所以 ， 点P在该正四面体的表面，当P是正四面体的顶点时，取得最大值为， 所以的最大值是． 故答案为． 四．解答题（共5小题） 15．如图，在平行六面体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°． （1）以为基底向量，表示向量、； （2）求证：BD⊥AC′； （3）求AC′的长． 【答案】（1），； （2）证明：由（1）（）•（） ， 所以，则BD⊥AC'； （3）． 【解答】解：（1）在△ABD 中，根据空间向量的减法运算可得，； （2）证明：由（1）（）•（） ， 所以，则BD⊥AC'； （3）由（1）， 所以222， 所以，即AC'的长为． 16．如图，在棱长为2的正四面体O﹣ABC中，已知E是线段BC的中点，点G在线段AE上，且AG＝2GE． （1）用向量，，表示； （2）求； （3）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）（）； （2） ； （3）因为，， 所以（）•（）1， 又因为||，||＝2， 所以． 17．已知在正方形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且EC＝1，把△ABE沿AE折起，使得点B到达点M处，MD＝3．设，，． （1）用，表示； （2）求•． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）因为EC∥AD，且EC＝1，AD＝3， 所以， 所以， 则； （2）由题意得AB＝AM＝AD＝MD＝3， 所以，ME＝BE＝2， 所以， 则， 计算得， 所以． 18．如图，在空间四边形OABC中，，点E为AD的中点，设． （1）试用向量表示向量； （2）若OA＝OB＝OC＝3，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为，， 所以， 所以， 因为点E为AD的中点， 所以 ． （2）因为OA＝OB＝OC＝3，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°， 即||＝||＝||＝3， 则，， 所以 ． 19．三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下所示：；若，则称为空间向量与的叉乘，其中，为单位正交基底；以O为坐标原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系：已知A，B是空间直角坐标系中异于O的两点； （1）若A（1，2，1），B（0，﹣1，1）； ①求与的数量积； ②根据题中的定义，求； （2）化简：； （3）记△AOB的面积为S△AOB，证明：S△AOB|； 【答案】（1）①﹣1； ②； （2）0； （3）证明：因为sin∠AOB， 所以S△AOB||•||sin∠AOB， 要证S△AOB||，只需要证明：||， 设（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）， 可得（y1z2﹣y2z1，z1x2﹣z2x1，x1y2﹣x2y1）， 可得||2＝（y1z2﹣y2z1）2+（z1x2﹣z2x1）2+（x1y2﹣x2y1）2， ||2，||2， 可得||2•||2﹣（）2＝（）•（）﹣（x1x2+y1y2+z1z2）2 ＝（x1x2）2+（x1y2）2+（x1z2）2+（y1x2）2+（y1y2）2+（y1z2）2+（z1x2）2+（z1y2）2+（z1z2）2﹣（x1x2）2﹣（y1y2）2﹣（z1z2）2﹣2x1x2y1y2﹣2x1x2z1z2﹣2y1y2z1z2， ＝（x1y2）2+（x2y1）2﹣2x1x2y1y2+（z1x2）2+（x1z2）2﹣2x1x2z1z2+（y1z2）2+（z1y2）2﹣2y1y2z1z2 ＝（x1y2﹣x2y1）2+（z1x2﹣z2x1）2+（x1y2﹣x2y1）2， 所以||2＝||2•||2﹣（）2， 所以S△AOB||． 【解答】解：（1）①因为A（1，2，1），B（0，﹣1，1）， 所以，， 所以， ②因为A（1，2，1），B（0，﹣1，1）， 所以； （2）设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2）， 则（y1z2﹣y2z1，z1x2﹣z2x1，x1y2﹣x2y1）， 将x2与x1交换，y2与y1交换，z2与z1交换， 可得， 故； （3）证明：因为sin∠AOB， 所以S△AOB||•||sin∠AOB， 要证S△AOB||，只需要证明：||， 设（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）， 可得（y1z2﹣y2z1，z1x2﹣z2x1，x1y2﹣x2y1）， 可得||2＝（y1z2﹣y2z1）2+（z1x2﹣z2x1）2+（x1y2﹣x2y1）2， ||2，||2， 可得||2•||2﹣（）2＝（）•（）﹣（x1x2+y1y2+z1z2）2 ＝（x1x2）2+（x1y2）2+（x1z2）2+（y1x2）2+（y1y2）2+（y1z2）2+（z1x2）2+（z1y2）2+（z1z2）2﹣（x1x2）2﹣（y1y2）2﹣（z1z2）2﹣2x1x2y1y2﹣2x1x2z1z2﹣2y1y2z1z2， ＝（x1y2）2+（x2y1）2﹣2x1x2y1y2+（z1x2）2+（x1z2）2﹣2x1x2z1z2+（y1z2）2+（z1y2）2﹣2y1y2z1z2 ＝（x1y2﹣x2y1）2+（z1x2﹣z2x1）2+（x1y2﹣x2y1）2， 所以||2＝||2•||2﹣（）2， 所以S△AOB||． 第7页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 $