学易金卷：高一数学上学期第三次月考模拟卷01（人教A版必修第一册第一章～第四章：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程与不等式+函数及其性质+指对函数）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高（    ） （附：） A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍 8．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正数，满足，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为6 10．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 11．，下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．关于x的不等式的解集为 ． 13．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 . 14．对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 16．（15分） 已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)写出与的函数关系式，并求出当，时的值； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 18．（17分） 已知定义域为的偶函数，当时. (1)求时，的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明； (3)求满足不等式的实数的取值范围. 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，方程在上有解，求实数的范围； (2)若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界. ①设是以2为上界的有界集合，求实数的取值范围； ②若，是否为有界集合，若是求出集合的最小上界的最小值，若不是请说明理由. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 3．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 4．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 7．数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高（    ） （附：） A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍 8．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正数，满足，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为6 10．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 11．，下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．关于x的不等式的解集为 ． 13．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 . 14．对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 16．（15分） 已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)写出与的函数关系式，并求出当，时的值； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 18．（17分） 已知定义域为的偶函数，当时. (1)求时，的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明； (3)求满足不等式的实数的取值范围. 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，方程在上有解，求实数的范围； (2)若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界. ①设是以2为上界的有界集合，求实数的取值范围； ②若，是否为有界集合，若是求出集合的最小上界的最小值，若不是请说明理由. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $请在各避目的答题区域内作答，超出凰色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答燃区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷01 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(15分) 答题卡 15.(13分) 姓名： 准考证号： 注意事项 1。答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择趣必须用 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圈珠笔答 题：字体工整、笔迹清听。 平 3。请按题号顺序在各题日的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效：在草稿纸，试题卷上容题 缺考 无效， 此栏考生禁填 4。保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破 标记 5。正确填涂■ 一、选择题（每小题5分，共40分） (A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2 [AJ [B][C][D] 6[A][B][C][D] 3 [A)[B][C][D] 7AJB周CtDI 4 [A](B][C][D] 8 (A][B][C][D] 选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9(AJ [B][CI[D] 10 [A][B](C]ID) 11 [A][BI [C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 13 14. 请在各恩目的答墨区域内作答。超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答。短出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 数学第2页（共6页） 数学第3页（共6页） 请在各题目的答圈区域内作答，超出黑色矩形边框碱定区域的答案无效！ 请在各题目的答遥区域内作答，超出黑色矩形边都限定区城的答案无效！ 请在各圈目的答题区域内作答，超出燃色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 18.(17分) 19.(17分) 请在各题日的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区城的答案无效！ 请在答题日的答愿区域内作答，超出黑色矩形边板限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，星出需色柜形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 数学第5页（共6项 数学第6页（其6页） 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册第一章~第四章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A和集合B,再利用交补运算求解. 