第2章 一元二次方程 单元练习 2025-2026学年北师大版九年级数学上册

《一元二次方程》 单元练习 一．选择题 1．下列方程一定是一元二次方程的是（　　） A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣1＝（x﹣1）2 C．2x2﹣1＝0 D． 2．若xm+1﹣5x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为（　　） A．2 B．1 C．﹣3 D．1或﹣3 3．已知x1，x2是方程x2﹣8x﹣9＝0的两个实数根，则x1+x2＝（　　） A．﹣9 B．﹣8 C．9 D．8 4．如图，有一块长10m，宽8m的矩形试验地，现要开辟3条等宽的小路，且使种植面积为50m2，设小路的宽为xm，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣x）＝50 B．（10﹣x）（8﹣2x）＝50 C．（10+2x）（8+x）＝50 D．（10+x）（8+2x）＝50 5．秋冬季节是流感高发期，若有1人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（　　） A．1+x＝121 B．1+x2＝121 C．1+x+x2＝121 D．1+x+x（1+x）＝121 6．用配方法解方程x2﹣4x﹣5＝0时，原方程应变形为（　　） A．（x+2）2＝9 B．（x﹣2）2＝9 C．（x+4）2＝9 D．（x﹣4）2＝9 7．已知a，b是方程x2+2x﹣9＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为（　　） A．﹣10 B．﹣6 C．8 D．12 8．已知a是方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，则（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 9．今年“国庆中秋”双节叠加，普天同庆．某家庭微信群规定，群内的每个人都要发红包，并保证群内其他人恰好都能抢到（自己不能抢自己发的）红包．此次活动结束，群内所有人共收到56个红包，则该群一共有（　　） A．6人 B．7人 C．8人 D．9人 10．已知m，n是关于x的方程x2﹣2x﹣2＝0的两个根，则的值为（　　） A．2016 B．2048 C．2050 D．2056 二．填空题 11．若x＝2是方程x2﹣3x+a＝0的一个根，则a的值等于 　 　 ． 12．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有一个根为3，则实数k的值为　 　 ． 13．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是 　 　 ． 14．国家消费补贴政策（国补）旨在刺激内需，促进绿色消费．某手机卖场七月份的总销售额为1000万元，九月份的总销售额达到了1690万元，设七月份到九月份该手机卖场的总销售额的月平均增长率为x，那么根据题意可列方程为　 　 ． 15．把方程x2﹣6x+8＝0转化为（x+m）2＝n的形式，则　 　 ． 16．若m是关于x的一元二次方程x2+2x﹣1＝0的一个实数根，则代数式2m2+4m﹣5的值为　 　 ． 三．解答题 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0． （1）求证：对于任意实数k，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足2x1﹣x2＝2，求k的值． 18．已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 19．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+2m﹣4＝0有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1，求m的值． 20．阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题．因为3a2≥0，所以：3a2+1就有最小值1，即3a2+1≥1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为﹣3a2≤0，所以﹣3a2+1有最大值1，即﹣3a2+1≤1，只有当a＝0时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当x＝　 　 时，代数式2（x﹣1）2+33有最　 　 （填“大”或“小”）值为　 　 ； （2）当x＝　 　 时，代数式﹣2x2+4x+33有最　 　 （填“大”或“小”）值为　 　 ． （3）如图，用6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）？ 21．配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，因为（x+2）2≥0， 所以当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0． 所以（x+2）2+1≥1． 所以当（x+2）2＝0时，即x＝﹣2时（x+2）2+1的值最小，最小值是1． 即x2+4x+5的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成a2+b2（a、b是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为5＝22+12，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）①已知13是“完美数”，请将它写成a2+b2（a、b是正整数）的形式 　 　 ； ②配方：x2﹣6x+　 　 ＝（x﹣　 　 ）2； 【探究问题】 （2）①已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，则x+y＝ 　 　 ； ②已知S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试写出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （3）已知实数x、y满足﹣x2+5x+y﹣10＝0，当x＝ 　 　 时，y﹣x最小值为 　 　 ． 22．【阅读材料】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如： 求a2+6a+8的最小值． 解：a2+6a+8 ＝a2+6a+9﹣1＝（a+3）2﹣1， ∵（a+3）2≥0， ∴（a+3）2﹣1≥﹣1， 即a2+6a+8的最小值为﹣1． 请根据上述材料解决下列问题： （1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：a2+4a+　 　 ． （2）求x2+4x+5的最小值． （3）已知x2+y2﹣2x+4y+5＝0，求x+y的值． 23．在北师大版七年级下册第一章中，我们知道形如x2±2xy+y2的代数式叫做完全平方式，其实我们也可以将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用，如利用配方法求最值，求a2﹣4a+3的最小值． 解：a2﹣4a+3＝a2﹣4a+22﹣22+3＝（a﹣2）2﹣1． ∵不论a取何值，（a﹣2）2总是非负数，即（a﹣2）2≥0， ∴（a﹣2）2﹣1≥﹣1，即当a＝2时，a2﹣4a+3有最小值﹣1． 根据上述材料，解答下列问题： （1）直接写出多项式x2﹣4x﹣3的最小值为 　 　 ； （2）若M＝2a2+3a，N＝3a2+5，比较M、N的大小（写出比较过程）； （3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长． （4）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD．若AC+BD＝10，求四边形ABCD面积的最大值． 24．洛邑古城，被誉为“中原渡口”，位于河南省洛阳市老城区，如今凭借科技加持与文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． （1）【科技加持】“天女”踏歌而来，《霓裳羽衣曲》的旋律突然混入电音节奏，漫天彩瓣随鼓点飘落，“天女散花”表演使古城焕发新生，据统计，2025年暑期假期第一天洛邑古城累计接待游客约5万人次，假期第三天接待游客达7.2万人次，求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率； （2）【文化赋能】洛邑古城含文峰塔，河南府文庙、四眼井、金元古城墙遗址等多个历史时期保护建筑，穿汉服在古城内打卡的游客络绎不绝．某商店推出古城联名手办，每个手办的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个，若要使每天销售的手办获利1800元，则售价应降低多少元？ 25．在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 26．根据以下销售情况，解决销售任务． 销售情况分析 总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，它们的销售情况如下： 店面 甲店 乙店 日销售情况 每天可售出20件，每件盈利40元． 每天可售出32件，每件盈利30元． 市场调查 经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件． 情况设置 设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元． 任务解决 任务1 甲店每天的销售量 　 　 （用含a的代数式表示）． 乙店每天的销售量 　 　 （用含b的代数式表示）． 任务2 当a＝5，b＝4时，分别求出甲、乙店每天的盈利． 任务3 总公司规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 27．如图，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小相等的六块作试验田，要使试验田面积为570m2，求道路的宽度． 28．阅读材料：在一元二次方程中，根的判别式Δ＝b2﹣4ac通常用来判断方程实数根的个数，但在实际应用中，我们也可以用根的判别式来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数y＝x2﹣6x+6，当x取何值时，y取最小值，最小值为多少？ 解答：∵y＝x2﹣6x+6 ∴x2﹣6x+（6﹣y）＝0 ∵b2﹣4ac≥0，即36﹣4（6﹣y）≥0，解得y≥﹣3． 因此y的最小值为﹣3， 此时x2﹣6x+6＝﹣3，解得x1＝x2＝3，符合题意 ∴当x＝3时，ymin＝﹣3 解决问题：请根据上述材料，解答下列问题： （1）已知函数y＝﹣4x2+6x﹣3，当x取何值时，y取最大值，y的最大值为多少？ （2）已知，当x取何值时，取最小值，的最小值为多少？ （3）如图，已知Rt△ABC，Rt△AED，D是线段BC上一点，∠B＝∠EAD＝90°，AB＝BC，DC＝AE＝1，当BD为何值时，取最小值，最小值是多少？ 29．（1）解方程：x2﹣2x＝8； （2）计算题小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6． 解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得． 我们称小明这种解法为“平均数法”．下面是小明用“平均数法”解方程（x+5）（x+9）＝5时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5， ∴（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得：x1＝c，x2＝d（c＞d）． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为　 　 ，　 　 ，　 　 ，　 　 ． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A D B B C C B 二．填空题 11．2． 12．﹣3． 13．6． 14．1000（1+x）2＝1690． 15．﹣3． 16．﹣3． 三．解答题 17．解：（1）判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣k2﹣k） ＝1+4k2+4k ＝（2k+1）2 ∵任何实数的平方都非负，即（2k+1）2≥0， ∴对于任意实数k，方程总有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程x2﹣x﹣k2﹣k＝0，有x1+x2＝1， 又已知2x1﹣x2＝2，将两式联立可得方程组， 将两式相加，得3x1＝3，解得x1＝1， 把x1＝1代入x1+x2＝1，得1+x2＝1，解得x2＝0， 再根据根与系数的关系，，即1×0＝﹣k2﹣k， 解得k＝0或k＝﹣1． 18．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 19．解：（1）根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（2m﹣4）≥0， 解得m； （2）根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝2m﹣4， ∵（x1﹣3）（x2﹣3）＝m2﹣1， ∴x1x2﹣3（x1+x2）+9＝m2﹣1， ∴2m﹣4﹣3×1+9＝m2﹣1， ∴m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝3（不合题意，舍去）． 故m的值是﹣1． 20．解：（1）由题意，∵对于任意实数x都有2（x﹣1）2≥0， ∴2（x﹣1）2+33≥33，当且仅当x＝1时，2（x﹣1）2+33取最小值，最小值为33． 故答案为：1；小；33； （2）由题意得，﹣2x2+4x+33＝﹣2（x﹣1）2+35， ∴当x＝1时，﹣2x2+4x+33有最大值为35． 故答案为：1；大；35； （3）由题意，设窗框的宽为xm， ∵铝合金条的长为6m， ∴长为， ∴ ∵， ∴函数有最大值，当时，y取最大值为1.5m2． 答：窗框的宽和高分别为1m和1.5m时才能使得窗户的透光面积最大，此时的最大面积为1.5m2． 21．解：【解决问题】 （1）①∵13是“完美数”， ∴13＝22+32； ②配方：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 故答案为：①22+32；②9，3； 【探究问题】 （2）①∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0， ∴x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0， ∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0， ∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， ∴x＝1，y＝﹣2， ∴x+y＝﹣1， 故答案为：﹣1； ②k＝13，理由如下： ∵S＝x2+4y2+4x﹣12y+k（x、y是整数，k是常数）， ∴S＝x2+4x+4+4y2﹣12y+9+k﹣13， ∴S＝（x+2）2+（2y﹣3）2+k﹣13， ∵S为“完美数”， ∴k﹣13＝0， 即k＝13； 【拓展结论】 （3）∵﹣x2+5x+y﹣10＝0， ∴﹣x2+6x﹣9+y﹣x﹣1＝0， ∴y﹣x＝x2﹣6x+9+1， ∴y﹣x＝（x﹣3）2+1， ∵（x﹣3）2≥0， ∴（x﹣3）2+1≥1， ∴当x＝3时，（x﹣3）2+1有最小值1， 即当x＝3 时，y﹣x最小值为1． 故答案为：3，1． 22．解：（1）∵a2+4a+4＝（a+2）2， ∴添上的常数项是4； （2）x2+4x+5 ＝x2+4x+4+1 ＝（x+2）2+1； ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1， ∴x2+4x+5的最小值为1； （3）∵x2+y2﹣2x+4y+5＝0， ∴x2﹣2x+1+y2+4y+4＝0， ∴（x﹣1）2+（y+2）2＝0， ∴x﹣1＝0，y+2＝0， 解得：x＝1，y＝﹣2， ∴x+y＝1﹣2＝﹣1． 23．解：（1）x2﹣4x﹣3 ＝x2﹣4x+4﹣7 ＝（x﹣2）2+7， ∵（x﹣2）2≥0， ∴（x﹣2）2+7≥7， ∴当x＝2时，x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+7＝7，即有最小值7； 故答案为：7； （2）由条件可知： ， ∵， ∴， 即M﹣N＜0， 故M＜N． （3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c， ∴a2﹣6a+9+b2﹣8b+16+c2﹣10c+25＝0， ∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0， ∴a＝3，b＝4，c＝5， ∵a，b，c是△ABC的三边长， ∴3+4+5＝12 故△ABC的周长为12； （4）四边形ABCD面积为： ， ∵（AC﹣5）2≥0， ∴， 则当时，四边形ABCD面积的最大值为． 24．解：（1）设游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为x， 由题意得：5（1+x）2＝7.2， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， 答：游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率为20%； （2）设售价降低a元，则每天售出（50025）个， 由题意得：（10﹣5﹣a）（50025）＝1800， 整理得：a2+5a﹣14＝0， 解得：a1＝2，a2＝﹣7（不符合题意，舍去）， 答：售价应降低2元． 25．解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：320（1+x）2＝500， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160， 整理得：3y2﹣44y+160＝0， 解得：y1，y2＝8， 当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去； 当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意； ∴AB＝8米， 答：重建后的养鸡场的宽AB为8米． 26．解：任务1，甲店每天的销售量为（20+2a）件，乙店每天的销售量为（32+2b）件， 故答案为：（20+2a）件，（32+2b）件； 任务2，当a＝5时，甲店每天的盈利为（40﹣5）×（20+2×5）＝1050（元）； 当b＝4时，乙店每天的盈利为（30﹣4）×（32+2×4）＝1040（元）； 任务3，设每件衬衫下降m元时，两家分店一天的盈利和为2244元， 由题意得：（40﹣m）（20+2m）+（30﹣m）（32+2m）＝2244， 整理得：m2﹣22m+121＝0， 解得：m1＝m2＝11， 即每件衬衫下降11元时，两家分店一天的盈利和为2244元． 27．解：设道路的宽度为xm， 根据题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x2＝570， 整理得：x2﹣36x+35＝0， 解得：x1＝1，x2＝35（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽度为1m． 28．解：（1）∵﹣4x2+6x﹣3＝y，即﹣4x2+6x﹣3﹣y＝0， ∴Δ＝36﹣16（3+y）≥0， ∴，即y的最大值是； 又令y，则﹣4x2+6x﹣3， ∴x． ∴当x时，y取最大值，最大值是； （2）∵， ∴y（x2﹣4x+4）＝x2﹣2x+3，即（y﹣1）x2+（4y﹣2）x+3﹣4y＝0， ∴Δ＝（4y﹣2）2﹣4（1﹣y）（3﹣4y）≥0， ∴，即y的最小值是， ∴当时，， ∴x＝﹣1（经检验符合题意）， ∴y的最小值是； ∴当x＝﹣1时，y取最小值，最小值是； （3）设BD＝x，则BC＝x+1， ∴AD2＝AB2+BD2＝（x+1）2+x2，DE2＝AD2+AE2＝（x+1）2+x2+1， ∴， 设，即， ∴（2﹣y）x2+（2﹣2y）x+2﹣y＝0， ∴Δ＝（2﹣2y）2﹣4（2﹣y）（2﹣y）≥0，解得． ∴． 又将代入方程得：， ∴x1＝x2＝1（经检验符合题意）， ∴当BD＝1时，取最小值，最小值是． 29．解：（1）x2﹣2x＝8， x2﹣2x﹣8＝0， （x+2）（x﹣4）＝0， 则x+2＝0或x﹣4＝0， 所以x1＝﹣2，x2＝4； （2）由题知， ， 则由（x+5）（x+9）＝5得， [（x+7）﹣2][（x+7）+2]＝5， （x+7）2﹣22＝5， （x+7）2＝5+22， （x+7）2＝9， 则x+7＝±3， 所以x1＝﹣4，x2＝﹣10， 所以a＝7，b＝±2，c＝﹣4，d＝﹣10， 故答案为：7，±2，﹣4，﹣10． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/19 23:49:30；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $