2.2二次函数的图象与性质第1课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦二次函数y=x²与y=-x²的图象画法及性质，通过回顾一次函数、反比例函数图象和描点法，结合情境提问搭建学习支架，引导学生从旧知过渡到新知探究。 其亮点在于以描点法培养几何直观，通过对比表格和议一议发展推理意识，典例分析体现模型意识。如练一练用三种方法比较函数值，帮助学生深化理解，教师可借助清晰结构和分层练习提升教学效率。

北师大版·九年级下册 2.2 二次函数的图象与性质 第1课时 第二章 二次函数 学 习 目 标 1.知道二次函数的图象是一条抛物线； 2.会画二次函数y=x2与y=-x2的图象；（难点） 3.掌握二次函数y=x2与y=-x2的性质，并会灵活应用.（重点） 知识回顾 1.一次函数的图象是一条 ；反比例函数的图象是 . 3.二次函数的一般形式是什么？ 直线 列表，描点，连线 2.通常怎样画一个函数的图象？ 双曲线 (是常数,). 情境引入 我们先来研究最简单的二次函数，你能画出二次函数y=x2的图象吗？试一试！ 二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.在二次函数中，y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？ 新知探究 探究一：二次函数y=x2的图象与性质 画二次函数的图象. （1）列表：观察y = x2 的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表： … 0 1 2 3 … … 　 　 　 　 　 　 　 …　 9 4 1 0 1 9 4 在y=x2中自变量可以是任意实数. (-3,9) (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4) (3,9) 对应点的坐标 新知探究 6 9 （2）描点：根据表中的数值在直角坐标系中描点 （3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到的图象，如图所示． 新知探究 对于二次函数y＝x2的图象，(1)你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流． 6 9 二次函数y=x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上. (2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 图象与x轴有一个交点，即原点(0,0). 议一议 新知探究 由图象可得，当x<0时，图象从左到右是下降的，y随x的增大而减小； 当x>0时，图象从左到右是上升的，y随x的增大而增大. (3)当x<0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？ (4)当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？ 由图象可得，图象的有一个最低点（0，0），即x=0时，y有最小值0. 6 9 新知探究 (5)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 6 9 对称轴与抛物线的交 点叫做抛物线的顶点, 它是图象的最低点， 为(0,0). 这条抛物线关于y轴对称, y轴就是它的对称轴. 新知探究 二次函数y=x2的图象： 知识归纳 6 9 二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向上，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最低点. 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而减小； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而增大； 当x=0时，y有最小值0. 二次函数y=x2的性质(增减性)： 1.已知点(－3，y1)，(1，y2)，(，y3)都在函数y＝x2的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是________． 新知探究 y1>y3>y2 方法二：如图，作出函数y＝x2的图象， 把各点依次在函数图象上标出．由图象可知y1>y3>y2； 解析：方法一：把x＝－3，，1，分别代入y＝x2中， 得y1＝9，y2＝1，y3＝2，则y1>y3>y2； 方法三：∵在对称轴的右边，y随x的增大而增大， 而点(－3，y1)关于y轴的对称点为(3，y1)． 又∵3>>1，∴y1>y3>y2. 新知探究 探究二：二次函数y=x2的图象与性质 做一做 二次函数y=－x2的图象是什么形状？先想一想，然后画出它的图象，它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴进行交流． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　 （1）列表： (-3,-9) (-2,-4) (-1,-1) (0,0) (1,-1) (2,-4) (3,-9) 对应点的坐标 新知探究 y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x （2）描点：根据表中的数值在直角坐标系中描点 （3）连线：用平滑曲线顺次连结各点，就得到的图象，如图所示． 仿照y=x2的性质说出y=－x2有哪些性质？ 新知探究 知识归纳 二次函数y=x2的图象： 二次函数y=x2的图象是一条抛物线，它的开口向下，且关于y轴对称.对称轴与抛物线的交点（0，0）是抛物线的顶点，它是图象的最高点. 当x<0时（在对称轴的左侧），y随x的增大而增大； 当x>0时（在对称轴的右侧），y随x的增大而减小； 当x=0时，y有最大值0. 二次函数y=x2的性质(增减性)： y 2 4 -2 -4 O -3 -6 -9 x 新知探究 二次函数 y＝x2 y＝－x2 图象 位置开口方向 对称性 顶点和最值 增减性 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 议一议 对比二次函数y=x2和y=－x2的图象与性质，它们有什么相同点和不同点？ 新知探究 2.抛物线y＝x2与y＝－x2的关系是(　　)A.开口方向不同，顶点相同，对称轴相同B.开口方向不同，顶点不同，对称轴相同C.开口方向相同，顶点相同，对称轴相同D.开口方向相同，顶点不同，对称轴不同 A 典例分析 设正方形的边长为 a，面积为 S，试作出 S 随 a 的变化而变化的图象． 例1 a S -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 解： S = a2(a>0) 列表： a 0 1 2 3 … S … 0 1 4 9 描点并连线． S=a2(a>0) 已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积． 例2 典例分析 解：由题意得 解得或 ∴两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)． ∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4. ∴S△ACO＝·CO·4＝8，S△BOC＝×4×1＝2， ∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10. 巩固练习 基础巩固题 2.已知二次函数的图象过点，则它必过的另一点是（ ） A. B. C. D. 3.已知正方形的边长为xcm,面积为 ycm2,下列图象能够表示y与x之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 1.两条抛物线y=x2与y=－x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（　　） A. 顶点坐标均为(0,0) B. 对称轴均为x=0 C．开口都向上 D. 都有(0,0)处取最值 C B C 巩固练习 基础巩固题 5.观察函数y=x2的图象，下列判断正确的是( ) A.若a，b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相同 B.对于同一个自变量x，y有可能有两个值与之对应 C.对于同一个实数y，有两个x和它对应 D.对于任意实数x，都有y>0 4.一定在函数y=x2的图象上的点是( ) A. (-1， 0) B.(1，0) C.(1,-1) D.(-1，1) D A 巩固练习 基础巩固题 8.已知 是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小，则a=________. 6.二次函数 y = -x2 的图象，在 y 轴的右边，y 随 x 的增大而________． 减小 7.若点 A(2,m)在抛物线 y=x2 上，则点A关于 y 轴对称点的坐标是 　　　． (-2，4) 3 9.若点A(-3,y1),B(-2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________. y2＞y1 巩固练习 基础巩固题 10.如图，观察函数的图象,则k的取值范围是 . x y 12.若点A(-1,y1),B(2,y2)是二次函数y=-x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是_____________. y1＞y2 13.已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，则m的取值范围是 ． m≤0 11.函数y=x2的顶点坐标是 ，若点(n，9)在其图象上，则n= . (0，0) ±3 k＞3 巩固练习 基础巩固题 14.若等腰直角三角形的斜边长为2x cm，其面积为ycm2. (1)求y关于x的函数关系式，并求x的取值范围; (2)列出x=，1，，2，，3时，y与x的对应值表; (3)画出y关于x的函数图象. 解：(1)y=x2(x＞0). x 1 2 3 y=x2 1 4 9 (2)列表如下： (3)函数图象如图所示： 课堂小结 二次函数的图象与性质1 （y=x2和y=－x2） 画法 图象 性质 描点法 以对称轴为中心对称取点 抛物线 轴对称图形 重点关注4个方面 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 作业布置 1.必做题：习题2.2第1题。 2.探究性作业：习题2.2第2题。 感谢聆听! $