【详解】因为， ， 所以，所以， 故选:C． 2．若，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据指、对数函数单调性解不等式，再根据包含关系分析充分、必要条件. 【详解】对于，则，解得； 对于，则，解得； 因为是的真子集， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f（x） －6 3 －2.625 －1.459 －0.14 1.341 8 0.579 3 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（　　） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】根据二分法求方程的的近似解以及零点存在定理得出零点存在区间即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内. 结合选项可知，方程的近似解可取为1.8. 故选：C. 4．若，，，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数性质和指数函数性质，借助中间量进行比大小. 【详解】因为，即； ，即； ，即， 所以. 故选：D 5．的值域为，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 6．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】易知，且函数为偶函数，再由指数函数图象性质可求出的值即可. 【详解】由函数过原点可知，即可得，即； 又函数定义域为，且满足，可知函数为偶函数， 易知当时，趋近于0，所以函数趋近于, 因此可得，所以； 即. 故选：B 7．数字通信的研究中，需要解决在恶劣环境（噪声和干扰导致极低的信噪比）下的网络信息正常传输问题.根据香农公式，式中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是数据传送速率的极限值，单位是为信号与噪声的功率之比，为无量纲单位（如：，即信号功率是噪声功率的1000倍），讨论信噪比时，常以分贝为单位即（信噪比，单位为）.在信息最大速率不变的情况下，要克服恶劣环境影响，可采用提高信号带宽的方法来维持或提高通信的性能.现在从信噪比的环境转到的环境，则信号带宽大约要提高（    ） （附：） A．10倍 B．9倍 C．2倍 D．1倍 【答案】B 【分析】依题意，分别求出，，进而可得. 【详解】， ， 所以， ， 所以，所以，即大约提高9倍. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在求时，是解决本题的一个关键. 8．对于任意的，表示不超过x的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（   ） A．函数是奇函数 B．函数的值域为 C．函数最小正周期为1 D．不等式的解集为 【答案】C 【分析】对于A，通过举反例排除；对于B，由取整函数的定义得，即可求得函数值域；对于C，利用函数的周期性定义推得为整数，再利用验证得即可；对于D，利用取整函数的定义求出解集即可. 【详解】对于A，因为当时，，当时，， 即，即函数不是奇函数，故A错误； 对于B，由取整函数的定义可知，，则， 即函数的值域为，故B错误； 对于C，不妨设函数最小正周期为，则，且， 取，即得，即，则为整数， 又因，， 故函数的最小正周期为1，故C正确； 对于D，由可得：，解得， 而是整数，则得，故，即不等式的解集为，故D错误. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正数，满足，则下列结论正确的有（   ） A．的最大值为 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【分析】选项A可直接利用基本不等式求最大值；选项B可先平方，再利用基本不等式求最大值；选项C利用消元法再结合一元二次函数求得最小值；选项D利用常数代换，再结合基本不等式求得最小值. 【详解】对于选项A，因为，所以，则，当且仅当，时取等号，则的最大值为，故选项A正确； 对于选项B，，由选项A可知，所以，所以，即的最大值为，当且仅当，时取等号，故选项B错误； 对于选项C，，当且仅当，时取等号，故选项C正确； 对于选项D，，当且仅当，时取等号，故选项D正确. 故选：ACD. 10．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．在上单调递增 C．的图象关于对称 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】对A，根据函数解析式求出定义域判断；对B，利用复合函数的单调性判断；对C，利用函数的对称性判断；对D，求出在上的值域，再利用对数函数的单调性求解. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错误； 对于B，因为，设， 因函数在定义域内为增函数，函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，因为该函数的定义域关于对称， 且， 故函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，因为在上的值域为， 所以的值域为，即，故D正确. 故选：BCD. 11．，下列说法正确的有（    ） A．的减区间为 B．的值域为 C．若有3个零点，则 D．若有5个零点，则 【答案】BCD 【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC的真假；再结合分类讨论思想的应用，判断D的真假. 【详解】函数的草图如下： 由图象可知： 函数的减区间为和两个，不能用“并集”符号连接，故A错误； 函数值域为，故B正确； 若有3个零点，则，故C正确； 对D：结合函数草图：由或； 由或，解得：或或. 设，由题意方程有5个不同的根. 由， 若，则只有1解，且，此时方程有3个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程也有3个解，所以方程有7个解； 若，则有3解，且或或， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有和两个解，所以方程有6个解； 若，则有3解，且，，， 此时方程有1个解，方程有3个解，方程有1个解，所以方程有5个解； 若，则有2解，且或， 此时方程有，共2个解，方程有1个解，所以方程有3个解； 若，则有1解，且，此时方程至多有1个解. 综上：若有5个零点，则.故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式求解，先移项得到，再由分式不等式的等价条件求解即可． 【详解】根据题意， ，解得或， 所以不等式的解集为． 故答案为：． 13．已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒成立，则不等式的解集是 . 【答案】. 【分析】根据函数的单调性、奇偶性求得不等式的解集. 【详解】，即，由恒成立， 可得，，所以，所以，函数在上为减函数. 又函数是上的奇函数，所以， 所以，当时，有；当时，有. 当，由可得，所以有，解得，所以； 当，由可得，所以有，解得，所以； 综上所述，不等式的解集是. 故答案为： 14．对于任意，用表示，中的较小者，记，设函数，.若对于任意，都有，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数的单调性的性质判断函数的单调性，结合题中函数的定义，利用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为函数与都是实数集上的增函数， 所以函数在R上单调递增，且， 当时，，所以当时，， 当时，， 由，即当时，恒成立， 即当时，，即恒成立， 设，则， 当且仅当，即，即时，等号成立， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的性质，运用基本不等式进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 计算： (1)； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助指数幂运算法则和对数运算法则计算求解即可； （2）结合指数幂的运算法则，借助完全平方公式计算即可求解； （3）先利用指对互化得，，然后借助对数换底公式计算即可求解. 【详解】（1）. （2）由，则，即， ，又，则，故， 故. （3）因为，，所以，， 所以. 16．（15分） 已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的解析式； (2)若，且不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数定义得到系数为，再结合奇偶性计算即可得解； （2）由（1）可得在区间上恒成立，将不等式进行参变分离，得到在上恒成立，由二次函数求出最小值，从而得出结论. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，为偶函数，图象关于y轴对称， 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符， 所以， （2）由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 令，对称轴为， 则函数在单调递减，在单调递增， 则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 17．（15分） 某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：小时）满足关系式：；②当的时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）：③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，正比例系数为50. (1)写出与的函数关系式，并求出当，时的值； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为.若，当时，求的最小值. 【答案】(1)，59 (2). 【分析】（1）分别求得、和时的解析式，综合即可得答案，代入数据，即可求得，时的值. （2）分别求出、时的表达式，结合基本不等式，反比例函数性质，分析即可得答案. 【详解】（1）由题意可得，当时，则， 且； 当时，则； 当时，则； 综上所述：则， 所以当时，； （2）由题可得， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，， 因为，所以当游玩时间为5小时，取到最小值为. 18．（17分） 已知定义域为的偶函数，当时. (1)求时，的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并证明； (3)求满足不等式的实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)函数在区间上单调递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）由函数奇偶性及时的解析式，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论； （3），根据在区间上的单调性，得到，求出答案. 【详解】（1）时，， 则时，，， 因为为偶函数，所以， 所以时，. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且， 有， 且，从而，即， 所以函数在区间上单调递增. （3）是偶函数，定义域为， 由，得， 由（2）知函数在区间上单调递增， ， 故，解得， 即实数的取值范围为. 19．（17分） 已知函数，. (1)当时，方程在上有解，求实数的范围； (2)若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界. ①设是以2为上界的有界集合，求实数的取值范围； ②若，是否为有界集合，若是求出集合的最小上界的最小值，若不是请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是，. 【分析】（1）根据方程有解与函数图像之间的关系，判断函数单调性，求出参数范围； （2）①根据题目定义，判断函数在定义域上的值域，再根据函数最值列出不等式组，求出参数范围即可；②根据函数单调性，进行分类讨论，列出对应的不等式组，求出函数解析式，进而求出函数最小值. 【详解】（1）当时，，由于在上单调递增， ∴函数在上的值域为，故的范围为. （2）①令，，则， 由题意可得，在上恒成立， 则在上恒成立， ∴，即， 易知在上单调递减，则， 根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，则， 综上：. ②， ∵，，∴在上递减， ∴，即， 当时，即当时， 当时，即当时， ∴，化简得， 可知当，函数在上单调递减，所以最小值为， 当时，函数在上单调递增，所以， 所以的最小值为. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期第三次月考模拟卷01 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C A C D C B B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD BCD BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）.（4分） （2）由，则，即，（6分） ，又，则，故，（8分） 故.（9分） （3）因为，，所以，，（10分） 所以.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，（分） 解得或，（3分） 当时，为偶函数，图象关于y轴对称，（4分） 当时，为奇函数，图象关于原点对称，不符，（6分） 所以，（7分） （2）由（1）得， 由不等式在区间 上恒成立， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，（8分） 令，对称轴为，（10分） 则函数在单调递减，在单调递增， （12分） 则，（14分） 所以，解得， 所以实数的取值范围是.（15分） 17．（15分） 【详解】（1）由题意可得，当时，则，（1分） 且；（2分） 当时，则；（3分） 当时，则；（4分） 综上所述：则，（5分） 所以当时，；（6分） （2）由题可得， 当时，，（8分） 当且仅当，即时，等号成立，（9分） 当时，，随着的增大，减小，（11分） 所以当时，，（13分） 因为，（14分） 所以当游玩时间为5小时，取到最小值为.（15分） 18．（17分） 【详解】（1）时，， 则时，，，（2分） 因为为偶函数，所以，（3分） 所以时，.（4分） （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 当时，，，且，（5分） 有，（6分） 且，从而，即，（8分） 所以函数在区间上单调递增.（9分） （3）是偶函数，定义域为，（10分） 由，得，（12分） 由（2）知函数在区间上单调递增， ，（14分） 故，（15分） 解得，即实数的取值范围为.（17分） 19．（17分） 【详解】（1）当时，，由于在上单调递增，（1分） ∴函数在上的值域为，（3分） 故的范围为.（4分） （2）①令，，则， 由题意可得，在上恒成立， 则在上恒成立， ∴，（5分） 即，（6分） 易知在上单调递减，则，（7分） 根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，则，（8分） 综上：.（9分） ②， ∵，，∴在上递减，（10分） ∴，即，（11分） 当时，即当时，（12分） 当时，即当时，（13分） ∴，化简得，（14分） 可知当，函数在上单调递减， 所以最小值为，（15分） 当时，函数在上单调递增，所以，（16分） 所以的最小值为.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $