第4章 相交线与平行线-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（华东师大版）

第4章相交线与平行线 教材知识清 1.相交线 (1)对顶角 ①定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位 置关系的两个角，互为对顶角.如图，∠1和∠3有一个公共顶点O,并且∠1的两边分别是∠3的两 边的反向延长线，故∠1和∠3是对顶角. ②性质：对顶角相等， ③邻补角定义：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 邻补角.如图，∠1和∠2有一条公共边0C,它们的另一边互为反向延长线，故∠1和∠2互为邻补角. ④性质：邻补角互补，即和为180°. 【注】邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都 是相对于两个角而言，是指两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的. (2)垂线 ①定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条 直线叫做另一直线的垂线，交点叫做垂足.如图所示，AB⊥CD,O为垂足. 0 B ②垂线段：过直线外一点作已知直线的垂线，点和垂足之间的线段叫做垂线段. ③垂线的性质 性质1：在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直. 性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 如图，点P与l上各点所连线PM,PM1,PM2,PM3…中，PM最短 M.M 王心童”《红卷》· 23 七年级数学HS版上册 (3)同位角、内错角、同旁内角 角 基本特征 图例 实例 在截线同侧，在两条被截线 ∠1和∠5，∠2和∠6， 同位角 同一方，形如字母“F” ∠3和∠7，∠4和∠8 在截线两侧，在两条被截线 4 内错角 ∠3和∠5，∠4和∠6 之间，形如字母“Z” 6 5 78 在截线同侧，在两条被截线 同旁内角 ∠3和∠6，∠4和∠5 之间，形如字母“” 2.平行线 (1)平行线 ①定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线.如图，直线α与直线b互相平行，记作“α∥b”. ②平行公理 I.公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. Ⅱ.推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即如果a∥b,b∥c, 那么a∥c. (2)平行线的判定 ①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成：同位角相等，两直线平行 ②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行 ③两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行 【注】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行. (3)平行线的性质 ①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等 ②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 ③两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等 【注】 ①从一条平行线上的任意一点作另一条平行线的垂线，垂线段的长度叫做两条平行 线间的距离。 ②平行线间的距离处处相等， 王心童”《红卷》 24 七年级数学HS版上册 ④平行线中的拐点问题 已知 图例 角之间的数量关系 B A F------ ∠B+∠BED+∠D=360° ∠B+∠D=∠BED C-D AB∥CD --H A— ∠B-∠D=∠BED --开 B ∠D-∠B=∠BED 易错考点清 易错点①平行线的判定与性质 例1如图，AB∥CD,将一副直角三角板作如下摆放，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列结论： ①GE∥MP:②∠EFN=150°：③∠BEF=75°：④∠AEG=∠PMW.其中正确的个数是 ( B D A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D 易错解读 本题主要考查平行线判定与性质，解答的关键是熟记平行线的判定条件与性质并 灵活运用 练习1如图，有一张四边形纸片ABCD,AD∥BC,将它沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在 AB边上的点E处，若∠GHB=80°，则∠AGE等于 易错点②平行公理及其推论 例2下列说法正确的是 王心童”《红卷》 25 七年级数学HS版上册 A.a,b,c是直线，若a⊥b,b∥c,则a∥c B.a,b,c是直线，若a⊥b,b⊥c,则a⊥c C.a,b,c是直线，若a∥b,b⊥c,则a∥c D.a,b,c是直线，若a∥b,b∥c,则a∥c 答案D 易错解读；本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进 行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错. 练习2已知A,B,C三点及直线EF,过B点作AB∥EF,过B点作BC∥EF,那么A,B,C三点一 定在同一条直线上，依据是 易错点3)点到直线的距离 例3如图是小凡同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段 的长度 起跳线 A 答案；BN 易错解读；本题主要考查了点到直线的距离，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形， 也就是垂线段的长度，而不是垂线段 练习3如图，CD⊥AB,点E,F在AB上，且CE=4cm,CD=3cm,CF=6cm,则点C到AB的距 离是 cm 易错点④)平行线相关作图 例4己知方格纸上点O和线段AB,根据下列要求画图： (1)取线段AB的中点C,画线段OA,OC; (2)过点O画直线AB的垂线，垂足为D. A B 答案，解：(1)如图，点C,线段OA,OC即为所求 D ⊙ 王心童”《红卷》 26 七年级数学HS版上册 (2)如图，OD即为所求 易错解读，本题考查了垂线的性质，作图-应用与设计作图 练习4画图题：(1)在如图所示的方格纸中（单位长度为1），经过线段AB外一点C,不用量角 器与三角尺，仅用直尺，画线段AB的垂线EF和平行线GH. (2)判断EF,GH的位置关系是 B 三》核心素养清 例5如图，D,E,F,G分别是△ABC边上的点，∠1+∠2=180°，∠B=∠3. (1)求证：DE∥BC (2)若∠C=76°，∠AED=2∠B,请直接写出∠AEF的度数， 答案 (1)证明：如图所示： 因为∠1+∠2=180°，∠2=∠4， 所以∠1+∠4=180°. 所以AB∥EF. 所以∠B=∠EFC. 因为∠B=∠3， 所以∠EFC=∠3. 所以DE∥BC (2)解：由(1)可知，DE∥BC, 所以∠AED=∠C=76°. 又∠AED=2∠B, 所以2∠B=76°. 所以∠B=38°. 王心童”《红卷》 27 七年级数学HS版上册 所以∠3=∠B=38°. 所以∠AEF=∠AED+∠3=76°+38°=114°. 核心素养了 直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理 解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利 用图形描述、分析数学问题；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.直 观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行数学推理、构 建抽象结构的思维基础 练习5如图，直线CD,EF交于点0，A01B0,且∠1+∠2=90. (1)求证：AB∥CD. (2)若OB平分∠DOE,∠2：∠3=2：5，求∠AOF的度数. 12 0 红指 (03 王心童”《红卷》 28·七年级数学H5版上册参考答案 第1章有理数 ∠BCH+∠ACH=90°. 练习1B 所以∠ACD+∠BCH 练习2-2 =∠DCH+∠ACH+∠BCH 练习31119 =∠DCH+∠ACB 练习40 =90°+90° =180°. 1 练习5解：原式=-49+2x9+(-6)÷g (2)∠CAF+∠EAB=120°，理由如下： =-49+18-6×9 由题意可知，∠CAB=∠EAF=60°， =-49+18-54 因为∠CAF=∠CAB+∠BAF,∠EAF=∠EAB =-85. +∠BAF, 所以∠CAF+∠EAB 练习616 =∠CAB+∠BAF+∠EAB 练习7解：(1)由题目中的式子可得， =∠CAB+∠EAF a★b=5a-b. =60°+60° (2)因为(y+2)★(1-3y)=1, =120°. 所以5(y+2)-(1-3y)=1, 第4章相交线与平行线 解得y=-1. 练习120° 第2章 整式的加减 练习2过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 练习14a-8b 练习33 练习2D 练习4解：(1)如图，直线EF,GH即为所求， 练习3-3 练习4解：(1)A-2B=(2x2+xy+3y-1)-2(x2-xy) =2x2+xy+3y-1-2x2+2xy =3xy+3y-1. 因为(x+2)2+y-31=0, 所以x=-2,y=3. A-2B=3×(-2)×3+3×3-1 =-18+9-1 (2)EF⊥GH =-10. 练习5(1)证明：因为A0⊥B0, (2)因为A-2B的值与y的值无关， 所以∠AOB=90°， 即(3x+3)y-1与y的值无关， 所以∠A0C+∠2=90°， 所以3x+3=0. 因为∠1+∠2=90°， 解得x=-1. 所以∠AOC=∠1， 练习5解：(1)2n+4(2)n(n+1) 所以AB∥CD. 第3章图形的初步认识 (2)解：因为OB平分∠D0E, 所以∠E0B=∠2. 练习1①②③⑤⑥④ 因为∠2：∠3=2：5， 练习2A 设∠2=∠E0B=2x,∠3=5x, 练习3D 则∠E0B+∠2+∠3=180°， 练习4500 即2x+2x+5x=180°，解得x=20°， 练习556° 所以∠EOB=40°. 练习6解：(1)①14245 又因为∠AOB=90°， ②∠ACD+∠BCH=180°，理由如下： 所以∠AOE=∠AOB-∠EOB=50°， 因为∠ACD=∠DCH+∠ACH,∠DCH=∠ACB= 所以∠AOF=180°-∠A0E=130. 王心童”《红卷》· 29 七年级数学HS版上册