专题01 导数的综合应用大题（40题）（举一反三专项训练）高二数学苏教版选择性必修第一册

专题01 导数的综合应用大题（40题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用导数研究函数的单调性 1．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 2．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 4．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 5．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）设函数． (1)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； (2)过坐标原点作曲线的切线，求切点的横坐标． 题型二 利用导数研究函数的极值、最值 6．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值，并求的单调区间； (2)若,求的最大值与最小值． 7．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 8．（25-26高三上·北京·月考）已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 9．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 10．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（且） (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)当时，证明：在上有唯一的极小值点. 题型三 导数中的函数零点（方程根）问题 11．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 12．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，证明：有个零点. 13．（25-26高三上·天津南开·阶段练习）已知函数． (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，判断的零点个数并写出证明过程． 14．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)讨论方程在上实数根的个数.（其中） 15．（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有3个零点，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 题型四 利用导数证明不等式 16．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 17．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 18．（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知函数 (1)求出的极值点，零点，并画出的大致图象； (2)证明：. 19．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 20．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 题型五 导数中的不等式恒成立、存在性问题 21．（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围. 22．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 23．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 24．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 25．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 题型六 利用导数研究双变量问题 26．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，证明：； (3)若且，，证明：． 27．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由． 28．（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 29．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 30．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 题型七 利用导数解决实际问题 31．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 32．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 33．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 34．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点在线段上，是切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 (1)若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 35．（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 题型八 导数新定义 36．（24-25高二下·河南信阳·期末）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零． 37．（24-25高二下·全国·阶段练习）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 38．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 39．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 40．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数的综合应用大题（40题）（举一反三专项训练） 【苏教版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 利用导数研究函数的单调性 1．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【解答过程】（1）当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 2．（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)若在上存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）函数在上单调递减，转化为恒成立，进而用分离参数法求出实数a的取值范围； （2）由在上存在单调递减区间，得到有解，用分离参数法求出实数a的取值范围． 【解答过程】（1），， ∵在上单调递减， ∴当时，恒成立，即恒成立， ∵，时， ∴当，即时，取最大值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． （2）∵在上存在单调递减区间， ∴当时，有解，即有解， ∵，时， ∴当，即时，取最小值， ∴，又， ∴实数a的取值范围是． 3．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【解答过程】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 4．（25-26高三上·甘肃·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）求导得，分和求解即可. 【解答过程】（1）当时，，． ，． 曲线在点处的切线方程为． （2）． 当时，，是增函数． 当时，令，解得． 当时，；当，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 5．（25-26高三上·安徽六安·阶段练习）设函数． (1)若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围； (2)过坐标原点作曲线的切线，求切点的横坐标． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意可知，对任意的，恒成立，即得，求出函数在上的最小值，即得实数a的取值范围； （2）设切点坐标为，利用导数的几何意义写出切线的方程，将原点的坐标代入切线方程，可得出，令，利用导数分析该函数的单调性，结合解方程，求出即可． 【解答过程】（1）因为函数在区间上是减函数， 则对任意的，恒成立， 故对任意的恒成立， 令，其中， 因为函数、在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 所以，， 故实数的取值范围是． （2）设切点坐标为， ，则切线斜率为， 所以，函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程并化简得， 令，其中，则， 故函数在上为增函数，且， 由，可得， 因此，切点的横坐标为． 题型二 利用导数研究函数的极值、最值 6．（25-26高三上·河北石家庄·期中）已知函数在处取得极小值． (1)求的值，并求的单调区间； (2)若,求的最大值与最小值． 【答案】(1)，的单调递增区间为，单调递减区间为； (2)，. 【解题思路】（1）求导，再根据极值点处导数为0求出，再将代回导函数求解单调区间； （2）根据函数在给定区间内的单调性，得出函数最值. 【解答过程】（1）. 在处有极小值， ， 即， 解得. 当时，， ，令，得. 当时，单调递增， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，在处取得极小值. 综上，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）得，在单调递减，在单调递增， ， 又， ， . 综上所述，当时，的最大值为，最小值为. 7．（25-26高三上·广东梅州·期中）已知函数. (1)求函数的单调区间以及极值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 (2)， 【解题思路】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【解答过程】（1）函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. （2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 8．（25-26高三上·北京·月考）已知函数在处取得极大值. (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为. 【解题思路】（1）求导后结合极值定义计算即可得，得到结果注意检验； （2）得到函数在上的单调性后结合极值定义计算即可得. 【解答过程】（1），由题意可得，解得， 则； 检验：当时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增， 故函数在处取得极大值，故成立； 故； （2）由（1）知，当时， 在、上单调递减，在上单调递增， 又，， ，， 故在区间上的最大值为，最小值为. 9．（25-26高三上·北京·阶段练习）已知函数 (1)若函数在时取得极值，求m的值； (2)在（1）的条件下，求函数在上的最小值. 【答案】(1)2； (2) 【解题思路】（1）由即可求解； （2）由函数单调性结合端点值即可求解. 【解答过程】（1）由题可得， 因为函数在时取得极值，所以， 此时， 所以当时，时， 所以函数在时取得极值，所以； （2）由（1）可得， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以函数最小值为. 10．（25-26高三上·湖南邵阳·期中）已知函数（且） (1)若，求在上的最大值和最小值； (2)当时，证明：在上有唯一的极小值点. 【答案】(1)最大值为，最小值为1 (2)证明见解析 【解题思路】（1）求函数的导函数，令可得，分区间判断函数的单调性，结合单调性求函数的最值； （2）求函数的导函数，证明有且只有一个根，判断函数的单调性，由此证明在上有唯一的极小值点. 【解答过程】（1）当时，， 令，即，解得. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此，是的极小值点，所以最小值为； 又； 而，所以在上的最大值为，最小值为1 （2）当时，， 令，即，变形为. 因为，所以，故. 由于（）在上单调递增且值域为， 结合，， 所以存在唯一的，使得，即. 当时，，故，在上单调递减； 当时，，故，在上单调递增. 因此，是在上唯一的极小值点. 题型三 导数中的函数零点（方程根）问题 11．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【解答过程】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且，所以，解得． （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得，两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得，所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 12．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）已知函数. (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，证明：有个零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集； （2）由，令，，对其求导，令，，求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数． 【解答过程】（1）函数的定义域为，且， 当时，对任意的，， 则函数在上单调递减，则无极小值，不满足； 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得. 故的取值范围为. （2），， 令，得， 令，，则与有相同的零点， 且． 令，，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，，所以，使得， 当时，，即； 当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增， 最小值为． 由，得，即， 令，，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而，， 所以的最小值， 又当趋近于时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当时，，则有2个零点，故有个零点． 13．（25-26高三上·天津南开·阶段练习）已知函数． (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，判断的零点个数并写出证明过程． 【答案】(1)； (2)2个零点，证明见解析 【解题思路】（1）函数求导后，根据参数的取值分类讨论，得时极小值，构造函数，求导得，即可求不等式的解集； （2）由，令，对其求导，令， 求导判断在区间上单调递增，结合零点存在定理，得使，求出的最小值为，由可得，故的最小值，讨论，即可得函数的零点个数． 【解答过程】（1）函数的定义域为，且， 当时，易得在上单调递减，则无极小值，不满足； 当时，由，得，即在上单调递增； 由，得，即在上单调递减， 所以的极小值为，而的极小值小于， 所以，即， 令，则， 所以当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以，可得. 故的取值范围为. （2）． 令，得， 令，则与有相同的零点， 且． 令，则， 因为，则，所以在区间上单调递增， 又，所以，使得， 当时，，即；当时，，即， 所以在单调递减，在单调递增，最小值为． 由，得，即， 令，则，则在单调递增， 因为，所以，则， 所以，从而， 所以的最小值， 又当趋近于0时，趋近于，当趋近于时，趋近于， 当时，有2个零点， 故有2个零点． 14．（25-26高三上·天津东丽·开学考试）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)求函数的极值； (3)讨论方程在上实数根的个数.（其中） 【答案】(1)减区间是，增区间是； (2)极小值，无极大值； (3)详见解析； 【解题思路】（1）求导，令，由和求解； （2）利用极值的定义求解； （3）由（1）作出函数的大致图象，利用数形结合求解. 【解答过程】（1）， 令，得， 当时，，递减； 当时，，递增； 所以的减区间是，的增区间是； （2）由（1）知当时，取得极小值，无极大值； （3）易知，，， 由（1）作出函数的大致图像，如图所示：    由图象知：当或时，方程无实根； 当时，方程有2个实根； 当或时，方程有1个实根. 15．（25-26高三上·河南周口·月考）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有3个零点，且． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义即可求得答案； （2）（ⅰ）将原问题转化为有三个不相等的正根的问题，设，利用导数研究其图象，数形结合，即可求得答案；（ⅱ）由题意可得，化为，即得：，然后证明以及，即可证明结论. 【解答过程】（1）当时，， 所以，则， 所以曲线在点处的切线方程为：，即； （2）（ⅰ）因为函数有3个零点，所以方程有三个不相等的正根， 即有三个不相等的正根， 令，所以， 当或时，即或时，， 当时，即时，， 所以函数的单调递增区间为：，单调递减区间为：， 且，且当时，；当时，， 所以函数的图象大致如下图所示： 若方程有三个不相等的正根，即直线与的图象有三个不同的交点， 由图可知，时符合题意，所以的取值范围为：； （ⅱ）由（ⅰ）可知，，且， 开方得：， 即有①， 由①式得：，令， 所以，解得，则， 所以， 要证，即证，即证：， 令， 因为，所以，所以在上单调递减，则， 所以成立，即； 由①式得：， 因为，所以， 所以， 因为，所以，由（ⅰ）知，， 即； 因为，所以，所以，则， 所以； 则有， 即，即． 题型四 利用导数证明不等式 16．（24-25高二下·河北邢台·期末）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【解题思路】（1）确定函数定义域，求导，根据导数的符合判断函数单调性，从而确定单调区间； （2）由（1）可得，然后利用导数证明其小于等于0即可. 【解答过程】（1）由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由（1）易得在处取得极大值，即最大值， ， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，即， 由（1）知，所以. 17．（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求的值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见详解 【解题思路】（1）由题，根据的解析式运算得解； （2）对求导，可得在上单调递增，分，，讨论结合（1）证明. 【解答过程】（1） ，因此. （2）， 当时，，即在上单调递增， 所以，又，所以， 当时，，故， 当时，则，，由（1），， 所以，又此时，所以， 综上，. 18．（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知函数 (1)求出的极值点，零点，并画出的大致图象； (2)证明：. 【答案】(1)极小值点，无极大值，零点为1，图象见详解； (2)证明见详解 【解题思路】（1）求导，判断导数的正负得到单调性和极值，结合单调性判断零点，画图； （2）令，利用导数判断单调性极值，得证. 【解答过程】（1）由，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值点为，无极大值； 又，，，，， 所以函数的零点为1. （2）令，则， 当时，，即单调递减， 当时 ，，即单调递增， 所以，即， 所以，得证. 19．（24-25高二下·湖南湘西·期末）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调递增区间； (3)若且，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）要证，只需证，即证，构造函数，即证，利用导数分析函数的单调性，结合单调性证明即可. 【解答过程】（1）由题意得，， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 整理得，即． （2）令，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 又，所以当时，， 当时，， 所以的单调递增区间为． （3）要证，只需证， 即证， 设函数，即证． 又， 设，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，故在上单调递增， 所以． 令，则， 所以在上单调递增，故， 而，所以， 故，即且． 20．（24-25高二下·辽宁锦州·期末）已知函数为实常数，，其中. (1)时，讨论的单调性； (2)求的最值； (3)时，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)最小值是，无最大值 (3)证明见解析 【解题思路】（1）求得导函数，对进行分类讨论，根据导数的正负确定单调性即可； （2）求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出最值； （3）要证明，等价于．设，利用导数求的最大值，结合（2）知，证即可． 【解答过程】（1）时，，， 当时，，在上单调递减； 当时，由得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减；在上单调递增． （2）因为，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故的最小值是，无最大值． （3）时，， 要证明，需要证明，等价于①， 设，可得， 由得， 时，，单调递增； 时，，单调递减， 则的最大值是，即， 由（2）知， 又因为，即， 所以①式成立，所以． 题型五 导数中的不等式恒成立、存在性问题 21．（25-26高二上·福建莆田·阶段练习）已知函数. (1)若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）利用导数研究函数的单调性，将问题转化为导函数小于零有解，分离参数构造新函数研究其单调性、最值计算即可求参； （2）构造差函数，借助端点效应先必要性探路，分类讨论计算即可. 【解答过程】（1）由题意可知在上有解， 即在上有解，令， 易知， 令，则，显然时， 则， 所以时，，此时单调递减， 时，，此时单调递增， 所以，故； （2）因为恒成立，即恒成立， 设，即恒成立， 令，则， 令，则， 显然在R上单调递增， 若，则， 所以在上单调递增，即， 则在上单调递增，即，满足题意； 若，令，有，所以在上单调递减， 所以，则在上单调递减，即， 与前提矛盾； 综上所述：. 22．（24-25高二下·福建三明·期末）已知函数，. (1)若，求函数的极值； (2)若，且不等式在上恒成立，求a的最小值. 【答案】(1)极大值为：；无极小值. (2)2 【解题思路】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，可得函数极值的情况. （2）先把不等式化为在上恒成立.在利用，转化为在上恒成立，结合二次函数的性质，可求的取值范围，进而确定的最小值. 【解答过程】（1）当时，，. 所以，. 由 ；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，函数有极大值，为；无极小值. （2）不等式为， 所以不等式在上恒成立， 所以在上恒成立. 设，则， 当时，，， 又在上是增函数，，， 所以存在，使得， 当时，，； 当时，，， 即在上单调递增，在上单调递减， ，， 则 ，所以， 因为，所以， 又因为，所以， 所以的最小值为. 23．（24-25高二下·广东广州·期中）已知函数． (1)若，讨论函数的单调性； (2)设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【解答过程】（1）函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2）至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 24．（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是和，减区间是； (2) 【解题思路】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【解答过程】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 25．（24-25高二下·河南郑州·期末）已知函数，. (1)求函数的单调区间； (2)若，，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）对函数求导，并因式分解，分、、讨论，并比较两根大小，根据的取值范围，求函数的单调区间； （2）根据题意得，根据函数性质分别求出两函数的最大值，比较大小得实数的取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域为， . ①当时，由可得，由可得， 此时，函数的增区间为，减区间为； ②当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为； ③当时，即当时，对任意的，恒成立且不恒为零， 此时，函数的单调递增区间为； ④当时，即当时， 由可得；由可得或， 此时，函数的增区间为和，减区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的增区间为和，减区间为. （2）若，，使得，则， ，故在上单调递增， 当时，取得最大值1，即. 由（1）知，当时，， 令，得，故. 当时，无最大值，不符合题意. 综上所述：实数的取值范围为. 题型六 利用导数研究双变量问题 26．（24-25高二下·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，证明：； (3)若且，，证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数讨论的单调性，即可求得最大值； （2）将所证的结论变形，得到函数，利用导数判断函数的单调性，求出最值即可证明； （3）将已知条件变形得到，再利用（1）中函数的单调性，构造函数，，进而可以得证. 【解答过程】（1）当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以； （2）当时，， 要证，只需证， 令， 则， 令，则 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； ，即，， 当时，，在单调递增； 当时，在单调递减； ，即，，证毕． （3）由，可得， 两边取以为底的对数并整理得，，即， 因为，不妨设， 由（1）知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，， 即， 而，且当时，恒成立，得到， 记，， 则 ， 函数在上单调递增， ，即，于是， 又在上单调递减，， ，得证． 27．（24-25高二下·北京·期中）已知函数． (1)求在处的切线方程； (2)若，，求的取值范围； (3)若、，讨论与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【解题思路】（1）求出的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）令，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证能否恒成立，即可求出实数的取值范围； （3）不妨设，分析可知，函数在区间上的单调性，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，可得出与的大小，再结合不等式的性质可得出与的大小关系. 【解答过程】（1）因为，则，所以， 所以在处的切线方程为，即. （2）令，其中，则， 由，可得. 当时，即当时，对任意的，， 此时，函数在上单调递增，则，合乎题意； 当时，即当时，由可得，由可得， 所以，函数在区间上单调递减， 故，不合乎题意. 综上所述，实数的取值范围是. （3）不妨设，且当时，，故函数在上单调递增， 先比较与的大小，即比较与的大小关系， 令，其中，所以， 故函数在上单调递增， 因为，所以，即， 即，故， 因为，故，所以， 故. 28．（24-25高二下·河南·期中）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到切线方程； （2）求出函数的导函数，依题意可得有两个不同的变号正根，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出的取值范围； （3）根据极值点的性质得到相关等式，再通过构造函数进行证明. 【解答过程】（1）当时，，所以， 所以，所以曲线在点处的切线斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 因为有两个极值点， 意味着有两个不同的变号正根. 设，，则. 若，，在上单调递增，不会有两个正根； 当，令，得， 所以当时，所以在上单调递增； 当时，所以在上单调递减. 又当时，当时， 要使有两个正根，需，即，解得. 所以当时，有两个极值点. （3）的定义域为， 因为有两个极值点，意味着是有两个不同正根. 所以，且， 所以，所以， 所以，当时， ， 令，即证当时，对恒成立. 令，则. 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，所以，即， 所以当时，恒成立. 29．（24-25高二下·江苏徐州·期中）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)若存在两个极值点， （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)在R上单调递增； (2)（i）；证明见解析. 【解题思路】（1）由题可得，然后由题意结合基本不等式可得的单调区间； （2）（i）由题可得，令，可得方程有两个相异正根，据此可得答案；（ii）由（i）可得，要证，即证，然后通过研究的单调性可完成证明. 【解答过程】（1）当时，， 则，当且仅当时取等号. 故此时在R上单调递增； （2）（i）因存在两个极值点， 则. 令，则方程有两个相异正根. 注意到，因其有两个相异正根， 则； （ii）证明：由（i）可得， 设，结合，则. 则 ， 则要证，.即证，其中. 令，则. 令，则， 则在上单调递增，得. 则，得在上单调递增， 则当时，即. 30．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）求导后，分和讨论即可，根据导数的符号判断原函数单调性； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可. 【解答过程】（1）由题意可知：函数的定义域为， 且，， ①当时，令得；令得； 可知在内单调递增；在内单调递减； ②当时，令得；令得； 可知在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：当时，在内单调递增；在内单调递减； 当时，在内单调递增，在内单调递减. （2）当时，由（1）可知：函数在上递增，在上递减， 即当时，函数取得极小值，同时也是最小值. 若对任意，存在，使， 等价于为，即，整理可得， 构建，则， 由，得，或（舍）， 当时，；当时，； 可知函数在内单调递增，函数在内单调递减， 则当时，取得极大值同时也是最大值， 且，， 可知，则函数的最小值为， 可得，所以实数的取值范围为. 题型七 利用导数解决实际问题 31．（24-25高三上·北京·阶段练习）现有一张长为40cm，宽为30cm的长方形铁皮，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为，不考虑焊接处损失．如图，在长方形的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为xcm，高为ycm，体积为． (1)求出y关于x的函数解析式； (2)求该铁皮盒体积的最大值． 【答案】(1)，； (2) 【解题思路】（1）根据题意列出方程，将其表示成y关于x的函数形式，并求出定义域即可； （2）先求出的表达式，利用求导判断函数单调性，即可求出其最大值. 【解答过程】（1）因为材料利用率为，由题意可得，即； 因为长方形铁皮长为40，宽为30，故， 综上，，； （2）铁皮盒体积， ，令，得 的变化情况如下： 20 + 0 - 则在上为增函数，在上为减函数， 则当时，取最大值，最大值为． 32．（24-25高二下·上海·期中）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为万件. (1)用解析法表示分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x之间的函数； (2)求分公司一年的利润L的最大值M关于实数a的函数. 【答案】(1)， (2). 【解题思路】（1）根据给定函数模型写出解析式. （2）由（1）中函数，求出导数，利用导数求出最大值. 【解答过程】（1）依题意，，. （2）由（1）知，，， ， 令，解得，， 当时，，当时，，在上严格单调递减， 时，的最大值为，即； 当时，，当时，，在上严格单调递增， 当时，，在上严格单调递减， 则当时，的最大值为，即， 所以. 33．（24-25高二下·江苏无锡·期中）某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1）．每座帐篷的体积为 m3，且分上下两层，其中上层是半径为r（）（单位：m）的半球体，下层是半径为r m，高为h m的圆柱体（如图2）．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元，设所有帐篷的总建造费用为y千元．（提示：球体积公式：） (1)求y关于r的函数解析式，并指出该函数的定义域； (2)当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值． 【答案】(1)，定义域为 (2)，最小值为 【解题思路】（1）根据题意，由圆柱的表面积公式以及球的表面积公式代入计算，即可得到函数关系式； （2）根据题意，求导可得，利用导数即可得到最值，从而得到结果. 【解答过程】（1）由题意可得，所以h， 所以 ， 即 ， 因为，，所以，则， 所以定义域为. （2）设， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，即最小值， 且，总费用最小值为， 所以当半径r为时，建造费用最小，最小为千元． 34．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点在线段上，是切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 (1)若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【答案】(1) (2)时，容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值 【解题思路】（1）设包装盒的底面边长为，高为，将、用表示，利用二次函数的基本性质可求得的最大值及其对应的的值； （2）求得关于的函数表达式，利用导数法可求得的最大值及其对应的值，进而代入计算得出高及底面边长的比值. 【解答过程】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 依题意，，，其中， 因此， 所以当时，取得最大值. （2）由（1）得， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，包装盒容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值. 35．（24-25高三上·上海·阶段练习）为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中（台）表示产量），并知当生产台该产品时，需要流动成本万元，每件产品的售价与产量（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品台获得的利润（利润销售收入生产成本）为万元. (1)求函数的解析式； (2)当产量为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？（结果精确到0.1） 【答案】(1) (2)台，万元 【解题思路】（1）先通过待定系数法求解出与的关系，然后根据利润定义表示出即可； （2）利用导数分析的单调性，从而可求的最大值以及对应的值. 【解答过程】（1）设，代入可得，所以， 所以， 所以. （2）因为， 所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以万元， 所以当时有最大利润为万元. 题型八 导数新定义 36．（24-25高二下·河南信阳·期末）对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数． (1)若的极小值小于，求的取值范围； (2)当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零． 【答案】(1) (2)函数有两个不动点，证明见解析 【解题思路】（1）求导，得到函数单调性及极小值为，从而得到不等式，求出答案； （2）的解就是函数的不动点，令，二次求导，结合零点存在性定理得到在，内各仅有一个零点，有两个不动点，设是的零点，则，又推出，所以也是的零点，得到所有不动点之和为0． 【解答过程】（1）， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 故极小值为． 由，解得． 故的取值范围为； （2）当时，，依题意方程， 即的解就是函数的不动点． 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以，在上递减，在上递增， 又，，且当时，． 所以，存在唯一，，使． 当时，，即，当时，，即， 所以，在上递减，在上递增． 所以，． 因为，即，也即 所以． 又． 根据零点存在定理，在，内各仅有一个零点， 所以，有且仅有两个零点．即函数有两个不动点． 设是的零点，则， 又， 所以也是的零点． 故所有零点之和等于零．即函数所有不动点之和等于零． 37．（24-25高二下·全国·阶段练习）设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中.定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凹函数． (1)判断函数在区间上是否为凹函数？并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数在区间上为凹函数？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． (3)设且，对于任意的，不等式成立，求的最大值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)存在， (3) 【解题思路】（1）利用凹函数的定义即可求解； （2）利用凹函数的定义可得在上恒成立，可得在上恒成立，分和两种情况求解可得的取值范围. （3）根据题意，转化为，令，求得，令，利用导数求得函数的单调性，结合，得到存在，使，结合函数的单调性，求得的最小值为，由，得到，求得，即可求解. 【解答过程】（1） 时，， 函数在区间上是凹函数． （2）， ， 若在区间上为凹函数， 则在上恒成立， ，即在上恒成立， 在上恒成立， 当时，显然成立，下面讨论的情况， 令，则， 时，在上为增函数， 由，得，即， 即时，恒成立， 设，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，则， 故存在实数，使得在区间上为凹函数，的取值范围为． （3）， 令，则， 令，则， 当时，在区间上单调递增， 又， 存在，使， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增， 当时，的最小值为， 由，有， ，又恒成立，， 且的最大值为3． 38．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知函数的导数为，的导数为的二阶导数，记作．若函数在包含的某个开区间上具有二阶导数，那么，，我们把称为函数在处的二阶拟合函数． (1)写出函数在处的二阶拟合函数，并证明对恒成立； (2)若对恒成立，求a的取值范围； (3)设函数的两个零点为，，在处的二阶拟合函数为，证明：有两个零点，，且． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）根据二阶拟合函数定义即可得，构造函数，利用二阶导数讨论单调性即可得证； （2）构造函数证明，结合（1）可得，当时，通过放缩可得成立，当时，通过放缩可知，然后构造函数，利用导数证明不满足题意即可得解； （3）求出，根据二次函数性质可证其有两个零点，将目标不等式转化为，构造，利用导数即可得证. 【解答过程】（1）因为，， 所以在处的二阶拟合函数． 设，则，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立． （2）记，则，则， 所以在上单调递增，， 所以在上单调递增，即， 所以对恒成立， 由（1）可知，则， 所以当时，对恒成立， 则对恒成立． 设， 当时，， 设，则， 所以在上单调递减，则， 所以，这与题意矛盾，所以． （3）因为， 所以，则， 则， 因为，且的图象开口向上， 所以有两个零点，且． 因为当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 要证，只需证， 因为，且， 所以只需证， 构造函数， 则， 所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以，所以． 39．（24-25高二下·广东广州·期末）牛顿法（Newton’s method）是牛顿在17世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为．如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值．再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值．重复以上过程，得的近似值序列：，，…，，根据已有精确度，当时，给出近似解．对于函数，已知． (1)若给定，求的二阶近似值； (2)函数． ①试写出函数的最小值与的关系式； ②证明：． 【答案】(1) (2)①，②证明见解析 【解题思路】（1）根据给定方法，求出的导数，依次求出即可. （2）①利用导数探讨函数的最小值，结合求出m与r的关系； ②由①的结论，构造函数，利用导数探讨函数在上的单调性即可推理得证. 【解答过程】（1）函数，求导得， 依题意，，当时，， 同理，而，所以； （2）①因为， 所以，令， 求导得，所以在上单调递增， 函数单调递增，， 由，得，且，则，， 所以， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得最小值， 即. ②由①知，， 令，求导得， 令，求导得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 而， 则当时，恒成立，即函数在上单调递增， 而，因此，所以. 40．（24-25高二下·广东·阶段练习）已知函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，若一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数，若二阶导函数，则称为I上的凸函数． (1)证明：函数是凸函数． (2)已知函数，． ①若是上的凹函数，求实数a的取值范围； ②在内有两个不同的零点，，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）求出函数的一阶导函数和二阶导函数，由凸函数定义判断即可. （2）①求出函数的一阶导函数和二阶导函数，根据凹函数的定义将问题转化为恒成立，构造，利用导数研究其单调性并求出最大值，解不等式即可求解； ②由题意，结合的单调性得，欲证，即证，结合的单调性得，即证，转化为证明；欲证，即证，结合的单调性得，转化为证明，构造，，利用导数得在上单调递增，从而由，即可证明. 【解答过程】（1）因为， 所以， 所以是上的凸函数． （2）①因为， 所以． 因为是上的凹函数，所以在上恒成立，即． 令，则． 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减． ，所以，解得， 所以实数的取值范围是． ②由①知，因为在内有两个不同的零点， 所以方程在内有两个根，即． 因为在上单调递增，在上单调递减，所以． 欲证，即证 因为且在上单调递减， 所以只需证明，即证． 欲证，即证，即， 只需证，即证，而该式显然成立． 欲证，即证．因为，所以只需证， 即证即需证． 令，，则， 所以在上单调递增，所以则原不等式得证． 故． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $