广东省深圳市龙岗区龙城高级中学（教育集团）2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

龙城高级中学（教育集团)2025-2026学年第一学期 高二年级期中考试数学试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B B B 0 B BCD ABC 题号 11 答案 ACD 8.B 因为直线l:mx-y-5m+1=0,12:x+my-5m-1=0, 则1⊥12， 又4的方程可化为m(x-5)-y+1=0,所以过定点M(5,1), l,的方程可化为m(y-5)+x-1=0,所以过定点N(1,5), 所以点P的轨迹是以MW为直径的圆（去除(5,5）， 其方程为(x-3)+(y-3)2=8, 其圆心E(3,3),半径r=2√2， 作CD⊥AB,则D为AB的中点， 根据勾股定理易求得CD=√2， 如图所示，当C,E,P在同一条直线上时PD最小， 又PA+PB=2PD, PD=lCE-lCD-r=52-5-25=22, 高二年级数学学科答案第1页，共11页 故PA+PB=2PD的最小值为45， 故选：B 11.ACD 对A:mx+y-m-2=m(x-1)+y-2=0,则该直线必过点(1,2)， 又12+22=5<8，故点(1,2)在圆O内部， 故直线mx+y-m-2=0与圆O相交， 故圆O与直线mx+y-m-2=0必有两个交点，故A正确： 22 对B:圆心O到直线x-y+2√2=0的距离为d= =2, V1+1 由2√2-2<V2<2V2+2, 故圆O上存在2个点到直线1的距离都等于√2，故B错误 对C:若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则两圆相外切， 将x2+y2-6x-8y+m=0化简可得(x-3)+(y-4)=25-m, 则该圆圆心为(3,4)，半径为√25-m, 则有√25-m+22=√32+42，解得m=20W2-8,故C正确： 对D:由切线性质及切线长定理可得PA⊥OA、PB⊥OB,OP⊥AB, 四边形PA0B的面积S=oPA=Po4+PBo=P4O4=25PA, 又PA=VPC-o4=VPq8,故PO取最小时，JOP]4B最小， 又P0-0+0-35,则P4-i8-8=i0, √1+1 故(OPAB)=2×2V2×0=8W5,故D正确. 高二年级数学学科答案第2页，共11页 B 故选：ACD. a05 在等腰△FPF中，|PE曰FF=2c=6. 分别延长PF,与FM,交于点G,因为点Q是三角形FPF的内切圆圆心，所以PQ为∠FPF, 的平分线，如图： 又因FM⊥PM,故△PMF与△PMQ全等，所以M为FG的中点且IPE曰PG=6. 又因为O为EF的中点，OM为三角形F,F,G的中位线， 所以|FG=2|OM=4,得|PF曰PG1-F,G6-4=2. 所以由椭圆的定义可得PF1+PF=6+2=2a,得a=4,所以离心率为eS=3 故答案为：4 高二年级数学学科答案第3页，共11页 15.0B=2 (2)V5 (1)由余弦定理可知a2+b2-c2=2 abcosC,所以2 abcosC=V5ab, 故cosC=V3 …2分 Ce0.,C=看 3分 则sinB=sinc- 2 4分 6B三或B=π …5分 3 当B-号时，1=△A0C不为纯角三角形，舍去，B=时，满足要求。…5分 3 (2)由(1)可得A=π-B-C=T 6’ …7分 由正弦定理a:b:c=sinA:sinB:sinC=1:√3：1，即b=V3a,c=a.…9分 周长a+b+c=2+V3a=4+2W3,所以a=2.…11分 则a18c的面积5cs6-2xx点-. …13分 16.(1)A、C、M、A四点不共面 (2)证明见解析 333 10 (1)A、C、A三个不共线的点确定平面ACC,A,显然M:平面ACC,A, 所以A、C、M、A四点不共面.… …3分 D M A B B (2)方法一：如图，以D为原点，DA,DC,DD分别为x,y,z轴，建立如图空间直 角坐标系， 高二年级数学学科答案第4页，共11页 ZA D B F D 则2..r0故f-（220 …5分 又平面ABCD的法向量为i=(0,0,1) …7分 所以EF万=0，故EF上i,…8分 又EF丈平面ABCD,故EF∥平面ABCD.…9分 方法二： 如图，取CD中点N,再取CN中点G,连接MN、FG和AG 由F为CM中点，则FGWN,且FG=MN.5分 在正方体ABCD-ABCD中，E为AA中点， 故AEIIDD IMN,且AE=DD,=MN, 2 2 所以FG∥AE且FG=AE,… …7分 则四边形AEFG为平行四边形，故EF∥AG,…8分 又EF庄平面ABCD,AGC平面ABCD,故EF∥平面ABCD.…9分 D M A D B 方法三：如图，取DD,中点N,连接EN、FN. 在梯形D,MCD中，F为CM中点，则FNIICD.…4分 因为FN平面ABCD,CDC平面ABCD,所以FNI∥平面ABCD.…6分 在正方体ABCD-ABCD中，E为AA中点，则ENI∥AD, 高二年级数学学科答案第5页，共11页 因为EN丈平面ABCD,ADC平面ABCD, 所以EN∥平面ABCD.… …8分 因为ENOFN=N,EN,FNc平面EFN,所以平面EFN∥平面ABCD, 又EFC平面EFN,故EF∥平面ABCD.… …9分 D E B (3)由(2)方法一可知EF …11分 又A(2,0,2),B(2,2,0),故AB=(0,2,-2),…12分 所以Cos(AB,EF AB.EF 3 3V2 10, …14分 故异面直线4B与EF所成角的余弦值为3N5 …15分 10 17.(1)y=x-2 (2)x=2或3x+4y-6=0 (1)由B(0,-2),C(3,-5)可得，直线BC斜率为kc= -2+5 =-1,…2分 0-3 所以边BC上的高所在直线的斜率为：k=-L =1,…3分 则边BC上的高所在直线方程为：y-1=x-3,整理得y=x-2;…5分 (2)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,代入三点坐标可得： 9+1+3D+E+F=0 则{4-2E+F=0,解得D=6,E=4,F=4. 9+25+3D-5F+F=0 .圆M的方程为x2+y2-6x+4y+4=0,化为标准方程：(x-3)2+(0y+2)}=9:…8分 当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=2,…10分 代入圆M的方程得：(2-3)2+(y+2)2=9→y=22-2, 此时直线1被圆M所截得的弦长为(2√2-2(-2√2-2引=42，满足题意： 高二年级数学学科答案第6页，共11页 当直线1的斜率存在时，设直线方程为y=k(x-2),即一-2=0…11分 C 由垂径定理可得，当弦长为45时，可知圆心到直线的距离d=9-(22矿=1…12分 再由圆心到直线的距离公式得：d=13+221=1,解行大。-3 …13分 Vk2+1 4 直线方程为3x十4y-6=0.…14分 即直线1的方程为x=2或3x+4y-6=0. …15分 18.(1)证明见解析 2)36 5 。 (1)因为四边形ABCD为菱形，则AC L BD,… …1分 设AC∩BD=O,连接OF,则O为AC的中点， 因为AF=C℉，则AC⊥OF,…2分 因为BD∩OF=O,BD、OFC平面BDEF,故AC⊥平面BDEF.…3分 (2)连接DF,因为四边形BDEF为菱形，则BD=BF, 又因为∠DBF=60°，则VBDF为等边三角形， 因为O为BD的中点，则OF⊥BD, 又因为AC⊥平面BDEF,以点O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、 y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，…4分 高二年级数学学科答案第7页，共11页 E B 因为AB=2,四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，则△ABD是边长为2的等边三角形， 所以，BD=2,OA=VAB2-0B2=V22-1=V5,AC=20A=25, 同理可得OF=√BF2-OB2=√22-1=√5， 所以，430,0）、B(0,1,0)、C(5,0,0、D(0,-1,0)、E(0,-2,5)、F(0,0,V5), 则AB=(5,1,0),AF=(-V5,0,5), 设平面ABF的法向量为而=(x,y,), -4F-V5x+5=0取=l,可得万=5.，…7分 m4B=3x+=0 则 因为P为DE上的动点，设EP=ED,其中0≤1≤1， 且FE=(0,-2,0),ED=(0,13), 所以，FP=FE+EP=FE+ED=(0,-2,0H(0,l50,元-2，B玩），…8分 设直线FP与平面ABF所成角为O, FP.m 则sin0=cos(F师，m=i 5(1-2)-3 25 Va-2+5z554-4+4 2V5 5V(2-1)+3 ……10分 当2=时，sin0取最大值，且最大值为25 因此，FP与平面ABF所成角正弦值的最大值为25 …12分 (3)因为K为EF的中点，则K(0,-山，5)， 高二年级数学学科答案第8页，共11页 设点G(x,0),则KG=(,y+1,-5),CF=(5,0) 因为KG=CF,即KG=CF,即V+0+1+3=6, 化简可得x2+(y+1)2=3,… …15分 故动点G的轨迹是以点D为圆心，半径为√5的圆在四边形ABCD内的部分， 即圆心角为号的圆。枚所求锁迹的长度为子-29 元…17分 3 .4 19.05 (2)证明见解析 85或5 2 5 （①)解：由精圆C手+=1的方程可得0小，M0. 则直线AB的方程为y=-(x-1), …1分 y=-(x-1) 联立x2 1消去y,得5x2-8x=0,…………2 所以=- 解得。=8， 5 5Γ5 …3分 (2)证明：由椭圆方程可得P(0,-1),Q(2,0), 显然直线AB的斜率不为0，则设直线AB的方程为x=my+1, [x=my+1 22，,消去x,得m2+4)y2+2y-3=0，…4分 △=(2m)+12(m2+4)>0恒成立，… …5分 设A(x,片)，B(2,y2), -3 则片+=子4ym4 …6分 如质2如=6产习 3-2 所以站2产20版1藏习 yiy2 高二年级数学学科答案第9页，共11页 -3 3 yy2 m2+4 m+4=-3 m2yy-m(y+y2)+1-3m2-2m2,m2+4 4 4 m2+4m2+4m2+4m2+4 3 所以kk2为定值，定值为- 4 …10分 (3)依题意有F(3,0,折叠前，直线AF的斜率为ke=当G 、 x-53 即5=5(1-)，代入椭圆方程得30-》+=1， 4 解得y=1(舍去负值)，即A(0,1)为椭圆上顶点，即OA=1.…11分 折叠后，如图所示，则以折叠前的y轴负半轴所在直线为x轴，折叠前x轴为折叠后的y轴， 折叠前的y轴正半轴为z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,1),M(0,1,0),P(1,0,0),Q(0,2,0), 所以P9=（-1,2,0),AM=(0,1-1）,AP=(1,0,-1),OA=(0,0,1), 设PD=P0,则PD=元(-1,2,0)=（←，2元，0)，所以OD=OP+PD=(1-元，2,0)， 设平面AMP的一个法向量为m=(x,3,23), 则 m⊥AM m·AM=y3-23=0 则 m⊥AP m·AP=x3-z=0 令x=1,则3=23=1，即i=(1,1,),…12分 设平面AOD的一个法向量为i=（x4,y4,z4), i⊥OA 元.0A=z4=0 则 i⊥oD .0d=(1-)x+2y4=0 令1，则安即分小 ………13分 设平面AOD与平面AMP的夹角为O, 高二年级数学学科答案第10页，共11页龙城高级中学（教育集团)2025-2026学年第一学期 高二年级期中考试数学试卷 命题人：孙天启 审题人：郭朋贵 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟 一、单选题 1.函数f(x)=sin2x- 的最小正周期是( ) 3 B. C.元 D.2π 2.已知正三棱台ABC-A,B,C的上、下底面的边长分别为2和4，高为1，则此三棱台的体 积是( A.7V5 B.75 3 C.55 D.5V5 3 3.已知两点A(-4,3),B(2,1),过点P(0,-)的直线1与线段AB(含端点)有交点，则直线1 的斜率的取值范围为( A.(-oo,-1]U[1,+oo)B.[-1,1] 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且满足OM=2MA, 点N为BC的中点，则MN=( 分 a-+ B.-2 1 a+26+2 2 C.2a+6-3e 22 D. 2 3 2 5.已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c∠BAC=T,点D是线段BC上一点， 且AD平分∠BAC,若AD=1,则上+1=( b c A.2 B.5 C. D. 3 高二年级数学学科第1页，共4页 6.如图，在正方体ABCD-ABCD中，AB=4,E,F分别是棱CD,AD的中点，则正 方体ABCD-AB,CD被平面AEF所截得的截面周长是( A B D B C A.4W5+4N2 B.5W5+V17 C.4v5+2V2+4D.65+2 7.已知销圆C号兰=1，则稀面C上的点到直线：+2-25-0的距离的被大值为 g ) A.3V5 B.4V5 C.55 D.6W5 8.直线(：x-y-5m+1=0与l,:x+my-5m-1=0交于点B圆C:(x+2)}'+(y+2)}=4 上有两动点A,B,且AB=2V2,则PA+PB的最小值为( ) A.2V2 B.4V5 C.6N5 D.10N2 二、多选题 9.已知方程， =1(k∈R)所表示的曲线为C,则下列说法中正确的有( ) 5+kk-4 A.曲线C可以是圆 B.当k>4时，曲线C可以是焦点在x轴上的椭圆 C.当-5<k<4时，曲线C可以是焦点在x轴上的双曲线 D.当曲线C是椭圆或双曲线时，其焦距均为6 10.如图，八面体的每个面都是正三角形，若四边形ABCD是边长为4的正方形，则() A.异面直线AE和DF所成的角为 3 B.平面FAD和平面EBC有相同的法向量 D C.异面直线AB和C的距离为6 B D,二面角A-EB-C的余弦值为 高二年级数学学科第2页，共4页 11.已知圆0：x2+y2=8,则() A.圆O与直线mx+y-m-2=0必有两个交点 B.圆O上存在3个点到直线1：x-y+2√2=0的距离都等于√2 C.若圆O与圆x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=20√2-8 D.己知动点P在直线x+y-6=0上，过点P向圆O引两条切线，A,B为切点，则OP列AB 的最小值为8√5 三、填空题 12.若直线y=2x是双曲线x2- 存=16>0)的一条海近线，则b= 13.已知平面a的一个法向量i=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在a内，则平面外一点P(-2,1,4)到 a的距离为. 4.已知0为坐标原点，F,E为椭圆千+(Qb0)的左、右焦点，FF6,P 是椭圆上异于顶点的一点，点Q是以PF,为底的等腰三角形FPF的内切圆圆心，过F作 FM⊥PQ,垂足为M,OM=2,则椭圆的离心率为 四、解答题 15.在钝角△ABC中，已知V3sinC=sinB,a2+b2-c2=√3ab. (1)求∠B: (2)若△ABC的周长为4+2√5，求△ABC的面积. 16.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M、E分别是CD、AA的中点，F 是MC的中点。 D M (1)判断A、C、M、A四点是否共面（结论不要求证明）： B F (2)证明：EF∥平面ABCD; E (3)求异面直线AB与EF所成角的余弦值. 高二年级数学学科第3页，共4页 17.己知AABC的三个顶点坐标为A(3,1)、B(0,-2)、C(3,-5) (1)求边BC上的高所在的直线方程： (2)若圆M是△ABC的外接圆，且经过点P(2,0)的直线I被圆C所截得的弦长为4√2，求直 线1的方程. 18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2,FA=FC. (1)求证：AC⊥平面BDEF; (2)P为线段DE上的动点，求FP与平面ABF所成角正弦值的最大值： (3)设EF中点为K,G为四边形ABCD内的动点（含边界）且GK=CF, D 求动点G的轨迹长度. B 19。设为椭圆C:千+y=1的右焦点，过点M,0)的直线与稀圆C交于，两点，点 在轴上方，为坐标原点，为右顶点，为下顶点，点在线段上运动 (1)若点为椭圆的上顶点，求△的面积； (2)设直线， 的斜率分别为k,k2,求证：kk2为定值： (3)将椭圆所在平面沿轴折叠，使得上半椭圆面与下半椭圆面垂直，若折叠前直线的斜 率为- 3 ,折叠后，当平面与平面 的夹角的余弦值为下时，求的长 15 高二年级数学学科第4页，共4页