第1章 有理数-【红卷】2024-2025学年七年级上册数学期末复习方案（华东师大版）

第1章有理数 教材知识清 1.有理数 (1)①正数和负数：像13,3.5,500,15%这样大于零的数叫做正数：像-2，-2.5，-500，-15%这样 在正数前面加一个符号“-”的数叫做负数 ②零既不是正数，也不是负数，它表示的是正数和负数的分界 ③正负数的意义：用来表示相反意义的量.如：温度的零上用“+”，温度的零下用“-”；收入和支出等 【注】对于正数和负数，不能简单地理解为带“+”号就是正数，带“-”号就是负数. (2)有理数 ①整数：正整数、零、负整数统称为整数， ②分数：正分数和负分数统称为分数. ③有理数：整数和分数统称为有理数， ④有理数的分类 按定义分类 按正负分类 正整数 正整数 整数零 正有理数 正分数 有理数 负整数 有理数零 正分数 分数{ 负整数 负分数 负有理数 负分数 (3)数集：把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，叫做数集.所有有理数组成的数集叫做有 理数集；所有整数组成的数集叫做整数集：所有负数组成的数集叫做负数集：所有正整数与零组成的 数集叫做非负整数集（即自然数集） (4)如果一个数是小数，它是否属于有理数，就看它是否能化成分数的形式，所有的有限小数和 无限循环小数都可以化成分数的形式，因而属于有理数：而无限不循环小数，不能化成分数的形式， 因而不属于有理数.例如：0.101101101…是有理数，0.101001…（相邻两个1之间依次多一个0）不 是有理数：圆周率π也不是有理数， 2.数轴 (1)规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴： ①原点：在直线上任取一点表示数0，这个点叫做原点， ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向 ③单位长度：取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次 表示1,2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…如图所示 -6-5-4-3-2-10123456 (2)一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位 长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度 王心童”《红卷》 1 ,七年级数学HS版上册 (3)在数轴上比较数的大小 ①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大， ②正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数 3.相反数 (1)像6和-6、1.5和-1.5这样，只有正负号不同的两个数互为相反数 6 55 6 -6-5-4-3-2-10123456 (2)相反数的性质 ①一般地，a和-a互为相反数.特别地，零的相反数是零.这里，a表示任意一个数，可以是正数、 负数，也可以是零 ②若a,b互为相反数，则a+b=0. 【注】相反数是成对出现的，是相互的，单独的一个数不能说是相反数 (3)相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点分布在原点两旁，且到原点的距离相等，这 两个点关于原点对称. 4.绝对值 (1)在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|al. (2)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值等于其本身；零的绝对值等于零，零是绝对值最小的 数；一个负数的绝对值等于其相反数. a(a>0), 即1al=0(a=0), -a(a<0). (3)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是在数轴上表示这个数的点到原点的距离，离原点 的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.如图，在数轴上表示-4的点与原点的距 离是4，即-4的绝对值是4，记作|-41=4：在数轴上表示4的点与原点的距离是4，即4的绝对值是 4,记作141=4，所以1-41=141=4. -4-3-2-101234 5.有理数的大小比较 数轴右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.如图所示. 从小到大 数轴比较法 -4-3-2-101234 负数<0<正数 代数比较法 正数大于零，负数小于零，正数大于负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小 作差比较法 已知两个数a和b,若a-b>0,则a>b:若a-b=0,则a=b:若a-b<0,则a<b 平方比较法 设a>0,b>0,若a2>b2,则a>b:若a2<b2,则a<b:若a2=b2,则a=b 商值比较法 设a>0.60,者分>1，则a>6:若分1，则a=6:若分<1，则06 王心童”《红卷》 七年级数学HS版上册 6.有理数的加法 (1)有理数的加法法则 ①同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加. ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小 的绝对值， ③互为相反数的两个数相加和为零 ④一个数与零相加，仍得这个数. (2)加法运算律 ①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a ②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变，即（α+b)+c=a +(b+c). 7.有理数的减法 有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即α-b=a+(-b). 8.有理数的加减混合运算 (1)互为相反数的两个数先相加. (2)符号相同的数先相加： (3)分母相同（或分母成倍数关系易化成同分母）的数先相加. (4)几个数相加得到整数先相加. (5)整数与整数、小数与小数先相加 (6)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加. 【注】 有理数的加减混合运算可统一成加法运算 9.有理数的乘法 (1)有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，再把两数的绝对值相乘 ②任何数与零相乘都得零. (2)乘法运算律 ①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，即ab=ba. ②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，即（αb)c= a(be). ③乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加，即 (a+b)c=ac+bc (3)一般地，几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数 时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正；几个数相乘，有一个因数为零，积就为零 10.有理数的除法 (1)倒数：乘积是1的两个数互为倒数 【注】正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而零没有倒数. 王心童”《红卷》 七年级数学HS版上册 (2)有理数的除法法则 ①除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数，即a÷b=4·(6≠0)。 ②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除：零除以任何一个不为零的数，都得零 【注】运用除法法则进行除法运算，先确定商的符号，再算绝对值的商。 11.有理数的乘方 指数 (1)乘方：求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在a”中，a叫做 底数，n叫做指数，a”读作a的n次方（或a的n次幂）. (2)乘方的法则 底数 ①正数的任何次幂都是正数， ②零的任何正整数次幂都是零， ③负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 12.有理数的混合运算 (1)先算乘方，再算乘除，最后算加减， (2)同级运算，按照从左到右的顺序进行计算 (3)如果有括号，就先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算大括号里面的. 13.近似数 (1)近似数：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数 (2)一个近似数四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位.例如：3.592≈3.6（精确到十 分位，对百分位的数采取四舍五人) 易错考点清 易错点（①正负数的意义 例1如果“盈利5%”记作+5%，那么-3%表示 A.亏损3% B.亏损8% C.盈利2% D.少赚3% 答案A 「易错解读；此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么 是一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示 练习1某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg、(25±0.2)kg、(25± 0.3)kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 A.0.8 kg B.0.6 kg C.0.5 kg D.0.4 kg 易错点2相反数 例2-3的相反数是 答案3 易错解读本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号.一个正 数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0.学生易把相反数的意义与倒数的意 义混淆 王心童”《红卷》 七年级数学HS版上册 练习2若a,b互为相反数，则a+(b-2)的值为 易错点3绝对值 例3如果a+b+c=0,且Ial>1b1>1cl,则下列说法中可能成立的是 A.b为正数，c为负数 B.c为正数，b为负数 C.c为正数，a为负数 D.c为负数，a为负数 答案 C 易错解读， 本题考查绝对值数及不等式，需要一步步进行推理验证，每一个环节都需要认真 推敲 练习3已知a,b,c,d分别是一个四位数的千位，百位，十位，个位上的数字，且低位上的数字 不小于高位上的数字，当Ia-bI+Ib-cI+Ic-dI+Id-a1取得最大值时，这个四位数的最小值 是 易错点（④有理数的大小比较 例4a,b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a,-a,b,-b按照从小到大的 顺序排列是 R A.-b<-a<a<b B.-a<-b<a<b C.-b<a<-a<b D.-6<b<-a<a 答案 C 易错解读， 有理数大小比较的方法：正数大于0：负数小于0；正数大于一切负数；两个负数， 绝对值大的反而小 练习4a是最小的正整数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的有理数，请问：a,b,c三数之 和是 易错点⑤有理数的混合运算 例5计算：-14+16÷(-2)3×|-3+11. 答案解：原式=-1+16：(-8)×2=-1-4=-5. 易错解读，此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键， 医习西计第-产+2x(-3)+(-6)3兮月 王心童”《红卷》 5 七年级数学HS版上册 易错点(6非负数的性质 例6若1a+。1+(b-3)2=0,则(ab)224的值为 A.1 B.-1 C.0 D.2 答案A 易错解读；本题主要考查了非负数的性质.解题的关键是掌握非负数的性质，即几个非负数 的和为0时，这几个非负数都为0. 练习6已知1x+21+(y-4)2=0,则x的值为 核心素养清 例7在计算“2× 口小-2中的☐内筑人运算符号. (1)填入“×”并计算， (2)要使结果最小，“”内应填写什么符号；并直接写出这个最小值. 答案 解：12x×小-2=2x41-4-3 (2)要使结果最小，“☐”内应填写“-” 则2x小-22x -4=-1-4=-5 核心素养 运算能力主要是指根据法则和运算律进行正确运算的能力，能够明晰运算的对象和意义，理解 算法与算理之间的关系：能够理解运算的问题，选择合理简洁的运算策略解决问题：能够通过运算促 进数学推理能力的发展.运算能力有助于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科 学态度， 练习7定义一种新运算“★”： 1★3=1×5-3=2； 3★(-1)=3×5-(-1)=15+1=16： 观察上述各式的运算方法，解答下列问题： (1)请按照以上新运算“★”的运算方法，写出a★b的运算表达式。 (2)若(y+2)★(1-3y)=1,求y的值 王心童”《红卷》 6 七年级数学HS版上册参考答案 第1章有理数 ∠BCH+∠ACH=90°. 练习1B 所以∠ACD+∠BCH 练习2-2 =∠DCH+∠ACH+∠BCH 练习31119 =∠DCH+∠ACB 练习40 =90°+90° =180°. 1 练习5解：原式=-49+2x9+(-6)÷g (2)∠CAF+∠EAB=120°，理由如下： =-49+18-6×9 由题意可知，∠CAB=∠EAF=60°， =-49+18-54 因为∠CAF=∠CAB+∠BAF,∠EAF=∠EAB =-85. +∠BAF, 所以∠CAF+∠EAB 练习616 =∠CAB+∠BAF+∠EAB 练习7解：(1)由题目中的式子可得， =∠CAB+∠EAF a★b=5a-b. =60°+60° (2)因为(y+2)★(1-3y)=1, =120°. 所以5(y+2)-(1-3y)=1, 第4章相交线与平行线 解得y=-1. 练习120° 第2章 整式的加减 练习2过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 练习14a-8b 练习33 练习2D 练习4解：(1)如图，直线EF,GH即为所求， 练习3-3 练习4解：(1)A-2B=(2x2+xy+3y-1)-2(x2-xy) =2x2+xy+3y-1-2x2+2xy =3xy+3y-1. 因为(x+2)2+y-31=0, 所以x=-2,y=3. A-2B=3×(-2)×3+3×3-1 =-18+9-1 (2)EF⊥GH =-10. 练习5(1)证明：因为A0⊥B0, (2)因为A-2B的值与y的值无关， 所以∠AOB=90°， 即(3x+3)y-1与y的值无关， 所以∠A0C+∠2=90°， 所以3x+3=0. 因为∠1+∠2=90°， 解得x=-1. 所以∠AOC=∠1， 练习5解：(1)2n+4(2)n(n+1) 所以AB∥CD. 第3章图形的初步认识 (2)解：因为OB平分∠D0E, 所以∠E0B=∠2. 练习1①②③⑤⑥④ 因为∠2：∠3=2：5， 练习2A 设∠2=∠E0B=2x,∠3=5x, 练习3D 则∠E0B+∠2+∠3=180°， 练习4500 即2x+2x+5x=180°，解得x=20°， 练习556° 所以∠EOB=40°. 练习6解：(1)①14245 又因为∠AOB=90°， ②∠ACD+∠BCH=180°，理由如下： 所以∠AOE=∠AOB-∠EOB=50°， 因为∠ACD=∠DCH+∠ACH,∠DCH=∠ACB= 所以∠AOF=180°-∠A0E=130. 王心童”《红卷》· 29 七年级数学HS版上册