专项三 拓展题-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（华东师大版）

专顶强化练 5.阅读理解概念学习 6.(郑州二七区期未)如图L,点0是弹力墙MN上一点，魔法棒从 红卷 OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置 专项三拓展题 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方， 如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等类比有理数的乘方，我们 时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转：当转到OM位置时， 把2÷2÷2记作2，读作2的圈3次方：(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3) 再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复按照这 1.将两边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图1、图2两种方式 记作(-3)，读作-3的圈4次方.一般地，把a÷aa÷a÷…÷a 种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA,(OA,在OM 置于长方形ABCD中（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重 个a 上)开始旋转α至0A1:第2步，从OA,开始继续旋转2a至0A2:第 叠)，长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示设 (a≠0)记作a@,读作a的圈n次方 3步，从0A2开始继续旋转3a至0A, 图1中阴影部分的周长为C,图2中阴影部分的周长为C,则C,- [初步探究 C,的值是 (1)直接写出计算结果：3= (2)关于除方，下列说法错误的是 A N A.任意非零数的圈2次方都等于1 图2 图1 图2 B.对于任意正整数n,1的圈n次方都等于1 例如：当a=30时，0410A2、0A,0A,的位置如图2所示，其中0A) A.0 B.a-b C.2a-2b D.2b-2a C.30=4 恰好落在0N上，∠A0A=120:当a=20时，0A10A2、0A、0A 2.有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-N,若该折 D.负数的圆奇数次方的结果是负数，负数的圈偶数次方的结果 OA,的位置如图3所示，其中第4步旋转到ON后弹同，即∠AON+ 线M-P-N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把 是正数 ∠NOA=80°，而OA,恰好与OA2重合. 这个点Q叫做这条折线的“折中点”，已知点D是折线A-C-B的 深入思考 A(A) “折中点”，E为线段AC的中点，CD=6.CE=10,则线段BC的长是 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以 () 转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ A.8 B.8或16 C.8或32 D.16或32 111（12 除方-2=222*2=2×2×2×22 ◆乘方幂的形式 图3 图4 3.已知，x2,x,…,n都是不等于0的有理数，若= ,则，等 解决如下问题： (3)仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式：5心= (1)若a=45°，在图4中借助量角器画出0A2、0A,其中∠A,0A 于1或-1：若= x,x1 ,则y2等于2或-2或0：若ym= ” 2 的度数是 ,≤…，则所有可能的值的论对值之和等于（ (2)若<30°，且OA,所在的射线平分∠A,OA1,求出a的值 (4)想一想，将一个非零有理数a的圈n(n为大于2的正整数)次 X2 Xx 方写成幂的形式： A.0 B.110 C.210 D.220 4.新情境数学文化如图，在探究“幻方”“幻圆”的活动课上，学生们 （5)求123 (-2)51 3 ÷3的值 深切地感悟到我国传统数学文化的魅力.一个小组尝试将-5，-4， -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6这12个数填人“六角幻星"图中，使6 条边上四个数之和都相等，部分数字已填人圆圈中，则a的值 是 -3 王心童心《红卷》·数学华师版·七年级上册 专顶强化练/15 7.已知直线EF分别与直线AB,CD交于点E、F,EG平分LAEF,交直9.阅读深究如图1，已知AB∥CD,点E,F分别是AB,CD上的点，点10.新情境社会热点“一带一路“让中国和世界更紧密，“中欧铁路” 线CD于点G,且∠FEG=∠FGE,点H是射线GD上的一个动点 M在AB,CD两平行线之间，∠AEM=45°，∠CFM=25°，求∠EMF 为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯如图1， (不与点G、F重合)，EM平分∠FEH,交直线CD于点M,过点M 的度数 灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从 作MN∥EG,交AB于点N,设∠EMN=&,∠EHF=B. BP开始顺时针旋转至Q便立即回转，两灯不停交叉照射巡视. 若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度.假 定主道路是平行的.即PQ∥MN,且∠BAM:∠BAN=2:1. 图1 2 (1)填空：∠BAN= 图 解：如图1，过点M作MN∥AB. (2)若灯B射线先转动30s,灯A射线才开始转动，在灯B射线到 图2 (1)如图1，求证：AB∥CD. AB∥CD, 达BA之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ (2)如图2，当点H在点F的右侧时，若B=50°，求a的度数 .MN∥CD. (3)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AW之前，若射出的光 .∠EMN=∠AEM=45°，∠FMN=∠CFM=25 R 束交于点C,过点C作∠ACD交PQ于点D,且∠ACD=120 ∴.∠EMF=∠EMN+∠FMN=45°+25°=70 则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发 从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化“的功能，将 生变化若不变，请求出其数量关系：若改变，请说明理由。 ∠AEM和∠CFM“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以 0 B D P 解决 方法运用)如图2，已知直线m∥n,AB是一个平面镜，光线从直线 m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的 图 图2 点Q.我们称OP为人射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性 8.已知直线1，∥12，l和1、4分别交于C,D点，点A,B分别在直线 质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即 1上，且位于人的左侧，点P在直线1上，且不和点C,D重合 LOPA=∠QPB. (1)如图1，当一动点P在线段CD之间运动时，求证：∠APB=∠1 (1)由图2写出∠AOP、∠BQP、∠OPO之间的数量关系，并说明 +∠2 理由 (2)如图2，当动点P在C点之上运动时，猜想∠APB、∠1、∠2有 (2)如图3，再放置3块平面镜.其中两块平面镜在直线m和n上， 何数量关系，并说明理由。 另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD,光线从 点0以适当的角度射出后，其传播路径为0→P→Q一→R0→ P→…直接写出∠OPQ和LORQ的数量关系. 16、专项强化练 王心童《红卷》·数学华师版·七年级上册【解答】：AB=120,CD=40, ∴.∠2=∠0PQ-∠0PD=20°. ∴.AC+BD=AB-CD=120-40=80. (2)HI∥FG.理由如下： :点E、F分别是线段AC、BD的中点， 由题意，得∠MGF=∠NGH,∠NHG=∠IHD',∠GNH= ∴.AE=EC,DF=FB. ∠HD'I=90°， ∴.∠NGH=∠HID'. EC+DF=(AC+BD)=40. A'D'∥MN, ∴.EF=EC+CD+DF=40+40=80. ∴.∠MGF=∠GFI. 【类比】125°【解析】∠AOC+∠B0D=180°-∠C0D= .∠GF1=∠HID'. 180°-70°=110°..OE、0F分别是∠A0C和∠B0D .HⅢ∥FG. 的平分线，LE0C2∠A0C,∠F0D归 2∠B0D 15.解：(1)①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②两直线平行，同旁内角互补 1 ∴.∠EOF=∠EOC+∠COD+∠FOD= ·∠AOC+ (2):PQ∥CD, ∴.∠C=∠CPQ. ∠COD+ +号∠B0D=∠c0n+(∠A0c+∠BoD)= ∠B=125°，∠C=25°， ∴.∠BPC=∠BPQ+∠QPC=180°-∠B+∠C=180°- 70°+2×110°=70°+55°=1259 125°+25°=80 12.①两直线平行，同旁内角互补②∠1=∠2③同 (3)如图，过点P作PN∥ 角的补角相等④同位角相等，两直线平行⑤平 AB,过点Q作QM∥AB. 行于同一条直线的两条直线互相平行⑥232 :AB∥CD, 13.解：(1)补全图形如下 ∴.PW∥QM∥CD. .∴.∠B+∠BPN=180°，∠NPQ=∠PQM,∠MQC+∠C =180° .∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°， (2)∠CDE+∠DFG=90°.理由如下： .∴.∠BPN=180°-∠B=180°-125°=55°，∠CQM= DE∥BC 180°-∠C=180°-145°=35°. .∠CDE=∠DCB. ∴.∠PQM=∠PQC-∠CQM=65°-35°=30°. CD∥FG, ∴.∠NPQ=∠PQM=30° ∴.∠DCB=∠BFG. ∴.∠BPQ=∠BPN+∠NPQ=55+30°=85°. ..∠CDE=∠BFG. 专项三拓展题 DF⊥BC, 1.A2.C3.D4.-3 ∴.∠BFG+∠DFG=90° ∴.∠CDE+∠DFG=90° 5解：(1)3 -27(2)C 14.解：(1)：AD∥BC, .∠1+∠OPD=180°. a ∠1=60°， .∠0PD=180°-∠1=120° w2) .∠0PQ=140°， s2(-2-）3 .10 =12(-3()-(33 ∠GEW=∠GEF+∠PRM=3∠AEF+号∠FEH= =122:9×(-8)-81÷27 2∠AEH=659 =16×(-8)-3 =-128-3 MN∥EG, =-131. ∴.∠GEM=∠EMN=a=65o. 6.解：(1)0A2、0A3如图1所示.45° .的度数为65° A 8.(1)证明：如图1，过点P作PE∥L1, 1∥l2 ∴.PE∥L2 ∴.∠1=∠APE,2=∠BPE. 图1 .·∠APB=∠APE+∠BPE, 【解析】·ax=45°，∴.∠A,0N+∠N0A3=3×45°=135° .∴.∠APB=∠1+∠2 ∠N0A2=180°-∠A0A1-∠A10A2=180°-45°-2× 45°=45°，∴.∠A30A2=135°-2∠N0A2=135°-2× 45°=45°. (2)如图2. 图2 M A (2)解：∠2=∠1+∠APB. 图2 理由如下： <30, 如图2，过点P作PF∥l ∴.∠A0A3<180°，即6a<180° 11∥12， OA平分∠AOA3, PF∥2 3 .2(180°-6a) 2=4 .∠2=∠BPF,∠1=∠APF. ,∠BPF=∠APF+∠APB, 720° =(29) ∴.∠2=∠1+∠APB. 7.(1)证明：：EG平分∠AEF, 9.解：(1)∠OPQ=∠AOP+∠BQP. .∴.∠AEG=∠FEG. 理由如下： ∠FEG=∠FGE, 如图，过点P作PE∥OA, ∴.∠AEG=∠FGE. 则PE∥BQ, .AB∥CD. ∴.∠AOP=∠OPE,∠BQP=∠QPE. (2)解：AB∥CD .∠OPQ=∠OPE+∠QPE, .∴.∠BEH=∠EHF=B=50°. .∠OPQ=∠AOP+∠BQP. .∴.∠AEH=180°-∠BEH=130. (2)∠OPQ=∠ORQ.【解析】由(1)，得∠AOP+ ·EG平分∠AEF,EM平分∠FEH, ∠BQP=∠OPQ.同理可得，∠DOR+∠CQR=∠ORQ. &∠GEF=LAER,∠fEM=LFEH :入射角等于反射角，∴.∠AOP=∠DOR,∠BQP= ∠CQR..∠OPQ=∠ORQ. .11 10.解：(1)60 (2)设A灯转动ts,两灯Q 6 =-2号-10国43 的光束互相平行. =-xy+2+xy+3 如图，PQ∥MN, =5. ·.∠PBD=∠BDA. 14.解：AB∥CD, .AC∥BD: .∴.∠EFB+∠FED=180°. ∴.∠CAM=∠BDA. :∠DEF=50°， .∴.∠CAM=∠PBD. .∠EFB=180°-50°=130°. ..2t=30+t. .∠EFH=145°， 解得t=30. ∴.∠BFH=∠EFH-∠EFB=145°-130°=15° .当A灯转动30s时，两灯的光束互相平行. 15.解：(1)①⑤②④③⑥ (3)∠BAC与∠BCD的数Q D (2)2x 57-x或(96-5x) 2 量关系不会发生变化 (3)因为长是宽的2倍， 理由如下： 设灯A射线转动时间为ts. =)×1=2x 所以(96-2 2 .∠CAN=180°-2t°， -x=21. .∠BAC=60°-(180°-2t)=2t°-120° 解得x=15,则2=30,2 :∠ABC=120°-1°， 所以15×30×21=9450(cm3). ..∠BCA=180°-∠ABC-∠BAC=180°-t° 答：这种长方体包装盒的体积是9450cm3, .·∠ACD=120°， 16.解：(1)∠2=∠3∠EFG=∠FGH内错角相等，两 .∠BCD=120°-∠BCA=120°-(180°-t)=t°-60. 直线平行 .∠BAC:∠BCD=2:1, (2)EF∥GH, 即∠BAC=2∠BCD. .·.∠FEG+∠EGH=180° ·.∠BAC与∠BCD的数量关系不会发生变化. .·∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH=180°+180°= 专项四全国视野新颖题 360°. ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180° 一、选择题 ∠1=∠2，∠3=∠4， 1.B2.B3.A4.D5.A6.D .∴.2（∠2+∠3）=180°. 二、填空题 .∠2+∠3=90° 7.28128.39.30°10.点动成线 1 11.2 12.7 ∠ABC+∠2+∠3=180°， 三、解答题 .∠ABC=180°-∠2-∠3=180°-90°=90°， 13.解：(1)(-4,3) 即a=90°. (3)180°-2a【解析】.∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3= （2)因为(，）是有趣数对，所以y号1 180°-ax,∴.∠1+∠4=180°-a..:∠1+∠2+∠EFG+ 所以2(x+y-2xy)-4x+5.xy+3 ∠3+∠4+∠FGH=180°+180°=360°，∴.∠EFG+ =2x+2y-4xy-4x+5xy+3 ∠FGH=2a..·∠EFG+∠FGH+∠FOG=180°， =-2x+2y+xy+3 ∴.∠F0G=180°-2a. ·12